칸토어의 첫 번째 이론 기사

게오르크 칸토르, 1870년c.

칸토어의 첫 번째 집합 이론 기사는 무한 집합과 그 성질을 연구하는 게오르크 칸토어의 트랜스피나이트 집합 이론의 첫 번째 이론들을 담고 있다. 이 이론들 중 하나는 모든 실수의 집합이 셀 수 없이 무한하다는 그의 "혁명적 발견"이다.^[1] 이 정리는 칸토어의 첫 번째 불가분 증명을 사용하여 증명되는데, 이것은 그의 대각선 주장을 사용하여 더욱 친숙한 증명과는 다르다. "모든 실제 대수적 번호 수집의 속성"(Ueber Eine Eigenschaft des Inbegrifees aler reellen 대수학 자클렌)이라는 글의 제목은 첫 번째 정리를 가리킨다: 실제 대수적 숫자의 집합은 셀 수 있다. 칸토어의 기사는 1874년에 출판되었다. 1879년, 그는 집합이 어떤 간격으로 밀도가 높다는 위상학적 개념을 사용하여 그의 헤아릴 수 없는 증거를 수정했다.

칸토르의 글에는 초월수의 존재에 대한 증거도 들어 있다. 건설적인 증거와 비건설적인 증거 모두 "칸토르의 증거"로 제시되었다. 비건설적인 증거를 제시하는 것이 인기를 끌면서 칸토어의 주장이 비건설적이라는 오해를 낳고 있다. 칸토어가 출판한 증거는 초월적인 숫자를 구성하거나 그렇지 않기 때문에, 그의 논문의 분석은 이 증거가 건설적인지 여부를 결정할 수 있다.^[2] 칸토어가 리처드 디데킨드와 주고받은 서신은 그의 사상의 발전을 보여주며, 실수의 헤아릴 수 없는 것을 사용하는 비건설적 증거와 헤아릴 수 없는 것을 사용하지 않는 건설적 증거의 두 가지 증거 사이에서 선택권을 가졌다는 것을 드러낸다.

수학 역사학자들은 칸토어의 글과 그 글의 작성 경위에 대해 조사해 왔다. 예를 들어, 그들은 칸토어가 그가 제출한 기사에서 그의 헤아릴 수 없는 정리를 빼라는 권고를 받았다는 것을 발견했다. 그는 교정을 하는 동안 그것을 추가했다. 그들은 이 기사에 관한 이것과 다른 사실들을 추적하여 칼 위어스트라스와 레오폴드 크로네커의 영향을 받았다. 역사학자들은 드데킨드가 실제 대수적 숫자의 계산가능성에 대한 정리에 기여한 것을 포함하여, 이 기사에 대한 데데킨드의 공헌도 연구해 왔다. 또한 세트이론, 측정이론, 레베그 적분 개발에서 불가분성 정리와 계수성 개념에 의해 행해지는 역할을 인정하였다.

기사

칸토어의 기사는 4페이지 반도 안 되는 짧은 것이다.^[A] 그것은 실제 대수적 숫자에 대한 논의와 그의 첫 번째 정리에 대한 진술로 시작된다. 실제 대수적 숫자의 집합은 양의 정수 집합과 일대일 대응으로 넣을 수 있다.^[3] 칸토어는 이 정리를 당대의 수학자들에게 보다 친숙한 용어로 다시 설명한다. 실제 대수적 숫자의 집합은 각 숫자가 한 번만 나타나는 무한 시퀀스로 쓸 수 있다.^[4]

칸토어의 두 번째 정리는 닫힌 간격[a, b]으로 작용하는데, 이것은 실수의 집합인 ≥ a와 ≤ b이다. 정리는 다음과 같이 말하고 있다: 실수 x₁, x₂, x₃, ...와 임의의 간격[a, b]에 주어진 순서에 포함되지 않는 숫자가 [a, b]에 있다. 그러므로, 그러한 숫자들은 무한히 많다.^[5]

칸토르는 자신의 두 가지 이론을 결합하면 모든 간격[a, b]이 무한히 많은 초월 숫자를 포함하고 있다는 리우빌의 정리에 대한 새로운 증거가 나온다고 관찰한다.^[5]

칸토르는 그 후 자신의 두 번째 정리를 다음과 같이 말한다.

왜 진짜 숫자의 소장하고 소위 연속체( 같은, 모든 실수를 있는≥ 0과≤ 1)하는 이유는 컬렉션(ν)[모두 긍정적 정수의 컬렉션]과, 따라서 나는 진짜 수학적 숫자의 총체 같은 소위 연속체와 컬렉션 사이의 분명한 차이점을 발견했다 1대 1의 일치하지 않을 수 있다.[6]

이 말은 칸토어의 불가분 정리를 담고 있는데, 칸토어는 [a, b] 구간을 양의 정수 집합과 일대일 대응으로 넣을 수 없다고만 명시하고 있다. 이 구간이 양의 정수 집합보다 더 큰 카디널리티의 무한 집합이라고 명시하지 않는다. 카디널리티는 1878년에 발표된 칸토어의 다음 기사에서 정의된다.^[7]

show칸토어의 불가분 정리 증명
칸토르는 그의 두 번째 정리로부터 쉽게 뒤따르는 그의 불가분의 정리를 명시적으로 증명하지 않는다. 모순에 의한 증거를 사용하여 증명할 수 있다. 간격 [a, b]을 양의 정수 집합과 일대일 대응으로 입력하거나 동등하게 다음과 같이 가정해 보십시오. [a, b]의 실수는 각 실수가 한 번만 나타나는 시퀀스로 쓸 수 있다. 칸토어의 두 번째 정리를 이 수열과 [a, b]에 적용하면 수열에 속하지 않는 [a, b]의 실수가 생성된다. 이것은 원래의 가정과 모순되며 불가분의 정리를 증명한다.^[8]

칸토어는 자신의 헤아릴 수 없는 정리만을 진술한다. 그는 어떤 증거에도 그것을 사용하지 않는다.^[3]

교정쇄

제1차 정리

다항식으로 색칠된 복합 평면의 대수적 숫자. (빨간색 = 1, 녹색 = 2, 파란색 = 3, 노란색 = 4) 점들은 정수 다항식 계수가 커질수록 작아진다.

실제 대수적 숫자 세트가 카운트할 수 있음을 입증하려면 정수 계수가 있는 도 n의 다항식의 높이를 n - 1 + a₀ + a + a₁ + ...로 정의하십시오. + a_n , 여기서 a₀, a₁, ...는_n 다항식의 계수다. 다항식의 높이를 기준으로 정렬하고, 같은 높이의 다항식의 실제 뿌리를 숫자순으로 정렬한다. 주어진 높이의 다항식의 뿌리는 한정되어 있을 뿐이기 때문에 이들 순서는 실제 대수적 숫자를 순서에 넣는다. 칸토어는 한 걸음 더 나아가 각각의 실제 대수 숫자가 딱 한 번 나타나는 순서를 만들어냈다. 그는 정수에 대해 설명할 수 없는 다항식만을 사용하여 이렇게 했다. 다음 표는 칸토어의 열거의 시작을 담고 있다.^[9]

show칸토어의 실제 대수적 숫자 열거
실물대수학 번호를 붙이다	다항식	의 높이 다항식의
x₁ = 0	x	1
x₂ = −1	x + 1	2
x₃ = 1	x − 1	2
x₄ = −2	x + 2	3
x₅ = −1/2	2x + 1	3
x₆ = 1/2	2x − 1	3
x₇ = 2	x − 2	3
x₈ = −3	x + 3	4
x₉ = −1 − √5/2	x² + x − 1	4
x₁₀ = -csv2	x² − 2	4
x₁₁ = -1/162	2x² − 1	4
x₁₂ = 1 − √5/2	x² − x − 1	4
x₁₃ = −1/3	3배 + 1	4
x₁₄ = 1/3	3x − 1	4
x₁₅ = −1 + √5/2	x² + x − 1	4
x₁₆ = 1/2cm2	2x² − 1	4
x₁₇ = √2	x² − 2	4
x₁₈ = 1 + √5/2	x² − x − 1	4
x₁₉ = 3	x − 3	4

두 번째 정리

칸토어의 두 번째 정리의 첫 부분만 증명하면 된다. 그것은 다음과 같다: 실제 숫자 x₁, x₂, x₃, ...의 순서와 임의의 간격[a, b]에 주어진 순서에 포함되지 않는 숫자가 [a, b]에 있다.^[B]

주어진 순서에 포함되지 않은 [a, b]의 숫자를 찾으려면 다음과 같이 실수의 시퀀스 두 개를 생성한다. 열린 간격(a, b)에 있는 주어진 시퀀스의 처음 두 숫자를 찾으십시오. 이 두 숫자 중 작은 숫자를 a로₁, 큰 숫자를₁ b로 나타낸다. 마찬가지로 (a₁, b₁)에 있는 주어진 시퀀스의 처음 두 숫자를 찾으십시오. 작은 것은 a로₂, 큰 것은 b로₂ 나타낸다. 이 절차를 계속하면 일련의 구간(a₁, b₁), (a₂, b₂), (a₃₃, b), ...의 연속적인 구간이 모두 포함되며, 즉, 중첩된 구간이 생성된다. 이는 수열₁ a, a₂, a₃, ...가 증가하고 수열 b₁, b₂, b₃, ...가 감소하고 있음을 암시한다.^[10]

생성된 간격의 수는 유한하거나 무한하다. 유한하면 (a_L, b)를_L 마지막 구간으로 한다. 무한하면 a = im_∞_{n → ∞} a_n, b_∞ = im_{n → ∞} b를_n 취한다. 모든_n n에 대한 < b_n> 이후, a_∞ = b_∞ 또는 a < b_∞_∞. 따라서 다음과 같은 세 가지 경우를 고려해야 한다.

사례 1: 마지막 간격(a_L, b_L)

사례 1: 마지막 간격(a_L, b_L)이 있다. x가_n 이 간격 내에 있을 수 있기 때문에 x_n(존재하는 경우)를 제외한 이 간격의 모든 y는 주어진 순서에 포함되지 않는다.

사례_∞_∞ 2: a = b

사례_∞ 2: a = b_∞. 모든 n : a는_∞ 구간(a_n_n, b)에 속하지만 x는_n (a_n, b_n)에 속하지 않기 때문에 a는_∞ 주어진 순서에 포함되지 않는다. 기호에서_∞: ∈ (a_n, b_n) 그러나_n x ( (a_n, b_n)

show모든 n : x_n ∉ (a_n, b_n)에 대해 증명
이 보조정리기는 케이스 2와 케이스 3에서 사용된다. 이는 보다 강력한 보조정리법에 의해 암시된다. 모든 n에 대해 (a_n, b_n) x₁, ..., x를_2n 제외한다. 이는 유도에 의해 증명된다. 기본 단계: (a₁, b₁)의 끝점은 x와₁ x이고₂, 열린 간격은 그 끝점을 제외하므로, (a₁, b₁) x₁, x를₂ 제외한다. 귀납적 단계: (a_n, b_n) x₁, ..., x를_2n 제외한다고 가정합시다. (a_n+1, b_n+1)는 (a_n, b_n)의 하위 집합이고 (a, b_n+1) 끝점은 (a_2n+1, b) x와₁ x의_2n+2_2n_2n+1_2n+2 하위_2n 집합이므로, (a_n+1, b) 모든 n에 대해 (a_n, b_n) x₁, ..., ..., x를 제외한다. 따라서, 모든 n_n, x ∉ (a_n, b)는_n 제외된다.^[C]

사례_∞ 3: a_∞ < b

사례_∞ 3: a < b_∞. 그러면 모든 n : y는 (a_n, b)에 속하지만 x는_n (a, b)에_∞ 속하지_n 않기 때문에 [a, b_∞]의 모든 y는 주어진 순서에 포함되지 않는다.^[11]

주어진 순서에 포함되지 않은 [a, b]의 실수가 적어도 한 개 이상 발견되었기 때문에 증빙은 완료된다.^[D]

캔터의 증거는 건설적이며 초월적인 숫자의 숫자를 생성하는 컴퓨터 프로그램을 작성하는 데 사용되어 왔다. 이 프로그램은 칸토어의 구성을 0과 1 사이의 모든 실제 대수 숫자를 포함하는 시퀀스에 적용한다. 이 프로그램을 논하는 기사는 그 결과물의 일부를 제공하는데, 이것은 그 구조가 어떻게 초월성을 발생시키는지 보여준다.^[12]

캔터 시공 사례

칸토어의 건설이 어떻게 진행되는지 예시한다. 다음 순서를 고려하십시오: 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, ... 이 순서는 분모를 증가시켜 (0, 1)의 합리적 숫자를 정렬하고, 분모를 증가시켜 같은 분모를 가진 숫자를 정렬하며, 환원 가능한 분수를 생략하여 구한다. 아래 표는 공사의 처음 다섯 단계를 보여준다. 표의 첫 번째 열에는 간격(a_n, b_n)이 포함되어 있다. 두 번째 열에는 (a_n, b_n)에서 처음 두 용어를 검색하는 동안 방문한 용어가 나열되어 있다. 이 두 용어는 붉은색이다.^[13]

**캔터 공법을 사용하여 번호 생성**
간격	다음 간격 찾기	간격(십진수)
$\left(\;{\frac {1}{3},\;\!{\frac {1}{2}}\;\오른쪽)$	$\;{\frac {2}{3},\;\!{\frac{1}{4},\;\!{\frac{3}{4},\;\!{\frac{1}{5},\;\!{\color {red}{\frac {2}{5},}\;\!\\;\!{\frac{3}{5},\;\!{\frac {4}{5},\;\!{\frac{1}{6},\;\!{\frac {5}{6},\;\!{\frac{1}{7},\;\!{\frac {2}{7},\;\!{\color {red}{\frac {3}{7}}}}$	$\left(0.333\properties,\;0.properties\put \right)$
$\left(\;{\frac {2}{5},\;\!{\frac {3}{7}\;\오른쪽)$	$\;{\frac {4}{7}},\;\dots ,\;{\frac {1}{12}},{\color {red}{\frac {5}{12}},}\;\!{\frac {7}{12}},\;\dots ,\;{\frac {6}{17}},{\color {red}{\frac {7}{17}}}$	$\left,\;0.4285\reft \right$
$\left\frac {7}{17},{\frac {5}{12}\오른쪽)$	${\frac {8}{17},\;\!\\\\!{\frac {11}{29},{\color {red}{\frac {12},}\\\\!{\frac {13}{29},\\cH00\\\\\frac {16}{41},{\color {red}{\frac}{17}{41}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	$\left(0.4117\put,\;0.4166\put \right)$
$\left\frac {12}{29},{\frac {17}{41}\오른쪽)$	${\frac{18}{41},\;\!\\\\!{\frac {27}{70},{\color {red}{\frac {29}{70},}\\\!{\frac {31}{70},\;\\frac}{40}}{99},{\frac}{\frac}}{99}}}}}}}}, {\frac}{99}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	$\left(0.4137\limit ,\;0.4146\limit \right)$
$\lefts\frac {41}{99},{\frac {29}{70}\오른쪽)$	${\frac}{99}{99}},\frac {69}{690},{\frac {70},}\\\\frac {70},},\\\frac {71},\\frac {98}{239},{\color}{99}{239}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$	$\left(0.4141\put ,\;0.4142\put \right)$

