미시외레비츠 점

수학에서 미시우레비츠 점(Misiurewicz point)은 만델브로 집합(복소 이차 지도의 매개 변수 공간)의 매개 변수 값이며, 임계점이 엄격하게 전주기적인 구간의^[1] 실제 이차 지도에서도 매개 변수 값입니다(즉, 유한하게 많은 반복 후에 주기적이 되지만 그 자체는 주기적이 아닙니다).비유적으로 Misiurewicz 점이라는 용어는 고유한 임계점이 엄격하게 사전 주기적인 다중 브로트 집합의 매개 변수에도 사용됩니다(이 용어는 하나 이상의 (자유) 임계점을 갖는 일반성이 더 큰 맵의 경우 일부 임계점은 주기적일 수 있고 다른 임계점은 그렇지 않기 때문에 덜 말이 됩니다).이 점들은 수학자 미샤우 미슈레비츠의 이름을 따서 지어졌습니다.

수학적 표기법

매개 $변수{\displaystyle }$ c$${\$displaystyle$ c$}$는 다음 식을 만족하는 경우 Misiurewicz $점{\displaystyle {}_{}}$ $n$ {\$displaystyle$M_${k,n$}입니다$$.

${\displaystyle f_{c}^{(k)}(z_{cr})=f_{c}^{(k+n)}(z_{cr})}$

그리고.

${\displaystyle f_{c}^{(k-1)}(z_{cr})\neq f_{c}^{(k+n-1)}(z_{cr})}$

그래서 :

${\displaystyle M_{k,n}=c:f_{c}^{(k)}(z_{cr})=f_{c}^{(k+n)}(z_{cr})}$

여기서:

• ${\displaystyle {\mathrm{zcr}}_{}}${\$displaystyle z_{cr}$는 ${\displaystyle {fc}_{}}$ ${\$의 임계점입니다.
• ${\displaystyle }$k$${\$displaystyle$ k$}$ $및$ n ${\displaystyle$ n$}$은(는) 양의 정수입니다.
• ${\displaystyle {fc}_{}^{}}$(${\displaystyle {k)}_{}^{}}${\$displaystyle f_{c}^{(k)}}$는 $k{\displaystyle }${\$displaystyle$ k$}$ - ${\displaystyle {fc}_{}}$ {\$displaystyle f_{c$의 반복을 ${\displaystyle {\mathrm{나타냅니다}}_{}^{}}$.

이름.

미시우레비츠 ^[2]점들은 폴란드계 미국인 수학자 미샤우 미시우레비츠의 이름을 따서 지어졌습니다.

"미시우레비츠 포인트(Misiurewicz point)"라는 용어는 다음과 같이 모호하게 사용됩니다.미시우레비츠는 원래 모든 임계점이 재발하지 않는 지도(즉, 이 임계점의 궤도에 의해 방문되지 않는 모든 임계점의 이웃이 있음)를 조사했으며, 이 의미는 반복 간격 ^[3]지도의 역학의 맥락에서 확실하게 확립됩니다.이차 다항식의 고유한 임계점이 엄격하게 전주기적인 경우는 매우 특별한 경우일 뿐입니다.이러한 제한된 의미에서, 용어는 복잡한 역학에서 사용됩니다; 더 적절한 것은 미시우레비츠일 것입니다.서스턴 포인트(후비평적 유한 합리 지도를 조사한 윌리엄 서스턴 이후).

이차 지도

복소수 이차 다항식은 단 하나의 임계점을 갖습니다.적절한 공액에 의해 임의의 2차 다항식은 ${\displaystyle \mathrm{z}}$=$$0 {\$displaystyle$ z = $0$에 단일 임계점을 갖는 $형식$ P${\displaystyle {}_{}c}$ (${\displaystyle }$z ) = ${\displaystyle z^{}}$2 + ${\displaystyle c}${\$displaystyle P_{c}(z$) = $z^{2}$ + $c}$의 지도로 변환될 수 있습니다.이 지도 계열의 미시우레비츠 점은 방정식의 근입니다.

${\displaystyle P_{c}^{(k)}(0)=P_{c}^{(k+n)}(0),}$

(임계점이 주기적이지 않다는 조건에 따라), 여기서:

• k는 전주기 입니다.
• n은 기간입니다.
• ${\displaystyle {Pc}_{}^{}}$(${\displaystyle {}_n^{}}$ ) $=$ ${\displaystyle {Pc}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {pc}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ - ${\displaystyle 1_{}^{}}$)$${\$displaystyle$ P_${c}^{$)} ${\displaystyle =}$ $P_{c}(P_{c}^{(n-1)})}$는 $자체$가 ${\displaystyle {PC}_{}}$ ${\displaystyle$ $P_$${c$${\displaystyle {\}}_{}^{}}$$($$z$ =$z^{2}+c}$의 ${\displaystyle {n배}_{}\mathrm{구성}}$을 ${\displaystyle {나타냅니다}^{}}$

예를 들어, M으로 표시되는 k=2와 n=1인 미시우레비츠 점은 다음과 같은 근입니다.

