위상군

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

수학에서 위상학 그룹은 논리적으로 그룹과 위상학 공간의 결합이다. 즉, 그룹 연산을 위한 연속성 조건이 이 두 구조물을 서로 연결하고 결과적으로 서로 독립적이지 않게 하는 그룹과 위상학 공간이다.^[1]

위상학 집단은 1925년부터 1940년까지 광범위하게 연구되어 왔다. 하르와 웨일(1933년과 1940년)은 통합과 푸리에 시리즈가 매우 광범위한 위상학 집단의 특별한 경우라는 것을 보여주었다.^[2]

위상학 그룹은 연속적인 그룹 작용과 함께 물리학에서 예를 들어 많은 응용을 가지고 있는 연속적인 대칭을 연구하기 위해 사용된다. 기능 분석에서 모든 위상 벡터 공간은 메스칼 곱셈이 지속되는 추가 특성을 가진 부가 위상학 그룹이다. 따라서 위상학 그룹 이론의 많은 결과를 기능 분석에 적용할 수 있다.

형식 정의

위상학 그룹 G는 그룹 운영(이 경우 제품)과 같은 그룹이기도 한 위상학 공간이다.

⋅ : G × G → G, (x, y) xy

반전 맵:

⁻¹ : G⁻¹ → G, x ↦ x

연속적이다.^{[note 1]} 여기서 G × G는 제품 위상과 함께 위상학적 공간으로 본다. 이러한 토폴로지는 그룹 운영과 호환된다고 하며, 그룹 토폴로지라고 한다.

연속성 확인

제품 맵은 g에 x, y ∈ G와 xy의 이웃 W가 있는 경우에만 지속되며, G에는 y의 이웃 U와 y의 이웃 U가 존재하며, 여기서 U : V := {u ⋅ v : u ⋅ U, v ∈ V}이(가) 있다. 반전 지도는 만약의 경우에 한하여 G에 x ∈ G와 x의⁻¹ 이웃 V가 있다면 G에 x의 이웃 U가 존재하여⁻¹⁻¹ U := { u⁻¹ : u u u u u u u u }.

토폴로지가 그룹 작업과 호환되는지 표시하려면 맵을 확인하는 것으로 충분함

G × G → G, (x, y) ↦ xy⁻¹

연속적이다. 명시적으로 이것은 x, y ∈ G 및 xy의⁻¹ G에 있는 모든 이웃 W에 대해, U ( (V⁻¹) w W와 같이 g에 x의 이웃 U와 y의 V가 존재한다는 것을 의미한다.

가법 표기법

이 정의에서는 승법 그룹에 대해 표기법을 사용했으며, 가법 그룹에 대해서는 다음과 같은 두 가지 연산이 연속적이라는 것을 의미한다.

+ : G × G → G , (x, y) ↦ x + y

- : G → G , x ↦ -x

하우스도르프니스

비록 이 정의의 일부는 아니지만, 많은 저자들은^[3] G의 위상이 하우스도르프라고 요구한다. 이것의 한 가지 이유는 어떤 위상학 집단이 적절한 표준적 인수를 취함으로써 하우스도르프 위상학 집단과 표준적으로 연관될 수 있기 때문이다. 그러나 이것은 종종 원래의 비 하우스도르프 위상학 집단과 함께 작업해야 한다. 그 밖의 이유와 일부 동등한 조건들은 아래에서 논의된다.

이 기사는 위상학 집단이 반드시 하우스도르프라고 가정하지는 않을 것이다.

카테고리

범주이론의 언어에서 위상학적 집단은 위상학적 공간의 범주에서 그룹 개체로 간결하게 정의될 수 있으며, 일반 집단이 집합의 범주에서 그룹 개체인 것과 같은 방식으로 정의될 수 있다. 공리는 지도(이진 제품, 일진 역, 무효 ID)의 측면에서 제공되므로 범주형 정의에 유의하십시오.

동형성

위상집단의 동형성(同形性)은 연속적인 집단 동형성 G → H. 위상집단은 그 동형성과 함께 범주를 형성하는 것을 의미한다. 교번적 위상학 집단들 사이의 집단 동형성은 그것이 어느 시점에서 연속적일 경우에만 연속적이다.^[4]

위상학 집단의 이형성(異形性)은 집단의 이형성(異形性)으로, 밑바탕에 깔린 위상학 공간의 동형성(同形性)이기도 하다. 이것은 단순히 연속적인 집단의 이형성을 요구하는 것보다 강하다. 역도 또한 연속적이어야 한다. 위상학 집단의 예로는 일반 집단으로는 이형성이지만 위상학 집단은 아닌 경우가 있다. 실제로, 비분해 위상학 그룹은 이산 위상과 함께 고려할 때 위상학 그룹이기도 하다. 근본적인 집단은 같지만 위상학 집단으로서 이소모르프리즘은 없다.

