수학 에서 파르세발의 정리 는[1] 푸리에 변환 이 단일 하다는 결과를 가리킨다; 느슨하게 함수의 제곱의 합(또는 적분)이 변환 제곱의 합(또는 적분)과 같다는 결과를 가리킨다. 마르크 앙투안 파르세발(Mark-Antoine Parseval )에 의한 시리즈에 관한 1799년의 정리로부터 유래한 것으로, 후에 푸리에 시리즈에 적용되었다. 존 윌리엄 스트럿 경의 뒤를 이어 레일리 에너지 정리, 즉 레일리 정체 라고도 알려져 있다.[2]
비록 "파르세발의 정리"라는 용어는 어떤 푸리에 변환의 단위성을 설명하기 위해 자주 쓰이지만, 특히 물리학 에서는 이 성질의 가장 일반적인 형태를 더 적절하게 플랑쉐렐 정리 라고 부른다.[3]
파르세발 정리 명세서 A x {\displaystyle A(x)} B ( x ) {\displaystyle B(x)} ( 기간 2 π displaystyle mathb R }} Fourier 시리즈 와 함께 정사각형 통합 이 가능하다고 가정합시다.
A ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n e i n x {\displaystyle A(x)=\sum _{n=-\nft }^{}^{na_{n}e^{inx}}}} 그리고
B ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ b n e i n x {\displaystyle B(x)=\sum _{n=-\ft }^{\b_{n}e^{inx}}}} 각각 그러면
∑ n = − ∞ ∞ a n b n ¯ = 1 2 π ∫ − π π A ( x ) B ( x ) ¯ d x , {\displaystyle \sum _{n=-\infit }^{}a_{n}}{\overline{b_{n}}}={\frac {1}{2\pi }}}}}}int _{-\pi }^{B(x)}}\\mathrm {d}x}x}x} (Eq.1 )
여기서 i {\displaystyle i} 가상 단위 이며 수평 막대는 복잡한 결합 을 나타낸다. A( x {\displaystyle A(x)} Bx ) {\ displaystyle {\overline {B(x
∑ n = − ∞ ∞ a n b n ¯ = 1 2 π ∫ − π π ( ∑ n = − ∞ ∞ a n e i n x ) ( ∑ n = − ∞ ∞ b n ¯ e − i n x ) d x = 1 2 π ∫ − π π ( a 1 e i 1 x + a 2 e i 2 x + ⋯ ) ( b 1 ¯ e − i 1 x + b 2 ¯ e − i 2 x + ⋯ ) d x = 1 2 π ∫ − π π ( a 1 e i 1 x b 1 ¯ e − i 1 x + a 1 e i 1 x b 2 ¯ e − i 2 x + a 2 e i 2 x b 1 ¯ e − i 1 x + a 2 e i 2 x b 2 ¯ e − i 2 x + ⋯ ) d x = 1 2 π ∫ − π π ( a 1 b 1 ¯ + a 1 b 2 ¯ e − i x + a 2 b 1 ¯ e i x + a 2 b 2 ¯ + ⋯ ) d x {\displaystyle{\begin{정렬}\sum _{n=-\infty}^{\infty}a_{n}{\overline{b_{n}}}&={\frac{1}{2\pi}}_ᆲ^ᆳ\left(\sum_{}^{}\infty a_{n}e^{inx}\rightn=-\infty)\left(\sum_{}^{}{\overline{b_{n}}\infty}e^{-inx}\rightn=-\infty)\,\mathrm{d}x\\[6pt]& \int, ={\frac{1}{2\pi}}\int _{-\pi}^{\pi}\left(a_{1}e^{i1x}+a_{2}e^{i2x}+\cdo.이익 \righ T=\left({\overline{b_{1}}}e^{-i1x}+{\overline{b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm{d}x\\[6pt]&, ={\frac{1}{2\pi}}_ᆯ^ᆰ\left(a_{1}e^{i1x}{\overline{b_{1}}}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{\overline{b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{\overline{b_{1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{\overline{b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm{d}x\\[6pt]& \int^{년.frac{1} {2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\왼쪽(a_{1}{\overline {b_}}+a_{1} }{\overline{b_{2}}e^{-ix}+a_{2 }}{\overline{b_{1}1}e^{ix}+a_{2 }}{\overline{b_{2}}+\cdots \right)\mathrm {d}x\end{arged}}} 이 예에서 중간 용어의 경우와 마찬가지로, 많은 용어는 길이 2 ½ {\displaystyle 2\pi } 기간 에 걸쳐0 {\displaystyle 0} 조명 참조).