수열은 (0, 1)의 모든 합리적 숫자를 포함하고 있기 때문에 이 공사에서 비합리적인 숫자를 생성하는데, 이는 √2 - 1인 것으로 판명된다.^[14]

show생성된 번호가 √2 - 1이라는 증거
그 증거는 Fary 시퀀스와 계속적인 분수를 사용한다. Fary $F_{n}$ $F_{n}$ ${\$ $\leq n.$ $n$ $}}$ 는 분모가 ${\frac {a}{b}}$ n $\leq n.$ $\leq n.$ 인 완전히 줄어든 분수의 증가 시퀀스로, ${\frac {a}{b}}$ ${\$ ${\$ $frac$ { $a}{b}}$ 와 ${\frac {a}{b}}$ ${\frac {c}{d}}$ ${\d}$ 이 ${\frac {c}{d}}$ (가)가 Faryy 순서 내에서 인접한 경우 $\leq n.$ , 가장 낮은 분모 배율 순서이다.그들의 중재자 ${\frac {a+c}{b+d}}.$ + ${\frac {a+c}{b+d}}.$ ${\frac {a+c}{b+d}}.$ + ${\frac {a+c}{b+d}}.$ . ${\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}.$ $}$ {\ $displaystyle {\frac {a}{b}}$ 과 ${\frac {a}{b}}$ (와) $F_{b+d}.$ 시퀀스 $F_{b+d}.$ + d $F_{b+d}.$ . ${\displaystyle$ F_{ $b+d}$ 의 ${\frac {c}{d}}$ ${\frac {a}{b}}$ ${\$ d} ${\frac {c}{d}}$ ${\frac {c}{d}}$ d ${\frac {c}{d}}$ {\ $displaystystyle$ ${\frac {c}{d}}}}}$ 에 인접해 있는 ${\frac {a+c}{b+d}}.$ 매개 변수. $}$ ^[15] 칸토어의 건설은 합리적인 숫자들이 분모를 증가시킴으로써 배열되었기 때문에 평범한 사람들을 생산한다. 테이블의 첫 번째 간격은 $({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}).$ ( $({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}).$ $({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}).$ , $({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}).$ 1 $({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}).$ ) $({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}).$ . ${\displaystyle({\frac {1}{3},{\frac {1}{1$ }:{2}})이다 $.$ $}$ Since ${\frac {1}{3}}$ and ${\frac {1}{2}}$ are adjacent in $F_{3},$ their mediant ${\frac {2}{5}}$ is the first fraction in the sequence between ${\frac {1}{3}}$ and ${\displayst$ $yle {\frac {1}{2}.$ $}}$ 따라서 ${\frac {1}{2}}.$ 1 ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {1}{2}}.$ < ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {1}{2}}.$ < ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {1}{2}}.$ ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {1}{2}}.$ . ${\displaystyle {\frac$ { $1}{3}<{\frac {2}{5}}<{\frac {1}{2}}}.$ $}}}$ 이 불평등에서 ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {1}{2}}.$ ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ ${\$ $displaystyle$ ${\$ $frac$ ${1}{1}{$ 2}}: 분모가 ${\frac {1}{2}}$ 가장 작으므로, 두 번째 분수는 ${\frac {2}{5}}$ 5 {\ $displaystyle{2}}}$ 와 ${\frac {2}{5}}$ ${\frac {1}{2}},$ , ${\displaystystyle$ ${\frac}{$ $1$ }{1}{ $}}}}}}}}$ 의 중약이다. $}}$ 이는 ${\frac {3}{7}}.$ 시사하는 바: ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {3}{7}}<{\frac {1}{2}}.$ ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {3}{7}}<{\frac {1}{2}}.$ < ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {3}{7}}<{\frac {1}{2}}.$ ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {3}{7}}<{\frac {1}{2}}.$ < ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {3}{7}}<{\frac {1}{2}}.$ ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {3}{7}}<{\frac {1}{2}}.$ . $displaystyle {\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}<{\frac {3}{7}}}<{\frac {1}{2}}}}}.$ $}}$ 따라서 ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {3}{7}}<{\frac {1}{2}}.$ 다음 간격은 $({\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}}).$ ( $({\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}}).$ $({\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}}).$ , $({\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}}).$ $({\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}}).$ ) $({\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}}).$ . ${\displaystyle({\frac {2}{5},{\frac {3}{7})$ 이다. $}$ $우리$ 는 구간의 끝점이 계속되는 분수 $0$ ; 2, $[0;2,2,\dots ].$ , … $[0;2,2,\dots ].$ 로 수렴된다는 것을 증명할 것이다 $.$ $}$ 이 지속 $[0;2,2,\dots ].$ 분수는 수렴의 한계: ${\frac{p_{n}}{q_{n}}=[0;2,\reason,2]\;\;(n\;2{\text{'s}}).$ $p_{n}$ $p_{n}$ ${\$ 및 $p_{n}$ $q_{n}$ {\ $displaystyle q_{n}$ 시퀀스는 $q_{n}$ 다음 방정식을 만족한다.^[16] $p_{0}=0\;\\;\;\;p_{1}=1\\;\\\;\\\;\;\;\;p_{n+1}=2p_{n}+p_{n-1}{n-1}{}{n-1}{}의 경우 텍스트{$ $q_{0}=1\;\;\;\;\;q_{1}=2\;\;\\\;\;\;\;\;q_{n+1}=2q_{n}+q_{n-1}{}{n-1}{}}}}{} 텍스트{}는 }}}}}}}}}}}}}}}$ 첫째, 홀수 n의 경우 표의 n번째 간격은 다음과 같음을 유도를 통해 증명한다. $\left({\frac {p_{n}+p_{n-1}{n-1}{q_{n-1},{\frac {p_{n}}}{q_{n}}\!,$ 그리고 n에도 불구하고 간격의 끝점이 역전된다. $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ ( $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ + $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ n $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ - $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ - $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ + 1 $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ - $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ ${\displaystyle\\left\\frac\p_{n}{n}+p_{n-1}{n-1}{$ q_{ $n-}+q_{n-1}}\rig}\!$ $}$ 이는 다음 이후 첫 번째 간격에 적용된다. $\left({\frac {p_{1}+p_{0}{0}{q_{1}+q_{0}}},{\frac {1}{1}}}}=\frac\{1}{1}{2}}\오른쪽)!$ 귀납 가설이 k-th 간격에 대해 참이라고 가정한다. k가 홀수인 경우 이 간격은 다음과 같다. $\left({\frac {p_{k}+p_{k-1}{q_{k-1}{k-1},{\frac {p_{k}}}}\!$ The mediant of its endpoints ${\frac {2p_{k}+p_{k-1}}{2q_{k}+q_{k-1}}}={\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ is the first fraction in the sequence between these endpoints. Hence, ${\displaystyle {\frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}}<{\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}<{\frac {p_{k}}{q_{k}}}.$ $}$ In this inequality, ${\frac {p_{k}}{q_{k}}}$ has the smallest denominator, so the second fraction is the mediant of ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ and ${\frac {p_{k}}{q_{k}}},$ which equals ${\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}.$ ${\displaystyle {\frac {p_{k+1}+p_{k}{p_{k$ $}$ This implies: ${\displaystyle {\frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}}<{\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}<{\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}<{\frac {p_{k}}{q_{k}}}.$ $}$ Therefore, the (k + 1)-st interval is ${\displaystyle \left({\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}},{\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}\right)\!.$ $}$ 이것은 원하는 간격이며, ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ + ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ 1 ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ + ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ ${\$ }:{ $q_{k+$ 1}:{k+1}:{n2 $}}:$ k + 1이 짝수이기 때문에 왼쪽 끝점이다 ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ . 따라서 귀납 가설은 (k + 1)-st 간격에 대해 참이다. k라고 해도 그 증거는 비슷하다. 이로써 귀납적 증명이 완성된다. Since the right endpoints of the intervals are decreasing and every other endpoint is ${\frac {p_{2n-1}}{q_{2n-1}}},$ their limit equals $\lim _{n\to \infty }{\frac {p_{n}}{q_{n}}}.$ $\lim _{n\to \infty }{\frac {p_{n}}{q_{n}}}.$ The left endpoints have the same limit because they are increasing and every other endpoint is ${\frac {p_{2n}}{q_{2n}}}.$ As mentioned above, this limit is the continued fraction $[0;2,2,\dots ],$ which equals ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1.$ $}$ ^[17]

칸토어의 1879년 불분명한 증거

도처에 빽빽하다.

1879년 칸토르는 1874년 자신의 증거를 수정하는 새로운 불가분의 증거를 발표했다. 그는 먼저 점 집합 P의 위상학적 개념을 "구간 내 어디에나 조밀도"^[E]로 정의한다.

P가 구간[α, β]에 부분적으로 또는 완전히 놓여 있다면, [α, β]에 포함된 모든 구간[ [, Δ]이 아무리 작더라도 P의 점을 포함하는 주목할 만한 경우가 발생할 수 있다. 그러한 경우, 우리는 P가 그 간격[α, ^[F]β]의 밀도가 어느 곳에나 있다고 말할 것이다.

이 칸토어의 입증에 대한 논의에서: a, b, c, d는 α, β, γ, Δ 대신 사용된다. 또한 칸토어는 첫 번째 끝점이 두 번째 끝점보다 작을 경우에만 그의 간격 표기법을 사용한다. 이 논의에서 이는 (a, b)가 < b>를 함축하고 있음을 의미한다.

칸토어의 1874년 증명에 대한 논의는 닫힌 간격이 아닌 열린 간격을 사용하여 단순화되었기 때문에, 여기서도 같은 단순화가 사용된다. 이를 위해서는 밀도가 높은 모든 곳에 대한 동등한 정의가 필요하다. 설정된 P는 [a, b]의 모든 열린 하위 인터벌(c, d)이 최소한 하나의 P 점을 포함하는 경우에만 [a, b] 간격에서 밀도가 높은 모든 곳에 있다.^[18]

칸토어는 개방 하위간격(c, d)이 포함해야 하는 P의 점 수를 명시하지 않았다. 그는 모든 개방 하위 절연체가 최소한 하나의 P 지점을 포함하고 있다는 가정은 모든 개방 하위 절연체가 무한히 많은 P 지점을 포함하고 있다는 것을 의미하기 때문에 이것을 명시할 필요가 없었다.^[G]

칸토르의 1879년 교정쇄

칸토어는 자신의 1874년 증명서를 두 번째 정리에 대한 새로운 증거로 수정했다:실수번호₁ x₂, x₃, ...의 순서 P와 임의의 간격[a, b]에 [a, b]에는 P에 포함되지 않은 숫자가 있다.칸토어의 새로운 증명에는 두 가지 사례만 있다. 우선 P가 그 간격에 조밀하지 않은 경우를 처리한 다음, 그 간격에 조밀하지 않은 P를 다루게 된다. 이러한 사례로 나누면 어떤 시퀀스를 다루기가 더 어려운지를 나타낼 뿐만 아니라, 입증에서 중요한 역할 밀도를 드러낸다.^{[proof 1]}

첫 번째 경우, P는 [a, b]에서 밀도가 높지 않다. 정의에 따르면, P는 [a, b]의 모든 하위 인터벤션(c, d)에 대해 그리고 만약의 경우에만 [a, b]에 밀도가 있으며, x ∈ (c, d)와 같은 x ∈ P가 있다. "if and only if"가 생성하는 각 측면의 부정을 취함: p는 모든 x ∈ P : x ∉ (c, d)에 대해 [a, b]의 하위간격(c, d)이 존재하는 경우에만 [a, b]에 밀도가 없다. 따라서 (c, d)의 모든 숫자는 시퀀스 P에 포함되지 않는다.^{[proof 1]} 이 사건은 칸토어의 1874년 증명서 1번과 3번 사건을 다룬다.

칸토어의 1874년 증명서의 사례 2를 다루는 두 번째 사례에서 P는 [a, b]에 밀도가 있다. 시퀀스 P의 밀도는 P의 모든 숫자를 배제하고 교차로에 [a, b]의 단일 실수를 포함하는 중첩된 구간의 순서를 재귀적으로 정의하는 데 사용된다. 간격의 순서는 (a, b)로 시작한다. 시퀀스에서 간격을 지정하면 P와 현재 간격에 속하는 최소 지수를 가진 두 숫자를 찾아 다음 간격을 구한다. 이 두 숫자는 다음 열린 간격의 끝점이다. 개방 구간이 그것의 끝점을 제외하기 때문에, 모든 중첩 구간은 시퀀스 P의 전면에서 두 개의 숫자를 제거한다. 이는 중첩 구간의 교차점이 P의 모든 숫자를 제외한다는 것을 의미한다.^{[proof 1]} 이 증명에 대한 세부사항과 이 교차로에 [a, b]의 단일 실수가 포함되어 있다는 증명이 아래에 제시되어 있다.

show중첩된 간격에 대한 정의 및 증명
시퀀스 P의 밀도는 P의 모든 숫자를 제외한 구간의 내포 순서를 재귀적으로 정의하는 데 사용된다. 베이스 케이스는 간격(a, b)으로 시작한다. P는 [a, b]에 밀도가 있으므로 (a, b)에는 P의 수가 무한히 많다. x는_k₁ 가장 작은 색인을 가진 숫자, x는_k₂ 다음으로 큰 색인을 가진 숫자, a는₁ 더 작은 숫자, b는₁ 이 두 숫자 중 더 큰 숫자다. 그렇다면 k₁ < k₂, a₁ < b₁ < b>, (a₁, b₁)는 (a, b)의 적절한 하위절이다. 또한₂_m, m a₁ k에₁ 대한 x endpoints (a, b₁₁)는_m (a, b)의 끝점이기 때문이다. 위의 증빙을 간격₁(a₁, b)과 함께 반복하면 k₁ < k₂ < k < k₃ < k₄ < k >와 m ≤ < b₄ >와₂₁_m x a₂ (a₂, b)와₁₂ 같은 k₃, k, a₄, b가 발생한다₂₂.^{[proof 1]} 이 재귀적 단계는 간격(an–1, bn–1)으로, 불평등 k1<>k2<>.<>k2n–2<>k2n–1과<>a1<>.<>an–1<>bn–1...<>b1<>b에 실제로는(an–1, bn–1)P는 시퀀스의 첫번째 2n–2명을 제외한 간격 — m≤ k2n–2게 되는 것,xm ∉(an–1, bn–1)시작한다.[a, b]때부터 P씨는 울창한, P의(an–1, bn–1)에서 무한히 많은 숫자들이 있다. x는_{k_{2n –1}} 가장 작은 색인을 가진 숫자, x는_{k_2n} 다음으로 큰 색인을 가진 숫자, a는_n 더 작은 숫자, b는_n 이 두 숫자 중 더 큰 숫자다. 그렇다면 k_{2n –1} < k_2n, a_n–1_n < b_n < b_n–1>, (a_n, b_n)는 (a_n–1, b_n–1)의 적절한 하위절이다. 이러한 불평등을 재귀의 단계 n –1에₂_2n–1 대한 불평등과 결합하면 k₁ < k < . . . k_2n < k > 그리고₁ a < . . . . . . . . . a_n_n < . . . . . . . . . . . b₁ < b >가 생긴다. 또한, m = k_2n–1, m = k에_2n 대한_m x ( (a_n, b_n)는_m (a_n, b_n)의 끝점이기 때문이다. 이는 (a_n–1, b_n–1) 시퀀스 P의 처음 2n –2 멤버를 제외한 (a, b)와 함께 간격 (a_n, b_n)이 P의 처음 2n 멤버, 즉 m ≤ k에_2n 대한 x_m ∉ (a_n, b_n)를 제외한다는 것을 의미한다. 따라서 모든 n에 대해 n n_n k 이후_2n x ∉ (a_n, b_n)^{[proof 1]} 시퀀스 a가_n 증가하고 b에 의해 위쪽으로 경계되므로 한계값 A = 림 a가_{n → ∞}_n 존재한다. 마찬가지로, 한계 B = 림_{n → ∞} b는_n 시퀀스 b가_n 감소하고 있고 a에 의해 아래로 경계되기 때문에 존재한다. 또한 < b_n>는_n A ≤ B를 내포하고 있다. A < B가 되면, x가_n 더 큰 간격(a_n, b_n)이 아니기 때문에 매 n: x_n ∉ (A, B)에 대해. 이것은 [a, b]에서 P가 밀집되어 있는 것과 모순된다. 따라서 A = B 모든 n에 대해 A ∈ (a_n, b)와_n x_n ∉ (a_n, b)이다_n. 따라서 A는 [a, b]의 숫자로 P에 포함되지 않는다.^{[proof 1]}

