보완된 하위 공간

수학의 분기에서 기능 분석,{X\displaystyle,}은 벡터 부분 공간 M{M\displaystyle} 위상적인 벡터 공간 X의normed 공간이나(더 일반적으로)의 기술은 X의 다른 벡터subspace N{N\displaystyle}존재하는complemented subspace[노트 1],{X\displaystyle,}c라고 불렀다그것 alled(위상학) $X{\displaystyle }$, ${\$$displaystyle X}$을(를) 대수학적으로나 위상학적으로 모두 직접$$ ${\displaystyle \mathrm{합계}}$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \oplus }$ N$${\$displaystyle$ M$\oplus$ N$}$ 또는$$ $제품{\displaystyle }$ M$$ ${\displaystyle N}$ {\$displaystyle$ M$\times$ N$}$인 것처럼 취급할$$ 수 있는$$ X${\displaystyle }$, {\$displaystyle$X}의 보완.Explicitly, this means that ${\displaystyle X}$ is the algebraic direct sum of ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ and also that the addition map ${\displaystyle M\times N\to X}$ that sends ${\displaystyle (m,n)\mapsto m+n}$ is an topological vector space isomorphism (or equi동형상)은 X {\$displaystyle X}$이($)$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과 N ${\displaystyle N}$의 위상학적 직접합이거나 $X$^[1] ${\displaystyle X}$이 위상학적 벡터 공간의 범주에서 직접합이라고 하여 상황을 요약한다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과 N ${\displaystyle$ $N$$}$의 직접 합이라면 이는 벡터 공간 범주에 있는 직접 합(즉, 대수적 직접합)에 불과한지 명확히 할 필요가 있을 수 있지만$$ $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystystyle$ X$=M\n}$을 입력하여 $표현$한다.e $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle M}$+ N ${\displaystyle X=M+N}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{M<img\; alt="[\backslash displaystyle\; X=M+N\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f78945fd714233405c30c2a18d90452324f00059"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:12.425ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="84">}}$ ${\displaystyle \cap }$ N${\displaystyle }$=${\displaystyle }${ 0${\displaystyle }$} ${\displaystyle M\cap$ N$=\{0$ 또는 위상학적 벡터 공간의 범주(즉, 위상학적 직접합)에 포함된 직접합인 경우에만 해당된다.모든 위상학적 직접 합은 대수적 직접 합이지만 일반적으로 그 역은 보장되지 않는다.This is because although the aforementioned addition map ${\displaystyle M\times N\to X}$ is always continuous, even if both ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ are closed in ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle X}$ is also the algebraic direct sum of ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$M.{M.\displaystyle}의{N\displaystyle}(이 경우 지속적인 선형 추가 지도는 bijection), 추가 지도에도 불구하고 여전히 꿈은 유질 동상., 또는 다르게 말했다 실패할 것, N{N\displaystyle}이 되지 않을지도 모른 위상적인 보수[1]그러나, 심지어 이 특정 N{N\displaystyle}은 아니오입니다.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 위상학적 보완물인$$ 일부 다른 벡터 하위 공간 ${\displaystyle {N\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}개는$$ $여전히{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$의$$위상 보완물이 될 수 있다.만약 M{M\displaystyle}X에서 어떤 위상을 보완하고 있던 그때 그것 X에서 uncomplemented[노트 1].{X\displaystyle}" 된 위상적인 보수"의 속성은 의미에서 N{N\displaystyle}·에 M{M\displaystyle}은 위상을 보완하는 대칭은{X\displaystyle}.ly 만약${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$은(는) $M{\displaystyle }$. ${\displaystyle M.}$의 위상학적 보완물이다.

