제품 위상

수학의 위상 및 관련 영역에서 제품 공간은 제품 위상이라는 자연 위상이 장착된 위상 공간 계열의 카르테시안 제품이다. 이 위상은 박스 위상이라고 불리는 다른 위상과는 다르며, 제품 공간에도 주어질 수 있으며, 제품이 미세하게 많은 공간만 넘을 때 제품 위상과 일치한다. 그러나 제품 위상은 제품 공간을 요인의 범주형 제품으로 만드는 반면 박스 위상은 너무 미세하다는 점에서 "정확하다"는 점에서 제품 위상은 데카르트 제품의 자연 위상이다.

정의

전체적으로 $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{일부}}$ 비어 있지 않은 인덱스 집합이 될 것이며$$, 모든 $인덱스{\displaystyle }$ I${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle i\in$ I$,}$ ${\displaystyle X_{}}$ i$${\$displaystyle X_{i}$에 대해 위상학적 공간이 될 것이다$$. 내버려두다

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}}$

X ${\displaystyle i_{}}$, ${\displaystyle X_{i}$ 집합의 데카르트 산물이 되며 p ${\displaystyle i_{}}$: ${\displaystyle X}$→ X ${\displaystyle i_{}}$ .${\displaystyle p_{i}:$$X\to X_{i}.$$}}$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 Tychonoff 위상이라고도 하는 제품 위상은 모든 투영 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 연속되는 가장 강력한 위상(즉, 열린 세트가 가장 적은 위상)으로 정의된다$$. 제품 위상이 부여된 카르테시안$$ $제품{\displaystyle }$ X ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ I ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ ${\displaystyle \underset{}{I}}$ ${\displaystyle X_{}}$ i ${\$ X$:=\prod _{i\in I}X_{i}}}}}$을 제품 공간이라고 한다. $X{\displaystyle }$ {\displaystyle $X}$의 시퀀스(또는 그물)가 $X{\displaystyle {}_{}}$$$${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 공간에 대한 모든 투영이 수렴되는$$ 경우에만 수렴된다는$$ 사실 때문에 제품 위상은 포인트와이즈 수렴의 위상이라고도 불린다. 특히 $I{\displaystyle }$, ${\displaystyle I}$에 대한$$ 모든 실제 가치 함수 중 $공간{\displaystyle }$X = R ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle X=\mathb {R}$^{$I}}$을 고려한다면, 제품 위상에서의$$ 수렴은 포인트와 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 기능의 융합과 같다.

The open sets in the product topology are unions (finite or infinite) of sets of the form ${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ where each ${\displaystyle U_{i}}$ is open in ${\displaystyle X_{i}}$ and ${\displaystyle U_{i}\neq X_{i}}$ for only finitely many ${\displaystyle i.}$${\displaystyle i.}$ 특히$$ 유한한 제품(특히 두 위상학적 공간의 제품)의 경우, 각 ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\$ ${\displaystyle {X\_}_{}}$${i}}$의 한 가지 기본 요소 사이에 있는 모든 데카르트 제품 세트는 $\prod {\displaystyle \underset{}{}}$ i.${\displaystyle {}_{}\prod _{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$. $\prod \{i\in I}X_{i}}$의 제품 토폴로지에 대한 기초를 제공한다$$.$}$ That is, for a finite product, the set of all ${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i},}$ where ${\displaystyle U_{i}}$ is an element of the (chosen) basis of ${\displaystyle X_{i},}$ is a basis for the product topology of ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.$$}$

The product topology on ${\displaystyle X}$ is the topology generated by sets of the form ${\displaystyle p_{i}^{-1}\left(U_{i}\right),}$ where ${\displaystyle i\in I}$ and ${\displaystyle U_{i}}$ is an open subset of ${\displaystyle X_{i}.$$}$ 다시 말해$$, 세트.

${\displaystyle \left\{p_{i}^{-1}\왼쪽(U_{i}\오른쪽)~:~i\in I{\text{} 및 }U_{i}\subseteq X_{i}{\text}{}{\text}}는 }X_{i}\오른쪽\}}}}}}}}에 열려 있다.$

$X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$ 위상에 대한 하위 기반을 $형성$하다. X$${\$displaystyle$ X$}$의 부분 집합이${\displaystyle {}_p^{}}$ i - ${\displaystyle 1_{}^{}({Ui}_{}}$)$$. {\$displaystyp_{i$}^{-1$}\왼쪽(U_{i$}\오른쪽) 형식의 여러 교차로 조합인 경우에만 개방된다$.$$}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$- 1${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\$을 오픈 실린더라고 부르기도 하며, 그 교차점은 실린더 세트라고 한다.