${\displaystyle {\aligned}&P_{c}^{(2)}(0)=P_{c}^{(3)}(0)\\\우측 화살표 {}&c^{2}+c=(c^{2}+c)^{2}+c\\오른쪽 화살표 {}&c^{4}+2c^{3}=0입니다.\end{aligned}}$

c=0일 때 임계점이 고정점이므로 루트 c=0은 Misiurewicz 점이 아니며, 사전 계산이 아닌 주기적입니다.이렇게 하면 Misiurewicz 점 M이 c = -2로 남게 됩니다.

복소 이차 매핑의 Misiurewicz 점의 특성

미시우레비츠 점들은 만델브로 ^[4][5]집합의 경계에 속하며 밀집되어 있습니다.

c$${\$displaystyle$ c$}$가 Misiurewicz 점이라면, 연관된 채워진 줄리아 집합은 줄리아 집합과 같으며, 채워진 줄리아 집합에 내부가 없음을 의미합니다.

c$${\$displaystyle$ c$}$가 Misiurewicz 점이면 $해당{\displaystyle }$ Julia 집합에서 모든 주기 사이클이 반발합니다(특히 임계 궤도가 아래로 떨어지는 사이클).

만델브로 세트와 줄리아 $세트{\displaystyle {}_{}}$ c {\$displaystyle$ J_${c}}$는 미시우레비츠$$ 포인트를 중심으로 ^[6]국소적으로 점근적으로 자체 유사합니다.

종류들

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미시우레비츠 포인트는 여러 가지 기준에 따라 분류할 수 있습니다.그러한 기준 중 하나는 그러한 ^[4]지점에 착지하는 외부 광선의 수이다.

• 만델브로 집합을 두 개 이상의 하위 영역으로 분할할 수 있는 분기점에는 세 개 이상의 외부 인수(또는 각도)가 있습니다.
• 비가지 점에는 정확히 두 개의 외부 인수(Mandelbrot 집합 내의 호 점)가 있습니다.이런 점들은 눈에 잘 띄지 않고 사진에서 쉽게 발견되지 않습니다.
• 분기 팁 또는 끝점에는 하나의 외부 인수가 있습니다.

또 다른 기준은 이러한 점이 집합 일부의 플롯 내에서 어떻게 보이는지 여부입니다.미시우레비츠 점은 나선형의 중심뿐만 아니라 두 개 이상의 ^[7]가지가 만나는 점에서도 찾을 수 있습니다.

만델브로 ^[5]집합의 분지 정리에 따르면, 만델브로 집합의 모든 분지 점은 미시우레비츠 ^[4][5]점입니다.

만델브로 집합에서 대부분의 미시우레비츠 매개변수는 ^[8]"나선의 중심"처럼 보입니다.이에 대한 설명은 미시우레비츠 매개변수에서 임계 값이 무한 반복 후 반발 주기로 점프한다는 것입니다.사이클 동안 각 점에서 줄리아 집합은 이 사이클의 도함수에 의한 복잡한 곱셈에 의해 점근적으로 자기 유사합니다.도함수가 비실수인 경우, 이는 주기적 주기에 가까운 줄리아 집합이 나선형 구조를 가지고 있음을 의미합니다.따라서 임계 값 근처의 줄리아 세트에서도 유사한 나선형 구조가 나타나고, 탄 레이의 정리에 의해 반발 궤도가 비실수 승수를 갖는 모든 미시우레비츠 매개 변수 근처의 만델브로 세트에서도 발생합니다.이 승수의 값에 따라 나선형 모양이 더 뚜렷하거나 덜 뚜렷해 보일 수 있습니다.나선형에서 암의 수는 Misiurewicz 매개변수에서 가지의 수와 같고, 이는 줄리아 집합의 임계 값에서 가지의 수와 같습니다.9/56, 11/56, 15/56의 매개변수 광선의 끝에 있는 1/3-림프의 주요 미시우레비츠 점조차도 확대하지 않고는 보기 어렵지만 무한히 많은 회전을 가진 점근적으로 나선형임이 밝혀졌습니다.

외부변론

미시우레비츠 점의 외부 인수는 차례로 측정됩니다.