왜"부분 공간 국가 간의 교루"의 대부분의 정의는 요구 사항은 그것(과를 보충하는)clos 포함하는 X{X\displaystyle}[1][증거 1]( 있었고 그래서 그 같은 따라서 또한 그것의 complement[주 2]의 진실입니다)의 하우스 도르프 공간complemented(벡터)부분 공간 X{X\displaystyle}은 필연적인 닫힌 집합입니다.X.{\di에 교육$splaystyle X.}$ 그러나$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 닫히는 것이 정의의 일부로 언급되지 않더라도$$, 그럼에도 불구하고 그것은 보완된 하위 공간(및 그것의 보완물)이 반드시 소유해야 하는 필수 속성이 될 것이다.특히 닫히지 않은 하우스도르프 공간의 모든 벡터 서브공간은 반드시 미완성이므로 일반적으로 닫힌 서브공간만 고려된다.닫힌 서브 스페이스만 고려하더라도 닫힌 미완성 서브 스페이스를 보유한 공간이 존재하는 것으로 알려져 있기 때문에 '완성된 서브 스페이스'의 정의가 여전히 필요할 것이다.힐버트 공간 없음(특히 유한차원 유클리드 공간 없음)은 닫힌 미완성 서브공간을 가지고 있다. 왜냐하면 닫힌 벡터 $서브공간{\displaystyle }$ M의 직교보완물 $⊥{\$$displaystyle M}$은 항상 $M{\displaystyle }$$.$${\displaystyle$ M$.}$의 위상보완물이기$$ 때문이다. 사실$$ 바나흐 공간은모든 닫힌 벡터 하위 공간이 보완되는 경우에만 힐버트 공간.특히, 비 힐버트 바나흐 공간의 임의 폐쇄 벡터 서브공간은 보완이 보장되지 않는다.

기능분석에서 보완된 하위공간의 개념은 세트이론에서 세트보완의 개념과 혼동해서는 절대 안 된다.

예선

대수직접합

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 벡터 공간이고 M ${\displaystyle M}$ 및 $N$ ${\displaystyle N}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 벡터 하위 공간인 경우 추가$$ 맵

선형 지도 또는 다르게 말하면 벡터 공간의 범주에 있는 형태론이다.벡터 공간 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X$$}$은(는) 다음 등가 조건 중 하나가 충족되는 경우 벡터 공간의 범주에서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$과(와$)$ $N$의 대수적 직접 합이라고 한다$$$$.

1. ${\displaystyle \mathrm{추가}}$ 지도 $S{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$→ X ${\displaystyle$ S$:$$M\times N\to X}$은 벡터 공간 이형성이다.^[1][2]
2. 덧셈 지도는 비굴하다.
3. ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$ and ${\displaystyle M+N=X}$; in this case ${\displaystyle N}$ is called an algebraic complements or an algebraic supplements to ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle X}$ and these spaces are said to be complementary or supplementary.^[1]

조건 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle \mathrm{N}}$=${\displaystyle }${ 0 ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle M\cap$ N$=\{0\}}$은(는) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과(와) $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$은(는) 선형 독립 벡터 서브스페이스라고 표현하면 된다$$.^[3]More generally, a collection ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{d}}$ of subspaces of ${\displaystyle X}$ are said to be linearly independent if ${\textstyle M_{i}\cap \sum _{k\neq i}M_{k}=\{0\}}$ for every index ${\displaystyle i,}$ where $\sum _{k\ne i}{M}_k$${\textstyle \sum _{k\neq i}M_{k}={\Big \{}\sum _{k\neq i}m_{k}:m_{k}\in M_{k}{\text{ for all }}k{\Big \}}=\operatorname {span} \cup _{\stackrel {1\leq k\leq d,}{k\neq i}}M_{k}.$$}$^[3]

동기

Suppose that the vector space ${\displaystyle X}$ is the algebraic direct sum of ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle N.}$ Then algebraically, ${\displaystyle X}$ may be treated as if it were ${\displaystyle M\oplus N}$ or ${\displaystyle M\times N.}$ Assuming now that ${\display$$스타일 X}$은(는) 표준화된 공간과 같은 위상학적 벡터 공간이기도$$ 하며, 그 다음 추가 맵이 있다.

