C*-알지브라 스펙트럼

수학에서, A로 표시된 C*-알지브라 또는 C*-알지브라 A의 이중 스펙트럼은 A의 수정 불가능한 *-표현의 단일 동등성 등급 집합이다.힐버트 공간 H에 대한 A의 *표현 π은 모든 운영자 π(x)에서 x ∈ A로 불변하는 H 및 {0}과(와) 다른 폐쇄 하위 공간 K가 없는 경우에만 수정할 수 없다.우리는 불가역적 표현은 비Null 불가역적 표현을 의미하며, 따라서 1차원 공간에 대한 사소한 표현(즉, 동일한 0)은 제외한다고 암묵적으로 가정한다.아래에서 설명한 것처럼 스펙트럼 â도 자연적으로 위상학적 공간이다. 이는 링의 스펙트럼의 개념과 유사하다.

이 개념의 가장 중요한 적용 중 하나는 지역적으로 작은 그룹에 대한 이중 오브젝트의 개념을 제공하는 것이다.이 이중 물체는 타입 I의 단변형 로컬 콤팩트 그룹에 대한 푸리에 변환과 Plancherel 정리, 타입 I의 분리형 로컬 콤팩트 그룹의 임의적 표현을 위한 분해 정리를 형성하는데 적합하다.그러나 국소 콤팩트 집단의 결과적 이중성 이론은 콤팩트 위상학 집단의 타나카-크레인 이원론이나 국소 콤팩트 아벨리아 집단의 폰트랴긴 이원론보다 훨씬 약하다.이중이 완전한 불변성이 아니라는 것은 어떤 유한차원 완전행렬 대수 M_n(C)의 이중이 하나의 점으로 구성되는 것으로 쉽게 볼 수 있다.

원시 스펙트럼

â의 위상은 몇 가지 동등한 방법으로 정의할 수 있다.우리는 먼저 원시 스펙트럼의 관점에서 그것을 정의한다.

A의 원시적 스펙트럼은 A의 원시적 이상 Prim(A)의 집합으로, 원시적 이상은 불가해한 *-표현의 알맹이다.원시적 이상 집합은 선체-커널 위상(또는 제이콥슨 위상)이 있는 위상학적 공간이다.이는 다음과 같이 정의된다.X가 원시적 이상들의 집합이라면, 그 선체-선관 폐쇄는

${\displaystyle {\overline{X}=\좌측\{\rho \in \operatorname {Prim}(A):\rho \supseteq \bigcap _{\pi \in X}\pi \right\}.}$

선체-커널 폐쇄는 공증전위 작업, 즉 쉽게 나타난다.

${\displaystyle {\overline {X}={\overline {X},}$

쿠라토프스키의 폐쇄 공리를 만족시키는 것으로 보일 수 있다.그 결과, τ에 관해서 세트 X의 폐쇄가 X의 선체-선관 폐쇄와 동일할 정도로 Prim(A)에 독특한 위상 τ이 있음을 알 수 있다.

단위당 등가 표현은 동일한 커널을 가지므로, 지도 ker ker ker(π) 인자는 굴절적 지도를 통해 이루어진다.

${\displaystyle \operatorname {k} :{\hat {A}\to \operatorname {Prim}(A).}$

지도 k를 사용하여 다음과 같이 â의 위상을 정의한다.

정의.sets의 오픈 세트는 Prim(A)의 오픈 서브셋 U의 역 영상 k⁻¹(U)이다.이것은 실로 위상이다.

선체-선관 위상은 상호 작용 링에 대한 자리스키 위상의 비전속 링에 대한 아날로그다.

선체-선관 위상에서 유도된 â의 위상은 A의 상태 측면에서 다른 특성을 가진다.

예

C*알게브라

정류 C*-알지브라 A의 스펙트럼은 A의 Gelfand 듀얼과 일치한다(Banach 공간 A의 듀얼 A'와 혼동되지 않는다).특히 X가 콤팩트한 하우스도르프 공간이라고 가정해 보자.그러면 자연적인 동형성이 있다.

${\displaystyle \operatorname {I}:X\cong \operatorname {Prim}(\operatorname {C}(X)))}$

이 매핑은 다음에 의해 정의된다.

