보간공간

수학적 분석 분야에서 보간 공간은 다른 두 바나흐 공간 사이에 있는 공간이다.주요 적용 분야는 소볼레브 공간이며, 여기서 비정수 파생상품 수가 있는 함수의 공간은 정수 파생상품이 있는 함수의 공간에서 보간된다.

역사

벡터 공간의 보간 이론은 후에 일반화되었고 현재 리에츠-토린 정리라고 알려져 있는 조제프 마르킨키에비츠에 대한 관찰에 의해 시작되었다.간단히 말해서, 선형 함수가 특정 공간 L과^p 특정 공간 L에서도^q 연속적인 경우, 공간 L에서도^r 연속적으로, p와 q 사이의 중간 r에 대해 연속적인 것이다.즉 L은^r L과^p L의^q 중간인 공간이다.

소볼레프 공간의 개발에서 미량 공간은 일반적인 기능 공간(파생물의 정수 포함)이 아니라는 것이 분명해졌고, 자크루이스 라이온스는 실제로 이러한 미량 공간들이 비정수적 수준의 차별성을 가진 기능들로 구성되어 있다는 것을 발견했다.

푸리에 변환, 복잡한 보간,^[1] 실제 보간 ^[2]및 기타 도구(예: 부분파생상품 참조)를 포함하여 많은 방법이 그러한 기능의 공간을 생성하도록 설계되었다.

보간 설정

바나흐 공간 X는 X에서 Z까지의 포함 지도가 연속적일 정도로 Z의 선형 하위 공간일 때 Hausdorff 위상 벡터 공간 Z에 지속적으로 내장된다고 한다.바나흐 공간의 호환 커플(X₀, X₁)은 동일한 하우스도르프 위상 벡터 공간 Z에 지속적으로 내장된 두 개의 바나흐 공간 X와₀ X로₁ 구성된다.^[3]선형 공간 Z에 내장되어 있어 두 개의 선형 하위 공간을 고려할 수 있다.

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}:{1}$

그리고

${\displaystyle X_{0}+X_{1}=\left\{z\in Z:z=x_{0}+x_{1}, X_{0}\,x_{1}\in X_{1}\in X_{1}\{1}\in X_{1}\right\}.}$

보간술은 X와₀₁ X의 등가성 등급에만 의존하지 않는다.X와₀ X가₁ 더 큰 공간 Z에서 차지하는 특정한 상대적 위치로부터 본질적인 방법으로 의존한다.

X₀ ∩ X와₁ X₀ + X에₁ 대한 규범을 정의할 수 있다.

${\displaystyle \ x\ _{X_{0}\cap X_{1}:=\max \left(\좌측\x\우측\ _{X_{0},\좌측\x\우측\{X_{1}\우측)}}$

${\displaystyle \ x\ _{X_{0}+X_{1}}}:=\inf \{\left\{0}\right\ _{X_{0}\{0}\\{1}\{1}\{1}\{X_{1}\\ x=x_{0}+x_{1}}}\in X_{0}}\x_{1}\in X_{1}\rig}\in.}$

이러한 규범들을 갖춘 교차로와 합은 바나흐 공간이다.다음 포함 항목은 모두 연속적이다.

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}\subset X_{0}\x_{1}\x_subset X_{0}\subset X_{0}+X_{1}.}$

보간술은 X와₀₁ X 사이의 중간 공간인 X 공간의 패밀리를 연구한다.

${\displaystyle X_{0}\cap X_{1}\subset X\subset X_{0}+X_{1},}$

여기서 두 개의 포함 지도가 연속적이다.