반드시 ${\displaystyle {\mathrm{연속적}}^{}}$인^{[note 3]} 바이어싱이 되겠지만 역 S -${\displaystyle {}^{}}$1${\displaystyle {}^{}}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\time N}$이(가) 연속되지 않을 수 있다$$.However, if (and only if) this map ${\displaystyle S^{-1}}$ is continuous will ${\displaystyle X}$ be the topological direct sum of ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N,}$ which by definition is just another way of say that ${\displaystyle X}$ is the (categorical) direct sum of ${\disp$위상학적 벡터 공간 범주에 있는$$ $레이스타일$ M$}$ $및$ N ${\displaystyle N}($벡터 공간 범주에 있는 직접 합이 아님)${\displaystyle \mathrm{이것}}$은 덧셈 $지도{\displaystyle }$S : ${\displaystyle M}$×${\displaystyle N}$ → X ${\displaystyle S:$$M\time N\to$ X$}$은(는) 선형적 호모형이며, 이 $경우{\displaystyle }$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$은(는) ${\displaystyle \mathrm{대수적}}$으로나 지형적으로 모두 $M{\displaystyle }$ ×${\displaystyle }$N ${\displaystyle$ M\$oplus$ N$}$ 또는$$ M ${\displaystyle \times }$ N ${\displaystym$ M$\time$N}인 것처럼 취급할$$ 수 있다.$이것$이 항상 사실이 아니라는 것은, $X{\displaystyle }$${\displaystyle$ $X$$}$을(를) $있는{\displaystyle }$다른 하위 $공간$ N {\$displaystyle$ N}이(가) 있는 경우 X {\displaystyle $X{\displaystyle }$$}$에서$$하위 공간 M {\\$displaystyle$ X$}$을(토폴로지적으로) 보완이라고 하는$$ "완료된 하위 공간"과 같은 정의가 필요한 이유다.${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\oplus$ N$}$ 또는$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\times$ N$}$은(는) 대수학적으로나 지형학적으로 모두.

$예$를 들어, X ${\displaystyle$ X$}$이(가) 대수학적이지만 위상학적이고 직접적인 합은 아닌 두 벡터 $서브스페이스{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$과 $N{\displaystyle }$, ${\displaystyle N}$의 경우, $f{\displaystyle }$ ${\$$displaystyf$$}$이(가$)$ 정규 공간 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystysty{\displaystyle }$ $X}$에서 불연속 선형 함수라고 가정한다$$.$yle f}$ is discontinuous if and only if ${\displaystyle \ker f}$ is not closed in ${\displaystyle X}$) and let ${\displaystyle n\in X}$ be such that ${\displaystyle f(n)\neq 0.}$ Then ${\displaystyle X}$ is the algebraic direct sum of ${\displaystyle M:=\ker f}$ and $$${\displaystyle N:=\operatorname {span} \{n\}}$ but ${\displaystyle X}$ is not the topological direct sum of ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ because ${\displaystyle N}$ is not closed in ${\displaystyle X.}$ This subspace being closed is necessary when ${\displaystyl$$e X}$이(가) 하우스도르프인^[1] 이유는$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle M\times \{0\}}$이(가) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\time N}$의 제품 토폴로지에서 $닫히므로$ S${\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$→ X ${\displaystyle S:$$M\time N\to$ X$}$이(가) 동형사상이라면 $S{\displaystyle (\mathrm{M}}$ ${\displaystyle \times }${ 0 ${\displaystyle \}}$)${\displaystyle }$= M ${\displaystyle$ S$\왼쪽(M\time \{0\}\오른쪽)$이 될 ${\displaystyle 것}$이다.$=M}$을(를) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}($N ${\displaystyle N}$의 $경우$와 유사하게)$$에서 닫을 것$$.이러한 증거는 Hausdorff 위상 벡터 공간(TV) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$의 위상적 벡터 공간은 $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ $X$$}$에서 닫아야 한다는$$ 것을 보여주기 위해 일반화되었으며, 따라서$$ 많은 저자들이 보완된 하위 공간의 정의의 일부로 이 속성(즉, 닫힘)을 요구하고 있다.또한 이 카운터 예는 불연속 선형 기능을 인정하는 Hausdorff 로컬 볼록한 TVS에 일반화되며, 더욱이 그러한 불연속 선형 기능의 커널은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$에서 토폴로 보완될 수 없다($$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 폐쇄된 하위 공간이 아니기 때문이다).$$

연속적인 경우에만 두 표준(또는 Banach) 공간 사이의 선형 지도가 경계되므로, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 표준 공간(resp. Banach 공간)인$$ 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은 표준$$ 공간(resp) 범주에$$ $있는{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M$$}$과 $}$의 직접 합이다.Banach 공간의 범주) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ $및$ N${\displaystyle }$. ${\displaystyle N}$의 위상학적 직접 합인 경우에만 해당됨

