제수

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수학에서 정수$n{\displaystyle }$(\$displaystyle$n$)$의 약수$(n\displaystyle$n$)$는 정수$m{\displaystyle }$(\$displaystyle$ m$)$으로, n(\$displaystyle$n$)$을 곱하여 n$(\$displaystyle n)을$$ $생성$할 수 있습니다.이 경우 n$(\$$displaystyle$ n$)$은 m$)$의 $배수$라고도 합니다$.$$$ $정수{\displaystyle }$ n$({$$displaystyle$ n$$$})$은 m({$displaystyle$ m$})$이 n$({displaystyle$ n$\})$의 약수인 $경우{\displaystyle }$ 다른 $정수{\displaystyle }$m({$displaystyle$m})에$$ 의해 분할되거나 균등하게 분할됩니다.이것은$$n({$displaystyle$$$n})을$$m({$displaystyle$m})으로 $분할$하는 것을 의미합니다.

정의.

정수 n은 n ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle k}$m {$displaystyle$ n$=km$인 정수 k가 존재하는 경우 0이 아닌 정수 m으로 나눌 수 있습니다.이것은 라고 쓰여 있다.

${\displaystyle m\mid n}$

m 나누기 n, m은 n, m은 n의 제수, m은 n의 인수, n은 m의 배수라는 것도 같은 표현입니다.m이 n을 나누지 않을 경우 $표기법$은 m${\displaystyle \mathrm{nn}}$\ $displaystyle$ m$\not \mid$n 입니다$.$^[1][2]

보통 m은 0이 아니어야 하지만 n은 0이 될 수 있습니다.이 표기법에서는 0이 아닌 정수m마다 m ${\displaystyle \le }$(\$displaystyle$ m\^[1][2]$mid$ 0$)$이 됩니다.일부 정의에서는 m$\displaystyle$m이$$ ^[3]0이 $아닌{\displaystyle }$ 요건을 생략하고 있습니다.

일반

제수는 양수뿐만 아니라 음수일 수도 있지만, 때로는 양수로 제한되기도 합니다.예를 들어, 4의 약수는 1, 2, 4, -1, -2, -4 등 6개이지만 일반적으로는 양의 약수(1, 2, 4)만 언급됩니다.

1과 -1은 모든 정수를 나눕니다(즉, 제수).모든 정수(및 그 부정)는 그 자체의 제수이다.2로 나눌 수 있는 정수를 짝수라고 하고, 2로 나눌 수 없는 정수를 홀수라고 합니다.

1, -1, n 및 -n은 n의 약수로 알려져 있습니다.단순 제수가 아닌 n의 제수는 단순하지 않은 제수(또는 엄밀한 제수^[4])로 알려져 있다.적어도 1개의 비삼분수를 갖는 0이 아닌 정수는 합성수로 알려져 있으며, 단위 -1, 1 및 소수에는 비삼분수가 없다.

어떤 숫자의 제수를 그 숫자의 자릿수로부터 인식할 수 있도록 하는 약수 규칙이 있다.

예

• 7은 7${\displaystyle }$× $6$$42$이므로 42의 약수이므로 7$$we $42$라고 할 수 있습니다$.$또한$$42는 7로 나누어지고 42는 7의 배수, 7의 나눗셈 42 또는 $7$의 나눗셈 42는 42의 배수라고 할 수 있습니다.
• 6의 약수는 2, -2, 3, -3이다.
• 42의 양의 제수는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42입니다.
• 60의 모든 양의 제수 집합, $A{\displaystyle }$ $=$ {${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 4}$, 5,${\displaystyle 5}$,${\displaystyle 6}$, ${\displaystyle 10}$, ${\displaystyle 12,}$ ${\displaystyle 15,}$ ${\displaystyle 20,}$ ${\displaystyle 30}$, $60$}({$style$ A=\{1$,$ 2, 3$, 4,$ 5, $10, 12, 15, 20,$ 30$, 60$ 부분적으로 나눗셈순으로 정렬된 Hasse 다이어그램이 있습니다.

추가 개념 및 사실

기본적인 규칙이 몇 가지 있습니다.