이러한 상황의 예로는 쌍(L¹(R), L^∞(R)이 있는데, 여기서 두 바나흐 공간이 실제 선의 측정 가능한 함수의 공간 Z에 연속적으로 내장되어 측정상의 수렴 토폴로지를 갖추고 있다.이 상황에서 1 ≤ p ∞의 공간 L^p(R)은 L¹(R)과 L^∞(R) 사이에 중간이다.좀 더 일반적으로는

${\displaystyle L^{p_{0}}(\mathbf {R} )\cap L^{p_{1}}(\mathbf {R} )\subset L^{p}(\mathbf {R} )\subset L^{p_{0}}(\mathbf {R} )+L^{p_{1}}(\mathbf {R} ),\ \ {\text{when}}\ \ 1\leq p_{0}\leq p\leq p_{1}\leq \infty ,}$

연속 주사를 사용하여 주어진 조건에서 L^p(R)은 L^p₀(R)과 L^p₁(R) 사이에 중간이 되도록 한다.

정의.양립 가능한 두 커플(X₀, X₁)과 (Y₀₁, Y)이 주어진 경우 보간 쌍은 바나흐 공간의 커플(X, Y)이며, 두 가지 속성이 있다.

• 공간 X는 X와₀ X₁ 사이에 중간이고 Y는 Y와₀ Y 사이에₁ 중간이다.
• L이 X₀ + X에서₁ Y + Y까지₀₁ 선형 연산자일 경우 X를₀ Y에₀, X를₁ Y에₁ 연속적으로 매핑한다.

보간 쌍(X, Y)은 다음과 같은 상수 C가 존재하는 경우 지수 θ (0 < θ < 1)인 것으로 한다.

${\displaystyle \ L\ _{X,Y}\leq C\ L\ _{X_{0},Y_{0}^{1-\theta }\;\ L\ _{X_{1},Y_{1}^{\theta }}}}$

위와 같은 모든 연산자 L에 대해.표기법 L은 X에서 Y까지의 지도로서 L의 규범에 대한 것이다.C = 1이면 (X, Y)는 지수의 정확한 보간 쌍이라고 한다.

복합 보간법

스칼라가 복잡한 숫자일 경우, 복잡한 분석 기능의 속성을 사용하여 보간 공간을 정의한다.Given a compatible couple (X₀, X₁) of Banach spaces, the linear space ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}$ consists of all functions f : C → X₀ + X₁, that are analytic on S = {z : 0 < Re(z) < 1}, continuous on S = {z : 0 ≤ Re(z) ≤ 1}, and for which all the following subsets are bounded:

{ f (z) : z ∈ S} ⊂ X₀ + X₁,

{ f (it) : t ∈ R} ⊂ X₀,

{ f (1 + it) : t ∈ R} ⊂ X₁.

${\displaystyle \mathcal{F}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle {\mathcal {F}(X_{0},X_{1}})$는 표준 하의 바나흐 공간이다.

${\displaystyle \ f\ _{{\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}=\max \left\{\sup _{t\in \mathbf {R} }\ f(it)\ _{X_{0}},\;\sup _{t\in \mathbf {R} }\ f(1+it)\ _{X_{1}}\right\}.}$

정의.^[4]0 < θ < 1의 경우, 복합 보간 공간(X₀₁, X)_θ은 함수의 선행 공간에서 f가 변화할 때 모든 값 f(θ)로 구성된₀ X + X의₁ 선형 하위 공간이다.

${\displaystyle (X_{0},X_{1}_{\theta}=\reft\{x\in X_{0}+X_{1}:x=f(\theta ),\;f\in {\mathcal {F}(X_{0},X_{1}})\right\}.}$

복합 보간공간의 표준₀(X₁,_θ X)은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \ x\ \{\theta }=\inf \왼쪽\{\\\f\}{{\mathcal {F}(X_{0}},X_{1}})\{\mathcal {F}(X_{0},X_{1}})\right\}}$

이 규범을 갖춘 복잡한 보간 공간(X₀₁, X)_θ은 바나흐 공간이다.