표기법:덧셈과 표준 투영 역

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 및$$ N ${\displaystyle N}$의 대수적 직접 합계인 경우 정의에$$ 따라 추가 맵

역 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times$N}이(가) 잘 정의되어$$ 있고 좌표면에서도 다음과 같이 쓸 수 있다.where the first coordinate ${\displaystyle P_{M}:X\to M}$ is called the canonical projection of ${\displaystyle X}$ onto ${\displaystyle M}$ while the second coordinate ${\displaystyle P_{N}:X\to N}$ is called the canonical projection of ${\displaystyle X}$ onto ${\displa$$ystyle N.}$^[2] To clarify, for any ${\displaystyle x\in X,}$ the defining property of ${\displaystyle P_{M}(x)}$ and ${\displaystyle P_{N}(x)}$ is that they are the unique vectors in ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N,}$ respectively, that satisfy이 지도들은 만족한다.여기서 ${\displaystyle {\mathrm{ID}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\$는 $X{\displaystyle }$ . {\$displaystyle$ X$.}$의 ID 맵을 나타낸다.

정의들

위와 같이 ${\displaystyle S}$: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$→ X ${\displaystyle$ S$:$$M\times N\to X}$ denote the addition map ${\displaystyle S(m,n)=m+n}$ and when ${\displaystyle S}$ is injective, then let ${\displaystyle S^{-1}=\left(P_{M},P_{N}\right)}$ be its inverse.

위상직접합계

If ${\displaystyle X}$ is a topological vector space (TVS) and if ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ are vector subspaces of ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle X}$ is the topological direct sum of ${\displaystyle M}$ and ${\displaystyle N}$ if any of the following equivalent조건이 충족됨:

1. ${\displaystyle \mathrm{추가}}$ 지도 $S{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$→ X ${\displaystyle$ S$:$$M\times N\to X}$은 TVS 이형성(즉, 굴절성 선형 동형성)이다$$.^[1]
2. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은 위상학적 벡터 공간 범주에서$$ $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과 N ${\displaystyle N}$의 (범주형) 직접 합이다(이러한 형태는 연속 선형 연산자임).
3. ${\displaystyle \mathrm{추가}}$ 지도 $S{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$→ X ${\displaystyle$ S$:$$M\times N\to X}$은(는) 주관적인 개방형 지도다.
4. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$과$($는) N {\$displaystyle$ N$}($즉, 추가 지도 $S{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$→ X ${\displaystystyle S:$$M\time N\to X}$의 바이어스(bijection) 및 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 유지된다.
   1. 추가 맵 ${\displaystyle {\mathrm{S}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\time N}$의 역행은 연속적이다$$.
   2. 표준 투영 $P{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle M}$ $[\$디스플레이 $스타일 P_{M}:X\to M}$ 및 ${\displaystyle P_{}}$ : X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle N}$ $[\디스플레이$ 스타일 $P_{N}:X\to$ N$}$은(는) 연속적이다$$.
   3. ${\displaystyle \mathrm{적어도}}$ 두 개의 표준 투영 ${\displaystyle P_{}}$ M${\displaystyle {}_{}}$: X${\displaystyle }$→ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P_{M}$과 $P$ : $X$${\displaystyle {}_{}\mathrm{to}}$ ${\displaystyle M}$$}$및 ${\displaystyle P_{}}$ : X${\displaystyle }$→ N $[\displaystyle P_{N}:X\to$ N$}$은 연속적이다$$.
   4. 지도 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle N}$→ ${\displaystyle X}$/ ${\displaystyle M}$ ${\디스플레이 스타일$ p$:$$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto n}$+ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\mapsto n+M}$에 의해 정의된$$ N$\to X/M}$은 TVS-이형성이다.^[4]
      • This map is the restriction to ${\displaystyle N}$ of the canonical quotient map ${\displaystyle Q:X\to X/M}$ defined by ${\displaystyle Q(x):=x+M.}$ The space ${\displaystyle X/M}$ has quotient topology induced by ${\displaystyle Q.}$
   5. 표준 선형 지도 $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle N}$→ ${\displaystyle X}$/ M ${\displaystyle p:$$N\to X/M}$은(는) 바이콘틴 벡터 공간 이형성($p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을 의미하며$$ 그 역은 연속됨)이다$$.
      • 이는 특히 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 $있는{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle M$}의 위상학적 보수가 $X{\displaystyle /M.}$ ${\displaystyle$ X$/M$에 대한 TVS-이형성이라는 것을$$ 암시한다$.$$}$
5. 가법 위상학적 그룹(그래서 스칼라 곱셈이 무시됨)으로 간주되는 경우, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$은 위상학적 하위 그룹 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 및$$ $N{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ N$.}$의 위상학적 직접 합이다.