${\displaystyle \operatorname {I}(x)=\{f\in \operatorname {C}(X):f(x)=0\}}$

I(x)는 C(X)에서 폐쇄적인 최대 이상이기 때문에 사실 원시적이다.증명에 대한 자세한 내용은 Dixmier 참조를 참조하십시오.보조 C*알제브라라면

${\displaystyle {\hat {A}\cong \operatorname {Prim}(A)}$

경계 연산자의 C*-알지브라

H를 분리할 수 있는 무한 차원 힐버트 공간이 되게 하라. L(H)에는 두 개의 표준 닫힘 *-이상이 있다.I₀ = {0} 및 콤팩트 연산자의 이상 K = K(H)따라서 집합으로 Prim(L(H)) = {I₀, K}.지금

• {K}은(는) Prim(L(H)의 닫힌 하위 집합이다.
• {I₀}의 폐쇄는 Prim(L(H)이다.

따라서 Prim(L(H))은 Hausdorff가 아닌 공간이다.

반면에 L(H)의 스펙트럼은 훨씬 크다.커널 K(H) 또는 커널 {0}을(를) 사용하는 불평등 불가해한 표현들이 많이 있다.

유한차원 C*알게브라

A가 유한 차원 C*-알지브라라고 가정하자.A는 유한한 전체 행렬 알헤브라의 직접 합에 대해 이형성이 있다고 알려져 있다.

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{e\in \operatorname {min}(A)A,}에,}$

여기서 min(A)은 A의 최소 중심 투영이다.A의 스펙트럼은 이산 위상과의 최소(A)에 대해 표준적으로 이형성이다.유한차원 C*알게브라의 경우, 우리는 또한 이형성을 가지고 있다.

${\displaystyle {\hat {A}\cong \operatorname {Prim}(A)}$

스펙트럼의 기타 특성

선체-선관 위상은 추상적으로 설명하기 쉽지만, 실제로는 국소 소형 위상학 그룹과 연관된 C*-알게브라의 경우, 양의 명확한 기능 측면에서 스펙트럼 위상 위상의 다른 특성화가 바람직하다.

실제로 â의 위상은 다음과 같이 표현에 대한 약한 억제 개념과 밀접하게 연결되어 있다.

정리.S를 â의 하위 집합으로 합시다.그 다음 π에 대해서는 다음과 같다.

1. π의 등가 등급은 S의 폐쇄에 있다.
2. π과 관련된 모든 상태, 그것은 형태 중 하나이다.

${\displaystyle f_{\xi }(x)=\langle \xi \mid \pi(x)\xi \angle }$

ξ = 1을 가지는 것은 S의 표현과 관련된 주의 약한 한계다.

두 번째 조건은 정확히 π이 S에 약하게 포함되어 있다는 것을 의미한다.

GNS 구조는 C*-알지브라 A의 상태를 A의 표현과 연관시키는 레시피다.GNS 구축과 관련된 기본적인 이론들 중 하나에 의해, 상태 f는 관련 표현 π이_f 수정 불가능한 경우에만 순수하다.더구나 지도 κ : f ↦ π에_f 의해 정의된 PureState(A) → â π에 의해 정의된 â은 굴절적 지도다.

이전의 정리로부터 다음과 같은 것을 쉽게 증명할 수 있다.

정리 지도

${\displaystyle \kappa :\operatorname {PureState}(A)\to {\hat {A}}$

GNS 구축에 의해 주어지는 것은 연속적이고 개방적이다.

공간 Irre_n(A)

â에는 적절한 포인트와 융합 위상이 있는 위상학적 공간으로서의 표현 공간을 고려함으로써 발생하는 위상의 또 다른 특성이 있다.보다 정확하게는 n을 기수로 하고 H를_n 차원 n의 표준 힐버트 공간이 되게 한다.

Irre_n(A)는 점 약점 위상(point-weak topology)과 함께 H에_n 있는 A를 수정할 수 없는 *표현 공간이다.이 위상은 그물의 융합에 있어서 π_i → π에 의해 정의된다. 만약의 경우에 한한다.

