반복 기능 시스템

수학에서 반복함수계(IFS)는 프랙탈을 구성하는 방법이다. 결과 프랙탈은 종종 자기 유사하다.IFS 프랙탈은 프랙탈 ^[1]기하학보다는 집합론에 더 관련이 있습니다.1981년에 도입되었습니다.

IFS 프랙탈은, 통상은, 임의의 수의 차원이 될 수 있지만, 일반적으로 2D로 계산되어 그려집니다.프랙탈은 여러 복사본의 결합으로 구성되며, 각 복사본은 함수에 의해 변환됩니다(따라서 "함수 시스템").전형적인 예는 시에르핀스키 삼각형이다.함수는 일반적으로 수축하므로 점이 서로 가까워지고 모양이 작아집니다.따라서 IFS 프랙탈의 모양은 겹칠 수 있는 여러 개의 작은 복사본으로 구성됩니다.각 복사본은 자신의 복사본인 adinitum으로도 구성됩니다.이것이 그 자신과 유사한 프랙탈 성질의 원천이다.

정의.

형식적으로 반복 함수 시스템은 완전한 메트릭 ^[2]공간상의 유한한 수축 매핑 세트입니다.상징적으로

${\displaystyle\{f_{i}:X\to X\mid i=1,2,\mid i,N\,\in \mathbb {N}$

는 $각{\displaystyle {}_{}}$(\$displaystyle f_{$i$$})가 완전한 메트릭 $공간{\displaystyle }$X(\$displaystyle$ X$)$ 상의 수축인 경우 반복 함수 시스템입니다.

특성.

Hutchinson(1981)은 미터법 $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R$$ \$displaystyle \mathbb {R}$^{$n$ 또는 보다 일반적으로 완전한 $미터법{\displaystyle }$ 공간$$X {\$displaystyle$X}에 대해 이러한 함수 시스템은 고유한 비어 있지 않은 콤팩트(폐쇄 및 경계가 있는) 고정 집합 S를 가지고 있음을 보여주었다.고정 집합을 구성하는 한 가지 방법은 초기 비빈 폐쇄 및 경계₀ 집합 S에서 시작하여_i f의 동작을 반복하고, S를_i f 아래의_n S 화상의 결합으로 간주한_n+1 후 S를 S의_n 결합으로 간주하는 것이다.기호적으로, 고유한 고정(빈 콤팩트 아님) $세트{\displaystyle }$ S${\displaystyle x}$X {\$displaystyle$ S$\subseteq$ X$}$는 다음과 같은 특성을 가집니다.

$({displaystyle S=오버라인({i=1}^{N}f_{i}(S)})})}$

따라서 집합 S는 $A$에${\displaystyle \mathrm{대해}}$ 정의된$$허친슨 $연산자{\displaystyle }$F : ${\displaystyle 2^{}}$ X ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$X (\$display$ $style$ F:$2$$^{$$X}\to$ 2$^{X})$의 고정$$ 집합이다.

$({displaystyle F(A)=오버라인 {bigcup_{i=1}^{N}f_{i}(A)})}$

S의 존재와 고유성은 수축 매핑 원리의 결과이다.

$\displaystyle \lim _{n\to\infty}F^{\circ n}(A)=S}$

빈 콤팩트 $세트{\displaystyle }$ A$($$X의 {\displaystyle$$$X$\})$의 경우(수축형 IFS의 경우 이 컨버전스는 비어 있지 않은 닫힌 경계 $세트{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$의 경우에도 발생합니다).S에 임의로 가까운 랜덤 요소는 아래와 같은 "혼돈 게임"으로 얻을 수 있다.

최근 비계약형 IFS(즉, X의 위상적으로 동등한 메트릭과 관련하여 축소가 아닌 지도로 구성됨)가 유인기를 산출할 수 있는 것으로 나타났다.이러한 현상은 투영 공간에서 자연스럽게 발생하지만, 원의 고전적인 비합리적인 회전도 ^[3]조정할 수 있습니다.

$함수{\displaystyle {}_{}}$ $(\$i$$})의 집합은 구성 아래의 모노이드를 생성합니다.이러한 함수가 2개뿐인 경우, 모노이드는 이진 트리로 시각화할 수 있으며, 여기서 트리의 각 노드에서 한쪽 또는 다른 쪽 함수와 합성할 수 있다(즉, 왼쪽 또는 오른쪽 가지를 취한다).일반적으로 k개의 함수가 있는 경우 모노이드를 케일리 트리라고도 하는 완전한 k-아리 트리로 시각화할 수 있습니다.

구성

$때로는$ $각{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {함수}_{}}$ fi$({$displaystyle $f_{i$})가$$ 선형, 또는 보다 일반적으로 아핀 변환이어야 하므로 행렬로 표현됩니다.그러나 IFS는 투영 변환 및 뫼비우스 변환을 포함한 비선형 함수로부터 구축될 수도 있다.프랙탈 불꽃은 비선형 함수를 가진 IFS의 한 예입니다.

