유클리드-멀린 수열

유클리드-뮬린 시퀀스는 구별되는 소수들의 무한 시퀀스로, 각 원소가 1의 최소 소수 인자와 모든 초기 원소들의 생산물이다.그것들은 고대 그리스 수학자 유클리드(Eucleid)의 이름을 따서 명명되는데, 이들의 정의는 유클리드(Eucleid)의 증명에서 한 가지 사상에 의존하고 있으며, 알버트 A의 이름을 따서 붙여졌다. 1963년 시퀀스에 대해 물었던 멀린.^[1]

시퀀스의 처음 51개 요소는

2, 3, 7, 43, 13, 53, 5, 6221671, 38709183810571, 139, 2801, 11, 17, 5471, 52662739, 23003, 30693651606209, 37, 1741, 1313797957, 887, 71, 7127, 109, 23, 97, 159227, 643679794963466223081509857, 103, 1079990819, 9539, 3143065813, 29, 3847, 89, 19, 577, 223, 139703, 457, 9649, 61, 4357, 87991098722552272708281251793312351581099392851768893748012603709343, 107, 127, 3313, 227432689108589532754984915075774848386671439568260420754414940780761245893, 59, 31, 211...(OEIS에서 시퀀스 A000945)

이것들은^[update] 2012년 9월 현재 유일하게 알려진 요소들이다.다음 것을 찾으려면 335자리 숫자(합성이라고 알려져 있음)의 최소 소수 인자를 찾아야 한다.

정의

${\displaystyle {시퀀스}_{}}$의$$n {\$displaystyle n}$ 요소$$, n ${\$은$($는) 가장 기본적인 요인이다.

${\displaystyle {\Bigl (}\prod _{i}{\bigr )}+1\,}$

따라서 첫 번째 요소는 빈 제품에 1을 더하는 가장 기본적인 요소인 2이다.세 번째 원소는 (2 × 3) + 1 = 7이다. 더 좋은 예시는 시퀀스의 다섯 번째 원소인 13이다.이 값은 (2 × 3 × 7 × 43) + 1 = 1806 + 1 = 1807로 계산되며, 두 개의 소수인 13 × 139의 곱이다.이 두 가지 소수 중에서 13개가 가장 작아서 순서에 포함된다.마찬가지로 일곱 번째 원소인 5는 (2 × 3 × 7 × 43 × 13 × 53) + 1 = 1,244,335의 결과물이며, 그 주요 인자는 5와 248,867이다.이 예들은 왜 그 순서가 매우 큰 숫자에서 아주 작은 숫자로 도약할 수 있는지를 보여준다.

특성.

순서는 무한히 길고 반복되는 원소를 포함하지 않는다.이것은 무한히 많은 프리임이 있다는 유클리드 증거의 방법을 사용하여 증명할 수 있다.그 증거는 건설적이며, 그 순서는 그 건설의 버전을 수행한 결과물이다.

추측

물린(1963년)은 모든 프라임 번호가 유클리드-뮬린 시퀀스에 표시되는지, 그리고 그렇지 않을 경우 해당 시퀀스에서 멤버십에 대한 특정 프라임을 테스트하는 문제가 계산 가능한지 물었다.대니얼 샨크스(1991)는 프리임의 분포가 무작위라는 경험적 발견적 가정에 근거하여 모든 프라임이 시퀀스에 나타난다고 추측했다.^[2]그러나 다른 도메인에 대한 유사한 재귀 시퀀스가 모든 프리임을 포함하지는 않지만,^[3] 이러한 문제는 모두 원래 유클리드-뮬린 시퀀스에 대해 열려 있다.^[4]시퀀스의 요소로 알려져 있지 않은 최소 프라이밍 수는 41이다.

2 ~ 97 사이의 소수점 위치는 다음과 같다.

2:1, 3:2, 5:7, 7:3, 11:12, 13:5, 17:13, 19:36, 23:25, 29:33, 31:50, 37:18, 41:?, 43:4, 47:?, 53:6, 59:49, 61:42, 67:?, 71:22, 73:?, 79:?, 83:?, 89:35, 97:26 (sequence A056756 in the OEIS)

어디에 ?는 2012년 현재 그 위치(또는 그것이 존재하는지)를 알 수 없음을 나타낸다.^[5]

관련 시퀀스

최대 소수 1의 최대 소수 + 이전 숫자의 곱에 의해 결정되는 관련 수의 순서는 유클리드-뮬린 시퀀스로도 알려져 있다.그것은 더 빨리 자라지만 단조롭지는 않다.^[6]이 순서의 숫자는

2, 3, 7, 4, 43, 139, 50207, 340999, 2365347734339, 4680225641471129, 1368845206580129, 889340345778806789857422371, …(OEIS에서 순차 A000946).

모든 소수들이 이 순서에 나타나지는 않고,^[7] 소수들이 사라진 순서에 따라

5, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, ... (OEIS에서 연속 A216227)

무한하다는 것이 증명되었다.^[8][9]

또한 각 단계에서 가장 작은 소수 인자를 선택하되 2가 아닌 다른 소수 인자로 시작하는 규칙을 사용하여 유클리드-뮬린 시퀀스의 수정 버전을 생성할 수도 있다.^[10]

또는 각 숫자를 1 더하기 위해 이전 숫자의 곱을 더하는 것은(그것을 인수하는 것이 아니라) 실베스터의 순서를 준다.1의 모든 요인에 이전 숫자의 곱을 더하여 반복적으로 덧셈으로써 구성된 순서는 실베스터 순서의 주요 요인의 순서와 같다.유클리드-뮬린 수열과 마찬가지로 이것은 단조롭지 않은 프리임의 시퀀스지만, 프리임을 모두 포함하지는 않는 것으로 알려져 있다.^[11]

참고 항목

• 유클리드 수

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Euclid–Mullin Sequence". MathWorld.