예

모든 집단은 별개의 위상과 함께 그것을 고려함으로써 대수롭지 않게 위상학 집단으로 만들어질 수 있다; 그러한 집단을 이산 집단이라고 한다. 이런 의미에서 위상학 집단의 이론은 일반 집단의 그것을 잠식한다. 구체적이지 않은 위상(즉, 사소한 위상)도 모든 그룹을 위상학적 그룹으로 만든다.

일반적인 위상이 있는$$ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$실제 숫자는 추가되는 위상학 그룹을 형성한다. 유클리드 n-space $R{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {R$} $}$도 추가되는 위상학 그룹이며$$ⁿ, 보다 일반적으로 모든 위상 벡터 공간은 (abelian) 위상학 그룹을 형성한다. 아벨 위상학 그룹의 다른 예로는 원 그룹 S 또는¹ 자연수 n에 대한 토러스(S¹)ⁿ가 있다.

고전주의 집단은 비아벨라 위상학 집단의 중요한 예들이다. 예를 들어, 진정한 엔트리로 모든 가역 n-by-n 매트릭스의 일반적인 선형 군 GL(n, R{\displaystyle \mathbb{R}}) 위상적인 단체로 위상 유클리드 공간 R{\displaystyle \mathbb{R}}n×n의 부분 공간으로 GL(n, R{\displaystyle \mathbb{R}})를 보면서 정의한 볼 수 있다.또 다른classical group은 직교 그룹 O(n)로, 모든 벡터의 길이를 $보존$하는 R ${\$ {$R}}$부터 자체까지의$$ⁿ 모든 선형 맵의 그룹이다. 직교 그룹은 위상학적 공간으로서 콤팩트하다. 유클리드 기하학의 많은 부분은 직교 그룹의 구조를 연구하는 것으로 볼 수 있으며, 또는 R ${\$$\mathb {R$$}$의 등각도 중$$ⁿ O(n) { $R{\displaystyle \mathbb{}}${\displaystyle $\mathb${$R}}$$$}에 밀접하게 관련된 그룹 O(n) \mathb {R}을 연구하는 것으로 볼 수 있다$.$ⁿ

지금까지 언급된 그룹은 모두 리그룹으로, 그룹 운영이 원활할 정도로 매끄러운 다지관이라는 뜻이다. 거짓말 그룹은 가장 잘 이해되는 위상학 그룹이다; 거짓말 그룹에 대한 많은 질문들은 리 알헤브라에 대한 순전히 대수학적인 질문으로 변환되어 해결될 수 있다.

거짓말 그룹이 아닌 위상 그룹의 예로는 합리적인 숫자의 첨가 $그룹{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$이(가) 있으며, 위상은 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에서 상속된 위상. 이것은 계산 가능한 공간이며, 이산 위상이 없다$.$ 숫자 이론의 중요한 예로는 p-adic 정수의_p $그룹{\displaystyle \mathbb{}}$ Z ${\$$$\$mathb {Z}$}이(가) 있는데, 이는 소수 p의 경우 유한 그룹 $Z$의$역한계$ Z {\$displaystyle \mathb$ {Z$}$/p가ⁿ 무한대로 간다는 뜻이다. 그룹 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$사실상 칸토어 집합에 대한 동형체) 작다는 점에서 잘 행동하지만$$_p 완전히 단절되었다는 점에서 (실제) Lie 그룹과는 다르다. More generally, there is a theory of p-adic Lie groups, including compact groups such as GL(n,${\displaystyle \mathbb {Z} }$_p) as well as locally compact groups such as GL(n,${\displaystyle \mathbb {Q} }$_p), where ${\displaystyle \mathbb {Q} }$_p is the locally compact field of p-adic numbers.

그 그룹 Z{\displaystyle \mathbb{Z}}p는pro-finite 그룹인 것은 그것은 제품∏ n≥의 하위 그룹 1Z/pn{\displaystyle \prod_{1n\geq}\mathbb{Z}{n}}이런 식으로 스타벅스의 위상은 제품 위상 기하학이 한정된 그룹 Z/pn{\displaystyle \mathbb{Z}/에 의해 얻어진다 동형이다.p$^{n}}}$은(는) 이산 위상이 주어진다$$. 수 이론에서 중요한 또 다른 대규모 친족 집단은 절대 갈루아 집단이다.

일부 위상학 그룹은 무한 치수 Lie 그룹으로 볼 수 있다; 이 구절은 비공식적으로 가장 잘 이해되어 여러 다른 예들을 포함한다. 예를 들어 바나흐 공간이나 힐버트 공간과 같은 위상 벡터 공간은 추가되고 있는 아벨의 위상적 집단이다. 연구된 다른 무한 차원 그룹들은 다양한 성공 정도를 가지고 있으며 루프 그룹, Kac-Moody 그룹, 차이점 유형 그룹, 동종 유형 그룹, 게이지 그룹 등이 있다.