IFS 프랙탈을 계산하는 가장 일반적인 알고리즘은 "혼돈 게임"이라고 불립니다.평면에서 임의의 점을 선택한 후 함수 시스템에서 임의로 선택한 함수 중 하나를 반복적으로 적용하여 점을 변환하여 다음 점을 얻는 것으로 구성됩니다.다른 알고리즘은 주어진 최대 길이까지 가능한 각 함수 시퀀스를 생성한 다음 이러한 함수 시퀀스를 초기 점 또는 모양에 적용한 결과를 플롯하는 것입니다.

이들 알고리즘 각각은 프랙탈 전체에 분산된 포인트를 생성하는 글로벌 구성을 제공합니다.프랙탈의 작은 영역이 그려질 경우 이러한 점의 대부분은 화면 경계 밖으로 떨어집니다.이 때문에, 이러한 방법으로 그려진 IFS 구조를 확대하는 것은 실용적이지 않습니다.

IFS 이론에서는 각 기능이 수축해야 하지만 실제로 IFS를 구현하는 소프트웨어는 전체 시스템이 평균 ^[4]수축해야 합니다.

파티션화된 반복 기능 시스템

로컬 반복 함수 ^[5]시스템이라고도 불리는 PIFS(분할 반복 함수 시스템)는 간단한 IFS 프랙탈에 ^[6]의해 나타나는 자기 유사 구조를 가지고 있지 않은 사진에도 놀랄 만큼 좋은 이미지 압축을 제공합니다.

역문제

IFS 또는 PIFS 파라미터 세트로부터 이미지를 생성하는 매우 빠른 알고리즘이 존재합니다.이미지내의 ^[5]각 픽셀의 색을 보존해 송신하는 것보다, 작성 방법의 설명을 보존해, 그 설명을 행선지 디바이스에 송신해, 그 화상을 행선지 디바이스상에서 새롭게 재생성하는 것이, 고속이며, 필요한 스토리지 공간도 훨씬 적게 됩니다.

역문제는 더 어렵다: 디지털 사진과 같은 원본 임의 디지털 이미지를 주어진다면, 반복에 의해 평가될 때 원본과 시각적으로 유사한 다른 이미지를 생성하는 일련의 IFS 매개변수를 찾으려 한다.1989년, 아르노 자킨은 PIFS만을 사용하여 제한된 형태의 역문제에 대한 해결책을 제시하였다. 역문제의 일반적인 형태는 ^[7][8][5]미해결 상태로 남아 있다.

1995년 현재 모든 프랙탈 압축 소프트웨어는 Jacquin의 ^[8]접근방식을 기반으로 합니다.

예

이 다이어그램은 2개의 아핀 함수에 의한 IFS 구성을 나타내고 있습니다.함수는 bi-unit square에 대한 효과로 나타납니다(이 함수는 윤곽이 잡힌 정사각형을 음영 처리된 정사각형으로 변환합니다).두 함수의 조합은 허친슨 연산자를 형성한다.연산자의 세 번의 반복이 표시된 다음 최종 영상은 고정점, 즉 최종 프랙탈입니다.

IFS에 의해 생성될 수 있는 프랙탈의 초기 예로는 1884년에 처음 기술된 칸토르 집합과 1957년에 Georges de Rham에 의해 기술된 자기 유사 곡선의 일종인 de Rham 곡선이 있다.

역사

IFS는 John E에 의해 현재의 형태로 구상되었습니다. 1981년^[9] 허친슨은 마이클 반슬리의 책 프랙탈에 의해 유명해졌다.

IFS는 자연계의 분기 구조에서 종종 발생하는 자기 유사성으로 인해 특정 식물, 잎 및 양치류에 대한 모델을 제공한다.

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「 」를 참조해 주세요.

• 복합 기반 시스템
• 콜라주 정리
• 분석 함수의 무한 구성
• L계
• 프랙탈 압축

메모들

레퍼런스

• Draves, Scott; Erik Reckase (July 2007). "The Fractal Flame Algorithm" (PDF). Archived from the original (pdf) on 2008-05-09. Retrieved 2008-07-17.
• Falconer, Kenneth (1990). Fractal geometry: Mathematical foundations and applications. John Wiley and Sons. pp. 113–117, 136. ISBN 0-471-92287-0.
• Barnsley, Michael; Andrew Vince (2011). "The Chaos Game on a General Iterated Function System". Ergodic Theory Dynam. Systems. 31 (4): 1073–1079. arXiv:1005.0322. Bibcode:2010arXiv1005.0322B.
• 이력 개요 및 개요는 다음과 같습니다. David, Claire (2019). "fractal properties of Weierstrass-type functions". Proceedings of the International Geometry Center. 12 (2): 43–61.

외부 링크

• 복소함수의 무한구성 기본이론에 관한 기초연구