• a $(\displaystyle$ a$\mid$ b$)$와 b$(\displaystyle$ b$\mid$ c$)$의 경우 $(\displaystyle$ a$\mid$ c$)$는 추이관계입니다.
• ${\displaystyle a}$가${\displaystyle }$b$(\displaystyle$ a$\mid$ b$)$ $및$ $displaystyle$ b$\mid$ a$)$일 $경우{\displaystyle }$ a ${\displaystyle =}$(\$displaystyle$ a$=$$b)$ $또는$ a ${\displaystyle =}$ -$$(\$displaystyle$ a=-$b$입니다.
• 만약 ∣ b{a\mid b\displaystyle}과 ∣ c{a\mid c\displaystyle},∣(b+c){\displaystylea\mid(b+c)}을 보유하고 있는 ∣ b{a\mid b\displaystyle}과 c∣ b{c\mid b\displaystyle} 다음(는+c)∣ b{\displaystyle(a+c)\mid, .[5]그러나 ∣(b− c){\displaystylea\mid(b-c)}는 않는다.b}$$ 가 항상 유지되는 것은 아닙니다($예{\displaystyle \mathrm{}}$: 2${\displaystyle 6}$6 (\$displaystyle 2\mid$6$$) $및{\displaystyle \mathrm{}}$ 3${\displaystyle 6}$6 (\$displaystyle$ 3$\mid$ 6$)$ 그러나$$ 5는 6을 나누지 않습니다).

$\displaystyle$ a$\mid$ bc$}$및 $(a,$ ${\displaystyle b)}$ $=$ ${\displaystyle 1}$(\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$$\$gcd$(a$,$ b)=$1$의 $경우{\displaystyle }$ $\displaystyle$ a$\mid$ c$\}.$^{[note 1]}이것은 유클리드의 보조군이라고 불린다.

p$\displaystyle$ p$\$$mid$ ab가$$ ${\displaystyle \mathrm{소수}}$이고 $p{\displaystyle }$\$displaystyle p$$\mid$ab인 경우 p\displaystyle$$p$\mid$a $또는$ p${\displaystyle \backslash b}\backslash$$displaystyle$ p$\mid$${\displaystyle b}$입니다.

n{n\displaystyle}의 n{n\displaystyle}에서 다르다 긍정적인 인자;:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}proper 인자 또는 n{n\displaystyle}의 정제수. 고르게 있지만 그렇게 나머지 잎 n{n\displaystyle}으로 나누지 않는 숫자 .mw-parser-output .vanchor&gt라고 불린다.Metimes n{n\displaystyle}의 비약 수.라고 불렀다.

n> { $displaystyle$ n $> 1$ n> 1을 소수라고 합니다.마찬가지로, 소수는 정확히 두 개의 양의 인자, 즉 1과 그 자체를 갖는 양의 정수입니다.

$n의$$$양수$$제수는$n$의 소수$$제수의 곱이다.이것은 산술의 기본정리의 결과이다.

$숫자{\displaystyle }$n({$displaystyle$n})은$$ 고유 제수의 합계와 같으면 완벽하고, 고유 제수의 합계가$$n({$displaystyle$n$\})$ $미만$이면 부족하며, 이 합계가$$n({$displaystyle$n$\})$을 넘으면 풍부하다고 합니다.