정리.^[5]Given two compatible couples of Banach spaces (X₀, X₁) and (Y₀, Y₁), the pair ((X₀, X₁)_θ, (Y₀, Y₁)_θ) is an exact interpolation pair of exponent θ, i.e., if T : X₀ + X₁ → Y₀ + Y₁, is a linear operator bounded from X_j to Y_j, j = 0, 1, then T is bounded from (X₀, X₁)_θ to (Y₀, Y₁)_θ and

${\displaystyle \ T\{\theta }\leq \T\{0}^{1-\theta }\{1}^{1}^{\ta }}}}$

L공간의^p 패밀리(복잡한 가치 함수의 결합)는 복잡한 보간에서 잘 동작한다.^[6](R, σ, μ)가 임의의 측정 공간이라면, 1 ≤ p₀, p₁ ≤ ∞, 0 < θ > 1이면,

${\displaystyle \left(L^{p_{0}}(R,\Sigma ,\mu ),L^{p_{1}}(R,\Sigma ,\mu )\right)_{\theta }=L^{p}(R,\Sigma ,\mu ),\qquad {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},}$

규범과 동등하게이 사실은 리에즈-과 밀접한 관련이 있다.소린 정리.

실제 보간법

실제 보간법을 도입하는 방법에는 두 가지가 있다.보간 공간의 예를 실제로 확인할 때 가장 많이 사용되는 첫 번째 방법은 K-method이다.두 번째 방법인 J-method는 파라미터 θ이 (0, 1)에 있을 때 K-method와 동일한 보간 공간을 준다.J-와 K-ethods가 합의하는 것은 보간 공간의 이중화를 연구하는데 중요하다. 기본적으로 K-ethod에 의해 구성된 보간 공간의 이중화는 J-ethod에 의해 이중 커플링으로 구성된 공간으로 보인다. 아래를 참조한다.

K-메소드

실제 보간법의^[7] K-method는 실제 숫자의 필드 R에 있는 바나흐 공간에 사용할 수 있다.

정의.(X₀, X₁)는 Banach 공간의 양립할 수 있는 커플이 된다.t₀ > 0과 매 x ∈ X + X에₁ 대해 다음과 같이 한다.

${\displaystyle K(x,t;X_{0},X_{1})=\inf \left\{\left\ x_{0}\right\ _{X_{0}}+t\left\ x_{1}\right\ _{X_{1}}\ :\ x=x_{0}+x_{1},\;x_{0}\in X_{0},\,x_{1}\in X_{1}\right\}.}$

두 공간의 순서를 변경하면 다음이 발생한다.^[8]

${\displaystyle K(x,t;X_{0},X_{1}=tK\왼쪽(x,t^{-1};X_{1},X_{0}\오른쪽).}$

내버려두다

${\displaystyle {\begin{aligned}\ x\ _{\theta ,q;K}&=\left(\int _{0}^{\infty }\left(t^{-\theta }K(x,t;X_{0},X_{1})\right)^{q}\,{\tfrac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}},&&0<\theta <1,1\leq q<\infty ,\\\ x\ _{\theta ,\infty ;K}&=\sup _{t>0}\;t^{-\theta }K(x,t;X_{0},X_{1}),&&0\leq \theta \leq 1.\end{aligned}}}$

실제 보간법의 K-method는 K_θ,q(X₀, X₁)를 x < ∞과 같은 모든 x로 구성된 X₀ + X의₁ 선형 하위공간으로 만드는 데 있다.

예

중요한 예는 기능 K(t, f; L, L^∞)를 명시적으로 계산할 수 있는 커플(L¹(R, μ, μ), L^∞(R, μ), L(R, μ¹)이다.측정 μ는 σ-핀으로 되어 있다.이러한 맥락에서 f f₀ L과¹¹ f₁ ∈ L의^∞ 두 함수의 합으로 f ∈ L + L 함수를^∞ 절단하는 최선의 방법은, 일부 s > 0이 t의 함수로 선택되는 경우, f₁(x)가 모든 x ∈ R에 대해 주어지도록 하는 것이다.

