순서가 잘 맞는 정리

Well-ordering theorem
"제르멜로의 정리"는 여기서 방향을 바꾼다.게임 이론에 있어서의 제르멜로의 정리는 제르멜로의 정리(게임 이론)를 참조한다.
질서정연한 원칙과 혼동하지 말 것.

수학에서, 제르멜로의 정리라고도 알려진 잘 정돈된 정리에는 모든 세트가 잘 정돈될 수 있다고 명시되어 있다.X 집합은 X의 모든 비어 있지 않은 부분 집합이 순서에 따라 최소 요소를 가질 경우 엄격한 총 순서에 의해 잘 정렬된다.잘 정돈된 정리와 조른의 보조정리(Jorn의 보조정리)는 선택의 공리와 동등한 가장 중요한 수학적인 문장이다(흔히 AC라고 불리며, 선택 § 동등성의 공리(Axiom) 참조).[1][2]에른스트 제르멜로는 잘 정돈된 정리를 증명하기 위한 "주장할 수 없는 논리 원리"로서 선택의 공리를 소개했다.[3]잘 정돈된 정리로부터 모든 세트가 트랜스피나이트 유도에 취약하다는 결론을 내릴 수 있는데, 수학자들은 이를 강력한 기술로 간주한다.[3]그 정리의 유명한 결과 중 하나는 바나흐-타르스키의 역설이다.

역사

게오르크 칸토르는 질서 정리가 "근본적인 사상 원리"[4]라고 생각했다.그러나 의 순서가 잘 배열된 모습을 시각화하는 것은 어렵거나 심지어 불가능하다고 간주된다 그러한 시각화는 선택의 공리를 포함해야 한다.[5]1904년 줄라 쾨니그는 이렇게 잘 정돈된 것은 존재할 수 없다는 것을 증명했다고 주장했다.몇 주 후 펠릭스 하우스도르프는 그 증거에서 실수를 발견했다.[6]그러나, 그러나, 1차 순서의 논리에서는 웰오더링 정리가 선택의 공리와 동등한 것으로 판명되었는데, 선택의 공리가 포함된 제르멜로-프라엔켈 공리는 웰오더링 정리를 증명하기에 충분하며, 반대로 제르멜로-프라엔켈 공리는 선택의 공리가 아닌 웰오더링 이론과 동일하다.포함된 em은 선택의 공리를 증명하기에 충분하다.(조른의 보조정리에도 마찬가지다.)그러나 두 번째 순서 논리에서는 잘 정돈된 정리가 선택의 공리보다 엄격히 더 강하다: 잘 정돈된 정리에서는 선택의 공리를 추론할 수 있지만, 선택의 공리에서는 잘 정돈된 정리를 추론할 수 없다.[7]

이 세 가지 진술에 대해 잘 알려진 농담과 직관에 대한 상대적인 어메니티(adamantability)가 있다.

선택의 공리는 분명히 사실이고, 질서 정연한 원칙은 명백히 거짓이며, 누가 조른의 보조정리법을 말할 수 있겠는가?[8]

선택 공리에 대한 동등성 증명

잘 정돈된 정리는 조른의 보조정리로부터 따른다.X 하위 집합의 모든 순서에 대한 집합을 취하십시오. 의 요소는순서가 지정된 쌍(a,b)이며, 여기서 는 X의 하위 집합이고 b는 a의 순서가 올바른 쌍입니다.을 통해 의 일부를 주문할 수 있다즉, E가 F의 초기 부분이고 E 멤버의 순서가 F의 순서와 동일하다면 E ≤ F를 정의한다.If is a chain in , then the union of the sets in can be ordered in a way that makes it a continuation of any set in ; this ordering is a well-ordering, and therefore, an upper A 의 바인딩. 따라서 우리는 조른의 보조정리기를 적용하여 가)에 최대 요소(예: (M,R)가 있다고 결론을 내릴 수 있다.X에 요소 x가 M에 없는 경우, 설정된 M∪{x}는 M에 R로 제한되는 순서가 양호하고, 이 경우 X가 M의 모든 요소보다 크므로, 설정된 M은 X와 같아야 한다.이 잘 정렬된 집합은 (M,R)의 연속이며, 그 최대성과 모순된다. 따라서 M = X. 이제 R은 X의 잘 정렬된 것이다.[9]

선택공리증거

선택의 공리는 다음과 같은 질서 정연하게 증명할 수 있다.

비어 있지 않은 집합의 집합, E에 대한 선택 함수를 만들려면 E에 있는 집합의 조합을 가져와서 X라고 부른다.X의 순서가 잘 되어 있다; R은 그런 순서가 되도록 하라.(R의 S에 대한 제한) R에 의해 명령된 대로, E의 각 세트 S에 S의 가장 작은 요소를 연관시키는 함수는 E 수집을 위한 선택 함수다.

이 증명의 본질적인 요점은 오직 R의 임의적 선택만을 수반한다는 것이다; 잘 정돈된 정리를 E의 각 멤버 S에 개별적으로 적용하는 것은 효과가 없을 것이다, 왜냐하면 그 정리는 잘 정돈된 것의 존재를 주장할 뿐이고, 잘 정돈된 정리는 단순히 요소를 선택하는 것만큼 많은 선택들을 필요로 할 것이기 때문이다.각 S. 특히 E가 헤아릴 수 없을 정도로 많은 세트를 포함하는 경우, 선택의 공리 없이 제르멜로-프라엔켈 집합 이론의 공리 하에 모든 셀 수 없이 많은 선택을 하는 것은 허용되지 않는다.

메모들

  1. ^ Kuczma, Marek (2009). An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Berlin: Springer. p. 14. ISBN 978-3-7643-8748-8.
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (2001). Encyclopaedia of Mathematics: Supplement. Berlin: Springer. p. 458. ISBN 1-4020-0198-3.
  3. ^ a b Thierry, Vialar (1945). Handbook of Mathematics. Norderstedt: Springer. p. 23. ISBN 978-2-95-519901-5.
  4. ^ 게오르크 칸토르 (1883년), "Uber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten", Matheatische Annalen 21, 페이지 545–591.
  5. ^ Sheppard, Barnaby (2014). The Logic of Infinity. Cambridge University Press. p. 174. ISBN 978-1-1070-5831-6.
  6. ^ Plotkin, J. M. (2005), "Introduction to "The Concept of Power in Set Theory"", Hausdorff on Ordered Sets, History of Mathematics, vol. 25, American Mathematical Society, pp. 23–30, ISBN 9780821890516
  7. ^ Shapiro, Stewart (1991). Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Order Logic. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-853391-8.
  8. ^ Krantz, Steven G. (2002), "The Axiom of Choice", in Krantz, Steven G. (ed.), Handbook of Logic and Proof Techniques for Computer Science, Birkhäuser Boston, pp. 121–126, doi:10.1007/978-1-4612-0115-1_9, ISBN 9781461201151
  9. ^ Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Litton Educational.

외부 링크