각 ${\displaystyle {Xi}_{}}$ ${\$의 위상 산물은 $X{\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$ 일반적으로$$ 박스 위상은 제품 위상보다 미세하지만 유한 제품의 경우 일치한다.

예

$실제{\displaystyle \mathbb{}}$ 라인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 표준 토폴로지가 부여된$$ 경우,$$R {\$displaystyle \mathb$ {$R}}$의$$n {\$displaystyle$ n$}$ 복사본의$$ 제품 토폴로지는${\displaystyle {}^{}}$. {\$displaysty \mathb$ {$R}{n$} $^$n}의 일반 유클리드 위상과 동일하다$$.$}$

칸토어 세트는 이산 공간${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$의 복사본이 셀 수 없이 많은 자연 번호 복사본의 복사본이 포함된 제품에 대해 동형이며, 각 복사본이 이산 위상을 전달한다.

초기 위상에 관한 기사에는 몇 가지 추가 예가 제시되어 있다.

특성.

제품 공간 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$과(와) 규범적 투영으로, $Y{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle Y}$이(가) ${\displaystyle \mathrm{위상학적}}$ 공간인 경우, ${\displaystyle \mathrm{그리고<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; i\backslash in\; I,\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/42f9f22d39bd7568720b485fdb9ced8f99c1c63e"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:5.462ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="178">}}$ 모든${\displaystyle }$if I , ${\$displaystyle i\$in$ I,} $f : Y$${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X_{}}$ i ${\$$Y\to X_{i}}$는 연속형 $지도$로서, 정확히 하나의 연속형 지도 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ X ${\displaystyle f:$${\displaystyle \mathrm{각<img\; alt="f\; :\; Y\; \backslash to\; X"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/654e8fe3d0dc6757c546d482a59b9c5220eaff7a"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:10.583ex;\; height:2.509ex;"\; papago-attr-id="180">}}$ $i{\displaystyle }$$to$I ${\displaystyle i\in I}$에 대해 다음$$ 다이어그램을 통근하도록 Y\to X$}.$

이는 상품 공간이 위상적 공간의 범주에 속하는 상품임을 보여준다. 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ X ${\displaystyle f:$$Y\to X}$은(는) $모든{\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle i}$에 대해 ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= p i ${\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle f_{i}=p_{i}\circ f}$가 연속적인$$ 경우에만 연속적인 것으로$,$ 많은$$ 경우 구성 요소 $함수$가 f ${\displaystyle i_{}}$ ${\$인 것을 $확인$하는 것이 더 쉽다. 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ X ${\displaystyle f:$$Y\to X}$은(는) 연속성이 보통 더 어렵다. p ${\displaystyle i_{}}$ ${\$i}}는 어떤 식으로든 연속성이 있다는$$ 사실을 이용하려고 한다.

연속적인 것 외에 표준적인 투영 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$X\to X_{i}}$은(는) 개방형 맵이다. 이는 제품 공간의 모든 열린 부분 집합이 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$. ${\displaystyle X_{i}$에 투영될 때 열린 상태로 유지됨을 의미한다.$}$ The converse is not true: if ${\displaystyle W}$ is a subspace of the product space whose projections down to all the ${\displaystyle X_{i}}$ are open, then ${\displaystyle W}$ need not be open in ${\displaystyle X}$ (consider for instance ${\displaystyle W=\mathbb {R}$$^{2}\setminus (0,1)^{2}.}$) The canonical projections are not generally closed maps (consider for example the closed set ${\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:xy=1\right\},}$ whose projections onto both axes are ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$).

Suppose ${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}}$ is a product of arbitrary subsets, where ${\displaystyle S_{i}\subseteq X_{i}}$ for every ${\displaystyle i\in I.}$ If all ${\displaystyle S_{i}}$ are non-empty then ${\displaystyle \prod _{i\in I}S_$${i}}$은(는$)$ ${\displaystyle {모든}_{}}$ Si {\$displaystyle S_{i}$이(가) $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$. ${\displaystyle X_{i}$의 닫힌 부분 집합인 경우에만$$ 제품 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 닫힌 부분 집합이다$$.$\}{\displaystyle \underset{}{}}$ 더 일반적으로$$ ${\displaystyle \underset{}{제품}}$ 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $\prod_{i\in I}$$S_$${i}}}$ 제품의$$ 폐쇄는 폐쇄의 제품과 동일하다$$.^[1]

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}\left(\prod _{i\in I}{i}\right)=\prod _{i\in I}\left(\operatorname {Cl} _{X_{i}})}S_{i}\오른쪽).}$

하우스도르프 공간의 어떤 제품도 다시 하우스도르프 공간이다.