배나흐 대수학에서 배나흐의 배나흐는 배나치 정체성을 가지고 있으며, 변위할 수 없는 원소 집합은 배나치 아래 위상학적 그룹을 형성한다. 예를 들어, 힐버트 공간의 변환 불가능한 경계 연산자 그룹은 이런 방식으로 발생한다.

특성.

번역 불변

모든 위상 그룹의 토폴로지는.mw-parser-output .vanchor>,'을 정의하는 이 요소에 의해 어느 것이든 ∈ G,{a\in G\displaystyle,}을 좌우 곱셈하는 경우 결과적으로, 어떤에 대한 유질 동상. G→ G.{\displaystyle G\to G.}를 산출하겠군 target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}translation invariant.한∈ G{a\in G\displaystyle}과 S⊆ G,{\displaystyle S\subs.$eteq G,}$ the subset ${\displaystyle S}$ is open (resp. closed) in ${\displaystyle G}$ if and only if this is true of its left translation ${\displaystyle aS:=\{as:s\in S\}}$ and right translation ${\displaystyle Sa:=\{sa:s\in S\}.}$ If ${\displaystyle {\mathcal$${N}}$은(는) 모든 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle$ $x$$\in$ X$,}$ $x$${\displaystyle }$ ${\displaystyle N\mathcal{}}$: :${\displaystyle \{\backslash \mathrm{displaystyle}}$ $n$ ${\displaystyle$ x $}{{N}:=\xN:$$N\in {\mathcal{N}\}}$은(는) $G{\displaystyle .}$ ${\displaystyle G.}$에 $있는{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle$x}의 근린 기반이다. 특히$$^[4], 역행 위상 그룹의 모든 그룹 위상은 ID 요소에서 어느 근린에 의해서든 완전히 결정된다. If ${\displaystyle S}$ is any subset of ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle U}$ is an open subset of ${\displaystyle G,}$ then ${\displaystyle SU:=\{su:s\in S,u\in U\}}$ is an open subset of ${\displaystyle G.}$^[4]

대칭 근린

위상 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에 대한 반전 작업 $g$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$부터 그 자체까지의$$ 동형상이다.

A subset ${\displaystyle S\subseteq G}$ is said to be symmetric if ${\displaystyle S^{-1}=S,}$ where ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$$$ 역방향 위상학 그룹에서 모든 대칭 집합의 폐쇄는 대칭이다.^[4] 만약 S가 역행 위상학 그룹 G의 하위 집합이라면, 다음⁻¹ 집합도 대칭이다: S⁻¹ ∩ S, S ∩ S, S⁻¹.^[4]

Identity 요소의 공통 위상학 그룹 G에 있는 N 근방에 대해⁻¹, M M such N과 같은 Identity 요소의 대칭 근린 M이⁻¹ 존재하며, 여기서 M M은 반드시 Identity 요소의 대칭 근린이라는 점에 유의한다.^[4] 따라서 모든 위상학 집단은 대칭 집합으로 구성된 정체성 요소에 근린 기반을 가지고 있다.

G가 국소적으로 콤팩트한 교환 그룹인 경우, ID 요소의 G에 있는 N 근방에 대해, M ⊆ N(CL M도 대칭인 경우)과 같은 ID 요소의 대칭 상대적으로 콤팩트한 근린 M이 존재한다.^[4]

균일공간

모든 위상학적 집단은 두 가지 면에서 균일한 공간으로 볼 수 있다; 왼쪽 균일성은 모든 왼쪽 배수를 균일하게 연속된 지도로, 오른쪽 균일성은 모든 오른쪽 배수를 균일하게 연속된 지도로 바꾼다.^[5] 만약 G가 아벨이 아니라면, 이 두 가지가 일치할 필요는 없다. 획일적인 구조는 위상학 집단에 대한 완전성, 균일한 연속성, 균일한 융합과 같은 개념에 대해 말할 수 있게 한다.

분리 속성

U가 교감 위상학 그룹 G의 공개 서브셋이고 U가 콤팩트 세트 K를 포함하고 있다면 KN ⊆ U와 같은 ID 요소의 N 근방이 존재한다.^[4]

균일한 공간으로서, 모든 상호 작용적인 위상학 집단은 완전히 규칙적이다. 따라서 ID 요소가 1인 승법 위상학군 G의 경우 다음과 같다.^[4]

1. G는 T-공간₀(Kolmogorov)이다.
2. G는 T-공간₂(하우스도르프)이다.
3. G는 T3.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄2(Tychon.를.
4. { 1 }은(는) G에서 닫힘;
5. { 1 } := ∩N ∈ ∈ N, 여기서 𝒩은 G의 ID 요소의 근린적인 기초가 된다.
6. $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in G}$에 대해$$, $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle x\neq$ 1$,}$과 같은 ID 요소의 인접 U${\displaystyle .}$. {\$displaystyle x\not \in$ U$.}$이(가) 있다.