캔터 사상의 발전

칸토어의 1874년 기사로 이어지는 발전은 칸토어와 리처드 데데킨드의 통신에 나타난다. 1873년 11월 29일 칸토르는 드데킨드에게 양의 정수 모음과 양의 실수의 집합이 "한 집단의 각 개체가 한 개인과 한 개인에만 일치하도록 대응될 수 있는가?"라고 물었다. 칸토어는 그러한 서신을 가진 수집품에는 양의 이성적 숫자의 집합이 포함되며, 형식(a_{n₁, n₂, . . . , n_ν})의₁ 집합은₂ n, n, . . . . n_ν, ν이 양의 정수라고 덧붙였다.^[19]

디데킨드는 칸토르의 질문에 대답할 수 없다고 답했고, "특별히 실질적인 관심이 없기 때문에 너무 많은 노력을 할 자격이 없었다"고 말했다. 데데킨드는 칸토어에게 대수적 숫자 집합이 셀 수 있다는 증거를 보내기도 했다.^[20]

12월 2일 칸토르는 그의 질문에 관심이 있다고 대답했다. "그 질문에 대답할 수 있다면 좋을 텐데, 예를 들어, 아니라고 대답할 수 있다면, 사람들은 초월적인 숫자가 있다는 리우빌의 정리에 대한 새로운 증거를 갖게 될 것이다."^[21]

12월 7일 칸토르는 디데킨드에게 실수의 집합은 셀 수 없다는 모순에 의한 증거를 보냈다. 칸토어는 $[0,1]$ [ $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ 의 실제 숫자를 시퀀스로 작성할 수 있다고 $[0,1]$ 가정하는 것으로 시작한다. 그런 다음, 그는 이 시퀀스에 구성을 적용하여 시퀀스에 없는 $[0,1]$ [ $[0,1]$ , 1 $[0,1]$ ] ${\displaystyle [0,1]$ 의 숫자를 생성하므로, 그의 가정과 모순된다.^[22] 12월 2일과 7일의 글자들은 함께 초월수의 존재에 대한 비건설적인 증거를 제공한다.^[23] 또한 칸토어의 12월 7일자 편지에 실린 증거는 실수가 헤아릴 수 없는 집합을 형성한다는 것을 발견하게 한 추리의 일부를 보여준다.^[24]

show칸토르의 1873년 12월 7일 교정쇄
증거는 모순에 의한 것이며, $[0,1]$ [0 $[0,1]$ , $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ 의 실수는 다음과 같은 순서로 작성할 수 있다고 $[0,1]$ 가정하는 것으로 시작한다. $(\mathrm {I} )\;\;\\omega _{1},\omega _{1},\2},\omega _{3},\ldots,\,\omega _{n},\ldots$ An increasing sequence is extracted from this sequence by letting $\omega _{1}^{1}=$ the first term $,\ \omega _{1}^{2}=$ the next largest term following $\omega _{1}^{1},\ \omega _{1}^{3}=$ the next largest term following $\omega _{1}^{2},$ $\omega _{1}^{2},$ $\omega _{1}^{2},$ , ${\displaystyle \omega _{1}^{2},$ 등 $\omega _{1}^{2},$ . 원본 시퀀스의 나머지 멤버에게도 동일한 절차를 적용하여 또 다른 증가 시퀀스를 추출한다. 시퀀스 추출 프로세스를 계속하면 시퀀스 $(\mathrm {I} )$ ) ${\displaystyle(\mathrm$ { $I})$ 가 무한히 많은 시퀀스로 분해될 수 있음을 $(\mathrm {I} )$ 알 수 있다.^[22] $(1)\;\\\omega _{1}^{1},\\omega _{1}^{2},\,\omega _{1}^{3},\,\ldots,\,\omega _{1}^{n},\dots$ $(2)\;\\\momega _{2}^{1},\\momega _{2}^{2},\mobe _{2}^{3},\dots,\\mobe _{2}^{n},\dots$ $(3)\;\;\omega _{3}^{1},\\omega _{3}^{2},\,\omega _{3}^{3},\ldots,\,\omega _{3}^{n},\dots }$ $\displaystyle \\vdots }$ 순서 (1)의 용어가 그 안에 있지 않도록 $[p,q]$ [ $[p,q]$ , $[p,q]$ $[p,q]$ $[p,q]$ 을(를) 간격이 되도록 $[p,q]$ 한다. 예를 들어 $p$ $p$ 및 $q$ $q$ 이 $p$ $q$ (가) ${\displaystyle \omega _{1}^{1}1<semantics><mrow class=$ ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><mrow class=$ 1 ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><mrow class=$ < ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><mrow class=$ . ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><annotation encoding=$ {\ ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><annotation encoding=$ {1 ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><annotation encoding=$ 1}{ ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><annotation encoding=$ 를 충족하도록 한다. ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><annotation encoding=$ ${\displaystyle \omega _{1}^{1}그러면</math><img alt=$ 1 ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><mrow class=$ ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><mrow class=$ p < ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><mrow class=$ > 1 n ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><mrow class=$ 1 n Ω 1 ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><annotation encoding=$ ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><annotation encoding=$ 1}{1}{1}{1}{ ${\displaystyle \omega _{1}^{1}<semantics><annotation encoding=$ $n\geq 2,$ 2 $n\geq 2,$ {\ $displaysty$ n\ $geq$ 2 $,}$ 에 $\omega _{1}^{1}<p<q<\omega _{1}^{n}$ $n\geq 2,$ 대해 시퀀스 (1)의 어떤 용어도 $[p,q].$ [ $[p,q].$ , $[p,q].$ $[p,q].$ . ${\displaystylease$ [p $, q]$ 에 있지 않다. $}$ ^[22] 이제 다른 시퀀스의 항이 $[p,q].$ [ $[p,q].$ , $[p,q].$ $[p,q].$ . ${\displaystyle [p,q]$ 밖에 있는지 고려하십시오. $}}$ 이러한 시퀀스 중 일부의 모든 $[p,q].$ 용어는 $[p,q];$ , $];$ {\ $displaystyle [p,q];}$ 의 외부에 있을 수 있지만 $[p,q];$ , 모든 용어가 $[p,q].$ [ $[p,q].$ , $[p,q].$ . {\ $displaystyle$ [p, $q]$ 의 외부에 있을 수 없는 일부 시퀀스가 있어야 한다. $[p,q]$ { $[p,q]$ , $[p,q]$ q $[p,q]$ $[p,q]$ 의 숫자는 초기 가설과 달리 $(\mathrm {I} ),$ 시퀀스 $(\mathrm {I} ),$ ( $(\mathrm {I} ),$ ) $(\mathrm {I} ),$ , ${\displaystyle (\mathrm {I} )$ 에 포함되지 않을 것이다 $[p,q]$ . 시퀀스 $(k)$ ( $(k)$ ) $(k)$ 을 $[p,q]$ 를) [ $[p,q]$ $[p,q]$ 의 용어를 포함하는 첫 번째 시퀀스로 하고 $(k)$ $[p,q]$ $\omega _{k}^{n}$ $\omega _{k}^{n}$ $\omega _{k}^{n}$ ${\$ 을(를)로 $\omega _{k}^{n}$ 한다. p<>이후, ω kn<>q,{\displaystyle p<, \omega_{k}^{n}<, q,}}과 q 1{\displaystyle q_{1}}p<>를 만족시키 p1{\displaystyle p_{1}, p1<>q1<>ω kn<>q.{\displaystyle p<,{p_ 1}<, q_{1}<,\omega _{k}^{n}<, quaque}.[p1의 그리고[p, q]{\displaystyle[p,q]}은 적절한 상위. $[p_{1},q_{1}]$ $[p_{1},q_{1}]$ $[p_{1},q_{1}]$ ${\displaystyle [p_{1},q_{1}]}($ 기호에서 $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]$ [ $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]$ , $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]$ $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]$ $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]$ [ $p$ , q $]$ [ $,q]\supsetneq [p_{1$ }, $q_{1}]).$ 또한 시퀀스 $(1),(2),\ldots ,(k-1)$ ) $(1),(2),\ldots ,(k-1)$ , $(1),(2),\ldots ,(k-1)$ ( $(1),(2),\ldots ,(k-1)$ ) $(1),(2),\ldots ,(k-1)$ , … $(1),(2),\ldots ,(k-1)$ , ( $(1),(2),\ldots ,(k-1)$ - $(1),(2),\ldots ,(k-1)$ ) ${\displaystyle (1),$ ( $2),\ldots,$ $(k-1)}$ 의 용어는 $[p_{1},q_{1}].$ [ $[p_{1},q_{1}].$ 1, $[p_{1},q_{1}].$ $[p_{1},q_{1}].$ . ${\displaystyle [p_{1$ }, $q_{1}]$ 의 외부에 있다 $(1),(2),\ldots ,(k-1)$ . $}$ ^[22] Repeat the above argument starting with $[p_{1},q_{1}]\!:\,$ Let sequence $(k_{1})$ be the first sequence containing a term in $[p_{1},q_{1}]$ and let $\omega _{k_{1}}^{n}$ be the firsT용어. p1<>ω k1n<>q1,{\displaystyle)p_{1}<, \omega _{k_{1}}^{n}<, q_{1},}p2{\displaystyle p_{2}}과 q 2{\displaystyle q_{2}}p1<>를 만족시키고 p2<q2<ω k1n<>q1.{\displaystyle p_{1}<, p_{2}<, q_{2}<, \omega_{k_.{1}}^{n}<, q_{1}.}그리고 경우에는 p $[p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]$ and the terms of sequences $(k_{1}),\ldots ,(k_{2}-1)$ lie outside of ${\displaystyle [p_{2},q_{2}].$ $}$ ^[22] 중첩된 간격의 무한 시퀀스 $[$ $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ ] [ $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ 1, $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ [ $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ 2, $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ … ${\displaystyle [p,q]\supsetneq [p_{1}}}}\supsetneq$ [ $p_{2$ }, $q_{2}]\supsetneq \dots$ } 그런 $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ }을 구성할 수 있다고 본다. $1^{st},2^{nd},\ldots ,(k-1)^{st}$ $1^{st},2^{nd},\ldots ,(k-1)^{st}$ , $1^{st},2^{nd},\ldots ,(k-1)^{st}$ d $1^{st},2^{nd},\ldots ,(k-1)^{st}$ , $1^{st},2^{nd},\ldots ,(k-1)^{st}$ … , $1^{st},2^{nd},\ldots ,(k-1)^{st}$ ( $1^{st},2^{nd},\ldots ,(k-1)^{st}$ - $1^{st},2^{nd},\ldots ,(k-1)^{st}$ ) $1^{st},2^{nd},\ldots ,(k-1)^{st}$ t ${\$ 순서의 $1^{st},2^{nd},\ldots ,(k-1)^{st}$ 멤버는 $[p,q];$ [ $[p,q];$ , $[p,q];$ ; $[p,q];$ 밖에 있다. $k^{th},\ldots ,(k_{1}-1)^{st}$ $k^{th},\ldots ,(k_{1}-1)^{st}$ $k^{th},\ldots ,(k_{1}-1)^{st}$ , $k^{th},\ldots ,(k_{1}-1)^{st}$ … , $k^{th},\ldots ,(k_{1}-1)^{st}$ ( $k^{th},\ldots ,(k_{1}-1)^{st}$ $k^{th},\ldots ,(k_{1}-1)^{st}$ - 1 $k^{th},\ldots ,(k_{1}-1)^{st}$ ) $k^{th},\ldots ,(k_{1}-1)^{st}$ t ${\$ ( $k_{1}-1)^{st}}$ 순서의 $k^{th},\ldots ,(k_{1}-1)^{st}$ 멤버는 $[p_{1},q_{1}];$ [ $[p_{1},q_{1}];$ 1, $[p_{1},q_{1}];$ 1 $[p_{1},q_{1}];$ ${\displaystyle [p_{$ 1}, $q_{1}];};}$ $(k_{1})^{th},\ldots ,(k_{2}-1)^{st}$ $(k_{1})^{th},\ldots ,(k_{2}-1)^{st}$ ) $(k_{1})^{th},\ldots ,(k_{2}-1)^{st}$ h $(k_{1})^{th},\ldots ,(k_{2}-1)^{st}$ , $(k_{1})^{th},\ldots ,(k_{2}-1)^{st}$ … , $(k_{1})^{th},\ldots ,(k_{2}-1)^{st}$ ( k $(k_{1})^{th},\ldots ,(k_{2}-1)^{st}$ - 1 $(k_{1})^{th},\ldots ,(k_{2}-1)^{st}$ ) $(k_{1})^{th},\ldots ,(k_{2}-1)^{st}$ t ${\$ ( $k_{2}-1)^{st}}}$ 시퀀스의 $(k_{1})^{th},\ldots ,(k_{2}-1)^{st}$ 멤버는 $[p_{2},q_{2}];$ [ $[p_{2},q_{2}];$ 2 , $[p_{2},q_{2}];$ ${\displaystystyle [p_{2},q_{2}];};}$ $\ldots ;$ ^[22] $p_{n}$ $p_{n}$ ${\$ 과 $p_{n}$ ( $q_{n}$ ) $q_{n}$ q {\ $displaystyle$ q_ ${n}$ 은(는) 경계 단조 시퀀스이기 $q_{n}$ 때문에, $\lim _{n\to \infty }p_{n}$ $lim$ n $\lim _{n\to \infty }p_{n}$ $\lim _{n\to \infty }p_{n}$ { $n\to \infty }p_$ }, $lim$ → $∞ q_{n}$ n}}}}}}이 존재한다 $\lim _{n\to \infty }q_{n}$ . 또한 $,$ $모든$ n에 $p_{n}<q_{n}$ $p_{n}<q_{n}$ $p_{n}<q_{n}$ < $p_{n}<q_{n}$ n ${\$ $displaystyle p_$ ${n}<q_{$ n}}{ $n}}$ 은 $\lim _{n\to \infty }p_{n}\leq \lim _{n\to \infty }q_{n}.$ 는) lim n → $\lim _{n\to \infty }p_{n}\leq \lim _{n\to \infty }q_{n}.$ $\lim _{n\to \infty }p_{n}\leq \lim _{n\to \infty }q_{n}.$ n $∞$ lim n → $\lim _{n\to \infty }p_{n}\leq \lim _{n\to \infty }q_{n}.$ ∞ q q q $q$ . {\ $to \p_{n}\leq \lim \ft.{n}}.$ $}$ 따라서 $\lim _{n\to \infty }p_{n}\leq \lim _{n\to \infty }q_{n}.$ $(0,1)$ ( $(0,1)$ 1 $(0,1)$ ) ${\displaystyle$ ( $0$ $,$ 1) {\ $displaystyle$ $(0,$ $1$ )에는 $\eta$ $[p,q]$ 모든 간격 $p$ ], $[p,q]$ $]$ 및 $[p_{n},q_{n}].$ [ $[p_{n},q_{n}].$ $[p_{n},q_{n}].$ $[p,q]$ ], $[p_{n},q_{n}].$ $[p_{n},q_{n}].$ [p, q $],$ [ $p_},q_{n}]$ 에 있는 $(0,1)$ 숫자 $\eta$ 이 적어도 하나 있다. $}$ 즉 $[p_{n},q_{n}].$ , $\eta$ {[ $[\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].$ n $[\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].$ → $[\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].$ n $[\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].$ $[\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].$ → ] $\eta$ $[\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].$ $[\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].$ 의 숫자일 수 $\eta$ 있다 $[\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].$ ${\displaystyle[\lim _{n\to \inft }p_{n}},\lim _{n\$ to \fto \ $infto }q_{n}.$ $}$ ${\$ $displaystyle$ $\$ $eta$ }이 $\eta$ $($ 가) 모든 시퀀스 $(1),(2),(3),\ldots ,$ ) $(1),(2),(3),\ldots ,$ , $(1),(2),(3),\ldots ,$ ( 2 $(1),(2),(3),\ldots ,$ ) $(1),(2),(3),\ldots ,$ , $(1),(2),(3),\ldots ,$ ( $(1),(2),(3),\ldots ,$ ) , $(1),(2),(3),\ldots ,$ … ${\$ $displaystyle$ $(1$ $),$ ( $2),($ 3 $),\ldots$ $,}$ 시퀀스 $()$ 가 $[0,1].$ [ $0$ , $[0,1].$ 의 모든 실제 숫자를 포함하고 $(\mathrm {I} )$ 있다는 초기 가설과 모순된다는 $(1),(2),(3),\ldots ,$ 것을 의미한다 $[\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].$ $.$ $}$ 따라서 $[0,1].$ 모든 실수의 집합은 계산할 수 없다.^[22]

디데킨드는 12월 8일 칸토어의 증거를 받았다. 같은 날 데데킨드는 증빙을 간소화하고 증빙을 칸토르에게 우편으로 보냈다. 칸토르는 디데킨드의 증거를 기사에 사용했다.^[25] 칸토어의 12월 7일 교정본이 담긴 편지는 1937년이 되어서야 출판되었다.^[26]

12월 9일 칸토르는 초월적 숫자를 구성할 수 있을 뿐만 아니라 실제 숫자의 집합의 불가분성을 증명할 수 있는 정리를 발표했다.

