마감(토폴로지)

수학에서 위상학적 공간에서 점의 부분 집합 S의 닫힘은 S의 모든 한계점과 함께 S의 모든 점으로 구성된다.S의 폐쇄는 S와 그 경계의 결합으로 동등하게 정의될 수 있으며, S를 포함하는 모든 닫힌 집합의 교차로도 정의될 수 있다.직관적으로 폐쇄는 S나 "근접한" S에 있는 모든 지점으로 생각할 수 있다. S의 폐쇄에 있는 지점은 S의 폐쇄 지점이다.폐쇄의 개념은 여러 면에서 내부라는 개념과 이중적이다.

정의들

폐쇄점

유클리드 공간의 부분 $집합$인 S$${\$displaystyle$$$S}의 $경우{\displaystyle }$, x$$${\$$displaystyle x$$}$을(를) 중심으로 한 모든 열린 공에 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 점이 포함된$$ 경우$$$($$$$이{\displaystyle }$ 점은$$x {\$displaystyle x}$ 그 자체일$$ 수 있음)의 닫힘 지점이다.

이 정의는 계량 공간 X의 어떤 부분 집합 S{S\displaystyle}.{X\displaystyle}완전히 X에 적절한 계측 법 d와 함께{X\displaystyle} 계량 공간,{\displaystyle d,})S{S\displaystyle}의 폐쇄성의{\displaystyle)}은 한번 r을 위해서;0{\displaystyle 표현되 generalizes.r>.$0$$}$ 거리 , ) <r {\$displaystyle$ d$(x,s)<$r}($again{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle x}$ =$$s {\$displaystyle x=s$})과 같은$$ $일부{\displaystyle }$s가 ${\displaystyle \mathrm{있다}}$.이것을 표현하는 또 다른 방법은 $거리$ d${\displaystyle }$($$${\displaystyle x}$, ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \underset{}{inf}}$ ${\displaystyle \underset{}{s}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ d${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle s}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle d(x,S):=\inf _{s\in S}d(x,$$s)=0$$.$$}$

이 정의는 "오픈볼" 또는 "볼"을 "이웃집"으로 대체함으로써 위상학적 공간에 일반화된다.만약 x{\displaystyle)}의 모든 이웃 S의 점을 포함한 위상 공간 X의 S{S\displaystyle}부분 집합이라야.{X\displaystyle}폐쇄 그리고,){\displaystyle)}은 지점 또는 S{S\displaystyle}의 부착 지점이다.{S.\displaystyle}[1]다는 것 이 정의 dep지 않자.e그리고 이웃이 개방되어야 하는지 여부에 달려있다.

한계점

폐쇄 지점의 정의는 한계 지점의 정의와 밀접하게 관련되어 있다.두 정의 간의 차이는 미묘하지만 중요하다. 즉, 한계점의 정의에서 해당$$ 지점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 모든 인접 영역은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 그 자체$$ 이외의 세트의 점을 포함해야 한다.세트$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 모든 한계점 집합을 $S{\displaystyle }$. ${\displaystyle S}$의 파생 집합이라고 한다.

따라서 모든 한계점은 폐쇄점이지만 모든 폐쇄점이 한계점은 아니다.한계점이 아닌 폐쇄점은 격리된 지점이다.즉, 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 요소인$$ $경우$와 x {\$displaystyle$ $x}$ 그 자체$$ 외에$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$$S}의 다른 점을 $포함$하지 않는$$x {\$displaystyty$ x}의 $인접성$이 있는 경우 S${\displaystystyte$}의 고립점이다$$.^[2]

$주어진$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ 및 $point$ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $x$$,}$ x ${\displaystyle x}$이(가) $S$ ${\displaystyle S}$ $또는$ x ${\displaystystyle x}$의 제한점인 $경우$에만 $S{\displaystyle }$${\displaystystyle$ $S$$}$의 폐쇄점이다.