교감 위상학 그룹의 하위 그룹은 분리된 점이 있는 경우에만 이산형이다.^[4]

만약 G가 하우스도르프가 아니라면, K가 정체성의 폐쇄인 지수 그룹 G/K에게 패스함으로써 하우스도르프 그룹을 얻을 수 있다.^[6] 이것은 Kolmogorov 지수를 G로 가져가는 것과 같다.

메트리저빌리티

비르호프-카쿠타니 정리(수학자 개럿 비르호프와 카쿠타니 시즈오의 이름)는 위상학 그룹 G에 대해 다음과 같은 세 가지 조건이 동등하다고 기술하고 있다.^[7]

• 정체성 요소 1은 G에서 닫히고, 이웃의 근거는 G에서 1에 대해 셀 수 있다.
• G는 (위상학적 공간으로서) 측정 가능하다.
• G에는 주어진 위상을 G에 유도하는 좌변위계 지표가 있다.

(각 ${\displaystyle \mathrm{지점}}$의${\displaystyle }$$x{\displaystyle }$ G ,${\displaystyle a\in G,}$ 지도$$ x x$$ ${\displaystyle x}$ {\$displaystyle x\mapsto acx}$이(가) G에서 그 자체로 등각인 경우 G의 메트릭을 좌상변량이라고 한다.)

부분군

위상 그룹의 모든 하위 그룹은 하위 공간 위상이 주어질 때 그 자체가 위상 그룹이다. 모든 열린 부분군 H는 또한 G로 닫힌다. 왜냐하면 H의 보완은 g ∈ G \ H에 대해 열린 집합 gH의 조합이 주는 열린 집합이기 때문이다. 만약 H가 G의 부분군이라면 H의 닫힘 또한 부분군이다. 마찬가지로 H가 G의 정규 부분군이라면 G에서는 H의 폐쇄가 정상이다.

인용구 및 정규 부분군

H가 G의 부분군일 경우, 지수 위상이 있는 왼쪽 코스메트 G/H 집합을 G의 균질 공간이라고 한다. 지수 지도 $q{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$/ H ${\displaystyle q:$$G\to G/H}$은(는) 항상 열려 있다. 예를 들어, 양의 정수 n의 경우 구 S는ⁿ Sⁿ = SO(n+1)/SO(n)가 있는 R ${\$ {$R$ⁿ⁺¹의 회전 그룹 SO(n+1)에 대한 균일한 공간이다. 균질 공간 G/H는 H가 G에서 닫히는 경우에만 하우스도르프.^[8] 부분적으로는 이러한 이유로 위상군을 연구할 때 닫힌 부분군에 집중하는 것이 자연스럽다.

H가 G의 정규 부분군일 경우, 지수 그룹 G/H는 지수 위상이 주어지면 위상학 그룹이 된다. G에서 H를 닫아야만 하우스도르프다. 예를 들어, ${\displaystyle 지수\mathbb{}}$ 그룹 $R{\displaystyle \mathbb{}}$/ Z ${\$은(는) 원 그룹 S에¹ 대해 이형성이다$$.

위상학 그룹에서 ID 성분(즉, ID 요소를 포함하는 연결된 구성 요소)은 닫힌 정규 부분군이다. C가 ID 성분이고 a가 G의 어떤 지점이라면, 왼쪽 코제트 aC는 a를 포함하는 G의 성분이다. 따라서 G에서 C의 모든 왼쪽 코스메트(또는 오른쪽 코스메트)의 집합은 G의 모든 구성요소의 집합과 동일하다. 지수그룹 G/C가 완전히 단절된 데 따른 것이다.^[9]

폐쇄성 및 컴팩트성

어떤 교감형 위상학 그룹에서 제품(그룹을 곱한다고 가정)은 콤팩트 세트 K의 KC와 폐쇄형 세트 C는 폐쇄형 세트다.^[4] 또한 G의 모든 하위 집합 R과 S에 대해 (cl R)(cl S) ⊆ cl (RS)^[4]

H가 교감 위상학 그룹 G의 하위 그룹이고 N이 H ∩ cl N이 닫힐 정도의 ID 요소의 G에 있는 이웃이라면 H는 닫힌다.^[4] Hausdorff 공통 위상학 그룹의 모든 이산 하위 그룹은 폐쇄된다.^[4]

이소모르프 이론

일반적인 집단 이론에서 나온 이형성 이론이 위상학적 환경에서는 항상 진실인 것은 아니다. 이는 편향적 동형주의가 위상학 집단의 이형성일 필요는 없기 때문이다.

예를 들어, 위상학 집단의 경우 첫 번째 이형성 정리의 기본 버전은 거짓이다: $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:$$G\to H}$은 위상학 집단의 형태론(즉, 연속적인 동형상)이며$$, 유도 동형상 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$/ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$→ I ${\displaystyle m}$( f$){\displaystyle {\tilde{f}}:$$G/\ker f\to \mathrm {Im}(f)}$은 위상학 집단의 이소모르퍼시즘으로$$, 생물학적, 연속적인 동형상일 것이지만, 반드시 동형상일 수는 없다. 즉 위상학 집단의 범주에서 반드시 역행성을 인정하지는 않을 것이다.