내가 만약 시퀀스로 시작한다면

(1) ω₁, ω₂, ... , ω_n, ...

주어진 간격[α, β]마다 (1)에 포함되지 않는 숫자 number을 결정할 수 있다.^[27]

이것이 칸토르의 글에서 두 번째 정리다. 그것은 그의 구조가 단순히 실제 숫자를 열거하는 순서에 그치지 않고 어떤 순서에나 적용될 수 있다는 것을 깨닫는 데서 비롯된다. 그래서 칸토르는 초월적 숫자의 존재를 증명하는 두 가지 증명들 사이에서 선택을 했다. 하나는 건설적이지만 다른 하나는 그렇지 않다. 이 두 가지 증명은 모든 실제 대수적 숫자로 구성된 순서에서 시작하여 비교할 수 있다.

건설적인 증명은 칸토어의 구성을 이 순서와 구간[a, b]에 적용하여 이 구간에서 초월 숫자를 산출한다.^[5]

비건설적 증명은 모순에 의한 두 가지 증빙을 사용한다.

불가분성 정리를 증명하는 데 사용된 모순에 의한 증명(칸토르의 불가분성 정리 증명 참조)
실제 대수적 숫자의 카운트 가능성과 실제 숫자의 셀 수 없는 가능성으로부터 초월적 숫자의 존재를 증명하기 위해 사용된 모순에 의한 증명. 칸토어의 12월 2일자 편지는 이 존재에 대한 증거에 대해 언급하고 있지만, 그것을 포함하고 있지 않다. 여기 증거가 있다: [a, b]에 초월 숫자가 없다고 가정한다. 그러면 [a, b]의 모든 숫자는 대수학이다. 이는 그들이 모든 실제 대수적 숫자의 순서의 연속성을 형성하고 있다는 것을 암시하는데, 이는 칸토어의 불가분의 정리와는 모순된다. 따라서 [a, b]에 초월수가 없다는 가정은 거짓이다. 따라서 [a, b]^[H]에는 초월수가 있다.

칸토르는 초월적 숫자를 산출할 뿐 아니라 더 짧고 모순에 의해 두 가지 증거를 회피하는 건설적인 증거를 출판하기로 선택했다. 칸토어의 서신에서 나온 비건설적 증명은, 간격[a, b]이 아닌 모든 실수와 함께 작동하기 때문에, 위의 것 보다 간단하다. 이것은 모순에 의한 두 번째 교정에서 [a, b]의 모든 발생과 부분적인 단계를 제거한다.^[5]

칸토어의 작품에 대한 오해

세트이론을 전문으로 하는 가나모리 아키히로씨는 "칸토르의 저작은 대부분 초월수의 존재를 추론하는 순서를 뒤바꾸어 실재의 불가분성을 먼저 확립하고 그 다음에야 대수수의 계수성에서 존재 결론을 이끌어냈다"고 말했다. 교과서에서는 반전이 불가피할 수 있지만 이는 칸토어의 주장이 비건설적이라는 잘못된 인식을 조장하고 있다."^[29]

칸토어가 출판한 증거와 역순 증명은 둘 다 정리를 사용한다: 일련의 실물을 보면, 실물은 그 순서에 없는 것을 발견할 수 있다. 이 정리를 실제 대수적 숫자의 순서에 적용함으로써 칸토르는 초월적 숫자를 만들어냈다. 그 후 그는 진짜는 셀 수 없다는 것을 증명했다. 모든 실체를 포함하는 시퀀스가 있다고 가정해 보십시오. 이 시퀀스에 정리를 적용하면 시퀀스에 없는 실제가 생성되며, 시퀀스에 모든 리얼이 포함되어 있다는 가정과 모순된다. 그러므로 진짜는 셀 수 없다.^[5] 역순 증명서는 먼저 진짜가 셀 수 없다는 것을 증명하는 것으로 시작한다. 그러면 초월적 숫자가 존재한다는 것을 증명한다. 만약 초월적인 숫자가 없다면, 모든 실체들은 대수학적이고 따라서 셀 수 있을 것이고, 이것은 방금 증명된 것과 모순된다. 이 모순은 초월적 숫자가 어떤 것을 구성하지 않고 존재한다는 것을 증명한다.^[29]

1948년 오스카르 페론

칸토어의 비건설적 추리가 담긴 서신은 1937년에 출판되었다. 그때쯤 다른 수학자들은 그의 비건설적이고 역순으로 된 증거를 재발견했다. 1921년 초만 해도 이 증거를 "칸토르의 증명"이라고 불렀고, 초월적인 숫자를 생산하지 않았다는 비판을 받았다.^[30] 그 해에, 오스카르 페론은 역순 증명서를 내고 이렇게 말했다: "… 초월적 숫자의 존재에 대한 칸토어의 증거는 단순함과 우아함과 함께, 그것은 존재의 증거일 뿐이라는 큰 단점을 가지고 있다. 그것은 우리가 실제로 하나의 초월적 숫자조차 명시할 수 있게 하지 못한다."^[31]^[I]

아브라함 프라운켈, 1939년에서 1949년 사이

1930년 초에, 몇몇 수학자들은 칸토어의 작품에 대한 이러한 잘못된 인식을 바로잡으려고 시도했다. 그 해에, 세트 이론가 아브라함 프라운켈은 칸토르의 방법은 "… 널리 퍼진 해석과는 달리, 근본적으로 건설적이고, 단순히 실존적인 것이 아니다"^[32]라고 말했다. 1972년 어빙 카플란스키(Irving Kaplansky)는 다음과 같이 썼다. "칸토르의 증거는 '건설적'이 아니라고 종종 말하는데, 그래서 가시적인 초월적 숫자를 산출하지 않는다. 이 말은 정당화되지 않는다. 만약 우리가 모든 대수적 숫자의 명확한 목록을 설정하고 대각 절차를 적용한다면, 우리는 완벽하게 확실한 초월적 숫자를 얻게 될 것이다.^[33]^[J] 칸토어의 증거는 건설적일 뿐만 아니라, 퍼론의 증거보다 간단하기 때문에, 모든 실물의 집합이 셀 수 없다는 것을 먼저 증명하는 우회로를 필요로 한다.^[34]

칸토어의 대각선적인 주장은 종종 그의 1874년 건축물을 그의 증거에 대한 설명으로 대체해 왔다. 대각선 주장은 건설적이며 그의 1874년 건축보다 더 효율적인 컴퓨터 프로그램을 생산한다. 이를 이용해 다항식 시간대의 초월수 자릿수를 계산하는 컴퓨터 프로그램이 작성됐다. 칸토어의 1874년 공정을 이용하는 프로그램에는 적어도 부차적인 시간이 필요하다.^[35]^[K]

칸토어의 건설적인 증빙을 언급하지 않고 비건설적인 증빙을 제시하는 것은 새로운 판본이나 재인쇄가 나타나는 기간으로 측정했을 때 상당히 성공적이었던 일부 책에 나타난다. 예를 들어, 오스카르 페론의 비이성 자흘렌(1921; 1960, 4판), 에릭 템플 벨의 수학의 인간(1937; 아직도 재인쇄 중) 등이 있다., 고드프리 하디와 E. M. 라이트의 <숫자 이론에 대한 소개>(1938; 2008 6판), 개럿 비르코프와 선더스 맥 레인의 <현대 대수학 조사>(1941; 1997 5판), 마이클 스피박의 <미적분학>(1967; 2008 4판) 등이다.^[36]^[L] 2014년 이후 적어도 두 권의 책이 등장하여 칸토어의 증거가 건설적이라고 말하고 있으며,^[37] 적어도 네 권은 그의 증거가 어떤 (혹은 단 한 권의) 초월을 구성하지 않는다고 진술하고 있다.^[38]

칸토르가 발표한 건설적인 증거에 대해 언급하지 않고 비건설적인 주장을 했다고 주장하는 것은 수학 역사에 대한 잘못된 진술로 이어질 수 있다. 현대 대수학의 조사에서 비르코프와 맥 레인 주(州)는 "이 결과에 대한 칸토어의 주장[모든 실제 숫자가 대수학인 것은 아니다]은 처음에는 어떤 특정한 초월적 수를 나타내지 않았기 때문에 많은 수학자들에 의해 거절당했다"^[39]고 말했다. 칸토어가 출판한 증거는 초월적인 숫자를 생산하고 있으며, 그의 주장이 거부되었다는 증거는 없는 것으로 보인다. 수학에서 무엇이 허용될 수 있는지, 칸토어의 기사의 발표를 미룰 수 있었던 것에 대해 엄격한 견해를 갖고 있었던 레오폴드 크로네커도 그것을 늦추지 않았다.^[4] 사실, 칸토어의 구조를 실제 대수적 숫자의 순서에 적용하면 크론커는 수용한 제한 과정이 생성된다. 즉, 필요한 정확도의 숫자를 결정한다.^[M]

위어스트라스와 크론커의 칸토어 기사에 미치는 영향

카를 위어스트라스

레오폴트 크로네커, 1865년

수학 역사학자들은 칸토어의 "모든 실제 대수적 숫자의 수집의 속성에 대하여"라는 글에 대해 다음과 같은 사실을 발견했다.

칸토르의 헤아릴 수 없는 정리도 그가 제출한 글에서 빠졌다. 그는 교정을 할 때 그것을 추가했다.^[43]
이 글의 제목은 실제 대수적 숫자의 집합을 가리킨다. 칸토어의 서신에서 주된 화제는 실수의 집합이었다.^[44]
칸토어의 두 번째 정리에 대한 증거는 드데킨드에서 나왔다. 그러나 a와_∞ b의_∞ 한계가 존재하는 이유에 대한 데데킨드의 설명은 생략한다.^[45]
칸토르는 자신의 첫 정리를 실제 대수적 숫자의 집합으로 제한했다. 그가 사용하던 증거는 모든 대수적 숫자 집합의 카운트 가능성을 보여준다.^[20]

이러한 사실을 설명하기 위해 역사학자들은 칸토르의 전 교수인 칼 위어스트라스와 레오폴트 크로네커의 영향력을 지적해 왔다. 칸토르는 1873년 12월 23일 웨이어스트라스(Weierstrass)와 그의 결과를 논의했다.^[46] Weierstrass는 처음에는 countability의 개념에 놀랐지만, 그 후 실제 대수적 숫자 집합의 countability가 유용하다는 것을 알았다.^[47] 칸토어는 아직 출판하고 싶지 않았지만, 웨이어스트라스는 적어도 대수적 숫자에 관한 그의 결과를 발표해야 한다고 느꼈다.^[46]

그의 서신을 보면 칸토어는 위어스트라스와의 기사에 대해서만 의논한 것으로 보인다. 하지만, 칸토어:"나는 내 조사의 발행된 버전에는 제한 부분에 지방 사정에 의해 발생한다 …"[46]칸토어 전기 작가 조셉 Dauben은"지방 사정"크로네커, 크렐레의 편집 위원회의 멤버 있는 1870년 예술의 출판을 미루었었다를 말한다 믿는다 한쪽에 말했다.icle 칸토어의 동료 중 한 명인 에두아르 하이네. 칸토어는 그의 기사를 크레일 저널에 제출하곤 했다.^[48]

위어스트라스는 칸토어에게 제출하는 글에서 자신의 헤아릴 수 없는 정리를 빼라고 권했지만, 위어스트라스는 칸토어에게도 교정 중에 한계 음으로 추가할 수 있다고 말했는데, 이 역시 칸토어에게 그렇게 했다.^[43] 기사의 소개 막바지에 나오는 한 마디에 나온다. 크로네커와 위어스트라스의 의견이 모두 여기서 한몫을 했다. 크로네커는 무한 세트를 받아들이지 않았고, 한 세트는 셀 수 있고 다른 세트는 셀 수 없는, 두 세트는 그렇게 다를 수 있다는 것을 위어스트라스는 받아들이지 않았던 것 같다.^[49] 위어스트라스는 나중에 의견을 바꾸었다.^[50] 불가분의 정리가 없는 이 글에는 이 정리를 참조하지 않는 제목이 필요했다. 칸토르는 위어스트라스(Weber Eine Eigenschaft des Inbegriffes des Inbegrifees ^[51]eler reellen 대수학 자클렌("모든 실제 대수학 번호 모음의 속성상")을 선택했다.

크론커의 영향력은 칸토어의 두 번째 정리 증거에 나타난다. 칸토어는 디데킨드의 증명서를 사용했는데, 그는 왜 한계 a_∞ = im_{n → ∞} a_n, b_∞ = im_{n → ∞} b가_n 존재하는지를 제외했다. 디데킨드는 그들이 존재한다는 것을 증명하기 위해 그의 "연속성의 원칙"을 사용했었다. 이 원칙(실수의 최소 상한 속성에 해당하는 것)은 드데킨드의 실수(실수의 최소 상한) 건설에서 나온 것으로, 크론커는 받아들이지 않았다.^[52]

칸토르는 데데킨드가 모든 대수적 숫자를 다루는 증거를 그에게 보냈음에도 불구하고 그의 첫 번째 정리를 실제 대수적 숫자의 집합으로 제한했다.^[20] 칸토르는 설명적인 이유와 "현지 상황"^[53] 때문에 이렇게 했다. 이 제한은 두 번째 정리가 실제 순서와 함께 작동하기 때문에 기사를 단순화한다. 따라서, 두 번째 정리에서의 구성은 실제 대수적 숫자의 열거에 직접 적용되어 "초월수 계산을 위한 효과적인 절차"를 산출할 수 있다. 이 절차는 위어스트라스가 받아들일 수 있을 것이다.^[54]

칸토어 기사에 대한 디데킨드의 공헌

리처드 디데킨드, 1870년 경

1856년 이후, 드데킨드는 무한히 많은 무한한 집합, 예를 들어 대수적 수 이론에 사용한 이상과 실제 숫자를 구성하기 위해 사용한 드데킨드 컷과 같은 이론을 개발했다. 이 일을 통해 그는 칸토르의 작품을 이해하고 공헌할 수 있었다.^[55]

데데킨드의 첫 번째 기여는 실제 대수적 숫자의 집합이 셀 수 있다는 정리에 관한 것이다. 칸토어는 보통 이 정리를 인정받지만, 수학사학자 호세 페레이로스는 이를 "데데킨드의 정리"라고 부른다. 그들의 대응은 각 수학자가 정리에 기여한 바가 무엇인지를 드러낸다.^[56]

칸토르는 계산가능성의 개념을 소개하는 편지에서 (a_{n₁, n₂, ..., n_ν}) 형태와 같이 n₁, n₂, ..., n_ν, ν이 양의 정수인 양성의 합리적 숫자의 집합도 셀 수 있다는 증거 없이 진술했다.^[57] 캔터의 두 번째 결과는 지수화된 숫자 패밀리를 사용한다: 형태 (a_{n₁, n₂, ..., n_ν})의 집합은 ν 지수에서 실수의 집합에 이르는 함수의 범위다. 그의 두 번째 결과는 그의 첫 번째 결과를 암시한다: let = = 2 and_{n₁, n₂} a = n₁/n₂. 함수는 상당히 일반적일 수 있다. 예를 들어 a_{n₁, n₂, n₃, n₄, n₅} = (n₁/n₂)^1/n₃ + 태닝(n₄/n₅).