세트 마감

The closure of a subset ${\displaystyle S}$ of a topological space ${\displaystyle (X,\tau ),}$ denoted by ${\displaystyle \operatorname {cl} _{(X,\tau )}S}$ or possibly by ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S}$ (if ${\displaystyle \tau }$ is understood), where if both ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle \tau }$ are clear from context then it may also be denoted by ${\displaystyle \operatorname {cl} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}},}$ or ${\displaystyle S{}^{-}}$ (moreover, ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ is sometimes capita${\displaystyle \mathrm{Cl}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl}$$}$에 대한 lized는 다음 동등한 정의 중 하나를 사용하여 정의할 수 있다.

1. ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$은(는) $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ S$.}$의 모든 폐쇄 지점 집합이다.
2. ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$은(는) 모든 한계점과 함께$$ $설정$된 S ${\displaystyle S}$이다.^[3]
3. ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$은(는) $S{\displaystyle }$. ${\displaystyle S.}$을(를) 포함하는 모든 닫힌 집합의 교차점이다.
4. ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$은(는) $S{\displaystyle }$. ${\displaystyle S.}$을(를) 포함하는 가장 작은 닫힌 집합입니다.
5. ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$은(는) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$과(는) 경계 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle S}$ ${\displaystyle )}$. ${\displaysty \partial (S$)의 조합이다$.$$}$
6. ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname${$cl$$} S}$은$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \tau }$)에 x ${\$$displaystyle$ x$}$로 수렴되는$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$에 순(값)이 있는 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ X ${\$$displaystystyle$ $x}$의 집합이다$.$$}$

집합의 폐쇄에는 다음과 같은 속성이 있다.^[4]

• ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$은(는) $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 닫힌 상위 집합이다.
• $S{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ S ${\displaystyle$ S$=\operatorname {cl} S}$인 경우에만 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$이(가) 세트 닫힘$$
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S\subseteq T}$인 경우, ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} S}$은(는) cl ${\displaystyle }$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaysty \operatorname {cl}$의 하위 집합이다$.$
• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 닫힌 집합인$$ 경우, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ $⁡$. {\$displaystyle$ \operatorname ${cl}을($를) 포함하는$$ 경우에만$$ A {\$displaystystyle$ $A$$}$이$($가) $포함됨{\displaystyle }$

때로는 위의 두 번째 또는 세 번째 속성을 위상학적 폐쇄의 정의로 받아들이기도 하는데, 위상학적 폐쇄는 다른 유형의 폐쇄에 적용할 때 여전히 타당하다(아래 참조).^[5]

첫 번째 카운트 가능한 공간(예: 미터법 공간)에서 ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl}은$$($는) $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle S}$에 있는 점의 모든 수렴 시퀀스에 대한 모든 제한 집합이다. 일반적인$$ 위상학적 공간의 경우, "순서"를 "순서" 또는 "필터"로 대체하는 경우 이 문장은 참으로 유지된다.

"폐쇄", "서퍼셋", "간격", "포함/포함", "가장 작음", "폐쇄"를 "내부", "하위세트", "조합", "포함", "최대", "개방"으로 대체하는 경우에도 이러한 속성은 충족된다는 점에 유의한다.이 문제에 대한 자세한 내용은 아래의 폐쇄 운영자를 참조하십시오.

예

구를 3차원으로 고려한다.암시적으로 이 구체에 의해 창조된 관심 영역은 구 자체와 그 내부(열린 3볼이라고 한다) 두 가지다.3볼의 내부와 표면을 구분할 수 있는 것이 유용하기 때문에 열린 3볼과 닫힌 3볼, 즉 3볼의 폐쇄를 구분한다.오픈 3볼의 클로징은 오픈 3볼 플러스 표면이다.