선택의 공리에 해당하는 타이코노프의 정리에는 콤팩트한 공간의 어떤 제품이라도 콤팩트한 공간이라고 명시되어 있다. 초필터 보조정리(선택의 공리의 전강도는 아닌)만을 필요로 하는 타이코노프의 정리의 전문화는 콤팩트한 하우스도르프 공간의 어떤 제품도 콤팩트한 공간이라고 명시하고 있다.

$z{\displaystyle }$=${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle {z_{}}_{}}$ i${\displaystyle {{}_{}}_{}}$) i ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle z=\좌측(z_{i}\오른쪽)_{i\in$ I$}\in$ X$}$이(가) 고정되어 있으면$$ 집합

${\displaystyle \left\{x=\left(x_{i}\right)_{i}\in I}\in X\colon x_{i}=z_{i}{\text}{{{}}}}{\text{{{{}}}}}}}}}{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

제품 공간의 조밀한 부분 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 입니다$.$^[1]

기타 위상학적 개념과의 관계

분리

• T공간의₀ 모든 제품은 T이다₀.
• T공간의₁ 모든 제품은 T이다₁.
• 하우스도르프 공간의 모든 제품은 하우스도르프다.^[2]
• 일정한 공간의 모든 제품은 규칙적이다.
• 타이코노프 공간의 모든 제품은 타이코노프다.
• 정상적인 공간의 산물은 정상적일 필요가 없다.

콤팩트

• 콤팩트한 공간의 모든 제품은 콤팩트하다(Tychonoff의 정리).
• 지역적으로 작은 공간의 제품은 지역적으로 압축될 필요가 없다. 그러나, 거의 모든 콤팩트한 공간을 제외한 지역적 콤팩트한 공간의 임의의 제품은 로컬 컴팩트하다(이 조건은 충분하고 필요함).

연결성

• 연결된(경로 연결됨) 공간의 모든 제품은 연결된다(경로 연결됨).
• 유전적으로 단절된 공간의 모든 생산물은 유전적으로 단절된다.

미터법 공간

• 미터법 공간의 계산 가능한 제품은 미터법을 측정할 수 있는 공간이다.

선택공리

선택의 공리를 표현하는 여러 방법 중 하나는 비어 있지 않은 세트 모음의 데카르트 제품이 비어 있지 않다는 문구와 맞먹는다고 말하는 것이다.^[3] 이것이 선택 기능 측면에서 공리의 진술과 동일하다는 증거는 즉각적이다: 제품에서 대표자를 찾기 위해서는 각 세트에서 한 요소만 선택하면 된다. 반대로, 제품의 대표적인 것은 각 구성 요소로부터 정확히 하나의 요소를 포함하는 세트다.

선택의 공리 다시(위상)제품 공간의 연구에서 예를 들고 그것의 가장 일반적인 formulation,[4]에 해당합니다 이유로 이 제품 위상은 더 유용한 topolog으로 고려될 수 있다는 것을 보여 주선택의 원리가 필요한 성명의, 콤팩트한 세트장에서 티호노프의 정리는 훨씬 더 미묘하고 복잡한 발생한다.yto 카르트 제품을 착용한다.

참고 항목

• 분리 결합(토폴로지)
• 최종 위상 – 일부 기능을 연속적으로 만드는 가장 우수한 위상
• 초기 위상 – 특정 기능을 연속적으로 만드는 가장 강력한 위상 - 때로는 투영 한계 위상이라고도 함
• 역한계 - 범주 이론에서의 구성
• 점적합성 - 수학의 수렴 개념
• 지수 공간(토폴로지) – 위상 공간
• 하위 공간(토폴로지)
• 약한 위상 – 연속 선형 함수에서 이미지의 수렴에 의해 점의 수렴이 정의되는 위상

메모들

참조

• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
• Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0486434796. Retrieved 13 February 2013.