비너 대수

수학에서 노버트 위너(Nobert Wiener)의 이름을 따서 지었고 보통 A(T)로 표기되는 위너 대수학은 절대 수렴 푸리에 시리즈가 있는 공간이다.^[1]여기서 T는 원 그룹을 나타낸다.

바나흐 대수 구조

함수 f ∈ A(T)의 표준은 다음과 같다.

${\displaystyle \f\ =\sum _{n=-\fit }^{\infit } {\hat {f}(n) ,\,}$

어디에

${\displaystyle {\hat{f}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int_{-\pi }^{}f(t)^{-int}\,dt}$

f의 n번째 푸리에 계수다.Wiener 대수 A(T)는 점으로 곱한 함수에 따라 닫힌다.정말,

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)g(t)&=\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(m)e^{imt}\,\cdot \,\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\hat {g}}(n)e^{int}\\&=\sum _{n,m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(m){\hat {g}}(n)e^{i(m+n)t}\\&=\sum _{n\in \mathb {Z}\왼쪽\{\sum _{m\}{\mathb {Z}{}}{\hat {f}(n-m){\hat{g}\오른쪽\e^}}}}{int},\qquad f,g(\mathb {T};end{liged}})}}}}}}}}}}}}}}$

그러므로

${\displaystyle \ fg\ =\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left \sum _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(n-m){\hat {g}}(m)\right \leq \sum _{m} {\hat {f}}(m) \sum _{n} {\hat {g}}(n) =\ f\ \,\ g\ .\,}$

따라서 위너 대수학(Wiener 대수학)은 상호교합적인 바나흐 대수학이다.또한 A(T)는 바나흐 대수 l₁(Z)에 이형이며, 푸리에 변환이 주는 이형성을 가지고 있다.

특성.

절대 수렴 푸리에 시리즈의 합은 연속적이어서, 그래서

${\displaystyle A(\mathb {T} )\subset C(\mathb {T} )}$

여기서 C(T)는 유닛 원의 연속 기능 링이다.

한편, 부분별 통합은 카우치-슈바르츠 불평등 및 파르세발 공식과 함께 다음과 같은 것을 보여준다.

${\displaystyle C^{1}(\mathb {T} )\subset A(\mathb {T} )\,}$

좀 더 일반적으로는

${\displaystyle \mathrm {Lip} _{\alpha }(\mathb {T})\subset A(\mathb {T})\subset C(\mathb {T} )}$

> / ${\displaystyle \alpha >1/2$}의 경우(Katznelson(2004) 참조).

비에너의 1/f 정리

Wiener(1932, 1933년)는 f가 절대 수렴 푸리에 시리즈를 가지고 있고 절대 0이 아니라면, 그것의 상호 작용 1/f도 절대 수렴 푸리에 시리즈를 가지고 있다는 것을 증명했다.그 이후 뉴먼(1975년)의 초등 교정쇄를 포함해 많은 다른 증거들이 등장했다.

겔판드(1941년, 1941년b)는 A(T)의 최대 이상이 형식임을 보여주기 위해 개발한 바나흐 알헤브라의 이론을 사용했다.

${\displaystyle M_{x}=\left\{f\in A(\mathb {T})\,\mid \,f(x)=0\right\},\quad x\in \mathb {T} ~,}$

위너 정리와 맞먹는다

참고 항목

• 비너-레비 정리

메모들

참조

• Arveson, William (2001) [1994], "A Short Course on Spectral Theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Gelfand, I. (1941a), "Normierte Ringe", Rec. Math. (Mat. Sbornik), Nouvelle Série, 9 (51): 3–24, MR 0004726
• Gelfand, I. (1941b), "Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale", Rec. Math. (Mat. Sbornik), Nouvelle Série, 9 (51): 51–66, MR 0004727
• Katznelson, Yitzhak (2004), An introduction to harmonic analysis (Third ed.), New York: Cambridge Mathematical Library, ISBN 978-0-521-54359-0
• Newman, D. J. (1975), "A simple proof of Wiener's 1/f theorem", Proceedings of the American Mathematical Society, 48: 264–265, doi:10.2307/2040730, ISSN 0002-9939, MR 0365002
• Wiener, Norbert (1932), "Tauberian Theorems", Annals of Mathematics, 33 (1): 1–100, doi:10.2307/1968102
• Wiener, Norbert (1933), The Fourier integral and certain of its applications, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511662492, ISBN 978-0-521-35884-2, MR 0983891