위상학 집단을 위한 첫 번째 이형성 정리 버전이 있는데, 다음과 같이 명시될 수 있다: ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle G}$→ H ${\displaystyle f:$$G\to H}$은(는) 연속적인 동형상이며, 그렇다면 G/ker(f)에서 im(f)까지 유도된 동형상(동형상)은 지도 f가 그 이미지에 열려 있는 경우에만 이형상이다.^[10]

그러나 세 번째 이형성 정리는 쉽게 확인할 수 있듯이 위상학 집단에 대해서는 다소 말 그대로 사실이다.

힐버트의 다섯 번째 문제

위상학 집단과 리 집단 간의 관계에 대한 몇 가지 강한 결과가 있다. 첫째, Lie $그룹{\displaystyle }$G → ${\displaystyle H}${\$displaystyle G\to$H}의 모든 연속적인 동형성이 부드럽다$$. 위상학 집단은 존재한다면 거짓말 집단의 독특한 구조를 가지고 있다는 것을 따른다. 또한, 카르탄의 정리에서는, Lie 그룹의 닫힌 모든 하위 그룹은, 특히 부드러운 하위 그룹이라고 한다.

힐버트의 다섯 번째 문제는 위상학적 다지관인 위상학 그룹 G가 반드시 거짓말 그룹이어야 하는지를 물었다. 즉 G는 매끄러운 다지관의 구조를 가지고 있어 그룹 운영을 매끄럽게 하는가? 앤드류 글리슨, 데인 몽고메리, 레오 지핀이 보여주듯이 이 문제에 대한 답은 그렇다.^[11] 사실 G는 실제 분석 구조를 가지고 있다. 부드러운 구조를 이용하여 G의 Lie 대수학을 정의할 수 있는데, G의 개체로서 G를 커버하는 공간까지 연결된 그룹 G를 결정하는 선형 대수학이다. 그 결과 힐버트의 다섯 번째 문제에 대한 해결은 위상학적 다지관인 위상학적 집단을 일반적으로 복잡한 문제임에도 불구하고 대수학적 문제로 분류하는 것을 감소시킨다.

그 정리는 또한 보다 광범위한 계층의 위상학 집단에 대한 결과도 가지고 있다. 첫째, 모든 콤팩트 그룹(Hausdorff로 이해됨)은 콤팩트 리 그룹의 역한계다. (한 가지 중요한 경우는 유한집단의 역한계, 즉 무한집단으로 불린다. 예를 들어 p-adic 정수의 $그룹$_p Z$${\$displaystyle \mathb {Z}$과(와) 필드의 절대 갈루아 그룹은 확실한 그룹이다. 더욱이, 국지적으로 연결된 모든 콤팩트 그룹은 연결된 리 그룹들의 역한 한계다.^[12] 또 다른 한축에는, 철저하게 분리 지역적으로 컴팩트한 집단은 언제나 그것은 필연적인profinite 그룹의 열린 서브 그룹을 포함하고 있다.[13](예를 들어, 국내에서 콤팩트 그룹 GL(n, Q{\displaystyle \mathbb{Q}}p)는 콤팩트 열린 서브 그룹 GL(n, Z{\displaystyle \mathbb{Z}}p)들의 역 한계가 포함되어 있습니다. r'로 한정된 그룹 $($n, Z {\$displaystyle \mathb {$Z$\}$ } /p^r)이 무한대로 이동함)

소형 또는 로컬 소형 그룹의 표시

위상학적 공간 X에 대한 위상학적 그룹 G의 작용은 해당 함수 G × X → X가 지속되도록 X에 대한 G의 그룹 작용이다. 마찬가지로 위상학 그룹 G를 실제 또는 복잡한 위상학 벡터 공간 V에 나타내는 것은 각 g ∈ G에 대해 V에서 그 자체로 지도 v from gv가 선형인 V에 대한 연속적인 작용이다.

집단 행동과 표현 이론은 특히 콤팩트 집단에 대해 잘 이해되어 유한 집단에 대해 일어나는 일을 일반화한다. 예를 들어, 콤팩트 그룹의 모든 유한 차원(실제 또는 복합적) 표현은 되돌릴 수 없는 표현들의 직접적인 합이다. 콤팩트 집단의 무한 차원 단일 표현은 모두 유한한 차원인 힐버트-공간 표현들의 직접 합으로 분해될 수 있다. 이것은 피터-와일 정리의 일부분이다.^[14] 예를 들어 푸리에 시리즈 이론은 복잡한 힐베르트 공간² L(S¹)에 대한 서클 그룹¹ S의 유니터리 표현 분해를 설명한다. S의¹ 불가해한 표현은 모두 정수 n에 대한 z for z 형태의 1차원이다ⁿ(여기서 S는¹ $승법군{\displaystyle \mathbb{}}$ C ${\$ *의 하위군으로 간주된다).$$ 이러한 각각의 표현은 L²(S¹)의 다중성 1에서 발생한다.

