삼각수

삼각형 숫자 또는 삼각형 숫자는 정삼각형으로 배열된 물체를 카운트한다. 삼각형 숫자는 구상 숫자의 한 종류인데, 다른 예로는 정사각형 숫자와 정육면체 숫자 등이 있다. n번째 삼각형 숫자는 양쪽에 n개의 점이 있는 삼각형 배열의 점수로, 1부터 n까지의 n개의 자연수를 합한 것과 같다. 0번째 삼각형 숫자로 시작하는 삼각형 숫자의 순서는

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

(이 시퀀스는 온라인 정수 시퀀스 백과사전(OEIS의 시퀀스 A000217)에 포함되어 있다.)

공식

삼각형 숫자는 다음과 같은 명시적 공식에 의해 주어진다.

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$+ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{}}{}}$ 2${\displaystyle }$) ${\$ {$n+1 \선택$ 2$.}$은 이항 계수다. n + 1 객체에서 선택할 수 있는 구별되는 쌍의 수를 나타내며, "n+1 선택 2"로 소리내어 읽는다.

첫 번째 방정식은 시각적 증거를 사용하여 설명할 수 있다.^[1] 각 삼각형 번호 ${\displaystyle {Tn}_{}}$ ${\$에 대해 아래 그림과 같이 삼각형 번호에 해당하는 개체의 "반제곱" 배열을 상상해 보십시오$.$ 이 배열을 복사하여 직사각형 형상을 만들기 위해 회전하면 개체 수가 두 배로 증가하여 치수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle (n}$+ $){\displaystyle n\time (n+1$)이$$있는 직사각형이 생성되는데$,$ 이것은 직사각형에 있는 물체의 수이기도 하다. 분명히 삼각수 자체는 항상 그러한 도형의 물체 수의 정확히 절반이며, 또는 $T{\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ =${\displaystyle \frac{n}{}}$ (${\displaystyle \frac{}{}}$n +${\displaystyle \frac{1}{}}$ ) ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\$ $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 예는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 4}$( ${\displaystyle 4}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 20}$ ${\displaystyle 2T_{4}=4(4+1$)=4(4+1$)=20}($녹색 + ${\displaystyle \frac{\mathrm{노란색}}{}}$)은 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$= 4 =${\displaystyle \frac{4}{}}$( 4${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$) 2 = ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyty T_{$4}={\$frac$ ($4+$1){2}{$2$}를 의미함$}}}=10}($녹색).

또한 첫 번째 방정식은 다음과 같은 수학적 유도를 사용하여 설정할 수 있다.^[2] $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}는$$ 1과 같으므로, 베이시스 케이스가 성립된다. ${\displaystyle {Tn}_{}}$= ${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle T_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle }$${\displaystyle 1_{}}$${\$${\displaystyle \mathrm{T\_}}$${n-1}$에 대한 귀납 가설을 가정하여 양쪽 $모두$에 n$$ ${\displaystyle n-1$$}$을$($를) 추가하면 즉시 얻을 수 있다는 정의에 따른다.

In other words, since the proposition ${\displaystyle P(n)}$ (that is, the first equation, or inductive hypothesis itself) is true when ${\displaystyle n=1}$, and since ${\displaystyle P(n)}$ being true implies that ${\displaystyle P(n+1)}$ is also true, then the first equation is true for a자연수일 것이다. 위의 주장은 0으로 시작하고 포함하도록 쉽게 수정할 수 있다.

독일 수학자이자 과학자, 카를 프리드리히 가우스, 그의 초기 청년기에 이 관계를 발견해서,.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw, 또한 multiplying한 것에 의해 알려졌어요.그 합에 각 쌍의 값들에 의해 숫자의 n+1.[3]-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}n/2 쌍입니다. 그러나, 이 이야기의 진실과 관계없이, 가우스는 이 공식을 처음 발견한 것은 아니었고, 어떤 사람들은 그 기원이 기원전 5세기 피타고라스로 거슬러 올라갈 가능성이 있다고 생각한다.^[4] 이 두 공식은 아일랜드 수도사 디큐일에 의해 약 816년에 그의 Computus에 묘사되었다.^[5]

삼각형 숫자 T는_n n+1이 있는 방의 각자가 한 번씩 악수를 하면 악수 횟수를 세는 악수 문제를 해결한다. 즉 n명의 악수 문제에 대한 해결책은 T이다_n−1.^[6] 함수 T는 1부터 n까지의 정수의 산물인 요인함수의 첨가 아날로그다.

삼각형에서 가장 가까운 점 쌍 사이의 선 세그먼트 수는 점의 수 또는 반복 관계의 측면에서 나타낼 수 있다.

한계에서 두 숫자, 점, 선 세그먼트 사이의 비율은 다음과 같다.