위상학 공간에서:

• 임의의 공간에서 $\varnothing {\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{cl}.}$ ${\displaystyle \varnothing$=\$operatorname${cl} \$varnothing.}$
• 임의의 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$${\displaystyle }$$X$${\displaystyle }$ = ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle X}$ . ${\displaystyle$ X$=\operatorname {cl} X.}$

$R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$및$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 표준(metric) 토폴로지를 부여하는 중:

• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 실제 숫자의 유클리드 공간 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\${${\displaystyle \mathrm{R}}$$}$}인 경우, ${\displaystyle {Cl}_{}}$ X ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$( ( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle }$1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1]}$ . ${\displaysty \operatorname {cl} _{X}(0,1)=[0,1].$$}$
• If ${\displaystyle X}$ is the Euclidean space ${\displaystyle \mathbb {R} }$ then the closure of the set ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ of rational numbers is the whole space ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ We say that ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ is dense in ${\displaystyle \mathbb {R}$$.}$
• If ${\displaystyle X}$ is the complex plane ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},}$ then ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}\left(\{z\in \mathbb {C} : z >1\}\right)=\{z\in \mathbb {C} : z \geq 1\}.$$}$
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 유클리드 공간 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$의 유한 부분 집합인 경우, X$$${\displaystyle {}_{}\mathrm{cl}}$ ${\displaystyle S}$=${\displaystyle }$S$$. {\$displaysty \operatorname {cl} _{X}S$=S$.}($일반적인 위상학적 공간의 경우 이 속성은₁ Taxom과 동일하다.)

실제 숫자에 표준 토폴로지가 아닌 다른 토폴로지를 넣을 수 있다.

• $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$에 하한 토폴로지가 부여된 경우, CL$$ X${\displaystyle {cl}_{}}$ ( (${\displaystyle 0,}$ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$) . ${\displaysty \operatorname$ {$cl} _{X}(0,1)=[0,$1]이 $부여된다.$$}$
• $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ 모든 세트가 닫히는 이산 위상$($개방)을 고려할 경우, ${\displaystyle X_{}}$⁡ (${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0,}$ 1 ) = ( ${\displaystyle 0}$, 1)${\displaystyle }$.${\displaysty \operatorname$ {$cl} _{X}(0,1)=$ (0,1)= (1,1)를 고려한다$.$$}$
• ${\displaystyle X\mathbb{}}$= R ${\$에서 닫힌(열린) 집합만 빈 $집합$과 R ${\$ 그 자체인$$ 사소한 토폴로지를 고려한다면, ${\displaystyle CL\mathbb{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle 0}$, 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= R${\displaystyle }$. ${\displaystystyle \operatorname {cl} _{X$}{X($0,0,0,$1) _{X}$=\mathb {R} .}$

이러한 예는 집합의 폐쇄가 기반 공간의 토폴로지에 따라 달라진다는 것을 보여준다.마지막 두 가지 예는 다음과 같은 특수한 경우다.

• 모든 이산 공간에서는 모든 세트가 닫히고 열려 있기 때문에 모든 세트는 닫힘과 동일하다.
• In any indiscrete space ${\displaystyle X,}$ since the only closed sets are the empty set and ${\displaystyle X}$ itself, we have that the closure of the empty set is the empty set, and for every non-empty subset ${\displaystyle A}$ of ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl$$} _{X}A=X.}$ 즉$$, 불분명한 공간의 비어 있지 않은 부분집합은 모두 조밀하다.