∑ n = − ∞ ∞ a n b n ¯ = 1 2 π [ a 1 b 1 ¯ x + i a 1 b 2 ¯ e − i x − i a 2 b 1 ¯ e i x + a 2 b 2 ¯ x + ⋯ ] − π + π = 1 2 π ( 2 π a 1 b 1 ¯ + 0 + 0 + 2 π a 2 b 2 ¯ + ⋯ ) = a 1 b 1 ¯ + a 2 b 2 ¯ + ⋯ {\displaystyle{b_}\sum _{n=-\infline{b_{n}{n}}{\overline{b_{n}}&={\frac {1}{1}{1}{1}\overline{b_}}}x+a_{1}{1}}{1} }{{\overline{b_{2}}e^{-ix}-ia_{2}{\overline {b_{1}1}e^{ix}+a_{2} }{\overline {b_{2}}}x+\cdots \right]_{-\pi }^{+\pi }\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\left(2\pi a_{1}{\overline {b_{1}}}+0+0+2\pi a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\ \[6pt]&=a_{1}{\overline {b_{1}}+a_{2} }}{\overline{b_{2}}+\cdots \\[6pt]\end{aigned}}}} 보다 일반적으로 폰트랴긴 이중 G^ 를 가진 아벨리아 지역 콤팩트 그룹 G 로 볼 때, 파르세발의 정리는 폰트랴긴--라고 말한다. 푸리에 변환(Fourier 2 transform )은2 힐버트 공간 L(G)과 L(G^) 사이의 단일 연산자(통합은 두 그룹에 대해 적절하게 크기가 조정된 Haar 측정 에 반함)이다. G 가 단위 원 T일 때, G^ 는 정수이고 위에서 논의한 경우다. G 가 실제 라인 R {\ displaystyle \mathb {R}} , ^ 는 또한 {\ displaystyle \mathb {R} 푸리에 변환 이다. G 가 순환 그룹 Z일 n 때, 다시 자기 이중과 폰트랴긴- 푸리에 변환은 적용된 맥락에서 이산 푸리에 변환이라고 불리는 것이다.
파르세발의 정리도 다음과 같이 표현할 수 있다. f x {\displaystyle f(x)} ( π π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]}( 예 f {\ displaystyf( x )} 2 x {\displaystysty f^{ 함수
f ( x ) ≃ a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cas ( n x ) + b n 죄를 짓다 ( n x ) ) . {\displaystyle f(x)\simeq {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{n=1}^{n}}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)} } 그러면[4] [5] [6]
1 π ∫ − π π f 2 ( x ) d x = a 0 2 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n 2 + b n 2 ) . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f^{2}(x)\,\mathrm {d} x={\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right). } 엔지니어링에 사용되는 표기법 전기공학 에서 파르세발의 정리는 흔히 다음과 같이 쓰여진다.
∫ − ∞ ∞ x ( t ) 2 d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( ω ) 2 d ω = ∫ − ∞ ∞ X ( 2 π f ) 2 d f {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty } x(t) ^{2}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty } X(\omega ) ^{2}\,\mathrm {d} \omega =\int _{-\infty }^{\infty } X(2\pi f) ^{2}\,\mathrm {d} f} where X ( ω ) = F ω { x ( t ) } {\displaystyle X(\omega )={\mathcal {F}}_{\omega }\{x(t)\}} continuous Fourier transform (in normalized, unitary form) of x ( t ) {\displaystyle x(t)} ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f}
이러한 형태의 정리의 해석은 신호의 총 에너지 는 시간에 걸친 샘플 당 전력 또는 주파수에 걸친 스펙트럼 힘을 합산하여 계산할 수 있다는 것이다.
이산 시간 신호 의 경우, 정리는 다음과 같이 된다.
∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] 2 = 1 2 π ∫ − π π X 2 π ( ϕ ) 2 d ϕ {\displaystyle \sum _{n=-\infit }^{n] x[n] ^{2}={2\pi }\int_{-\pi }^{-\pi }X_{2\pi }({\pi }}}}}^{2}\mathrmatrmpi {d} \d} \pi \pi \di }}}}}}}}}}}}}}}}}} \pi \pi \pi \ 여기서 X 2 π {\ displaystyle X_{2\pi } x {\displaystyle } 이산 시간 푸리에 변환 (DTFT)이며, and {\ displaystyle \ phi } ( 라디안 단위) 주파수 (레이디안 단위)를 나타낸다
또는 이산 푸리에 변환 (DFT)의 경우 다음과 같은 관계가 된다.
∑ n = 0 N − 1 x [ n ] 2 = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X [ k ] 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1} x[n] ^{2}={\frac {1}{{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k] ^{2}} 여기서 X k ] {\displaystyle X[k]} ( 길이 N {\displaystyle x[ n
우리는 아래 DFT 케이스를 보여준다. 다른 사례의 경우에도 그 증거는 비슷하다. X k ] {\displaystyle X[k]} .