만약 상기 조건의 M{M\displaystyle}과 N{N\displaystyle} 붙잡는.mw-parser-output .vanchor&gt은 X에서 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}topological supplements[1]이나 위상의 보완 수단, 그들은(지세학으로.)또는 보충 보완하기 위한 것으로 알려져 있{X\displaystyle,}으로 알려지고 있다.각, 그리고 각 부분 공간이라고 한다 다른 꿈은(지세학으로.)보충되는 사람 구해$X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$의 속도

보완된 하위 영역의 특성화

X{X\displaystyle} 위상 벡터 공간과 X의 M{M\displaystyle} 벡터 부분 공간.{X\displaystyle}그리고 M{M\displaystyle}X{X\displaystyle}의complemented 부분 공간과 다음과 같은 동등한 조건의 hol 위상적인 supplement[1]을 인정한다고 한다라고 불립니다.d:

1. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X}$의 벡터 하위 $공간{\displaystyle }$ $N{\displaystyle }$$${\$displaystyle$ $N$$}$이(가) 존재하므로 $X{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ $X}$과$($ 다르게 말하면 M ${\$displaystyle $M}$은($또는$ M ${\displaystyty X})$에서 위상적으로 보완된다.$$$$
2. 이미지 ${\displaystyle (}$ X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= M ${\displaystyle$ P$(X)=M}$이(가) 있는 연속 선형 $지도{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P:X\to$ X$}$이(가) 있으며 $P$ ${\displaystyle \circ }$ P${\displaystyle }$= ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P\circle$ P$=P$ ;
   • 이러한 지도를 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 $M{\displaystyle }$. ${\displaystyle M.}$까지 연속 선형 투영이라고 한다.
3. 이미지 $P{\displaystyle (}$ ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P(X)=M}$을(를) 가진 연속 선형 $투영{\displaystyle }$ P${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ X ${\displaystyle P:X\to$ X$}$이(가) 존재하므로$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$은 $M$의 대수적 합이고$$ $P{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ P$.}$의 null 공간이다.
4. For every TVS ${\displaystyle Y,}$ the restriction map ${\displaystyle R:L(X;Y)\to L(M;Y)}$ is surjective, where ${\displaystyle R}$ is defined by sending a continuous linear operator ${\displaystyle u:X\to Y}$ to its restriction ${\displaystyle u{\big$$\vert }_{M}:M\to Y}($즉, $R{\displaystyle (u}$) :=${\displaystyle {}_{}}$ M${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle R(u):$$=u{\big \vert }_{M}}}.$^[4]

또한 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Banach 공간인 경우 이 목록을 확장하여 다음을 포함할 수 있다.

5. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ $M$$}$은(는) $X{\displaystyle }$$$${\displaystyle$ X$}$의 닫힌 하위 $공간{\displaystyle }$ N ${\$$displaystyle N$$}$이(가) $있으므로{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$이($가{\displaystyle }$) 추가 맵을 통해 직접$$ 합 $M{\displaystyle }$ ⊕${\displaystyle N}$ ${\displaystystyle M\oplus$ N$}$과 이형이다.

$이{\displaystyle }$ 경우 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N$$}$은(는) 보완된 하위 공간이기도$$ 하며$,$ M {\$displaystyle$$}$과(와) N {\$displaystyle{\displaystyle }$N}은(는) X . {\displaystyle $X.}$에서 상호 보완이라고 불린다$$.