${\displaystyle f_{1}(x)={\displaysty}f(x)&f(x) <s,\\\\frac {fract(x)}{f(x)}{{{\text}}}\case}}}}}}}$

s의 최적 선택은 공식으로^[9] 이어진다.

${\displaystyle K\left(f,t;L^{1},L^{\infully }\오른쪽)=\int _{0}^{t^{*(u)\,du,}$

여기서 f는 ^∗ f의 감소하는 재배열이다.

J-메소드

K-method와 마찬가지로 J-method도 실제 바나흐 공간에 사용할 수 있다.

정의.(X₀, X₁)는 Banach 공간의 양립할 수 있는 커플이 된다.t > 0에 대하여 그리고 모든 벡터 x ∈ X에₀₁ 대하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle J(x,t;X_{0},X_{1}=\max \left(\ x\ _{X_{0},t\ _{X_{1}}\오른쪽).}$

X₀ + X의₁ 벡터 x는 보간 공간 J_θ,q(X₀, X₁)에 속하며, 이 공간은 다음과 같이 쓸 수 있는 경우에만 해당한다.

${\displaystyle x=\int _{0}^{\\inflt}v(t)\,{\frac {dt}{t}},}$

여기서 v(t)는 X₀ ∩ X₁ 등의 값으로 측정할 수 있다.

${\displaystyle \Phi (v)=\left(\int _{0}^{\infty }\left(t^{-\theta }J(v(t),t;X_{0},X_{1})\right)^{q}\,{\tfrac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}<\infty .}$

J_θ,q(X₀, X₁)에서 x의 표준은 공식에 의해 주어진다.

${\dplaystyle \x\ _{\theta ,q;J}=\inf _{v}\left\{v}\\\\phi(v)\\\\\x=\int_{0}^{0}}{\tfrac {dt}}\right\}.}$

보간 방법 간의 관계

두 개의 실제 보간법은 0 < θ < 1>일 때 등가한다.^[10]

정리.(X₀, X₁)는 Banach 공간의 양립할 수 있는 커플이 된다.0 < θ < 1과 1 ≤ q ∞ ∞ ∞ ∞ if if.

${\displaystyle J_{\theta,q}(X_{0},X_{1})=K_{\theta,q}(X_{0},X_{1}),}$

규범과 동등하게

정리에서는 제외되지 않은 퇴행적인 경우를 다루는데, 예를 들어 X와₀ X가₁ 직접 합을 이루면 교차로와 J-스페이스가 null 공간이며, 간단한 계산을 통해 K-스페이스도 null임을 알 수 있다.

0 < θ < 1, 파라메터 obtained과 q를 가진 실제 보간법으로 얻은 바나흐 공간에 대해 등가 리노밍까지 말할 수 있다.이 실제 보간공간의 표기법은 (X₀₁, X)이다._θ,q한 사람이 그것을 가지고 있다.

${\displaystyle(X_{0},X_{1})_{\theta,q}=(X_{1},X_{0})_{1-\theta,q}\qquad 0<\theta <1,1\leq \leq\ft.}$

주어진 θ 값의 경우 실제 보간 공간은 ^[11]q와 함께 증가한다: 0 < θ < 1과 1 ≤ q q q r ∞ ∞ ∞ if, 다음과 같은 연속적인 포함은 true를 유지한다.

${\displaystyle (X_{0},X_{1})_{\theta ,q}\subset (X_{0},X_{1}}_{\teta ,r}.}$

정리.0 < 1 < 1, 1 ≤ q ∞ ∞과 호환되는 두 부부(X₀, X₁)와₁ (Y₀, Y)가 주어진다면, 쌍(X₀, X₁,_θ,q X₀), (Y₁, Y)_θ,q은 지수의 정확한 보간 쌍이다.^[12]

복잡한 보간 공간은 대개 실제 보간법에 의해 주어진 공간 중 하나에 이형성이 없다.그러나 일반적인 관계가 있다.