1 N ∑ k = 0 N − 1 X [ k ] 2 = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X [ k ] ⋅ X ∗ [ k ] = 1 N ∑ k = 0 N − 1 [ ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] 생략하다 ( − j 2 π N k n ) ] X ∗ [ k ] = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] [ ∑ k = 0 N − 1 X ∗ [ k ] 생략하다 ( − j 2 π N k n ) ] = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] ( N ⋅ x ∗ [ n ] ) = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] 2 , {\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1} X[k] ^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]\,X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\left[\sum _{k=0}^{N-1}X^{*}[k]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]={\fra c {1}{N}\sum _{N=0}^{N-1}x[n](N\cdot x^{*}[n]) =\sum _{n=0}^{N-1} x[n] ^{2}} 여기서 ∗ {\displaystyle *}
참고 항목 파르세발의 정리는 다음과 같은 단일변형을 수반하는 다른 수학적 결과와 밀접하게 관련되어 있다.
메모들 ^ 1799년 4월 5일 아카데미 데스 과학(파리)에 앞서 제시된 파르세발 데스 체네, 마르크-앙투안 메무아르 서르 레스 세리스 외'인테그레이션 컴플렉스 컴플렉스(tune équation difference partiences) 리네르 2차 서드, a 계수 상수". 이 기사는 Mémoires préssentés a l'Institut des Science, Letres et Arts, par diversary savants, et lus dans ses assules . 과학, 수학 및 생리학. (절약자 에트랑거), 1, 페이지 638–648 (1806).^ Rayley, J.W.S. (1889) "특정 온도에서의 완전한 방사선의 특성에 대하여," 철학적 잡지 제27권 460-469쪽이다. 온라인 에서 이용 가능. ^ Planchel, Michel(1910) "기여 an l'etude de la presentation d'une ponferation par les integrales définies," 렌디콘티델로 마테마토 디 팔레르모 , 30권, 298–335페이지. ^ Arthur E. Danese (1965). Advanced Calculus . Vol. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. p. 439. ^ Wilfred Kaplan (1991). Advanced Calculus 519 . ISBN 0-201-57888-3 ^ Georgi P. Tolstov (1962). Fourier Series 119 .
참조 파르세발 , 맥튜터 수학 기록 보관소 .조지 B. Arfken과 Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physics (하르코트: San Diego, 2001) Hubert Kennedy, Feight Mathemical Premptory Alan V. Oppenheim과 Ronald W. Schafer, 이산 시간 신호 처리 제2판(Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60. p. 윌리엄 맥시 시버트, 회로, 신호 및 시스템(MIT 프레스: 캠브리지, MA , 1986), 페이지 410–411. 데이비드 W. 카믈러, 푸리에 분석 의 첫 코스 (프렌티스–)Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) 페이지 74. 외부 링크 
대한 두 개의 복합값 함수로
(는) 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}\right)\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\overline {b_{n}}}e^{-inx}\right)\,\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}+a_{2}e^{i2x}+\cdots \right)\left({\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{1}e^{i1x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{1}}}e^{-i1x}+a_{2}e^{i2x}{\overline {b_{2}}}e^{-i2x}+\cdots \right)\mathrm {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left(a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}+a_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d5c996e3a1e254273e4b311199147a5cc75353)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}&={\frac {1}{2\pi }}\left[a_{1}{\overline {b_{1}}}x+ia_{1}{\overline {b_{2}}}e^{-ix}-ia_{2}{\overline {b_{1}}}e^{ix}+a_{2}{\overline {b_{2}}}x+\cdots \right]_{-\pi }^{+\pi }\\[6pt]&={\frac {1}{2\pi }}\left(2\pi a_{1}{\overline {b_{1}}}+0+0+2\pi a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \right)\\[6pt]&=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots \\[6pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1123fd4b262a19fa31201279c2802eeedaa8555f)
![[-\pi, \pi]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|X_{2\pi }({\phi })|^{2}\mathrm {d} \phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30731cdfcd3e7022db7643b9452b117a578e423)
(는) 
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd01ef048644b8295d7e2332488c2013ec04b742)
![X[k]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44d31b5739397a3a3a58892804677840e85bb2a)
![x[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]|^{2}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]\cdot X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]\,X^{*}[k]={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\left[\sum _{k=0}^{N-1}X^{*}[k]\,\exp \left(-j{\frac {2\pi }{N}}k\,n\right)\right]={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n](N\cdot x^{*}[n])=\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]|^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6788138a0d62dce44f779cd39a377408271d4f5)