낟알의 위상학적 보완

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$이(가) 두 TVS 사이의 연속적인 선형 추리인 경우, 다음과 같은 조건이 동등하다는 것을 알 수 있다.

1. $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 커널에는 위상학적 보어가 있다$$.
2. ${\displaystyle \mathrm{연속}}$ 선형 지도 $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ X ${\displaystyle g:$${\displaystyle F_{}}$to g = Id ${\displaystyle Y_{}}$, ${\displaystyle f\circule g=\operatorname {Id} _{Y}$와 같은$$ $Y\to$ X$}$ 여기서 ${\displaystyle {\mathrm{Id}}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$: Y${\displaystyle }$→ ${\displaystyle Y}$ ${\\displaysty \operatorname {Id} _{Y}:$$Y\to Y}$^[4]는 ID 맵이다.

예제 및 충분한 조건

If ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Y}$ are TVS then ${\displaystyle X\times \{0\}}$ and ${\displaystyle \{0\}\times Y}$ are topological complements in ${\displaystyle X\times Y}$ (since the definition of the product topology implies that the addition map is open).If neither ${\displaystyle X}$ nor ${\displaystyle Y}$ are Hausdorff then neither ${\displaystyle X\times \{0\}}$ nor ${\displaystyle \{0\}\times Y}$ is a closed subspace of ${\displaystyle X\times Y,}$ but they are nevertheless topological complements.^{[note 4]}

If ${\displaystyle X}$ is a TVS then every vector subspace of ${\displaystyle X}$ that is an algebraic complement of ${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$ is a topological complement of ${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$ (this is because ${\displaystyle \operatorname {cl$$} \{0\}$은(는) 불분명한 토폴로지를 가지고$$ 있다.)^[5]그러므로 모든 TVS는 Hausdorff TVS와 불분명한 토폴로지를 가진 TVS의 산물이다.^[5]

Suppose ${\displaystyle X}$ is a Hausdorff locally convex TVS over the field ${\displaystyle \mathbb {K} }$ and ${\displaystyle Y}$ is a vector subspace of ${\displaystyle X}$ that is TVS-isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {K} ^{I}}$ for some set ${\displaystyle I.}$ Then ${\disp$$레이스타일 Y}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 닫히고 보완된 벡터 하위 공간이다$$($$증거는 각주 참조).^{[note 5]}

주어진 TVS $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 유한차원 벡터 서브공간은 0이 아닌 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ X ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ x$\in$ X$}$에 연속적인 선형기능이 존재하는$$ 경우에만 위상학적으로 보완된다$$. 이$$ 시점의 값이 0이 $아닌{\displaystyle }$ X ${\displaysty X}$에 연속적인 선형기능이 있는 경우.^[1]Hausdorff TVS의 모든 유한차원 벡터 서브공간은 닫히고 Hausdorff TVS가 국소적으로 볼록하면 닫히고 보완된다.^[6]TVS의 폐쇄된 유한차원 벡터 하위공간은 보완된다.^[6]유한한 차원 아공간은 바나흐 공간에서도 꼭 닫히는 것은 아니지만, 닫힌다면 그것 또한 보완된다.예를 들어 바나흐 또는 프레셰트 공간에서는 유한한 차원 공간이 연속적인 선형 지도의 이미지인 경우가 이에 해당할 수 있다.^[7]

If ${\displaystyle M}$ is a proper maximal closed vector subspace of a TVS ${\displaystyle X}$ and if ${\displaystyle N}$ is any algebraic complement of ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle N}$ is a topological complement of ${\displaystyle M}$ in ${\disp$$레이스타일 X.}$ 특히$$^[8] $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $L$$}$이(가) $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ X$,}$에서 비종교적인 연속 선형 기능인$$ 경우, $L$ ${\displaystyle$ $L$$}$의 커널은 $X{\displaystyle }$. ${\displaysty$ X$.}$에서 토폴로지적으로 보완된다$$.

완료되지 않은 하위 스페이스

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 연속적인 규범이 존재하는 비정규적인 프래쳇 공간이 되도록$$ 하라.그런 $다음{\displaystyle }$ X$${\$displaystyle X}$에는 위상학적 보완이 없는 폐쇄 벡터 하위 공간이 포함되어$$ 있다.^[10]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 완전한 TVS이고 $M{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $M$$}$이(가) $M {\displaystyle$ X$}$의 폐쇄 벡터 하위 공간인 경우$$, $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}$은(가) $X{\displaystyle }$. ${\displaystystyle$ X$}$에 위상 보어가 없다.