• 유리수
• 분율까지 있는 적당한 분율
  • 분모 = 2 ${\displaystyle b^{}}${\$displaystyle$ = $2^{b}}$ 및 유한(종료) 확장을 사용하는 이항분수:
    $${\displaystyle {\frac {1}{2}}_{10}=0입니다.5_{10}=0.1_{2}}$$

    
  • ${\displaystyle \mathrm{분모}}$가$$= ${\displaystyle {}^{}}$≥ ${\displaystyle 2^{}}$b {\$displaystyle$=$$a$\cdot$2^{$b}$인 분수 및 반복 확장:
    $${\displaystyle {\frac {1}{6}}_{10}={\frac {1}{2\times 3}}_{10}=0.16666..._{10}=0.0(01)..._{2}.}$$

    

여기서 a와 b는 양의 정수이고 b는 홀수입니다. 첨자 수는 수 체계의 기본을 나타냅니다.

복소 이차 매핑의 Misiurewicz 점 예제

끝점

$점$ c = ${\displaystyle M_{}}$ 2${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ = ${\displaystyle i}${\$displaystyle$ c=$M_{2,2$}=$i$

• 그것은^[10] 필라멘트의 일각입니다.
• 각도에 대한 외부 광선의 착륙점 = 1/6
• 임계 궤도는 {${\displaystyle 0,i,i}$ ${\displaystyle -1,-i,i}$ ${\displaystyle -1,-i...\}}$ ${\displaystyle$\{$0,i,i-1,-i,i-1,-i...}$

$점$ c = ${\displaystyle M_{}}$ 2${\displaystyle {,}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ = - 2$${\$displaystyle$ c=$M_{2,1$}=-$2}$

• 만델브로^[12] 집합의 주 안테나의 종점입니다.
• 는 각도 1/2의 외부 광선(파라미터 광선) 하나의 착륙 지점입니다.
• 임계 궤도:
  • 는 {${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle -2,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle ...\}}$ ${\displaystyle$\{$0,-2, 2, 2,$ 2$,...\}$ 입니다.
  • 기호 시퀀스 = CL R R R ...
  • 전 기간은 2, 기간은 1입니다.

분기점

${\displaystyle \mathrm{점}}$ c = - 0${\displaystyle \mathrm{.10109636384562...}}$${\displaystyle +i0\mathrm{.95628651080914...}}$$displaystyle$$+i\,0.95628651080914...$$=M_{4,1}}$

• 1/3 팔다리의 주요 미시우레비츠 지점입니다.
• 9/56, 11/56, 15/56의 세가지 외부 광선을 가지고 있습니다.

기타점

분기점이 아닌 점과 끝점이 아닌 점입니다.

$점$ c = - ${\displaystyle 0.77568377}$+ ${\displaystyle i}$ 0${\displaystyle .13646737}${\$displaystyle$ c =-$0.77568377+i\,0.13646737}$는 미시외레비츠 점 $M$ ${\displaystyle {23,}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}${\$displaystyle M_{23,2$ 근처에 있습니다.

• 두 팔 나선형의 중심
• 각도가 있는 2개의 외부 광선의 착륙점: ${\displaystyle \frac{8388611}{}}$ ${\displaystyle \frac{25165824}{}}$ ${\displaystyle${\$frac {8388611}{25165824}}$ 및 ${\displaystyle \frac{8388613}{}}$ ${\displaystyle \frac{25165824}{}}$ ${\displaystyle${\$frac {8388613}{25165824},$ 분모는 $3$ ∗ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {23}^{}}$ ${\displaystyle$ 3$*2^{23}}$
• $전주기$ k = ${\displaystyle 23}${\$displaystyle$ k = $23}$이고 $주기$ n = ${\displaystyle 2}${\$displaystyle$ n =$2$}인 전주기 점

${\displaystyle \mathrm{점}}$ c = - 1${\displaystyle .54368901269109}${\$displaystyle$ c = $-1.54368901269109}$가 Misiurewicz 점 ${\displaystyle M_{}}$3 ${\displaystyle {\mathrm{근처}}_{}}$에 있습니다$,$ 1 {\$displaystyle$ M_${3,1$

• 광선 쌍의 착륙 지점: ${\displaystyle \frac{512}{}}${\$displaystyle${\$frac {5}{12$ ${\displaystyle \frac{712}{}}${\$displaystyle${\$frac {7}{12}}$
• $pre-period$ k = ${\displaystyle 3}${\$displaystyle$ k = $3}$이고 $period$ n = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ n =$1$}입니다.

참고 항목

• 산술동역학
• 파이겐바움 포인트
• 덴드라이트 (수학)

참고문헌

추가열람

외부 링크

• 에브게니 데미도프가 설정한 만델브로의 주기 전(Misiurewicz)점
• M & J - 주기 전 점에 대해 유사성을 설정합니다. 더글러스 C의 레이 정리. 라베넬
• J. C. 스프롯에 의한 로지스틱 지도의 미시우레비츠 점