n${displaystyle$ $n$$}$의 양수 합계는 d$)$ {$displaystyle$ d$($$n$$)\}$입니다.즉, 2개의 $숫자{\displaystyle }$ m$(\displaystyle$ m$)$과$n{\displaystyle }$(\$displaystyle$n$)$이 비교적 $소수$일 때${\displaystyle d}$(${\displaystyle m)}$ $=$ $($)${\displaystyle }$× d$n)\displaystyle d($$n{\displaystyle }$)의 d(n$)$ instance, d(n).${\displaystyle (42)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle =2}$ ×${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle d}$(${\displaystyle }$2 )${\displaystyle }$×${\displaystyle d}$ (${\displaystyle 3}$) × ${\displaystyle d}$( ${\displaystyle 7}$)${\displaystyle }${ $displaystyle$d ( $42$) $= 8$ = 2 \ $times$ 2$= d$ ($2$ ) \ $times d$ $( 7$) ; $42$의 8개의 약수는 1, 2, 3, 6, 14 및 42이다.단, 양의 제수는 완전히 곱하는 함수는 아닙니다.두 $숫자{\displaystyle }$ m$(\displaystyle$ m$)$과 $(\displaystyle$ n$)$이 공통 제수를 공유하는 경우 d${\displaystyle (m)}$ $= d($ × $)$ {$displaystyle$ d$(m)\times$d($n$가 아닐 수 $있습니다{\displaystyle }$.n$${$displaystyle$ n$}$의 양의 약수의 합은 또 다른 곱셈 함수${\displaystyle }\theta {\displaystyle }$ ($)$ {$style \display (n)}$ $$(예:${\displaystyle \mathrm{display}}$ ${\displaystyle 42}$ ) ${\displaystyle =}$ 96 ${\displaystyle =3}$ × ${\displaystyle 4}$× ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle =\mathrm{display}}$ (${\displaystyle 2}$ ) ×${\displaystyle \mathrm{display}}$ ( ${\displaystyle 7}$)${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1}$+${\displaystyle 2}$ +${\displaystyle 3}$+ 7${\displaystyle }$+${\displaystyle 14}$+ ${\displaystyle 42}$ \$display 42 )$ 。$4+21+42}).$이 두 함수는 모두 약수 함수의 예입니다.

$n\style$n의$$ 소인수 분해는 다음과 같습니다.

${{displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}},p_{2}^{\nu _{2}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

n$(\displaystyle$ n$)$의 양의 제수의 수는

$\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots(\nu _{k}+1),}$

그리고 각각의 제수는 다음과 같은 형태를 가지고 있다.

${{displaystyle p_{1}^{{1}},p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}$

$여기$서 0${\displaystyle }$${\displaystyle \mu }$ i${\displaystyle {}_{}}$i i ${\displaystyle i_{}}$ i$$、 i ${\displaystyle （}$ \ $display style$$$0 \ $leq$\ $mu$_ { $i$} \$leq$ \ $nu$_ {$i$ } each$$ 1 where $11{\displaystyle \mathrm{}}$\ $leq$i \ $leq$ k$$）

모든 $자연{\displaystyle }$n \ $displaystyle$ n$$,$$() < n \ $displaystyle$d ($n$ ) < $2${ \ $sqrt${$n$}。

그리고...^[6]

$\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\display - 1)n+O({\sqrt {n})}$

여기서$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \gamma)$는 오일러-마셰로니 상수입니다.이 결과의 해석 중 하나는 무작위로 선택된 양의 정수 n의 평균 약 $µ n$의$$제수가 있다는 것입니다. 단, 이는 "비정상적으로 많은" 제수를 가진 숫자의 기여에 의한 결과입니다.

추상 대수학에서

링 이론

분할 격자

0을 포함하는 정의에서, 나눗셈의 관계는 음이 아닌 정수 $집합{\displaystyle \mathbb{}}$N(\$displaystyle \mathbb {N})$을 부분 순서 집합, 즉 완전한 분포 격자로 변환합니다.이 격자의 가장 큰 요소는 0이고 가장 작은 요소는 1입니다.meet 연산 '은 최대공약수로, join 연산 '은 최소공약수로 지정됩니다.$이$ 격자는 무한 $순환군{\displaystyle \mathbb{}}$Z {\displaystyle $\mathbb {Z$의 부분군 격자의 쌍대와 동형이다.

「 」를 참조해 주세요.

• 산술 함수
• 유클리드 알고리즘
• 분수(수학)
• 제수표 - 1 ~1000의 소수 및 비소수 제수표
• 소인수 표 — 1~1000의 소인수 표
• 유니터리 제수

메모들

레퍼런스

• Durbin, John R. (2009). Modern Algebra: An Introduction (6th ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
• 리처드 K. Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7, 섹션 B.
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1960). An Introduction to the Theory of Numbers (4th ed.). Oxford University Press.
• Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
• Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-62546-9.
• üystein 광석, 수 이론과 그 역사, McGrow-Hill, NY, 1944(및 도버 전재).
• Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9