요르단의 토털 함수

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$을(를) 양의 정수로 한다$$.수 이론에서, 양의 정수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 J${\displaystyle {}_{}}k{\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle J_{k}(n)}$는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}$보다 작거나 같은 양의$$ $정수$인 k ${\displaysty$ $k}$ -tup의 수와 $n$과 함께 coprime 집합을 형성한다$$$$.${\displaystyle \mathrm{k}}$+ 1 ${\displaystyle k+1}$ 정수$$.

Jordan의 토털함수는 J ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle J_{1}(n)}$이(가) 주는 오일러의 토털함수의 일반화다$.$이 기능은 카밀 조던의 이름을 따서 명명되었다.

정의

각 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대해$$${\displaystyle {Jordan}_{}}$의 Totient 함수 $J{\displaystyle {}_{}}$ k ${\$는 승법적이며 다음과 같이 평가할 수 있다.

${\displaystyle J_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= n ${\displaystyle k^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{p}}$ ${\displaystyle n\mathrm{}\underset{}{}}$( 1${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{k^{}}{}}$) $displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\$pnd $_{pn}\p$ n$}\,},$ $여기$서 p ${\$$displaystyle p$$}$는 $}$의 주요 구분선을 통과한다$.$

특성.

• ${\d 디스플레이 스타일 \sum _{d n}J_{k}(d)=n^{k}\,}$

Dirichlet convention의 언어로 다음과 같이^[1] 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,}$

그리고 뫼비우스의 역전을 통해

${\displaystyle {}_{}J}$ ${\displaystyle k_{}}$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mu (}$ ${\displaystyle n}$) =${\displaystyle {\mu n}^{}}$ ${\$ n$^{k$

$\mu {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu}$의 디리클레 생성함수는 1 /${\displaystyle \zeta }$ (${\displaystyle s}$)${\displaystyle$ $1$$/\$$zeta$$(s)}$이고 ${\displaystyle n^{}}$ k ${\$$displaystyle$n$^{k}}}}$의 디리클레 $생성함수$는 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle s}$- k${\displaystyle }$$){\$$}$가 된다$$$.$

${\displaystyle \sum _n}$ ${\displaystyle \underset{}{\ge }}$ ${\displaystyle \underset{}{}\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{k_{}}{}}$($n$) ${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$ s${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$= ${\displaystyle \zeta \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{(s}{}}$- k${\displaystyle \frac{}{}}$) ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{(s}{}}$ ) ${$ ( s ${\displaystyle \frac{)}{}}$ \$displaystyle$ \$sum$_{$n\gq 1}{\frac {J_{k}(n){n^{n^}}}}}}={\frac${\$zeta(s$

• ${\displaystyle \mathrm{Jk}{}_{}}$( n${\displaystyle }$) ${\displaystyle J_{k}(n)}$의 평균 순서는$$

${\displaystyle \frac{n^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{k^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$(${\displaystyle \frac{k}{}}$+ $){\$

• 데데킨트 psi 함수는

${\displaystyle \psi }$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{{J\mathrm{}}_{}}{}}$ 2${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{n}{}}$) ${\displaystyle \frac{{J\mathrm{}}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$( ${\displaystyle \frac{n}{}}$) ${\$

and by inspection of the definition (recognizing that each factor in the product over the primes is a cyclotomic polynomial of ${\displaystyle p_{-k}}$), the arithmetic functions defined by ${\displaystyle {\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}}$ or ${\displa$$ystyle {\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}}$도 정수 값 곱셈 함수로 표시할 수 있다$$.

• ${\delta \sum$$왼쪽({\frac {n}{delta$$J_{r+s}(n)}$.

행렬 그룹 순서

• $Z{\displaystyle \mathbf{}}$^[3]${\displaystyle }$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \$mathbf ${Z} /n}$을(를$$) 통한$$순서 m {\$displaystyle$ m}의 일반 선형 그룹에 순서가 있음

${\displaystyle \operatorname {GL}(m,\mathbf {Z} /n) =n^{\frac {m-1){2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).}$

• $Z{\displaystyle \mathbf{}}$/$$ {\$displaystyle$$\mathbf {Z} /n}$에 대한 순서 m ${\$$displaystyle$ \mathbf /n}의 행렬의 특수 선형 그룹에 순서가 있음$$

${\displaystyle \operatorname {SL}(m,\mathbf {Z} /n) =n^{\frac {m-1){2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).}$

• $Z{\displaystyle \mathbf{}}$/ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /n}$을(를) 통한$$주문 m {\displaystyle $m}$의 공통 행렬 그룹에 주문이$$ 있음

${\displaystyle \operatorname {Sp}(2m,\mathbf {Z} /n) =n^{m^{2}}\prod _{k=1}J_{2k}(n).}$

처음 두 공식은 조던에 의해 발견되었다.

예

• Explicit lists in the OEIS are J₂ in OEIS: A007434, J₃ in OEIS: A059376, J₄ in OEIS: A059377, J₅ in OEIS: A059378, J₆ up to J₁₀ in OEIS: A069091 up to OEIS: A069095.

• Multiplicative functions defined by ratios are J₂(n)/J₁(n) in OEIS: A001615, J₃(n)/J₁(n) in OEIS: A160889, J₄(n)/J₁(n) in OEIS: A160891, J₅(n)/J₁(n) in OEIS: A160893, J₆(n)/J₁(n) in OEIS: A160895, J₇(n)/J₁(n) in OEIS: A160897, J₈(n)/J₁(n) in OEIS: A160908, J₉(n)/J₁(n) in OEIS: A160953, J₁₀(n)/J₁(n) in OEIS: A160957, J₁₁(n)/J₁(n) in OEIS: A160960.

• 비율의_2k 예로는 OEIS의 J(n)/J_k2(n): A065958₄, OEIS의 J₆(n)/J₃(n): A065959, OEIS의 J₈(n)/J₄(n): A065960이 있다.

메모들

참조

• L. E. Dickson (1971) [1919]. History of the Theory of Numbers, Vol. I. Chelsea Publishing. p. 147. ISBN 0-8284-0086-5. JFM 47.0100.04.
• M. Ram Murty (2001). Problems in Analytic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 206. Springer-Verlag. p. 11. ISBN 0-387-95143-1. Zbl 0971.11001.
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. pp. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.

외부 링크

• Andrica, Dorin; Piticari, Mihai (2004). "On some Extensions of Jordan's arithmetical Functions" (PDF). Acta universitatis Apulensis (7). MR 2157944.
• Holden, Matthew; Orrison, Michael; Varble, Michael. "Yet another Generalization of Euler's Totient Function" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2016-03-05. Retrieved 2011-12-21.