정리.(X₀, X₁)는 Banach 공간의 양립할 수 있는 커플이 된다.0 < θ < 1이라면.

${\displaystyle (X_{0},X_{1}}_{\theta ,1}\subset (X_{0},X_{1})_\theta ,\fty }}$

예

X₀ = C([0, 1])와₁ X = C([0, 1])가¹ 될 때, 0 < < < 1에 대해 (,, )) 보간법인 [0, 1]에서 연속적으로 상이한 함수의 공간은 Hölder에게 지수 space의^0,θ 공간 C를 준다.이 부부의 K 기능 K(f, t; X₀, X₁)는 다음과 같기 때문이다.

${\displaystyle \sup \왼쪽\{f(u) ,\,{\frac {f(u)-f(v)}{1+t^{-1} u-v }\ :\ u,v\in [0,1]\right\}.}$

여기서는 0 < t < 1 값만 흥미롭다.

L공간의^p 실제 보간법은 로렌츠공간의 패밀리를 제공한다^[13].0 < θ < 1과 1 ≤ q ∞ ∞을 가정하면 다음과 같다.

${\displaystyle \left(L^{1}(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu ),L^{\infty }(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu )\right)_{\theta ,q}=L^{p,q}(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu ),\qquad {\text{where }}{\tfrac {1}{p}}=1-\theta ,}$

동등한 규범을 가지고이는 하디의 불평등과 이 호환 가능한 부부를 위해 K-기능의 위에 주어진 값에서 비롯된다.q = p일 때 로렌츠 공간 L은^p,p L과^p 같으며, 최대 리노밍까지이다.q = ∞일 때 로렌츠 공간 L은^p,∞ 약한^p L과 같다.

반복 정리

양립할 수 있는 부부₀(X₁, X)의 중간 공간 X는 다음과 같은 경우 등급 θ이라고 한다.

${\displaystyle (X_{0},X_{1}_{\theta ,1}\subset X\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,\infully }}}$

주사를 계속 맞히면서매개변수 θ과 1 ≤ q ≤이 있는 모든 실제 보간 공간(X₀₁, X)_θ,q 외에 복합 보간 공간(X₀₁, X)_θ은 호환 가능한 부부(X₀₁, X)의 클래스 θ의 중간 공간이다.

반복 이론은 본질적으로 변수 θ으로 보간하는 것이 볼록 결합을 형성하는 것과 같이 어떤 식으로든 작용한다고 말한다. a = (1 - ))x₀ + xx₁: 두 볼록 결합을 더 진행하면 또 다른 볼록 결합을 얻을 수 있다.

정리.^[15]렛츠₀₁ A, A는₀ 각각₀ 0 < < < < < < < < < < < < < < 1₁₁ 1 1의 호환되는 부부(X₀₁, X)의 중간 공간이다.0 < θ < 1과 1 ≤ q ∞ ∞ ∞ when when has has has has has has has.

${\displaystyle (A_{0},A_{1})_\theta ,q}=(X_{0},X_{1}}_{\eta,q}\qqad \eta =(1-\theta )\ta _{0}+\tta \ta \ta \ta _{1}.}$

A₀ = (X₀, X₁)_θ0,q0와 A₁ = (X₀₁, X) 사이의 실제 방법으로 보간할 때 _θ1,q1θ과₀ θ의₁ 값만 보간한다는 점이 눈에 띈다.또한 A와₀ A는₁ X와₀ X₁ 사이의 복잡한 보간 공간이 될 수 있으며, 각각 매개변수 θ과₀ θ이₁ 있을 수 있다.

복잡한 방법에 대한 반복 정리도 있다.