모든 콤팩트하게 연결된 리 그룹들의 돌이킬 수 없는 표현들이 분류되었다. 특히 각 불가해한 표현들의 캐릭터는 Weyl 문자 공식에 의해 주어진다.

보다 일반적으로, 국소적으로 작은 집단은 하르 측정에 의해 주어지는 측정과 적분이라는 자연적 개념을 인정하기 때문에 조화 분석의 풍부한 이론을 가지고 있다. 지역적으로 콤팩트한 집단의 모든 단일적 표현은 돌이킬 수 없는 단일적 표현들의 직접적인 통합으로 설명될 수 있다. (G형이 Abelian 그룹과 semisimple Lie 그룹과 같은 가장 중요한 예들을 포함하는 타입 I인 경우 분해는 본질적으로 독특하다.^[15] A basic example is the Fourier transform, which decomposes the action of the additive group ${\displaystyle \mathbb {R} }$ on the Hilbert space L²(${\displaystyle \mathbb {R} }$) as a direct integral of the irreducible unitary representations of ${\displaystyle \mathbb {R} }$. The irreducible unitary representations of R ${\$는) ∈ $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 x ↦ e 형식의^2πiax 모두 1차원이다$.$

지역적으로 작은 집단의 돌이킬 수 없는 단일 표현은 무한한 차원일 수 있다. 허용 가능한 표현의 랭글랜드 분류와 관련된 대표이론의 주요 목표는 반실행된 리 그룹에 대한 단일 이중(모든 단일 대표들의 공간)을 찾는 것이다. 단일 이중은 SL(2, ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {R$}$과 같은 많은 경우에 알려져 있지만 전부는 아니다.

국소적으로 콤팩트한 아벨리아 그룹 G의 경우, 모든 돌이킬 수 없는 단일 표현에는 차원 1이 있다. 이 경우 유니터리 듀얼 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$은(는) 그룹이며$$, 사실상 또 다른 로컬 콤팩트한 아벨 그룹이다. 폰트랴긴 이중성은 국소 콤팩트 아벨리아 그룹 G의 경우 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$의 이중은 원래 그룹 G라고$$ 명시하고 있다. 예를 들어 정수 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$의 이중 그룹은 원 그룹 S인¹ 반면$$, 실수의$$ 그룹 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는) 자체 이중과 이형성이다.

예를 들어, G의 포인트를 구별하기에 충분한 표현(겔판드-라이코프 정리)과 같이, 모든 국지적으로 압축된 그룹 G는 돌이킬 수 없는 단일 표현들의 좋은 공급을 가지고 있다. 이와는 대조적으로 국소적으로 압축되지 않은 위상학 집단에 대한 대표이론은 지금까지 특수한 상황에서만 발전되어 왔으며, 일반적인 이론을 기대하는 것은 타당하지 않을 수도 있다. 예를 들어, 힐버트 공간의 모든 표현이 사소한 아벨리안 바나흐-리 그룹이 많다.^[16]

위상학군 호모토피 이론

위상학 그룹은 호모토피 타입의 측면에서도 모든 위상학 공간 중에서 특별하다. 한 가지 기본적인 점은 위상학 그룹 G가 경로로 연결된 위상학 공간인 분류 공간 BG(주요 G 번들을 위상학 공간에 걸쳐 가벼운 가설 하에서 분류한다)를 결정한다는 것이다. 그룹 G는 BG의 루프스페이스에 대한 호모토피 범주에서 이형성이다. 이는 G의 호모토피 유형에 대한 다양한 제한을 내포한다.^[17] 이러한 제한 중 일부는 H-스페이스의 보다 넓은 맥락에서 적용된다.

예를 들어 위상학 그룹 G의 기본 그룹은 아벨리안이다.(더 일반적으로 G의 호모토피 그룹에 있는 화이트헤드 제품은 0이다.) 또한 어떤 필드 k에 대해서도 코호몰로지 링 H*(G,k)는 홉프 대수학의 구조를 가지고 있다. 하인츠 홉프와 아르망 보렐의 홉프 알제브라에 대한 구조 이론에 비추어 볼 때, 이것은 위상학 집단의 가능한 코호몰로지 고리에 강력한 제한을 가한다. 특히 G가 경로연계 위상학군으로서 합리적 코호몰로지 링 H*(G, ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ )가 각 도마다 유한한 차원이라면, 이 $링$은 Q$${\$displaystyle \mathb {Q$ 즉, 발전기의 다항식 링의 텐서 곱에 걸친 자유로운 등급 지정 대수여야 한다. 홀수도의 발전기에 대한 외부 대수학과의 ^[18]학위

특히 연결된 Lie 그룹 G의 경우 G의 이성적인 코호몰로지 링은 홀수도의 발전기에 대한 외부 대수학이다. 더욱이 연결된 Lie 그룹 G는 최대 콤팩트 부분군 K를 가지는데, 이는 결합에 이르기까지 고유하며, K를 G에 포함하는 것은 호모토피 동등성이다. 따라서 Lie 그룹의 호모토피 유형을 기술하면 콤팩트한 Lie 그룹의 경우로 줄어든다. 예를 들어 SL(2, ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ )의 최대 콤팩트 부분군은 원 그룹 SO(2), 균질 공간 SL(2, ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ })/$$SO(2)는 쌍곡면으로 식별할 수 있다. 쌍곡면은 수축이 가능하므로 SL(2, ${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ )에 원 그룹을 포함하는 것은 호모토피 동등성이다.