데데킨드는 모든 대수적 숫자의 집합은 셀 수 있다는 정리의 증거로 대답했다.^[20] 칸토르는 데데킨드에 대한 답변에서 데데킨드의 결과를 증명했다고 주장하지 않았다. 그는 지수화된 숫자의 집단에 대한 자신의 정리를 어떻게 증명했는지를 나타내었다: " (n) [양수 정수 집합]이 모든 대수적 숫자의 분야와 일대일 상관관계가 있다는 당신의 증거는 지난 편지에서 나의 주장을 증명하는 방법과 거의 같다. ${\mathfrak {N}}$ 는₁² n + n₂² + ···+N_ν² = N ${\$ 를 취해서 ${\mathfrak {N}}$ 원소들을 그에 따라 주문한다고 말했다.^[58] 그러나 칸토어의 순서는 디데킨드보다 약하며 0을 포함하는 정수 $n$ $n$ -tuple로 $n$ 확장할 수 없다.^[59]

데데킨드의 두 번째 기여는 칸토어의 두 번째 정리를 증명하는 것이다. 디데킨드는 이 증거를 칸토르의 편지에 답신하여 이 증명서를 보냈는데 칸토르는 무한히 많은 시퀀스를 사용하여 증명했다. 캔터는 다음에 무한히 많은 시퀀스를 사용하지 않는 더 간단한 증거를 발견했다고 썼다.^[60] 그래서 칸토어는 증거를 선택할 수 있었고 디데킨드의 것을 출판하기로 선택했다.^[61]

칸토르는 데데킨드의 도움에 대해 개인적으로 "… 당신의 (내가 높이 평가하는) 발언과 일부 요점을 언급하는 당신의 태도가 나에게 큰 도움이 되었다."^[46]고 감사했다. 그러나 그는 글에서 데데킨드의 도움에 대해서는 언급하지 않았다. 이전 기사에서 그는 크론커, 위어스트라스, 하이네, 헤르만 슈바르츠로부터 받은 도움을 인정했다. 캔토르가 데데킨드의 공헌에 대해 언급하지 않은 것은 데데킨드와의 관계를 손상시켰다. 데데킨드는 편지에 대한 답장을 중단하고 1876년 10월까지 서신을 재개하지 않았다.^[62]^[N]

칸토어 기사의 유산은

칸토르의 기사는 불가분의 정리, 계수성의 개념을 소개했다. 두 가지 모두 수학의 큰 발전으로 이어질 것이다. 불가산성 정리는 일대일 대응은 무한 집합을 분석하는 데 사용될 수 있다는 것을 증명했다. 1878년에 칸토르는 그것들을 추기경을 정의하고 비교하는데 사용했다. 그는 또한 n차원 공간 Rⁿ(R이 실수의 집합인 곳)과 비합리적인 숫자의 집합이 R과 동일한 카디널리티를 갖는다는 것을 증명하기 위해 일대일 대응책을 구성했다.^[63]^[O]

1883년 칸토르는 그의 무한한 서수로 양의 정수를 확장했다. 이 연장은 칸토르-벤딕슨 정리 작업에 필요했다. 칸토르는 서수들에 대한 다른 용도를 발견했다. 예를 들어, 그는 서수 세트를 사용하여 서로 다른 무한대의 추기경을 가진 무한대의 세트를 생산했다.^[65] 그의 무한한 집합에 대한 연구는 데데킨드의 이론적인 작업과 함께 집합 이론을 만들어냈다.^[66]

countability의 개념은 수학의 다양한 영역에서 사용되는 countable operation과 객체로 이어졌다. 예를 들어, 1878년에 칸토어는 셀 수 있는 집합의 결합을 도입했다.^[67] 1890년대에 에밀 보렐은 그의 측량 이론에서 계수 가능한 결합을 사용했고, 르네 바이어는 계수 가능한 서수들을 사용하여 그의 등급의 함수를 정의했다.^[68] 보렐과 바이어의 작품을 바탕으로 앙리 르베게는 1899년부터 1901년까지 출판된 그의 측정과 통합 이론을 창안했다.^[69]

집합 이론에는 셀 수 있는 모델이 사용된다. 1922년, Thoralf Scolem은 만약 세트 이론의 전통적인 공리가 일관된다면, 그들은 셀 수 있는 모델을 가지고 있다는 것을 증명했다. 이 모델은 셀 수 있기 때문에 실수의 집합은 셀 수 있다. 이러한 결과를 스콜렘의 역설이라고 하는데 스콜렘은 칸토어의 헤아릴 수 없는 정리와 모순되지 않는 이유를 설명하였다:이 집합과 양의 정수 집합 사이에 일대일 대응은 있지만, 그러한 일대일 대응은 모델의 일원이 되지 않는다. 따라서 모델은 자신의 실수 집합을 계산할 수 없는 것으로 간주하며, 더 정확히 말하면, 실수 집합을 계산할 수 없다는 1차 문장이 모델 내에서 참이다.^[70] 1963년에 폴 코헨은 그의 독립성 이론들을 증명하기 위해 셀 수 있는 모델을 사용했다.^[71]

참고 항목

칸토르의 정리

메모들

^ 1873년 12월 25일자 데데킨드에게 보낸 편지에서 칸토어는 "모든 진짜 대수학 번호 집합의 속성에 관한 짧은 논문"을 쓰고 제출했다고 진술한다. (Noeter & Cavailles 1937, 페이지 17; 영어 번역: 1996년 에발트, 페이지 847).
^ 이는 정리의 나머지 부분, 즉 주어진 순서에 포함되지 않는 수가 [a, b]에 무한히 많다는 것을 암시한다. For example, let $[0,1]$ be the interval and consider its subintervals $[0,{\tfrac {1}{2}}],$ $[{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {7}{8}}],$ $[{\tfrac {15}{16}},{\tfrac {31}{32}}],$ $\ldots .$ $[\displaystyle \ldots .}$ 이러한 하위절차는 쌍방향으로 분리되기 때문에 $\ldots .$ , 각 하위절차에 정리의 첫 번째 부분을 적용하면 주어진 순서에 포함되지 $[0,1]$ $[0,1]$ 않는 $[0,1]$ [ $[0,1]$ , $[0,1]$ 1 $]$ {\ $displaystyle$ [0 $,1$ ]의 숫자가 무한히 많이 발생한다. In general, for the interval $[a,b],$ apply the first part of the theorem to the subintervals $[a,a+{\tfrac {1}{2}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {3}{4}}(b-a),a+{\tfrac {7}{8}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ + $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ - a $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ + $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ - a $],$ {\ $displaystyle$ [a $+{\tfrac{15}{$ 16}( $b-a),$ a+{\ $tfrac$ { $31}{$ 32 $}}(b-a$ $\ldots .$ … $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $\ldots.$
^ 칸토어는 이 보조정리증을 증명하지 못한다. 사례 2에 대한 각주에서는 x가_n 구간의 내부에 있지 않다고 기술한다[a_n, b_n].^[11] 이 증거는 1879년 그의 증거에서 나온 것인데, 여기에는 여기서 증명된 재산을 포함하여 생성된 간격의 여러 특성을 보여주는 보다 복잡한 귀납적 증거가 포함되어 있다.
^ 칸토어의 증명과 위의 증명의 주요한 차이는 그가 닫힌 간격의 순서를 생성한다는 것이다 [a_n, b_n]. a와_{n + 1} b를_{n + 1} 찾기 위해 그는 열린 간격(a_n_n, b_n)인 간격[a, b_n]의 내부를 사용한다. 열린 간격을 생성하면 칸토어의 폐쇄된 간격 사용과 그 내부가 결합되어 케이스 다이어그램이 증명서의 모든 세부사항을 묘사할 수 있다.
^ 칸토어는 "어디서나 밀도"를 처음 정의한 것은 아니지만 그의 용어는 "어디나 밀도"를 포함하거나 포함하지 않고 채택되었다(모든 밀도: Arkhangel'ski & Fedorchuk 1990, 페이지 15; 밀도: Kelley 1991, 페이지 49). 1870년에 헤르만 행클은 다른 용어를 사용하여 이 개념을 정의했다: "여러 점 … 아무리 작은 간격이라도 그 수의 최소 한 점을 찾을 수 없는 구간 내에서 구간을 채울 수 없다면 구간을 채운다." (Ferreiors 2007, 페이지 155) 행클은 합리적인 숫자의 경우 0, 불합리한 숫자의 경우 1인 비(리만) 통합 기능인 디리클레 함수를 포함하는 피터 구스타프 르주네 디리클레의 1829년 기사를 바탕으로 하고 있었다. (Ferreiors 2007, 페이지 149).
^ 칸토르 1879, 페이지 2에서 번역: Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (α. . . . . . β) enthaltene Intervol (α . . . . Δ) 펑크테 폰 P encelt. einem solchen Palle wir sagen, dass P im Intervalle (α. . . β) überall-dicht say.
^ 이는 P와 (c, d) 모두에 속하는 점의 시퀀스를 생성함으로써 증명된다. P는 [a, b]에 밀도가 있으므로, 하위간격(c, d)은 최소한 1포인트 x의₁ P를 포함한다. 가정으로, x가₂ 이 하위 절차에 속하기 때문에 하위 절간(x₁, d)은 P와 x₂ > x의₁ 최소 1점 x를₂ 포함한다. 일반적으로 x 생성_n 후 하위 interval(x_n, d)을 사용하여 x_{n + 1} > x를_n 만족하는 점 x를_{n + 1} 생성한다. 무한히 많은 점 x는_n P와 (c, d) 둘 다에 속한다.
^ 이 증명의 시작은 칸토어가 1873년 자신의 계산가능성에 관한 연구에서 시퀀스를 사용했기 때문에 그 숫자를 간격[a, b]으로 제한하고 부속품을 사용함으로써 아래 증명에 의해 도출된다.
독일어 텍스트:사츠 68번지 에스 지브트 트랜스젠던트 자흘렌트
게베 es némlich keine transzendenten Zahlen, 그래서 Wéren alle Zahlen 대수학, das Kontinuum 또한 Mit der Menge aler 대수학, Zahlen을 식별한다. Das ist aver unmöglich, wil die Menge aler 대수학ischen Zahlen Abzahlbar ist, Das Kontinuum anter nicht.^[28]
번역: 정리 68. 초월적인 숫자들이 있다.
만약 초월적인 숫자가 없다면, 모든 숫자는 대수학일 것이다. 따라서 연속체는 모든 대수적 숫자의 집합과 동일할 것이다. 그러나 모든 대수적 숫자의 집합은 셀 수 있지만 연속체는 셀 수 없기 때문에 이것은 불가능하다.
^ "캔터의 증거"에 의해, 퍼론은 캔터가 발표한 증거라는 것을 의미하지 않는다. 오히려, 그는 그 증거가 칸토어가 출판한 주장만을 사용한다는 것을 의미한다. 예를 들어, 주어진 순서에 없는 진짜를 얻기 위해, 페르론은 캔토르의 1874년 증거를 따르는데, 단 한 번의 수정을 제외하고는: 그는 1874년 중첩된 간격 주장 대신 칸토어의 1891년 대각선 주장을 사용하여 실물을 얻는다. 칸토어는 자신의 정리를 비난하기 위해 대각선 주장을 한 적이 없다. 이 경우 칸토어의 증빙과 퍼론의 증빙 모두 건설적이기 때문에 여기서 오해가 일어날 수는 없다. 그 후, 페론은 칸토어의 초월적 존재에 대한 증거를 역순의 증거를 제시함으로써 수정한다. 이것은 칸토어의 1874년 건설적인 증거를 비건설적인 증거로 바꾸어 칸토어의 작품에 대한 오해로 이어진다.
^ 이 증거는 캔터의 1874년 증명과 같은 것인데, 단 한 번의 수정을 제외하고는 1891년 대각선 주장을 1874년 그의 중첩된 간격 주장 대신 사용하여 실물을 얻는다.
^ The program using the diagonal method produces $n$ digits in ${\color {Blue}O}(n^{2}\log ^{2}n\log \log n)$ steps, while the program using the 1874 method requires at least $O(2^{\sqrt[{3}]{n}})$ steps to produce $n$ $($ 회색 $1994$ , 페이지 $822$ –823 $)$
^ 하디와 라이트의 책을 시작으로 이 책들은 그들의 성경책을 통해 퍼런의 책과 연결된다: 퍼런의 책은 하디와 라이트의 서적에 언급되고, 퍼런의 서적은 비르코프와 맥 레인의 서적과 스피박의 서적에서 차례로 언급된다. (Hardy & Wright 1938, 페이지 400; Birkhoff & Mac Lane 1941, 페이지 441; Spivak 1967, 페이지 515)
^ Kronecker의 의견은 "정의는 한정된 수의 단계로 의사결정에 도달할 수 있는 수단을 포함해야 하며, 존재 증명은 필요한 정도의 정확도로 문제의 양을 계산할 수 있도록 실행되어야 한다"^[40]는 것이었다. 그래서 크론커는 칸토르의 주장을 유효한 존재 증거로 받아들이겠지만 초월적인 숫자가 존재한다는 결론은 받아들이지 않을 것이다. 크로네커에게 있어서, 그 정의는 주어진 숫자가 초월적인지 아닌지를 한정된 수의 단계로 결정하기 위한 수단을 포함하고 있지 않기 때문에 존재하지 않는다.^[41] 칸토어의 1874년 구조는 다음과 같은 이유로 필요한 정확도까지 숫자를 계산한다. k가 주어진 경우, (a, b_n_n)가_n 칸토어 건설의 n번째 구간인 b_n – ≤ 1/k로 n을 계산할 수 있다. 이것을 증명하는 방법의 예는 Gray 1994, 페이지 822에 제시되어 있다. 칸토어의 대각선 인수는 각각 초월수의 한 자릿수를 생성하기 때문에 n개의 실제 대수 숫자가 계산된 후 10의⁻ⁿ 정확도를 제공한다.^[42]
^ 페레이로스는 칸토어와 데데킨드의 관계를 분석했다. 그는 왜 "두 수학자들 사이의 관계가 1874년 이후, 그들이 중단을 겪었을 때 어려웠는지 설명한다." (페레이로스 1993, 페이지 344, 348–352)
^ 칸토어의 불합리한 숫자와 R의 집합 사이에 일대일 일치성을 구성하는 방법은 초월적인 숫자와 R의 집합 사이에 하나를 구성하는 데 사용될 수 있다.^[64] 구성은 초월수 T 집합에서 시작하여 카운트 가능한 하위 집합 {t_n}(예_n: t = e/n)을 제거한다. 이 세트를 T로₀ 합시다. 그러면 T = T₀ ∪ {t_n} = T₀ ∪ {t_{2n – 1}} ∪ {t_2n}, R = T ∪ {a_n} = T₀ ∪ {t_n} ∪ {a_n}, 여기서 a는_n 실제 대수 숫자의 순서다. 따라서 T와 R은 모두 세 쌍으로 구성된 분리형 집합의 조합이다. T와₀ 두 개의 셀 수 있는 세트. T와 R 사이의 일대일 대응은 함수: t ∈ T이면₀ g(t) = t, g(t_{2n – 1}) = t_n, g(t_2n) = a로_n 주어진다.