한 세트의 폐쇄는 또한 우리가 어느 공간을 폐쇄하느냐에 달려있다.예를 들어 합리적인 숫자의 평소 상대 위상은 유클리드 공간 R에 의해 야기되는,{\displaystyle \mathbb{R}, 되는 X{X\displaystyle}집합,}그리고 S){q∈ Q:q2>2, q>0},{\displaystyle S=\{q\in \mathbb{Q}:q^{2}>, 2,q>, 0\},}그때 S{S\displaystyle}모두 가깝다.d와 오픈$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$과(와) 그 보완도 $2{\displaystyle }$ ${\$ S$}$을$($를) 포함할 수 없기 때문에$$ Q ${\$$displaystyle$${Q$$}}}$에서 ${\$$displaystyle S$의 하한 값이 $되지만{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$2 {\$displaystystyle$ {\$sqrt2$}은$(으)$이$($으) 비합리적이기 때문에$$ $S{\displaystyle }$}에 있을 수 없다.$따라서{\displaystyle \mathbb{}}$$S{\displaystyle }$ {\$displaystyle S$$}$은(는) Q {\$displaystyle \mathb {Q}$에 없는 경계 요소 때문에 잘 정의된 폐쇄가 없지만$$, 대신 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$를 실제 숫자의 집합으로 정의하고 동일한$$ 방법으로 간격을 정의하면 해당 간격의 폐쇄가 잘 정의되며 모든 리아의 집합이 될 것이다$.$l 숫자가 $2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\${\$sqrt{2$}보다 크거나 같음$.$

폐쇄 연산자

세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $폐쇄$${\displaystyle \mathcal{}}$ 연산자는 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle P}$( X${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\mathcal{P}}(X$의 전원 세트를 그 자체로 매핑하여 Kuratowski 폐쇄 공리를 만족시키는 것이다$$.Given a topological space ${\displaystyle (X,\tau )}$, the topological closure induces a function ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}:\wp (X)\to \wp (X)}$ that is defined by sending a subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ to ${\displaystyle \operatorname {cl} _$대신$$ $S$의${\$ 또는$$ $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\$ 표기법을 사용할 수 있는$$ ${X}S.$Conversely, if ${\displaystyle \mathbb {c} }$ is a closure operator on a set ${\displaystyle X,}$ then a topological space is obtained by defining the closed sets as being exactly those subsets ${\displaystyle S\subseteq X}$ that satisfy ${\displaystyle \mathbb {c} (S)=S}$ (so complements in $$${\displaystyle }$이러한 하위 집합의$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$이(가) 토폴로지의 열린 집합을 형성함).^[6]

폐쇄 연산자 ${\displaystyle {\mathrm{cl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$은(는) ${\displaystyle {내부}_{}}$ 연산자에 이중으로, X ,${\displaysty \operatorname {int} _{X}$로 표시된다.

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$

그리고 또한

${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus \operatorname {cl} _{X}(X\setminus S)}$

따라서 폐업자의 추상적인 이론과 쿠라토프스키 폐업 공리는 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$.}$의 보완물로 세트를 대체함으로써 인테리어 운영자의 언어로 쉽게 번역할 수 있다.

일반적으로 폐쇄 운영자는 교차로로 통근하지 않는다.그러나 완전한 메트릭스 공간에서는 다음 결과가 유지된다.

폐쇄에 대한 사실

부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$은(는$)$ ${\displaystyle {\mathrm{CL}}_{}}$ ${\displaystyle X\mathrm{display}}$ S = S . {\$displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=S.}$인 경우에만$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ X$}$에서 닫힘:

• 빈 집합의 폐쇄는 빈 집합이다.
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 폐쇄 자체는 X${\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$
• 세트 교차점의 닫힘은 항상 세트 닫힘의 교차점(그러나 같을 필요는 없음)의 부분 집합이다.
• 정확히 많은 집합의 조합에서, 조합의 폐쇄와 폐업 조합은 동등하다; 0 집합의 조합은 빈 집합이므로, 이 진술은 빈 집합의 폐업에 관한 이전의 진술을 특별한 경우로서 포함하고 있다.
• 무한히 많은 세트의 조합의 폐쇄가 폐업 조합과 같을 필요는 없지만, 항상 폐업 조합의 상위 집합이다.