마지막으로, 콤팩트하게 연결된 리 그룹은 빌헬름 킬링, 에일리 카탄, 헤르만 바일 등이 분류했다. 결과적으로, Lie 그룹의 가능한 호모토피 유형에 대한 완전한 설명이 있다. 예를 들어, 최대 3개의 치수의 콤팩트하게 연결된 Lie 그룹은 torus, 그룹 SU(2)(3-sphere S에³ 대한 차이점), 또는 그 지수 그룹 SU(2)/{±1} SO(3)(RP에³ 대한 차이점)이다.

전체 위상군

정의와 속성 등 그물과 필터의 융합에 관한 정보는 위상에서의 필터에 관한 글에서 찾을 수 있다.

역행 위상학군에서의 표준적 통일성

따라서 이 문서에서는 우리가 고려하는 위상학 그룹이 ID 요소 $0{\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle 0.}$을(를) 갖는 부가적인 역상 위상학 그룹이라고 가정할 것이다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 대각선이 설정됨$$

$0{\displaystyle }$,${\displaystyle 0,}$을(를) 포함하는$$ $모든{\displaystyle }$ N$set$ X ${\displaystyle$ $}$에 대해 N {\$displaystyle N}$ 주위에 표준 수행자 또는 표준적 vicination이 설정됨$$

위상적인 그룹(X, τ) 들어, X{X\displaystyle}에 정식 uniformity[19]{\displaystyle(X,\tau),}은 통일된 구조 모든 정식 entourages의 세트에 의해 야기되는 Δ(N){\displaystyle \Delta(N)}로 N{N\displaystyle}은 모든 지역 0{0\displaystyle}에 X. {\d$isplaystyle X.}$

$즉{\displaystyle }$, X ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle X\times$ X$,}$에 있는 다음 프리필터의 위쪽 닫힘입니다.

이 프리필터가 표준 균일성의 진입 근거지로 알려진 것을 형성하는 곳.

For a commutative additive group ${\displaystyle X,}$ a fundamental system of entourages ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is called a translation-invariant uniformity if for every ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in B}$ if and only if ${\displaystyle (x+z,y+z)\in B}$${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$$(x+z,y+z)\in B}$ 모든$$ $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$, z ${\displaystyle \in }$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle x,y,$^[20]z\in X.} $균일성{\displaystyle \mathcal{}}$ B ${\$는 번역-불변량이라고 한다$$.

• 어떤 역학 위상학 집단에서 표준적인 균일성은 번역-불변형이다.
• 동일한 규범적 통일성은 출발지의 모든 이웃의 필터보다는 출발지의 근린 기준을 사용함으로써 발생할 수 있다.
• Every entourage ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ contains the diagonal ${\displaystyle \Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}}$ because ${\displaystyle 0\in N.}$
• If ${\displaystyle N}$ is symmetric (that is, ${\displaystyle -N=N}$) then ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ is symmetric (meaning that ${\displaystyle \Delta _{X}(N)^{\operatorname {op} }=\Delta _{X}(N)}$) and ${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_X(N)\circ {\mathrm{\Delta }}_X(N)=\{(x,z):\text{the}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Delta _{X}(N)=\c \Delta _{X}=\(x,$${\text{{}}x, z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\time (y+N)]=}}}}}=}}}**$$y+n]=이(y+N)=$$\Delta _{X}+(N\time N).$$}$
• 표준 균일성에 의해$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 유도된 위상은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 시작했던$$ 위상과 동일하다($즉{\displaystyle }$, $\$ {\$displaystyle \tau }).$

코치 프리필터와 그물

균일한 공간에 대한 일반적인 이론은 "Cauchy Prefilter"와 "Cauchy net"에 대한 고유의 정의를 가지고 있다. $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$에 대한 표준 균일성의 경우, 이는 아래에$$ 설명된 정의로 축소된다.