칸토어의 1879년 교정쇄에 관한 참고 사항

^ Jump up to: ^a ^b ^c ^d ^e ^f 칸토어의 증거는 영어로 출판되지 않았기 때문에, 칸토어 1879 페이지 5-7에서 나온 독일어 원문과 함께 영어 번역본이 주어진다. 이 문장이 칸토어의 1874년 증명서를 언급하기 때문에 번역은 증명보다 한 문장 먼저 시작한다. 칸토어는 그것이 보르차르트 저널에 인쇄되었다고 말한다. 크레일 저널은 칼 빌헬름 보르차르트가 저널을 편집한 1856년부터 1880년까지 보르차르트 저널이라고도 불렸다(Audin 2011, 페이지 80). 칸토어의 초기 증거에 대한 이 언급의 식별, 번역의 명확화, 페이지 번호 제공 등에 대괄호가 사용된다. 또한 "만니히팔티그케이트"(mannichfaltigkeit, manifold)는 "set"로 번역되었고, 칸토어의 폐쇄 집합 표기법(α . . . β)은 [α, β]로 번역되었다. 칸토르는 서수집합(카나모리 2012, 페이지 5)을 소개한 1883년 기사에서 만니치팔티게이트에서 맹게(세트)로 용어를 바꿨다. 현재 수학에서 다지관은 위상학적 공간의 일종이다.

쇼잉글리쉬 번역	독일어 텍스트
[5페이지] . . 그러나 이것은 보르차르트의 저널, 제77권, 제260쪽, 즉 다음과 같은 정리에서 완전히 엄격하게 증명된 매우 일반적인 정리와는 상반된다. "단순히 [카운트럴] 무한순서가 있다면. ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . . 어떤 규칙에 따라 진행되는 실제 불평등 수의 경우, 주어진 간격마다 [α, β]의 숫자 η(따라서 무한히 많은 수의 숫자)이 이 순서(그 구성원으로서)에서 발생하지 않는 숫자 η을 지정할 수 있다. 이 정리에 대한 큰 관심을 볼 때, 현재의 논의뿐만 아니라 많은 다른 산술적 관계와 분석적 관계에서도, 우리가 수정을 단순화하여 여기서 [칸토르의 1874 증명]을 따르는 주장을 전개한다면, 불필요하지 않을지도 모른다. 시퀀스부터 시작: ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . . (이것은 기호 (Ω)와 임의의 간격[α, β]을 부여하며, 여기서 α < β]은 이제 (Ω)에서는 발생하지 않는 실제 숫자 number을 찾을 수 있음을 증명할 것이다. I. 먼저 우리의 세트(Ω)가 간격 [α, β]의 밀도가 높은 모든 곳에 없다면, 이 간격 내에 다른 간격[ [, Δ]이 존재해야 하며, 그 숫자는 모두 (Ω)에 속하지 않는다. [γ, Δ] 구간에서 η에 대한 임의의 숫자를 선택할 수 있다. 그것은 간격[α, β]에 있으며 우리의 순서 (Ω)에서는 확실히 발생하지 않는다. 따라서, 이 사건은 특별한 고려사항을 제시하지 않으며 우리는 더 어려운 사건으로 넘어갈 수 있다. II. 세트(Ω)를 간격 [α, β]의 밀도가 높은 모든 곳에 두십시오. 이 경우 [α,β]에 위치하는 모든 간격 [γ,Δ]은 작지만 우리의 시퀀스(Ω)의 숫자를 포함한다. 그럼에도 불구하고 (Ω)에서 발생하지 않는 [α, β] 구간에 숫자 numbers이 존재한다는 것을 보여주기 위해 다음과 같은 관측을 채택한다. 우리 순서의 몇몇 숫자들은 다음과 같은 것들이었다. ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .	[씨이트 5] . .. 뎀 위더스프릭트 애버 에인 세르 알게마이너 사츠, 보르차르트 저널의 웰첸 위르, Bd 77, 페이지 260, 앨러 스트레이지 허니센 하벤, 넬리히 데르 폴겐데 사츠: "Hat man eine einfach unendliche Reihe. ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . . von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle (α . . . β) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben, welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt." In Anbetracht des grossen Interesses, welches sich an diesen Satz, nicht blos bei der gegenwärtigen Erörterung, sondern auch in vielen anderen sowohl arithmetischen, wie analytischen Beziehungen, knüpft, dürfte es nicht überflüssig sein, wenn wir die dort befolgte Beweisführung [Cantors 1874 Beweis], unter Anwendung vereinfachender Modificationen, 상형 디우틀릭 엔트윅 운터 주그룬델레궁 데어 레이허: ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . . (welcher wir das Zeichen (Ω) beilegen) un eines believebigen intervales (α. . . . β ist, soll 또한 disem in Intervalle eine elle Zahl의 gefunden wern, welche in (Ω) nicht vorkomt. I. Wir bemerken zunächst, dass wenn unsre Mannichfaltigkeit (ω) in dem Intervall (α . . . β) nicht überall-dicht ist, innerhalb dieses Intervalles ein anderes (γ . . . δ) vorhanden sein muss, dessen Zahlen sämmtlich nicht zu (ω) gehören; man kann alsdann für η irgend eine Zahl des Intervalls (γ . . . δ) wählen, sie liegt im Intervalle (α . . . β) Unserrer Reihe (Ω) nicht vor. Dieser Fall bietet daher keinerlei besondre Umsténde; Und Wir Könen zu dem Schwieregeren übergehen. II. 다이 Mannichfaltigkeit (Ω) say im Intervalle (α . . . β) überall-dicht. 다셈 팔레 엔탈트 제데스에서 노치는 (α . . . . β) 게레젠 인터폴 ( in. . Δ) 자흘렌 언발러 레이헤 (Ω). 엄즈 지겐, 다스 니콜츠데스토웨니거 자흘렌 η 임 인터벌(α . . . β) 존재, (Ω) 니콜트 보르코멘, 스텔렌 다이어 베트라흐퉁 an. Da in sunrer Reihe: ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .
[6페이지] 확실히 간격 [α, β] 내에서 발생하며, 이들 숫자 중 하나는 Ω으로_κ₁ 하고, 다른 하나는 Ω으로_κ₂ 다음으로 큰 지수를 가져야 한다. 두 숫자_κ₁ Ω, Ω_κ₂ 중 작은 숫자를 α'로 표시하도록 하고, 큰 값을 β'로 표시하도록 하라.(우리 순서가 불평등한 숫자로만 구성된다고 가정했기 때문에 그들의 평등은 불가능하다.) 그 정의에 따르면: α < α' < β' < β , 더 나아가서: κ₁ < κ₂ ; 로 바로 숫자를 κ1의 정의 κ2에서 취소 그리고 우리의 시퀀스 ωμ의 ≤ κ2 μ도 숫자, 간격[α의, β의]의 내부에 있지 않다.마찬가지로, 우리의 서열의 간격의 내부에 빠지는 작은 지수와 ωκ4. 두 사람의 숫자[α의, β의]와 더 작은 값, ωκ3 ωκ4 deno ωκ3 봅시다.ted by α'', 더 큰 by β''''이다. 다음 중 하나를 선택하십시오. α' < α'' < β'' < β' , κ₂ < κ₃ < κ₄ ; 그리고 μ μ μ μ_μ₄ κ인 우리 시퀀스의 모든 숫자가 구간[α], β'의 내부로 떨어지지 않는 것을 볼 수 있다. 한 사람이 이 규칙을 따라 구간[α^{(ν - 1)}, β^{(ν - 1)}]에 도달한 후, 다음 구간은^{(ν - 1)} [α, β^{(ν - 1)}]의 내부에 속하는 우리의 시퀀스(Ω, Ω_{κ_{2ν - 1}}, Ω_{κ_2ν})의 처음 두 개(예: 가장 낮은 지수를 가진) 번호를 선택하여 생성된다. 이 두 숫자 중 작은 숫자를 α로^(ν) 표시하고, 큰 숫자를 β로^(ν) 나타내도록 한다. 그런 다음 간격 [α^(ν), β^(ν)]은 모든 선행 간격의 내부에 위치하며, 모든 숫자 Ω_μ, 즉 μ μ μ κ은 확실히_2ν 그 내부에 놓여 있지 않는 우리의 시퀀스(Ω)와 특정한 관계를 갖는다. 그 이후: κ₁ < κ₂ < κ₃ < . . . , ω_{κ_{2ν – 2}} < ω_{κ_{2ν – 1}} < ω_{κ_2ν} , . . . 이 숫자는 지수로서 정수로서 다음과 같다. κ_2ν ≥ 2ν , 따라서 다음과 같다. ν < κ_2ν ; 그러므로 우리는 확실히 말할 수 있다(그리고 이 정도면 다음 사항에 충분하다). 만약 ν이 임의의 정수라면, [real] 수량 Ω은_ν 구간 [α^(ν) . . . β^(ν)] 밖에 있다.	[씨이트 6] sicher Zahlen innerhalb des Intervialalls (α . . . β) vorkommen, 그래서 muss eine von dieen Zahlen den Kleinsten Index haben, sie Ω_κ₁, und eine Andre: Ω_κ₂ mit dem nachst gröseren et sein. Die Kleinere der_κ₁ Beiden Zahlen, Ω_κ₂ werde mit α', die grösere mit β' 베제히넷. (Ihre Gleicheit is ausgeschlossen, wil wir voraussetten, dass unre unleen Zahlen bestht) Es ist alsdann der Definition nach: α < α' < β' < β , 페너: κ₁ < κ₂ ; und ausserdem ist zu bemerken, dass allez Ω_μ 미개척자 레이헤, für welche μ₂≤, nicht im Inn des Intervals (α' . . . . β') ligen, wie aus der Bestimmung der Zahlen, so₁₂ fort erhelt. Ganz ebenso mögen ω_κ₃, ω_κ₄ die beiden mit den kleinsten Indices versehenen Zahlen unserer Reihen [see note 1 below] sein, welche in das Innere des Intervalls (α' . . . β') fallen und die kleinere der Zahlen ω_κ₃, ω_κ₄ werde mit α'', die grössere mit β'' bezeichnet. 맨 모자 알스단: α' < α'' < β'' < β' , κ₂ < κ₃ < κ₄ ; und man erkent, dass allez Zahlen Ω_μ 미개척자 레이헤, für welche μs in das Innere des Intervalls (α" . . β₄")가 떨어졌다. Nachdem 남자 강판의 Befolgung(gleichen Gesetzes zu einem Intervall(α(ν-1)...β(ν-1))gelangt 곳에,ergiebtsichdasfolgende Intervalldadurchaus demselben,dass 사람 죽beidenersten(페니 빌 mit niedrigsten 지수 versehenen)Zahlen unserer Reihe(ω)aufstellt(sieseien ωκ2ν 1팟스 – ωκ2ν), 다쓰Innere 폰(α(ν – 1)에 welche... β(ν –.1));kleinere dieser beid 죽게 된다.엥 자흘렌 베르데 미트 α^(ν), 다이 그뢰세레 미트 β^(ν) 베제히그넷. Das Interviewall (α^(ν) . . . β^(ν)) liggt alsdann im Innern aller vorangegangen Ivalle und hat zu unununreler Reihe (Ω) die eigenthümliche Beziehung, dass allezelen Ω_μ, für welche μ μs μs ≤s ≤s_2ν. Da offenbar: κ₁ < κ₂ < κ₃ < . . . , ω_{κ_{2ν – 2}} < ω_{κ_{2ν – 1}} < ω_{κ_2ν} , . . . und diese Zahlen, als Indexs, ganze Zahlen sd, so ist: κ_2ν ≥ 2ν , 더 이상: ν < κ_2ν ; Wir Könen Daher, Und die is für das Polgende ausreichend, gewiss sagen: Dass, wenn ν eine believeges ganze Zahl ist, die Grösse Ω_ν ausserhalb des Intervals (α^(ν) . . . β^(ν)) liggt.
[7페이지] 숫자 α' , α' , . . . . α^(ν), . . .는 그 간격[α, β]에 동시에 둘러싸이면서 가치에 의해 지속적으로 증가하므로, 그들은 우리가 A로 나타내는 한계인 [아래 주석 2 참조]의 잘 알려진 근본 정리로서 다음과 같은 것을 가지고 있다. A = ν = ∞에 대한 Lim α^(ν). β' , β' , β^(ν)' , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 이 숫자들은 계속 감소하고 있고 마찬가지로 그 간격[α, β]에 놓여 있다. 우리는 그들의 한계를 B라고 부르지, 그래서 다음과 같다. B = ν = ∞에 대한 림 β^(ν). 분명히 다음과 같은 것이 있다. α^(ν) < A ≤ B < β^(ν). 그러나 사례 A < B는 여기서 일어날 수 없다는 것을 쉽게 알 수 있다. 그렇지 않으면 우리의 수열의 모든 Ω이_ν 간격^(ν) [α^(ν), β] 밖에 놓여져 있을 것이기 때문이다. 따라서 우리의 시퀀스(Ω)는 가정과 달리 간격[α, β]의 밀도가 높은 모든 곳에 있지 않을 것이다. 따라서 사례 A = B만 남아 있으며, 이제 이 숫자가 다음과 같은 것을 증명한다. η = A = B 우리의 순서(Ω)에서는 발생하지 않는다. 만약 그것이 ν과^th 같은 우리의 수열의 일원이었다면, η = Ω을_ν 가지고 있었을 것이다. 그러나 후자의 방정식은 η의 어떤 값에도 가능하지 않다. 왜냐하면 η은^(ν) 구간의 내부에 있기 때문이다 [α, β^(ν)]. 그러나 Ω은_ν 그 밖에 있다.	[세인트 7] Da die Zahlen α', α'', α''', . . ., α^(ν), . . . ihrer Grösse nach fortwährend wachsen, dabei jedoch im Intervalle (α . . . β) eingeschlossen sind, so haben sie, nach einem bekannten Fundamentalsatze der Grössenlehre, eine Grenze, die wir mit A bezeichnen, so dass: A = Lim α^(ν) ür ν = ∞. Ein Gleiches 금빛 für die Zahlen β' , β^(ν)' , . . . . . . . welche fortwhrend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α. . . . β) ligen; wirnenenenenenenenen ihre Grenze B, so, so: B = Lim β^(ν) für ν = ∞. 맨 모자 오프펜바: α^(ν) < A ≤ B < β^(ν). Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A < B hier nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ω_ν, unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A . . . B) liegen würde, indem ω_ν, ausserhalb des Intervalls (α^(ν) . . . β^(ν)) gelegen ist; unsere Reihe (ω) wäre im Intervall (α . . . β) nicht überalldicht, gegen die Voraussetzung. Es bleibt daher nur fall A = B übrig und es zeigt sich nun, dass die Zahl: η = A = B 라이헤(Ω) 니콜트 보컴트(nicht vorkommt. Denn, würde sie ein ein Gried ununreler Reihe sain, etwa^te das so, so hhtte man: ω = ω_ν. Die Letztere Gleichung is averter für keinen Werth v v 뫼글리히, weil im Inn des Intervalls [α^(ν), β^(ν), Ω_ν ausserhalb des selben liegt.
주 1: 이것은 증명에서 "미발견자 레이헨" ("우리의 순서")의 유일한 발생이다. 칸토어의 증명에는 단 한 개의 순서만이 관여되어 있고, 다른 곳에서는 "레이허"("시퀀스")가 사용되고 있기 때문에, 그것은 인쇄상의 오류일 가능성이 높으며 "레이허" ("우리의 순서")가 되어야 하며, 이것이 번역된 방법이다. 주2: "크기론"으로 번역된 그뢰센레어는 19세기 독일 수학자들이 사용한 용어로 이산대 및 연속대 크기 이론을 가리킨다. (페레오 2007, 페이지 41–42, 202).

참조

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[3] 1873년 12월 25일자 데데킨드에게 보낸 편지에서 칸토어는 "모든 진짜 대수학 번호 집합의 속성에 관한 짧은 논문"을 쓰고 제출했다고 진술한다. (Noeter & Cavailles 1937, 페이지 17; 영어 번역: 1996년 에발트, 페이지 847).

