왜곡 문제

수학의 한 분야인 기능분석에서 왜곡 문제는 주어진 바나흐 공간에서 등가 규범을 이용해 단위 구를 얼마나 왜곡할 수 있는지를 결정하는 것이다.구체적으로, Barnach 공간 X는 X에 동등한 규범 X가 존재한다면, X의 모든 무한 차원 하위 공간 Y에 대해, ,-distortable이라고 불린다.

${\displaystyle \sup _{y_{1}, y_{2}\in Y,\ y_{i}\=1}{\frac {y_{1}{{{1}{y_{1}}{Y_{2}}}}\geq \lambda }}}$

(변형(변형) 참조).모든 바나흐 공간은 사소한 것으로 1-distortable이라는 점에 유의하십시오.바나흐 공간은 일부 λ > 1에 대해 λ-distortable이면 왜곡 가능한 공간이고, 어떤 able에 대해서도 λ-distortable이면 임의로 왜곡 가능한 공간이라고 한다.왜곡성은 1960년대에 처음으로 바나흐 공간의 중요한 자산으로 등장했는데, 여기서 제임스(1964년)와 밀만(1971년)이 연구하였다.

제임스는 c와₀ ℓ이¹ 왜곡될 수 없다는 것을 증명했다.밀먼은 X가 약 1 p p < ∞ (서열공간 참조)에 대해₀ c 또는^p of의 이소형 복사를 포함하지 않는 바나흐 공간이라면 X의 어떤 무한 차원 하위 공간은 왜곡될 수 있다는 것을 보여주었다.그래서 왜곡 문제는 이제 주로 1 < p < ∞>의 공간 ℓ에^p 관심을 두고 있는데, 이 공간들은 모두 분리 가능하고 균일한 볼록이다.

고 균일하게 분리 볼록 공간에서, distortability 쉽게는 모든 real-valued 두 기능 ƒ의 표면적으로 보다 포괄적인 질문은 특정 권역에서 X에서 정의되는 무한한차원 부분 공간의 영역, 즉 모든 δ 을었는지 아닌지에 있는 실질적 숫자는∈ R이;0씨푸드에 들이마시는 것과 동등한 것으로 보인다.eiX의 무한 치수 아공간 Y로 모든 y ∈ Y에 대해 y = 1로 - <(y) < Δ. 그러나 ℓ에는¹ 이 공간이 제임스(1964년)에 의해 왜곡될 수는 없지만 안정화되지 않는 립슈치츠 기능이 있다는 것은 Odell & Schlumprecht(1994)의 결과에서 비롯된다.분리 가능한 힐버트 공간에서 왜곡 문제는 양성 거리로 분리된 단위 구형의 하위 집합이 존재하는지, 그러면서도 모든 무한 차원 폐쇄된 하위 공간을 교차하는지 여부에 대한 문제와 동일하다.바나흐 공간의 많은 특성들과 달리, 그 왜곡 문제는 다른 바나흐 공간만큼 힐베르트의 공간에서도 어려운 것 같다.분리 가능한 힐베르트의 공간에, 그리고 다른 ℓ-p^p < ∞에 대해서는, sch이² 임의로 왜곡할 수 있는 것으로 알려진 최초의 임의로 왜곡할 수 있는 공간을 슐럼프레히트(1994)가 사용함으로써, solved이 임의로 왜곡할 수 있다는 것을 보여준 오델 앤 슐럼프레흐트(1994)에 의해 왜곡 문제는 긍정적으로 해결되었다.

참고 항목

• 티렐슨 공간
• 바나흐 공간

참조

• James, R.C. (1964), "Uniformly nonsquare Banach spaces", Annals of Mathematics, 80 (2): 542–550, doi:10.2307/1970663.
• Milman (1971), "Geometry of Banach spaces II, geometry of the unit sphere", Russian Mathematical Surveys, 26: 79–163, Bibcode:1971RuMaS..26...79M, doi:10.1070/RM1971v026n06ABEH001273.
• Odell, E; Schlumprecht, Th. (2003), "Distortion and asymptotic structure", in Johnson; Lindenstrauss (eds.), Handbook of the geometry of Banach spaces, Volume 2, Elsevier, ISBN 978-0-444-51305-2.
• Odell, E.; Schlumprecht, Th. (1993), "The distortion problem of Hilbert space", Geom. Funct. Anal., 3: 201–207, doi:10.1007/BF01896023, ISSN 1016-443X, MR 1209302.
• Odell, E.; Schlumprecht, Th. (1994), "The distortion problem", Acta Mathematica, 173: 259–281, doi:10.1007/BF02398436, ISSN 0001-5962, MR 1301394.
• Schlumprecht, Th. (1991), "An arbitrary distortable Banach space", Israel Journal of Mathematics, 76: 81–95, arXiv:math/9201225, doi:10.1007/bf02782845, ISSN 0021-2172, MR 1177333.