특성.

Banach 공간(또는 TVS) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 모든 닫힌 하위 공간은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 힐버트 공간에 대해 이형인 경우에만 보완된다$$.Hausdorff TVS의 모든 위상적으로 보완된 벡터 하위 공간은 반드시 닫힌다.^[8]

분해법

이 정리는 슈뢰더-베른슈타인 문제로 이어졌다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$과 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) Banach 공간이고 각각 TVS가 다른 공간의 보완된 하위 공간에 대해 이형성이라면, 그렇다면 $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle X$$}$TVs-이형성이$$ $}$인가$?$ 1996년에 Gowers는 이 질문에 부정적인 대답을 제공했다.^[11]

Banach 공간의 보완된 하위 공간 분류

바나흐 공간 $X{\displaystyle }$.${\displaystyle X$$.}$ 이등형성까지의 X${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$X}의 보완된 하위 공간은 무엇인가$$?이 질문에 대답하는 것은 다양한 ${\displaystyle {중요}_{}}$한 바나흐 공간, 특히 $L{\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$ 공간에서 열려 있는 보완된 하위 공간 문제 중 하나이다($$아래 참조).

바나흐의 일부 공간에서는 질문이 종결된다.Most famously, if ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ then the only complemented subspaces of ${\displaystyle \ell _{p}}$ are isomorphic to ${\displaystyle \ell _{p},}$ and the same goes for ${\displaystyle c_{0}.}$ Such spaces are called prime (when their only complemented subspaces그들 자신에게 이형이다.그러나 이것들만이 유일한 황금 공간은 아니다.

${\displaystyle {공간}_{}}$ $L{\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle L_{p}[0,1]}$은(는) p ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cup }$(${\displaystyle 2}$,$$); {\$displaystyle p\in ($1$,2)\컵 (2,\fty );}$이(가) 사실, 셀 수 없이 많은 비이형성 보완된 하위공간을 인정한다$$.The spaces ${\displaystyle L_{2}[0,1]}$ and ${\displaystyle L_{\infty }[0,1]}$ are isomorphic to ${\displaystyle \ell _{2}}$ and ${\displaystyle \ell _{\infty },}$ respectively, so they are indeed prime.

공간 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle L_{1}}$은(는$)$ ${\displaystyle {\ell \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$, {\$displaystyle \ell _{1$}의 보완된 복사본이 포함되어 있지 않기$$ 때문에 프라임은 아니지만, 현재$$ L ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle L_{1$}의 $다른$보완된$하위$ 공간은$$ 알려져 있지 않다.$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle L_{1}[0,1]}}}$이(가) 다른 보완적인 하위 영역을 인정하는지는$$ 의심할 여지 없이 기능 분석에서 가장 흥미로운 개방형 문제 중 하나이다.

외설적인 바나흐 공간

무한 차원 바나흐 공간은 그것의 유일한 보완적인 하위 공간이 유한 차원 또는 유한 차원일 때마다 외설적이라고 불린다.바나흐 공간 $X{\displaystyle }${\$displaystyle$ X$}$의 유한-고차원 아공간이${\displaystyle }X{\displaystyle }$ ,$${\$displaystyle$ X$}$에 항상 이형화되어 있어 외설적인 바나흐 공간을 최고로 만든다.

외설적인 공간의 가장 잘 알려진 예는 사실 유전적으로 외설적인 것인데, 이것은 모든 무한 차원적인 하위 공간도 외설적이라는 것을 의미한다.그러한 공간은 상당히 고약하며, 특히 바나흐 공간에서 우리가 일반적으로 원하는 종류의 행동에 맞서기 위해 건설되었다.

참고 항목

• 직접합 – 추상 대수에서 객체를 "더 복잡한" 객체로 합성하는 연산
• 모듈의 직접 합계
• 위상 그룹의 직접 합계

메모들

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참조

참고 문헌 목록

• Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Functional Analysis (Second ed.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0486402512. OCLC 829157984.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.