정리.^[16]렛트₀(X₁, X)는 복잡한 바나흐 공간의 양립할 수 있는 커플이며₀, X ∩ X는₁ X와₀ X로₁ 밀도가 높다고 가정한다.A₀ = (X₀, X₁)_θ0와 A₁ = (X₀, X),_θ1 여기서₁ 0 ≤ ≤ θ₀₁ θ 1 1 1. 더 나아가₀ X in₁ X가 A에₀₁ 밀도 있다고 가정한다.그리고 0 every θ 1 1마다

${\displaystyle \left(\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{0}},\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{1}}\right)_{\theta }=(X_{0},X_{1})_{\eta },\qquad \eta =(1-\theta )\theta _{0}+\theta \theta _{1}.}$

밀도 조건은 X₀ ⊂ X 또는₁ X₁ ⊂ X일₀ 때 항상 충족된다.

이중성

(X₀, X₁)가 양립할 수 있는 커플이 되도록 하고₀, X ∩ X가₁ X와₀ X로₁ 밀도가 높다고 가정한다.이 경우 X의_j (연속) 듀얼 $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ $′{\$에서 X₀ 0 X의₁ 듀얼까지의 제한 지도가 일대일이다.듀얼의 쌍$({\displaystyle {X\mathrm{}}_{}^{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}^{}}$ 1${\displaystyle {}_{}^{})}$ ) ${\$})이₀ 듀얼(X₁ ′ X)에 지속적으로 내장되어 있는 호환 가능한 커플이라는$$ 점에 따른다.

복합 보간법의 경우 다음과 같은 이중성 결과가 유지된다.

정리.^[17]렛트₀(X₁, X)는 복잡한 바나흐 공간의 양립할 수 있는 커플이며₀, X ∩ X는₁ X와₀ X로₁ 밀도가 높다고 가정한다.X와₀ X가₁ 반사적인 경우, 이중 보간으로 복잡한 보간 공간의 이중을 얻는다.

${\displaystyle ((X_{0},X_{1})_{\theta }}=\좌측(X'_{0},X'_{1}\오른쪽)_{\theta }}}\qquad 0<\theta <1]}$

일반적으로 공간의 이중(X₀₁, X)_θ은${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {X{}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$, X ${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \left(X_{0},X'_{1}\right)$와 같다^[17].$^{\theta }}$복잡한 방법의 변형에 의해 정의된 공간$$.^[18]상악법과 하악법은 일반적으로 일치하지는 않지만, 적어도₀ X, X₁ 중 하나가 반사적인 공간이라면 일치한다.^[19]

실제 보간법의 경우 매개변수 q가 유한하다면 이중성은 유지된다.

정리.^[20]0 < θ < 1, 1 ≤ q < ∞ 그리고 (X₀, X₁) 실제 바나흐 공간의 양립할 수 있는 커플을 두자.X₀ ∩ X가₁ X와₀ X로₁ 밀도가 높다고 가정한다.그러면

${\displaystyle \left(\reft(X_{0}},X_{1}\right)_{\theta,q}\right)=\reft(X'_{0},X'_{1}\right)_{\teta,q'}}}}$

여기서 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{\prime }^{}}{}}$= ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle \frac{\mathrm{1q}}{}}$. ${\displaystyle {\tfrac {1}{q'}=1-{\tfrac$ {$1}{q}.$$}$

이산 정의

기능부터 t → K(x, t)정기적으로(지만,.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:0증가하고 있어 다양하다. 0.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆫ1(x, t)탭 이전에 필수적인, 정의는 시리즈로 동일한지에 의해 이미 Kθ,q-norm 벡터 n의 정의 감소하고 있다.[21]이 시리즈는 측정 dt/t에 대해 같은 질량의 (0ⁿ, ∞)를 조각(2, 2ⁿ⁺¹)으로 나누어 얻는다.

${\displaystyle \ x\ _{\theta ,q;K}\simeq \left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{-\theta n}K\left(x,2^{n};X_{0},X_{1}\right)\right)^{q}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

X가₀ 연속적으로 X에₁ 내장되는 특수한 경우에는 음의 지수 n이 있는 부분을 생략할 수 있다.이 경우 각 함수 x → K(x, 2ⁿ; X₀, X₁)는 X에₁ 대해 등가 규범을 정의한다.