[11] 이는 정리의 나머지 부분, 즉 주어진 순서에 포함되지 않는 수가 [a, b]에 무한히 많다는 것을 암시한다. For example, let $[0,1]$ be the interval and consider its subintervals $[0,{\tfrac {1}{2}}],$ $[{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {7}{8}}],$ $[{\tfrac {15}{16}},{\tfrac {31}{32}}],$ $\ldots .$ $[\displaystyle \ldots .}$ 이러한 하위절차는 쌍방향으로 분리되기 때문에 $\ldots .$ , 각 하위절차에 정리의 첫 번째 부분을 적용하면 주어진 순서에 포함되지 $[0,1]$ $[0,1]$ 않는 $[0,1]$ [ $[0,1]$ , $[0,1]$ 1 $]$ {\ $displaystyle$ [0 $,1$ ]의 숫자가 무한히 많이 발생한다. In general, for the interval $[a,b],$ apply the first part of the theorem to the subintervals $[a,a+{\tfrac {1}{2}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {3}{4}}(b-a),a+{\tfrac {7}{8}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ + $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ - a $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ + $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ - a $],$ {\ $displaystyle$ [a $+{\tfrac{15}{$ 16}( $b-a),$ a+{\ $tfrac$ { $31}{$ 32 $}}(b-a$ $\ldots .$ … $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $\ldots.$

[14] 칸토어는 이 보조정리증을 증명하지 못한다. 사례 2에 대한 각주에서는 x가_n 구간의 내부에 있지 않다고 기술한다[a_n, b_n].^[11] 이 증거는 1879년 그의 증거에서 나온 것인데, 여기에는 여기서 증명된 재산을 포함하여 생성된 간격의 여러 특성을 보여주는 보다 복잡한 귀납적 증거가 포함되어 있다.

[15] 칸토어의 증명과 위의 증명의 주요한 차이는 그가 닫힌 간격의 순서를 생성한다는 것이다 [a_n, b_n]. a와_{n + 1} b를_{n + 1} 찾기 위해 그는 열린 간격(a_n_n, b_n)인 간격[a, b_n]의 내부를 사용한다. 열린 간격을 생성하면 칸토어의 폐쇄된 간격 사용과 그 내부가 결합되어 케이스 다이어그램이 증명서의 모든 세부사항을 묘사할 수 있다.

[22] 칸토어는 "어디서나 밀도"를 처음 정의한 것은 아니지만 그의 용어는 "어디나 밀도"를 포함하거나 포함하지 않고 채택되었다(모든 밀도: Arkhangel'ski & Fedorchuk 1990, 페이지 15; 밀도: Kelley 1991, 페이지 49). 1870년에 헤르만 행클은 다른 용어를 사용하여 이 개념을 정의했다: "여러 점 … 아무리 작은 간격이라도 그 수의 최소 한 점을 찾을 수 없는 구간 내에서 구간을 채울 수 없다면 구간을 채운다." (Ferreiors 2007, 페이지 155) 행클은 합리적인 숫자의 경우 0, 불합리한 숫자의 경우 1인 비(리만) 통합 기능인 디리클레 함수를 포함하는 피터 구스타프 르주네 디리클레의 1829년 기사를 바탕으로 하고 있었다. (Ferreiors 2007, 페이지 149).

[23] 칸토르 1879, 페이지 2에서 번역: Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (α. . . . . . β) enthaltene Intervol (α . . . . Δ) 펑크테 폰 P encelt. einem solchen Palle wir sagen, dass P im Intervalle (α. . . β) überall-dicht say.

[25] 이는 P와 (c, d) 모두에 속하는 점의 시퀀스를 생성함으로써 증명된다. P는 [a, b]에 밀도가 있으므로, 하위간격(c, d)은 최소한 1포인트 x의₁ P를 포함한다. 가정으로, x가₂ 이 하위 절차에 속하기 때문에 하위 절간(x₁, d)은 P와 x₂ > x의₁ 최소 1점 x를₂ 포함한다. 일반적으로 x 생성_n 후 하위 interval(x_n, d)을 사용하여 x_{n + 1} > x를_n 만족하는 점 x를_{n + 1} 생성한다. 무한히 많은 점 x는_n P와 (c, d) 둘 다에 속한다.

[37] 이 증명의 시작은 칸토어가 1873년 자신의 계산가능성에 관한 연구에서 시퀀스를 사용했기 때문에 그 숫자를 간격[a, b]으로 제한하고 부속품을 사용함으로써 아래 증명에 의해 도출된다.
독일어 텍스트:사츠 68번지 에스 지브트 트랜스젠던트 자흘렌트
게베 es némlich keine transzendenten Zahlen, 그래서 Wéren alle Zahlen 대수학, das Kontinuum 또한 Mit der Menge aler 대수학, Zahlen을 식별한다. Das ist aver unmöglich, wil die Menge aler 대수학ischen Zahlen Abzahlbar ist, Das Kontinuum anter nicht.^[28]
번역: 정리 68. 초월적인 숫자들이 있다.
만약 초월적인 숫자가 없다면, 모든 숫자는 대수학일 것이다. 따라서 연속체는 모든 대수적 숫자의 집합과 동일할 것이다. 그러나 모든 대수적 숫자의 집합은 셀 수 있지만 연속체는 셀 수 없기 때문에 이것은 불가능하다.

[41] "캔터의 증거"에 의해, 퍼론은 캔터가 발표한 증거라는 것을 의미하지 않는다. 오히려, 그는 그 증거가 칸토어가 출판한 주장만을 사용한다는 것을 의미한다. 예를 들어, 주어진 순서에 없는 진짜를 얻기 위해, 페르론은 캔토르의 1874년 증거를 따르는데, 단 한 번의 수정을 제외하고는: 그는 1874년 중첩된 간격 주장 대신 칸토어의 1891년 대각선 주장을 사용하여 실물을 얻는다. 칸토어는 자신의 정리를 비난하기 위해 대각선 주장을 한 적이 없다. 이 경우 칸토어의 증빙과 퍼론의 증빙 모두 건설적이기 때문에 여기서 오해가 일어날 수는 없다. 그 후, 페론은 칸토어의 초월적 존재에 대한 증거를 역순의 증거를 제시함으로써 수정한다. 이것은 칸토어의 1874년 건설적인 증거를 비건설적인 증거로 바꾸어 칸토어의 작품에 대한 오해로 이어진다.

[44] 이 증거는 캔터의 1874년 증명과 같은 것인데, 단 한 번의 수정을 제외하고는 1891년 대각선 주장을 1874년 그의 중첩된 간격 주장 대신 사용하여 실물을 얻는다.

[47] The program using the diagonal method produces $n$ digits in ${\color {Blue}O}(n^{2}\log ^{2}n\log \log n)$ steps, while the program using the 1874 method requires at least $O(2^{\sqrt[{3}]{n}})$ steps to produce $n$ $($ 회색 $1994$ , 페이지 $822$ –823 $)$

[49] 하디와 라이트의 책을 시작으로 이 책들은 그들의 성경책을 통해 퍼런의 책과 연결된다: 퍼런의 책은 하디와 라이트의 서적에 언급되고, 퍼런의 서적은 비르코프와 맥 레인의 서적과 스피박의 서적에서 차례로 언급된다. (Hardy & Wright 1938, 페이지 400; Birkhoff & Mac Lane 1941, 페이지 441; Spivak 1967, 페이지 515)

[56] Kronecker의 의견은 "정의는 한정된 수의 단계로 의사결정에 도달할 수 있는 수단을 포함해야 하며, 존재 증명은 필요한 정도의 정확도로 문제의 양을 계산할 수 있도록 실행되어야 한다"^[40]는 것이었다. 그래서 크론커는 칸토르의 주장을 유효한 존재 증거로 받아들이겠지만 초월적인 숫자가 존재한다는 결론은 받아들이지 않을 것이다. 크로네커에게 있어서, 그 정의는 주어진 숫자가 초월적인지 아닌지를 한정된 수의 단계로 결정하기 위한 수단을 포함하고 있지 않기 때문에 존재하지 않는다.^[41] 칸토어의 1874년 구조는 다음과 같은 이유로 필요한 정확도까지 숫자를 계산한다. k가 주어진 경우, (a, b_n_n)가_n 칸토어 건설의 n번째 구간인 b_n – ≤ 1/k로 n을 계산할 수 있다. 이것을 증명하는 방법의 예는 Gray 1994, 페이지 822에 제시되어 있다. 칸토어의 대각선 인수는 각각 초월수의 한 자릿수를 생성하기 때문에 n개의 실제 대수 숫자가 계산된 후 10의⁻ⁿ 정확도를 제공한다.^[42]

[77] 페레이로스는 칸토어와 데데킨드의 관계를 분석했다. 그는 왜 "두 수학자들 사이의 관계가 1874년 이후, 그들이 중단을 겪었을 때 어려웠는지 설명한다." (페레이로스 1993, 페이지 344, 348–352)

[80] 칸토어의 불합리한 숫자와 R의 집합 사이에 일대일 일치성을 구성하는 방법은 초월적인 숫자와 R의 집합 사이에 하나를 구성하는 데 사용될 수 있다.^[64] 구성은 초월수 T 집합에서 시작하여 카운트 가능한 하위 집합 {t_n}(예_n: t = e/n)을 제거한다. 이 세트를 T로₀ 합시다. 그러면 T = T₀ ∪ {t_n} = T₀ ∪ {t_{2n – 1}} ∪ {t_2n}, R = T ∪ {a_n} = T₀ ∪ {t_n} ∪ {a_n}, 여기서 a는_n 실제 대수 숫자의 순서다. 따라서 T와 R은 모두 세 쌍으로 구성된 분리형 집합의 조합이다. T와₀ 두 개의 셀 수 있는 세트. T와 R 사이의 일대일 대응은 함수: t ∈ T이면₀ g(t) = t, g(t_{2n – 1}) = t_n, g(t_2n) = a로_n 주어진다.

[p-26] Jump up to: ^a ^b ^c ^d ^e ^f 칸토어의 증거는 영어로 출판되지 않았기 때문에, 칸토어 1879 페이지 5-7에서 나온 독일어 원문과 함께 영어 번역본이 주어진다. 이 문장이 칸토어의 1874년 증명서를 언급하기 때문에 번역은 증명보다 한 문장 먼저 시작한다. 칸토어는 그것이 보르차르트 저널에 인쇄되었다고 말한다. 크레일 저널은 칼 빌헬름 보르차르트가 저널을 편집한 1856년부터 1880년까지 보르차르트 저널이라고도 불렸다(Audin 2011, 페이지 80). 칸토어의 초기 증거에 대한 이 언급의 식별, 번역의 명확화, 페이지 번호 제공 등에 대괄호가 사용된다. 또한 "만니히팔티그케이트"(mannichfaltigkeit, manifold)는 "set"로 번역되었고, 칸토어의 폐쇄 집합 표기법(α . . . β)은 [α, β]로 번역되었다. 칸토르는 서수집합(카나모리 2012, 페이지 5)을 소개한 1883년 기사에서 만니치팔티게이트에서 맹게(세트)로 용어를 바꿨다. 현재 수학에서 다지관은 위상학적 공간의 일종이다.

쇼잉글리쉬 번역 독일어 텍스트

[5페이지]

. . 그러나 이것은 보르차르트의 저널, 제77권, 제260쪽, 즉 다음과 같은 정리에서 완전히 엄격하게 증명된 매우 일반적인 정리와는 상반된다.
"단순히 [카운트럴] 무한순서가 있다면.
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .
어떤 규칙에 따라 진행되는 실제 불평등 수의 경우, 주어진 간격마다 [α, β]의 숫자 η(따라서 무한히 많은 수의 숫자)이 이 순서(그 구성원으로서)에서 발생하지 않는 숫자 η을 지정할 수 있다.
이 정리에 대한 큰 관심을 볼 때, 현재의 논의뿐만 아니라 많은 다른 산술적 관계와 분석적 관계에서도, 우리가 수정을 단순화하여 여기서 [칸토르의 1874 증명]을 따르는 주장을 전개한다면, 불필요하지 않을지도 모른다.
시퀀스부터 시작:
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .
(이것은 기호 (Ω)와 임의의 간격[α, β]을 부여하며, 여기서 α < β]은 이제 (Ω)에서는 발생하지 않는 실제 숫자 number을 찾을 수 있음을 증명할 것이다.
I. 먼저 우리의 세트(Ω)가 간격 [α, β]의 밀도가 높은 모든 곳에 없다면, 이 간격 내에 다른 간격[ [, Δ]이 존재해야 하며, 그 숫자는 모두 (Ω)에 속하지 않는다. [γ, Δ] 구간에서 η에 대한 임의의 숫자를 선택할 수 있다. 그것은 간격[α, β]에 있으며 우리의 순서 (Ω)에서는 확실히 발생하지 않는다. 따라서, 이 사건은 특별한 고려사항을 제시하지 않으며 우리는 더 어려운 사건으로 넘어갈 수 있다.
II. 세트(Ω)를 간격 [α, β]의 밀도가 높은 모든 곳에 두십시오. 이 경우 [α,β]에 위치하는 모든 간격 [γ,Δ]은 작지만 우리의 시퀀스(Ω)의 숫자를 포함한다. 그럼에도 불구하고 (Ω)에서 발생하지 않는 [α, β] 구간에 숫자 numbers이 존재한다는 것을 보여주기 위해 다음과 같은 관측을 채택한다.
우리 순서의 몇몇 숫자들은 다음과 같은 것들이었다.
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .

[씨이트 5]
. .. 뎀 위더스프릭트 애버 에인 세르 알게마이너 사츠, 보르차르트 저널의 웰첸 위르, Bd 77, 페이지 260, 앨러 스트레이지 허니센 하벤, 넬리히 데르 폴겐데 사츠:
"Hat man eine einfach unendliche Reihe.
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .
von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle (α . . . β) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben, welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt."
In Anbetracht des grossen Interesses, welches sich an diesen Satz, nicht blos bei der gegenwärtigen Erörterung, sondern auch in vielen anderen sowohl arithmetischen, wie analytischen Beziehungen, knüpft, dürfte es nicht überflüssig sein, wenn wir die dort befolgte Beweisführung [Cantors 1874 Beweis], unter Anwendung vereinfachender Modificationen, 상형 디우틀릭 엔트윅
운터 주그룬델레궁 데어 레이허:
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .
(welcher wir das Zeichen (Ω) beilegen) un eines believebigen intervales (α. . . . β ist, soll 또한 disem in Intervalle eine elle Zahl의 gefunden wern, welche in (Ω) nicht vorkomt.
I. Wir bemerken zunächst, dass wenn unsre Mannichfaltigkeit (ω) in dem Intervall (α . . . β) nicht überall-dicht ist, innerhalb dieses Intervalles ein anderes (γ . . . δ) vorhanden sein muss, dessen Zahlen sämmtlich nicht zu (ω) gehören; man kann alsdann für η irgend eine Zahl des Intervalls (γ . . . δ) wählen, sie liegt im Intervalle (α . . . β) Unserrer Reihe (Ω) nicht vor. Dieser Fall bietet daher keinerlei besondre Umsténde; Und Wir Könen zu dem Schwieregeren übergehen.
II. 다이 Mannichfaltigkeit (Ω) say im Intervalle (α . . . β) überall-dicht. 다셈 팔레 엔탈트 제데스에서 노치는 (α . . . . β) 게레젠 인터폴 ( in. . Δ) 자흘렌 언발러 레이헤 (Ω). 엄즈 지겐, 다스 니콜츠데스토웨니거 자흘렌 η 임 인터벌(α . . . β) 존재, (Ω) 니콜트 보르코멘, 스텔렌 다이어 베트라흐퉁 an.
Da in sunrer Reihe:
ω₁, ω₂, . . . , ω_ν, . . .