다른 피규어 수와의 관계

삼각형 숫자는 다른 비유적 숫자와 매우 다양한 관계를 가지고 있다.

가장 간단히 말해서 연속된 두 삼각형의 숫자의 합은 제곱수인데, 합은 두 개의 차이의 제곱수(따라서 두 개의 차이는 합계의 제곱근)이다. 대수학적으로,

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$

이 사실은 정사각형을 만들기 위해 삼각형을 반대 방향으로 배치함으로써 그래픽으로 증명할 수 있다.

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

정사각형 숫자인 삼각형 숫자가 무한히 많다. 예를 들어 1, 36, 1225. 그 중 일부는 다음과 같은 단순한 재귀 공식에 의해 생성될 수 있다.

$S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= 1${\displaystyle S_{1}=1$과 함께$.$$}$

모든 사각 삼각형 숫자는 재귀에서 찾을 수 있다.

$S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S_{0}=0}$ 및 $S$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= 1${\displaystyle S_{$$1}=1$.$}$

또한 n번째 삼각수의 제곱은 정수의 정육면체의 합이 1부터 n과 같다. 이것은 또한 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \sum \sum \{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2}}}$

첫 번째 n개의 삼각형 숫자의 합은 n번째 사면수:

보다 일반적으로 n번째 m-곤 번호와 n번째(m + 1)-곤 번호의 차이는 (n - 1)번째 삼각형 번호다. 예를 들어, 여섯 번째 헵탄수(81)에서 여섯 번째 육각수(66)를 뺀 것은 다섯 번째 삼각수인 15와 같다. 다른 삼각형 숫자는 모두 육각형이다. 삼각형 숫자를 알면 중심 다각형 숫자를 계산할 수 있다. n번째 중심 k-곤 번호는 공식으로 구한다.

여기서 T는 삼각형 숫자다.

두 삼각형 숫자의 양의 차이는 사다리꼴 숫자다.

The pattern found for triangular numbers ${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$ and for tetrahedral numbers ${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_$이항계수를$사용$하는 {$3$$}\sum _{n_{1$}=1$}^{n_{$2}}$n_${1$}={\binom{n_{3}+2}}:{3$}}{3$}}}}}}}$은(는) 일반화할 수 있다. 이는 다음과 같은 공식으로 이어진다.^[7]

기타 속성

삼각형 숫자는 포크하버 공식의 1급 사례에 해당한다.

교대 삼각수(1, 6, 15, 28, ...)도 육각수다.

모든 짝수 완벽한 숫자는 공식에 의해 주어지는 삼각형(육각형뿐만 아니라)이다.

여기서_p M은 메르센의 전성기다. 홀수 퍼펙트 숫자를 알 수 없으므로, 알려진 모든 퍼펙트 번호는 삼각형이다.

예를 들어, 세 번째 삼각형 숫자는 (3 × 2 =) 6, 일곱 번째 숫자는 (7 × 4 =) 28, 31번째 숫자는 (31 × 16 =) 496, 127번째 숫자는 (127 × 64 =) 8128이다.

삼각형 숫자의 마지막 자릿수는 0, 1, 3, 5, 6 또는 8이다. 결승 3은 0 또는 5가 선행되어야 하며, 결승 8은 2 또는 7이 선행되어야 한다.

베이스 10에서, 0이 아닌 삼각형의 숫자의 디지털 루트는 항상 1, 3, 6, 9이다. 따라서 모든 삼각형 수는 3으로 나누거나 9로 나누면 1이 된다.

3으로 나누지 않는 삼각형 숫자에 더 구체적인 특성이 있다. 즉, 27로 나누면 나머지 1 또는 10이 있다. 10모드 27에 해당하는 것도 10모드 81과 같다.

위의 그림과 같이 9항마다 반복되는 삼각형의 숫자에 대한 디지털 루트 패턴은 "1, 3, 6, 1, 6, 3, 1, 9, 9"이다.

그러나 위의 진술의 역설이 항상 진실인 것은 아니다. 예를 들어, 삼각수가 아닌 12의 디지털 루트는 3이고 3으로 나눌 수 있다.

x가 삼각형 숫자인 경우 a가 홀수 제곱이고 b = a = a - 1/8인 경우 도끼 + b도 삼각형 숫자다. 8T_n + 1 = (2n + 1) 홀수 제곱을 모두 산출하는 ²8T + 1 = (2n + 1)은 삼각형 숫자에 8을 곱하고 1을 더하면 나타나기 때문에 b가 주어진 공정이 홀수 제곱은 이 연산의 역행이기 때문에 b는 항상 삼각형 숫자라는 점에 유의한다. 이 양식의 첫 번째 몇 쌍(1x + 0을 계산하지 않음)은 9x + 1, 25x + 3, 49x + 6, 81x + 10, 121x + 15, 169x + 21, 등이다. x가 T와_n 동일하면 이러한 공식은 T_{3n + 1}, T, T_{5n + 2}, T_{7n + 39n + 4}, T 등을 산출한다.