$\\displaystyle \langle \pi _{i}(x)\mid \eta \angle \to \langle \pi(x)\xi \mid \eta \quad \forall \xi ,\in H_}\eta \x\in.}$

Ir_n(A)의 이 위상은 점강 위상과 동일하다는 것이 밝혀졌다_i. 즉, if와 if와 if와 if와 if와 on만

${\displaystyle \pi _{i}(x)\xi \to \pi(x)\xi \quad {\mbox{\mbox}}}\all \xi \in H_{n}\x\in A.}$

정리.Hilbert 공간의 기본 공간에 차원 n이 있는 표현의 동등성 등급으로 구성된 consisting의_n 하위집합이 되도록 한다.표준 지도 Irr_n(A) → â은_n 연속적이고 개방적이다.특히 â은_n 단일성 당량성 하의 Irr_n(A)의 지수 위상학적 공간으로 간주할 수 있다.

다양한 â의_n 짜임새가 복잡할 수 있다.

매키-보렐 구조

â은 위상학적 공간이기 때문에 보렐 공간이라고도 볼 수 있다.G. Mackey에 대한 유명한 추측에 따르면, Borel 공간이 표준인 경우에만, 즉 완전한 분리 가능한 메트릭 공간의 기초 Borel 공간에 대한 이소모르픽(Borel 공간의 범주)인 경우에만 분리 가능한 로컬 컴팩트 그룹이 I 유형이라고 제안했다.맥키는 이 성질을 가지고 보렐 공간을 매끄럽게 불렀다.이러한 추측은 제임스 글림에 의해 아래 참고문헌에 열거된 1961년 논문에서 분리 가능한 C*알제브라에 대해 입증되었다.

정의.able(A)에 의해 생성된 폰 노이만 대수의 중심이 1차원인 경우에만 분리 가능한 C*-알지브라 A의 비-디제너레이션 *-표현 π은 인자표현이다.C*-알지브라 A는 A의 분리가 가능한 인자 표식이 수정 불가능한 배수의 유한하거나 계수 가능한 배수인 경우에만 I형이다.

C*(G)가 I 유형(실제)인 분리 가능한 로컬 컴팩트 그룹 G의 예로서, (실제) nilpotent Lie 그룹과 연결된 실제 반단순 Lie 그룹이다.따라서 하이젠베르크 집단은 모두 제1종이다.콤팩트 그룹과 아벨 그룹도 I형이다.

정리.A가 분리 가능한 경우, A가 I 유형인 경우에만 smooth이 매끄럽다.

그 결과는 I형식 C*-알게브라와 그에 상응하는 I형식의 국소적 소형 그룹의 분리형 표현 구조의 광범위한 일반화를 의미한다.

대수 원시 스펙트럼

C*-알지브라 A는 고리이기 때문에 A를 대수적으로 간주하는 A의 원시적 이상 집합도 고려할 수 있다.반지의 경우 이상은 단순한 모듈의 전멸자일 경우에만 원시적이다.C*-알지브라 A의 경우 이상형은 위에서 정의한 의미에서 원시적일 경우에만 대수적으로 원시적이라는 것이 밝혀졌다.

정리.A를 C*알지브라로 두어라.복잡한 벡터 공간에서 A를 대수적으로 해석할 수 없는 표현은 위상학적으로 해석할 수 없는 *-표현과 대수적으로 동일하다.위상학적으로 해석할 수 없는 *- 힐버트 공간의 표현은 단위가 동일한 경우에만 대수학적으로 이형화된다.

이것은 딕스미어 참조의 정리 2.9.5의 코롤라리 입니다.

G가 로컬 컴팩트 그룹이라면 G의 C*-알지브라 C*(G) 그룹 이중 공간의 위상은 J. M. G. Fall의 이름을 따서 Fall 위상이라고 한다.

참조

• J. Dixmier, Les C*-algébres et reprerations, Gautier-Villars, 1969.
• J. 글림, 타입 I C*-알게브라스, 수학 연보, vol 73, 1961.
• G. Mackey, Theory of Group Mattagements, The University of Chicago Press, 1955.