[6페이지]

확실히 간격 [α, β] 내에서 발생하며, 이들 숫자 중 하나는 Ω으로_κ₁ 하고, 다른 하나는 Ω으로_κ₂ 다음으로 큰 지수를 가져야 한다.
두 숫자_κ₁ Ω, Ω_κ₂ 중 작은 숫자를 α'로 표시하도록 하고, 큰 값을 β'로 표시하도록 하라.(우리 순서가 불평등한 숫자로만 구성된다고 가정했기 때문에 그들의 평등은 불가능하다.)
그 정의에 따르면:
α < α' < β' < β ,
더 나아가서:
κ₁ < κ₂ ;
로 바로 숫자를 κ1의 정의 κ2에서 취소 그리고 우리의 시퀀스 ωμ의 ≤ κ2 μ도 숫자, 간격[α의, β의]의 내부에 있지 않다.마찬가지로, 우리의 서열의 간격의 내부에 빠지는 작은 지수와 ωκ4. 두 사람의 숫자[α의, β의]와 더 작은 값, ωκ3 ωκ4 deno ωκ3 봅시다.ted by α'', 더 큰 by β''''이다.
다음 중 하나를 선택하십시오.
α' < α'' < β'' < β' ,
κ₂ < κ₃ < κ₄ ;
그리고 μ μ μ μ_μ₄ κ인 우리 시퀀스의 모든 숫자가 구간[α], β'의 내부로 떨어지지 않는 것을 볼 수 있다.
한 사람이 이 규칙을 따라 구간[α^{(ν - 1)}, β^{(ν - 1)}]에 도달한 후, 다음 구간은^{(ν - 1)} [α, β^{(ν - 1)}]의 내부에 속하는 우리의 시퀀스(Ω, Ω_{κ_{2ν - 1}}, Ω_{κ_2ν})의 처음 두 개(예: 가장 낮은 지수를 가진) 번호를 선택하여 생성된다. 이 두 숫자 중 작은 숫자를 α로^(ν) 표시하고, 큰 숫자를 β로^(ν) 나타내도록 한다.
그런 다음 간격 [α^(ν), β^(ν)]은 모든 선행 간격의 내부에 위치하며, 모든 숫자 Ω_μ, 즉 μ μ μ κ은 확실히_2ν 그 내부에 놓여 있지 않는 우리의 시퀀스(Ω)와 특정한 관계를 갖는다. 그 이후:
κ₁ < κ₂ < κ₃ < . . . , ω_{κ_{2ν – 2}} < ω_{κ_{2ν – 1}} < ω_{κ_2ν} , . . .
이 숫자는 지수로서 정수로서 다음과 같다.
κ_2ν ≥ 2ν ,
따라서 다음과 같다.
ν < κ_2ν ;
그러므로 우리는 확실히 말할 수 있다(그리고 이 정도면 다음 사항에 충분하다).
만약 ν이 임의의 정수라면, [real] 수량 Ω은_ν 구간 [α^(ν) . . . β^(ν)] 밖에 있다.

[씨이트 6]
sicher Zahlen innerhalb des Intervialalls (α . . . β) vorkommen, 그래서 muss eine von dieen Zahlen den Kleinsten Index haben, sie Ω_κ₁, und eine Andre: Ω_κ₂ mit dem nachst gröseren et sein.
Die Kleinere der_κ₁ Beiden Zahlen, Ω_κ₂ werde mit α', die grösere mit β' 베제히넷. (Ihre Gleicheit is ausgeschlossen, wil wir voraussetten, dass unre unleen Zahlen bestht)
Es ist alsdann der Definition nach:
α < α' < β' < β ,
페너:
κ₁ < κ₂ ;
und ausserdem ist zu bemerken, dass allez Ω_μ 미개척자 레이헤, für welche μ₂≤, nicht im Inn des Intervals (α' . . . . β') ligen, wie aus der Bestimmung der Zahlen, so₁₂ fort erhelt. Ganz ebenso mögen ω_κ₃, ω_κ₄ die beiden mit den kleinsten Indices versehenen Zahlen unserer Reihen [see note 1 below] sein, welche in das Innere des Intervalls (α' . . . β') fallen und die kleinere der Zahlen ω_κ₃, ω_κ₄ werde mit α'', die grössere mit β'' bezeichnet.
맨 모자 알스단:
α' < α'' < β'' < β' ,
κ₂ < κ₃ < κ₄ ;
und man erkent, dass allez Zahlen Ω_μ 미개척자 레이헤, für welche μs in das Innere des Intervalls (α" . . β₄")가 떨어졌다.
Nachdem 남자 강판의 Befolgung(gleichen Gesetzes zu einem Intervall(α(ν-1)...β(ν-1))gelangt 곳에,ergiebtsichdasfolgende Intervalldadurchaus demselben,dass 사람 죽beidenersten(페니 빌 mit niedrigsten 지수 versehenen)Zahlen unserer Reihe(ω)aufstellt(sieseien ωκ2ν 1팟스 – ωκ2ν), 다쓰Innere 폰(α(ν – 1)에 welche... β(ν –.1));kleinere dieser beid 죽게 된다.엥 자흘렌 베르데 미트 α^(ν), 다이 그뢰세레 미트 β^(ν) 베제히그넷.
Das Interviewall (α^(ν) . . . β^(ν)) liggt alsdann im Innern aller vorangegangen Ivalle und hat zu unununreler Reihe (Ω) die eigenthümliche Beziehung, dass allezelen Ω_μ, für welche μ μs μs ≤s ≤s_2ν. Da offenbar:
κ₁ < κ₂ < κ₃ < . . . , ω_{κ_{2ν – 2}} < ω_{κ_{2ν – 1}} < ω_{κ_2ν} , . . .
und diese Zahlen, als Indexs, ganze Zahlen sd, so ist:
κ_2ν ≥ 2ν ,
더 이상:
ν < κ_2ν ;
Wir Könen Daher, Und die is für das Polgende ausreichend, gewiss sagen:
Dass, wenn ν eine believeges ganze Zahl ist, die Grösse Ω_ν ausserhalb des Intervals (α^(ν) . . . β^(ν)) liggt.

[7페이지]

숫자 α' , α' , . . . . α^(ν), . . .는 그 간격[α, β]에 동시에 둘러싸이면서 가치에 의해 지속적으로 증가하므로, 그들은 우리가 A로 나타내는 한계인 [아래 주석 2 참조]의 잘 알려진 근본 정리로서 다음과 같은 것을 가지고 있다.
A = ν = ∞에 대한 Lim α^(ν).
β' , β' , β^(ν)' , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 이 숫자들은 계속 감소하고 있고 마찬가지로 그 간격[α, β]에 놓여 있다. 우리는 그들의 한계를 B라고 부르지, 그래서 다음과 같다.
B = ν = ∞에 대한 림 β^(ν).
분명히 다음과 같은 것이 있다.
α^(ν) < A ≤ B < β^(ν).
그러나 사례 A < B는 여기서 일어날 수 없다는 것을 쉽게 알 수 있다. 그렇지 않으면 우리의 수열의 모든 Ω이_ν 간격^(ν) [α^(ν), β] 밖에 놓여져 있을 것이기 때문이다. 따라서 우리의 시퀀스(Ω)는 가정과 달리 간격[α, β]의 밀도가 높은 모든 곳에 있지 않을 것이다.
따라서 사례 A = B만 남아 있으며, 이제 이 숫자가 다음과 같은 것을 증명한다.
η = A = B
우리의 순서(Ω)에서는 발생하지 않는다.
만약 그것이 ν과^th 같은 우리의 수열의 일원이었다면, η = Ω을_ν 가지고 있었을 것이다.
그러나 후자의 방정식은 η의 어떤 값에도 가능하지 않다. 왜냐하면 η은^(ν) 구간의 내부에 있기 때문이다 [α, β^(ν)]. 그러나 Ω은_ν 그 밖에 있다.

[세인트 7]
Da die Zahlen α', α'', α''', . . ., α^(ν), . . . ihrer Grösse nach fortwährend wachsen, dabei jedoch im Intervalle (α . . . β) eingeschlossen sind, so haben sie, nach einem bekannten Fundamentalsatze der Grössenlehre, eine Grenze, die wir mit A bezeichnen, so dass:
A = Lim α^(ν) ür ν = ∞.
Ein Gleiches 금빛 für die Zahlen β' , β^(ν)' , . . . . . . . welche fortwhrend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α. . . . β) ligen; wirnenenenenenenenen ihre Grenze B, so, so:
B = Lim β^(ν) für ν = ∞.
맨 모자 오프펜바:
α^(ν) < A ≤ B < β^(ν).
Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A < B hier nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ω_ν, unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A . . . B) liegen würde, indem ω_ν, ausserhalb des Intervalls (α^(ν) . . . β^(ν)) gelegen ist; unsere Reihe (ω) wäre im Intervall (α . . . β) nicht überalldicht, gegen die Voraussetzung.
Es bleibt daher nur fall A = B übrig und es zeigt sich nun, dass die Zahl:
η = A = B
라이헤(Ω) 니콜트 보컴트(nicht vorkommt.
Denn, würde sie ein ein Gried ununreler Reihe sain, etwa^te das so, so hhtte man: ω = ω_ν.
Die Letztere Gleichung is averter für keinen Werth v v 뫼글리히, weil im Inn des Intervalls [α^(ν), β^(ν), Ω_ν ausserhalb des selben liegt.

주 1: 이것은 증명에서 "미발견자 레이헨" ("우리의 순서")의 유일한 발생이다. 칸토어의 증명에는 단 한 개의 순서만이 관여되어 있고, 다른 곳에서는 "레이허"("시퀀스")가 사용되고 있기 때문에, 그것은 인쇄상의 오류일 가능성이 높으며 "레이허" ("우리의 순서")가 되어야 하며, 이것이 번역된 방법이다.

주2: "크기론"으로 번역된 그뢰센레어는 19세기 독일 수학자들이 사용한 용어로 이산대 및 연속대 크기 이론을 가리킨다. (페레오 2007, 페이지 41–42, 202).

[1] 다우벤 1993, 페이지 4.

[2] 1994년 회색 페이지 819–821.

[Cantor1874-4] Jump up to: ^a ^b 캔터 1874. 영어 번역: 1996년 에발트, 페이지 840–843.

[Gray828-5] Jump up to: ^a ^b 1994년, 페이지 828.

[Ewald840_841-6] Jump up to: ^a ^b ^c ^d ^e 칸토어 1874, 페이지 259. 영어 번역: 1996년 에발트, 페이지 840–841.

[7] 칸토어 1874, 페이지 259. 영어 번역: 1994년, 페이지 820.

[8] 캔터 1878, 페이지 242.

[9] 1994년, 페이지 820.

[10] 칸토어 1874, 페이지 259–260. 영어 번역: 에발트 1996, 페이지 841.

[12] 칸토어 1874, 페이지 260–261. 영어 번역: Ewald 1996, 페이지 841–842.

[Ewald842-13] Jump up to: ^a ^b 칸토어 1874, 페이지 261. 영어 번역: 에발트 1996, 페이지 842.

[16] 1994년, 페이지 822.

[17] Havil 2012, 페이지 208–209.

[18] 하빌 2012, 페이지 209.

[19] LeVeque 1956, 페이지 154–155.

[20] LeVeque 1956, 페이지 174.

[21] 위스테인 2003, 541페이지.

[24] 아르헨젤스키 & 페도르추크 1990, 페이지 16.

[27] 노에더 & 카바빌레스 1937, 페이지 12–13. 영어 번역: 그레이 1994, 페이지 827, 에발트 1996, 페이지 844.

[Noether18-28] Jump up to: ^a ^b ^c ^d 노에더 & 카바빌레스 1937, 페이지 18. 영어 번역: 1996년 에발트, 페이지 848.

[29] 노에더 & 카바빌레스 1937, 페이지 13. 영어 번역: 1994년, 페이지 827.

[Dec7letter-30] Jump up to: ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g 노에더 & 카바빌레스 1937, 페이지 14-15. 영어 번역: Ewald 1996, 페이지 845–846.

[31] 1994년 회색 페이지 827

[32] 다우벤 1979, 페이지 51.

[33] 노에더 & 카바빌레스 1937, 페이지 19. 영어 번역: 에발트 1996 페이지 849.

[34] 에발트 1996 페이지 843.

[35] 노에더 & 카바빌레스 1937, 페이지 16. 영어 번역: 1994년, 페이지 827.

[36] 페론 1921 페이지 162.

[Kanamori4-38] Jump up to: ^a ^b 카나모리 2012, 페이지 4.

[39] 1994년 회색, 페이지 827–828.

[40] 페론 1921, 페이지 162

[42] 프라운켈 1930, 페이지 237. 영어 번역: 1994년, 페이지 823.

[43] 카플란스키 1972, 페이지 25.

[45] 1994년 회색, 페이지 829–830.

[46] 1994년 회색, 페이지 821–824.

[48] 벨 1937, 페이지 568–569; 하디 & 라이트 1938, 페이지 159 (6번째 에드, 페이지 205–206); 버크호프 & 맥 레인 1941, 페이지 392, (5번째 에드, 페이지 436–437), 스피바크 1967, 페이지 369–370 (제4번째 에드, 페이지 448–449).

[50] Dasgupta 2014, 페이지 107; Sheppard 2014, 페이지 131–132.

[51] Jarvis 2014, 페이지 18; Choudhary 2015, 페이지 19; Stewart 2015, 페이지 285; Stewart & Tall 2015, 페이지 333.

[52] 비르호프 & 맥 레인 1941 페이지 392 (5번째 에드, 페이지 436–437)

[53] 버턴 1995, 페이지 595.

[54] 다우벤 1979, 페이지 69.

[55] 1994년, 페이지 824.

[Ferreiros184-57] Jump up to: ^a ^b 페레이로스 2007, 페이지 184.

[58] 노에더 & 카바빌레스 1937 페이지 12-16. 영어 번역: Ewald 1996, 페이지 843–846.

[59] 다우벤 1979, 페이지 67.

[Noether16_17-60] Jump up to: ^a ^b ^c ^d 노에더 & 카바빌레스 1937 페이지 16-17. 영어 번역: 1996년 에발트, 847 페이지.

[61] 그랜튼-가인니스 1971 페이지 124.

[62] 다우벤 1979, 페이지 67, 308–309.

[63] 페레이로스 2007, 페이지 184–185, 245.

[64] 페레이로스 2007, 페이지 185: 그의 태도가 언제 변했는지는 불분명하지만, 1880년대 중반에 이르러서는 무한 집합이 다른 힘을 가지고 있다는 결론을 받아들이고 있었다는 증거가 있다.

[65] 페레이로스 2007, 페이지 177.

[66] 다우벤 1979, 페이지 67–68.

[67] 페레이로스 2007, 페이지 183.

[68] 페레이로스 2007, 페이지 185.

[69] 페레이로스 2007, 페이지 109–111, 172–174.

[70] 페레이로스 1993, 349-350 페이지.

[71] 노에더 & 카바빌레스 1937, 페이지 12–13. 영어 번역: 에발트 1996, 페이지 844–845.

[72] 노에더 & 카바빌레스 1937, 페이지 13. 영어 번역: 에발트 1996, 페이지 845.

[73] 페레이로스 2007년, 페이지 179.

[74] 노에더 & 카바빌레스 1937, 페이지 14–16, 19. 영어 번역: 에발트 1996, 페이지 845–847, 849.

[75] 페레이로스 1993, 페이지 358–359.

[76] 페레이로스 1993, 페이지 350.

[78] 캔터 1878, 페이지 245–254.

[79] 캔터 1879 페이지 4

[81] 페레이로스 2007년 267-273페이지.

[82] 페레이로스 2007, 페이지 16, 320–321, 324.

[83] 캔터 1878, 페이지 243.

[84] 호킨스 1970, 페이지 103–106, 127.

[85] 호킨스 1970, 페이지 118, 120–124, 127.

[86] 페레이로스 2007, 페이지 362–363.

[87] 코헨 1963, 페이지 1143–1144.

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