보간 공간(X₀₁, X)_θ,q은 바나흐 공간(각각₀ X + X에₁ 이형)의 sequence섬의 ^q "대각형 아공간"이다.따라서 q가 유한할 때 (X₀₁, X)_θ,q의 이중은 이중의 ℓ섬인 ^p 1/p + 1/q = 1의 몫이며, 이는 (X₀, X₁)의 이중에서 함수 x의 이산 J-규범에_θ,p 대한 다음과 같은 공식으로 이어진다._θ,q

${\displaystyle \ x'\ _{\theta ,p;J}\simeq \inf \left\{\left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{\theta n}\max \left(\left\ x'_{n}\right\ _{X'_{0}},2^{-n}\left\ x'_{n}\right\ _{X'_{1}}\right)\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\ :\ x'=\sum _{n\in \mathbf {Z} }x'_{n}\right\}.}$

이산형 J-norm에_θ,p 대한 일반적인 공식은 n을 -n으로 변경하여 구한다.

이산 정의는 이미 언급된 이중 식별을 연구하기 쉽게 하는 몇 가지 질문을 만든다.다른 이러한 질문은 선형 연산자의 압축성 또는 취약성이다.라이온스와 피테르는 다음과 같은 사실을 증명했다.

정리.^[22]선형 연산자 T가 X에서₀ Banach 공간 Y로 압축되고 X에서₁ Y로 경계되는 경우, 0 < 1, 1 ≤ q ∞일 때 T는₀ (X₁, X)_θ,q에서 Y로 압축된다.

데이비스, 피기엘, 존슨, 페우치즈키는 다음과 같은 결과를 증명하는 데 보간법을 사용했다.

정리.^[23]두 바나흐 공간 사이의 경계 선형 연산자는 반사적 공간을 통해 인자를 구하는 경우에만 약하게 압축된다.

일반 보간법

이산형 정의에 사용된 공간 ℓ은 ^q 무조건적인 기준으로 임의의 시퀀스 공간 Y로 대체될 수 있으며, K-norm에_θ,q 사용되는 가중치_n a = 2^−θn_n, b = 2는^(1−θ)n 일반 가중치로 대체될 수 있다.

${\displaystyle a_{n}b_{n}0,\ \sum _{n=1}^{\nothy }\min(a_{n},b_{n}})<\nothy .}$

보간 공간 K(X₀, X₁, Y, {a_n}, {b_n})는 다음과^[24] 같이₀ X₁ + X의 벡터 x로 구성된다.

${\displaystyle \ x\ _{K(X_{0},X_{1})}=\sup _{m\geq 1}\left\ \sum _{n=1}^{m}a_{n}K\left(x,{\tfrac {b_{n}}{a_{n}}};X_{0},X_{1}\right)\,y_{n}\right\ _{Y}<\infty ,}$

여기서 {y_n}은(는) Y의 무조건적인 기본이다.이 추상적인 방법은 예를 들어 다음과 같은 결과를 증명하는 데 사용할 수 있다.

정리.^[25]무조건적인 기초를 가진 바나흐 공간은 대칭적인 기초를 가진 공간의 보완된 하위 공간과 이형적이다.