0이 아닌 모든 삼각형 숫자의 왕복 합은

이는 텔레스코핑 시리즈의 기본 합계를 사용하여 확인할 수 있다.

삼각형 숫자에 관한 두 가지 다른 공식은

그리고 두 가지 모두 점 무늬를 보면(위 참조) 또는 간단한 대수학으로 또는 간단한 대수학으로 설정될 수 있다.

1796년 가우스는 모든 양의 정수가 3개의 삼각수(T₀ = 0을 포함)의 합으로 표현 가능하다는 것을 발견하였고, 일기에 그의 유명한 단어인 "ευρρηηαα! num = Δ + Δ + Δ + Δ"를 적는다. 이 정리는 삼각형 숫자가 다르다는 것을 의미하지 않는다(20 = 10 + 10 + 0의 경우처럼), 정확히 세 개의 비영점 삼각형 숫자를 가진 솔루션이 존재해야 한다는 것을 의미하지 않는다. 이것은 페르마 폴리곤 수 정리의 특별한 경우다.

형식^k 2 - 1의 가장 큰 삼각형 숫자는 4095이다(라마누잔-나겔 방정식 참조).

와크워프 프란치스코제크 시에르피에스키가 기하급수적으로 뚜렷한 네 개의 삼각형 숫자가 존재하는 것에 대해 의문을 제기했다. 폴란드 수학자 카지미에츠 시미체크에 의해 불가능하다고 추측되었고, 이후 팽과 첸에 의해 2007년에 증명되었다.^[8][9]

정수를 삼각형 숫자의 합으로 표현하는 공식은 특히 라마누잔 세타 함수와 연결된다.^[10][11]

적용들

n개의 컴퓨팅 디바이스로 완전히 연결된 네트워크는_{n − 1} T 케이블이나 다른 연결부가 있어야 한다. 이는 위에서 언급한 핸드셰이크 문제와 동일하다.

라운드 로빈 그룹 스테이지를 사용하는 토너먼트 형식에서 n개 팀 간 경기 횟수는 삼각형 번호 T와_{n − 1} 같다. 예를 들어 4팀이 속한 조별리그는 6경기가 필요하고, 8팀이 속한 조별리그는 28경기가 필요하다. 이 역시 악수 문제, 완전히 연결된 네트워크 문제와 맞먹는다.

자산의 감가상각을 계산하는 한 가지 방법은 연차수치법으로, T를_n 구하는 것을 포함한다. 여기서 n은 자산의 내용연수의 연도를 말한다. 매년 해당 품목이 손실(b - s) × n - y/T_n, 여기서 b는 해당 품목의 시작 가치(통화 단위), s는 최종 인양 가치, n은 해당 품목이 사용 가능한 총 연도 수, y는 감가상각 일정의 현재 연도 수이다. 이 방법에 따르면 사용가능한 수명이 n = 4년인 항목은 첫해에는 "사용가능"가치의 4/10, 두 번째 해에는 3/10, 세 번째 해에는 2/10, 그리고 네 번째 해에는 1/10이 손실되어 총 사용가능가치의 10/10(전체) 감가상각이 누적된다.

삼각근 및 삼각수 검정

x의 제곱근과 유추하여 x의 (양)삼각근(양_n)을 숫자 n으로 정의하여 T = x:^[12]

2차 공식에서 바로 이어지는 거야 따라서 정수 x는 8x + 1이 제곱인 경우에만 삼각형이다. 동등하게, x의 양의 삼각근 n이 정수라면 x는 n번째 삼각근수다.^[12]

대체명

도날드 크누스가 제안한 대체 이름은 요인들과 유사하게 n번째 삼각형 숫자에 대한 n?라는 표기법과 함께 "임기"이다.^[13] 그러나 일부 다른 출처에서는 이 이름과 표기법을 사용하고 있지만 널리 쓰이지 않는다.^[14]

참고 항목

• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 이중 삼각형 수, 삼각형 수열에서 위치가 삼각형 수인 삼각형 수
• 삼각형에서 10개의 점을 배열한 테트랙티스(Tetractys)는 피타고라스주의에서 중요하다.

참조

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 삼각형 숫자와 관련된 미디어가 있다.

• "Arithmetic series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 삼각형 숫자(컷-더-knot
• 또한 사각형인 삼각형 숫자도 있다.
• Weisstein, Eric W. "Triangular Number". MathWorld.
• 삼각형 입방근에 대한 일반화, 일부 상위 치수 및 일부 근사 공식 등 Rob Hubbard에 의한 비대칭 다면체 뿌리