If ${\displaystyle S\subseteq T\subseteq X}$ and if ${\displaystyle T}$ is a subspace of ${\displaystyle X}$ (meaning that ${\displaystyle T}$ is endowed with the subspace topology that ${\displaystyle X}$ induces on it), then ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S\s$$ubseteq \operatorname {cl} _{X}S}$ $및$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$에서 계산된$$ S ${\$$displaystyle$ $S}$의 닫힘은 T ${\\displaystyle T$$}$과($와{\displaystyle }$)의$$교차점 및 X {\$displaystystyle$ X$$}에서$$계산된 $}$의 닫힘과 같다$$$.$

${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}S~~T\cap \operatorname {cl} _{X}S.}$^{[증명서 1]}

특히, $T{\displaystyle }${\$displaystyle$$T$$}$이$($가) ${\displaystyle \mathrm{CL}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ S${\displaystyle }$.$${\$displaystyle \operatorname {cl} _{X}S$의 하위 집합인 경우에만 S ${\displaystytle T}$에 $밀도$가 있다.$}$

$S{\displaystyle }$, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle S,T\subseteq$ X$}$ 그러나$$ S {\$displaystyle S}$이(가$)$ 반드시$$ $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 하위 집합이 아닐 경우, T ⊆ ${\displaystyle X}$ {\displaystyty T}만$$ 해당됨

${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap T)~~\subseteq ~T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$

이 격납 건물(인스턴스에 대해 고려하다. X= R{\displaystyle X=\mathbb{R}}과 일반적인 위상 기하학 T=(− ∞, 0],{\displaystyle T=(-\infty ,0 뻗는다,}과 S)(0, ∞){S=(0,\infty)\displaystyle}[증거 2]엄격하게 할 수 있는 X의, 비록 만약 T{T\displaystyle}은 개방되어 부분 집합이 일반적으로)보장되나{\disp$레이스타일 X}$ 다음에$$ equality ${\displaystyle {\mathrm{cl}}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (S=}$ ${\displaystyle T}$ ) = T ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {\mathrm{cl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{T}(S\cap$ T$)=$$T\cap \operatorname {cl} _{X}S}$이(가$)$ 유지됨$$^{[proof 3]}($S{\displaystyle }$ {\$displaystyle S}$과$($와) T {\$displaysty T}$의 관계에 관계 없음).$$따라서 $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) X ${\displaystyle X}$의 개방형 커버이고 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$이(가) 하위 집합인 경우:

${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}S=\빅컵 _{U\in {\mathcal {U}\operatorname {cl} _{U}(U\cap S)}$

왜냐하면 ${\displaystyle {cl}_{}}$ U${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle Su}$U${\displaystyle }$) = ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle {cl}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}s}$ S$${\$displaystyle \operatorname {cl} _{U}(S\cap$ U$)=$ = U because cl.$U\cap \operatorname {cl}$ $every{\displaystyle }$ U {\$displaystyle U\in$ {U$}}($각 $U{\displaystyle }$$$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle U\mathcal{}}$ ${\${$U})$에 대해 \${\displaystyle cap\mathcal{}}$$$\$operatorname$ $_{X}S}$이 X에 $의해{\displaystyle }$ 유도된 아공간 토폴로 귀속된다$$.$$이러한 동등성은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 다지관이고 개방형 커버 $U{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 세트가 좌표계의 도메인인$$ 경우에 특히 유용하다.즉, 이 결과는 S $하위{\displaystyle }$ 집합 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle S\subseteq X}$의 X ${\displaystyle$ X$}$의 $폐쇄$를 X ${\displaystyle$ X$}$의 열린 $커버$ 집합에서 "로컬하게" 계산한 다음$$ 결합할 수 있음을$$ 보여준다.In this way, this result can be viewed as the analogue of the well-known fact that a subset ${\displaystyle S\subseteq X}$ is closed in ${\displaystyle X}$ if and only if it is "locally closed in ${\displaystyle X}$", meaning that if ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ is any open cover of ${\displaystyl$${\displaystyle e}$ $X$${\displaystyle \}}$ 이후$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S$$\cap$U$}이($가) $모든$ ${\displaystyle U.}$ {\$displaystyle$ U$\$$in {\mathcal {U}$에 대해$$ $U{\displaystyle }$ ${\\displaystyle U$$}$에서 닫히는 경우에만$$ X ${\displaystystyle$ $X$$}$에서 닫힌다$$.