소볼레프 및 베소프 공간의 보간

R의ⁿ Sobollev 공간과 Besov 공간에 대해 몇 가지 보간 결과를 사용할 수 있다.^[26]

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&H_{p}^{p}^{s}&s\in \mathbf {R},1\leq p\leq p\leq \ft\\\\\nf{p,q}^{s}&s\in \mathbf {R},1\leq p,q\ft \ended{liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}?$

이러한 공간은 s ≥ 0일 때는 R에서ⁿ 측정 가능한 함수의 공간이고, s < 0일 때는 R에서ⁿ 강화 분포의 공간이다.나머지 부분의 경우 다음과 같은 설정과 표기법이 사용된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}0&, <, \theta<>1,\\1&, \leq p,p_{0},p_{1},q,q_{0},q_{1}\leq\infty ,\\s,&, s_{0},s_{1}\in\mathbf{R},\\s_{\theta}&, =(1-\theta)s_{0}+\theta s_ᆵ,\\[4pt]{\frac{1}{p_{\theta}}}&={\frac{1-\theta}{p_{0}}}+{\frac{\theta}{p_{1}}},\\[4pt]{\frac{1}{q_{\theta}}}&={\frac{1-\theta}{q_{0}}}와{\fr.교류{\theta}{q_{1}}}.\end{정렬}}}$

복잡한 보간법은 Besov 공간뿐만 아니라 Sobolev 공간 H $p{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$Besel 전위 공간)의 클래스에서도 잘 작동한다.

${\displaystyle {\begin{aigned}\왼쪽(H_{p_{0}^{s_{0}}},H_{p_{1}^{s_{1}}\오른쪽)_{\theta }&=H_{p_{\theta }^{s_{\theta }},&s_{0}\neq s_{1},1<p_{0},p_{1}.\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta }&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1}.\end{정렬}}}$

Sobollev 공간 간의 실제 보간에서는 s₀ = s를 제외하고₁ Besov에게 공간을 제공할 수 있다.

${\displaystyle \left(H_{p_{0}}^{s},H_{p_{1}^{1}^{s}\right)_{\theta ,p_{\theta }}}=H_{p_{\theta }^{s}.}$

s₀ ≠ s₁ 그러나 p₀ = p인₁ 경우, Sobolev 공간 사이의 실제 보간법은 Besov 공간을 제공한다.

${\displaystyle \left(H_{p}^{s_{0}},H_{p}^{s_{1}}\오른쪽)_{\theta,q}=B_{p,q}^{s_{\theta }},\qquad s_{0}\neq s_{1}.}$

또,

${\displaystyle{\begin}\좌측(B_{p,q_{0}^{0},B_{p_{1}^{1},{1}^{1},{1},{{1},{1}\ta,{p,q}^_{0},{0}.\\\왼쪽(B_{p,q_{0}}^{0}^{s}},B_{p,q_{1}^}\right)_{\theta,q}&={p,q_{\ta }^{s}.\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q_{\theta }}&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1},p_{\theta }=q_{\theta }.\end{정렬}}}$

참고 항목

• 리에즈-토린 정리
• 마르킨키에비치 보간 정리

메모들

참조

• Calderón, Alberto P. (1964), "Intermediate spaces and interpolation, the complex method", Studia Math., 24 (2): 113–190, doi:10.4064/sm-24-2-113-190.
• Lions, Jacques-Louis.; Peetre, Jaak (1964), "Sur une classe d'espaces d'interpolation", Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. (in French), 19: 5–68, doi:10.1007/bf02684796, S2CID 124471748.
• Bennett, Colin; Sharpley, Robert (1988), Interpolation of operators, Pure and Applied Mathematics, vol. 129, Academic Press, Inc., Boston, MA, pp. xiv+469, ISBN 978-0-12-088730-9.
• Bergh, Jöran; Löfström, Jörgen (1976), Interpolation spaces. An introduction, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 223, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. x+207, ISBN 978-3-540-07875-3.
• 레오니, 조반니(2017).Sobolev 공간의 첫 번째 코스: 세컨드 에디션.수학 대학원. 181.미국 수학 협회 734 페이지ISBN 978-1-4704-2921-8
• Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (1979), Classical Banach spaces. II. Function spaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], vol. 97, Berlin-New York: Springer-Verlag, pp. x+243, ISBN 978-3-540-08888-2.
• Tartar, Luc (2007), An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation, Springer, ISBN 978-3-540-71482-8.