범주형 해석

다음과 같은 범용 화살표로 폐쇄 연산자를 우아하게 정의할 수 있다.

$세트{\displaystyle }$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 파워셋은 A ${\displaystyle A}$이(가) $B{\displaystyle .}$ ${\displaystyle B.}$의 하위 집합일 때마다$$ 객체가 하위 집합이고 형태론이 포함 맵 $A{\displaystyle }$→ $[\displaystytle$ A$\to$ B$}$인 부분 $순서{\displaystyle }$ $범주{\displaystyle }$ P ${\dis$$}$으로 실현될$$ 수 있다$$.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 $레이스타일 T}$은(는) $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 하위 범주로서, 여기에는 functor $I{\displaystyle }$: ${\displaystyle T}$→ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle I:$$T\to.}$ 고정 $서브셋{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\displaystyle A\subseteq X}$을(를) 포함하는 닫힌 하위 집합 집합을$$ 쉼표 ${\displaystyle \mathrm{범주}}$(${\displaystyle A}({\displaystyle }$ I )${\displaystyle }$.${\displaystyle(A\downarrow I)$로 식별할 수 있다$$$.$$}$ 이 범주$$(부분 순서도 포함)는 ${\displaystyle \mathrm{초기}}$ 개체 cl${\displaystyle \{}$. {\$displaystyle$$\operatorname$ {$cl}$을(를$)$ 가짐$.$ $따라서$ A → ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ → $⁡$ .${\displaystyle$ A . ${\$$to \operatorname$ {$cl}을($를)에 대한$$$$ 범용 화살표가 있음$.$

Similarly, since every closed set containing ${\displaystyle X\setminus A}$ corresponds with an open set contained in ${\displaystyle A}$ we can interpret the category ${\displaystyle (I\downarrow X\setminus A)}$ as the set of open subsets contained in ${\displaystyle A,}$ with terminal object ${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathrm{nt}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \operatorname {int}(A$$),$ $A{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ A $내부$.$}$

폐쇄의 모든 특성은 이 정의와 위 범주의 몇 가지 특성에서 도출할 수 있다.더욱이 이 정의는 모두 보편적인 화살표의 예이므로 위상학적 폐쇄와 다른 유형의 폐쇄(예: 대수학적 폐쇄) 사이에 정확한 유추를 한다.

참고 항목

• 부착점 – 일부 닫힘에 속하는 점이 위상학적 공간의 하위 집합을 제공
• 폐쇄 대수
• 닫힌 일반 세트, 내부 폐쇄와 동일한 세트
• 파생 집합(수학)
• 내부(토폴로지) – 일부 세트 중 가장 큰 개방형 서브셋
• 한계점 – 위상학적 공간의 점

메모들

참조

참고 문헌 목록

• Baker, Crump W. (1991), Introduction to Topology, Wm. C. Brown Publisher, ISBN 0-697-05972-3
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, ISBN 0-03-012813-7
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd ed.), Dover, ISBN 0-486-66522-4
• Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topology, Dover, ISBN 0-486-65676-4
• Kuratowski, K. (1966), Topology, vol. I, Academic Press
• Pervin, William J. (1965), Foundations of General Topology, Academic Press
• Schubert, Horst (1968), Topology, Allyn and Bacon
• Zălinescu, Constantin (30 July 2002). Convex Analysis in General Vector Spaces. River Edge, N.J. London: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4488-15-0. MR 1921556. OCLC 285163112 – via Internet Archive.

외부 링크

• "Closure of a set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]