Suppose ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ is a net in ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ is a net in ${\displaystyle Y.}$ Make ${\displaystyle I\times J}$ into a direc∈ 나는 J{y_{\displaystyle x_{\bullet}\times × 테드 만일 나는 ≤ 나는 2와 jj2≤.{\displaystylei\leq i_{2}{\text{과}}j\leq j_{2}(나는, j)≤(나는 2, j2){\displaystyle(i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}라고 선언해.}Then[21])(x, yj)×y∙:)∙(나는, j).\bul$let$ let$=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$는 제품망을 나타낸다. $X{\displaystyle }$= ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle$ X$=Y}$인 경우, 추가 맵 $X{\displaystyle \times }$ ${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle X}${\$displaystyle$X\$time$ X$\to X}$에 있는 이 네트의 이미지는 다음 두 네트의 합계를 나타낸다$$.

그리고 이와 유사하게 그들의 차이는 감산 지도 아래 제품 네트의 이미지로 정의된다.

덧셈 $위상학$ 그룹 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x_{\bullet }=\좌측(x_{i}\오른쪽)_{i\in$ I$}}$에 있는$$ $net{\displaystyle {}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$= ( ${\displaystyle {x_{}}_{}}$i )${\displaystyle {}_{}}$를 Cauchy net이라고 한다$$^[22].

or equivalently, if for every neighborhood ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle X,}$ there exists some ${\displaystyle i_{0}\in I}$ such that ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$} for all indices ${\displaystyle i,j\geq i_{0}.$$}$

Cauchy 시퀀스는 시퀀스인 Cauchy net이다.

If ${\displaystyle B}$ is a subset of an additive group ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle N}$ is a set containing ${\displaystyle 0,}$ then${\displaystyle B}$ is said to be an ${\displaystyle N}$-small set or small of order ${\displaystyle N}$ if ${\displaystyle B-B\su$$bseteq N.}$^[23]

가법 위상학 그룹 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 프리필터 $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle {B}}$이(가) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 충족하면 Cauchy 프리필터를 호출한다$$.

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$ in ${\displaystyle X,}$ where ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$ is a prefilter.
2. ${\displaystyle \{B-B-B:$$X$$$, ${\displaystyle$ X$,}$의 B\$in {\mathcal {B}\}\to$ 0$}$ 여기서${\displaystyle }${${\displaystyle B}$- ${\displaystyle B}$: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B}$} ${\displaystyle \{B-B:$$B\in {\mathcal{B}\}}$은(는) $B{\displaystyle \mathcal{}}$- ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}-{\mathcal {B}}$에 해당하는 프리필터다$$.$}$
3. For every neighborhood ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ contains some ${\displaystyle N}$-small set (that is, there exists some ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ such that ${\displaystyle B-B\subseteq N$$}$).^[23]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 역순인 경우:

4. For every neighborhood ${\displaystyle N}$ of ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle X,}$ there exists some ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ and some ${\displaystyle x\in X}$ such that ${\displaystyle B\subseteq x+N.$$}$^[23]

• $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$에서 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$의 지정된 주변 환경에 대해 위의 조건 중 하나를 점검하는 것으로 충분하다.

Suppose ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a prefilter on a commutative topological group ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle x\in X.}$ Then${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ in ${\displaystyle X}$ if and only if ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {$$B}}$과 $B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\${B$}}$은(는) Cauchy이다$$.^[21]

완전한 교감 토폴로지 그룹

Recall that for any ${\displaystyle S\subseteq X,}$ a prefilter ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ on ${\displaystyle S}$ is necessarily a subset of ${\displaystyle \wp (S)}$; that is, ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).$$}$

위상학 그룹 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 충족하면 완전한 부분 집합이라고 한다.

1. $모든{\displaystyle }$ Cauchy 프리필터 ${\displaystyle C}$$}$ (S ){\displaystyle ${\mathcal{C}\subseteq \wp (S)}$은(는${\displaystyle )}$S$${\$displaysty$$S$}의 최소 한 지점에 수렴한다.
   • $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff일 경우$$S {\$displaystyle$$$S}의 모든 프리필터가 $X$의 최대${\displaystyle }$한 지점까지 수렴되지만$$$$, $X{\displaystyle }${\$displaystyle X$}이$$(가$)$ Hausdorff가 아닐 경우 프리필터가 X${\displaystyle }$. ${\displaysty X.}$의 여러 지점에 수렴될 수 있다. 동일한$$ 네트가 적용된다.
2. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 모든 Cauchy net은 $적어도{\displaystyle }$ S$${\$displaystyle$S}의 한 지점으로 수렴된다$;$
3. $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 모든 Cauchy $필터{\displaystyle \mathcal{}}$ C ${\$은(는) $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ S$}$의 최소 한 지점에 수렴됨$$
4. ${\displaystyle }$$S$ ${\displaystyle S}$이(가) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 표준 균일성에 의해 S ${\displaystyle S}$에 유도된 균일성을 부여받은 경우 ("완전한 균일 공간"의 점 집합 위상 정의에 따라) 완전한 균일 공간이다$.$

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}($또는 동등하게 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S$의 모든 초등 Cauchy 필터/프리필터)가 $.$ {\$displaystyle S}$의 최소 한 지점에 수렴되는 경우 하위$$ 집합 $S{\displaystyle }$ ${\$displaystyle S$}$을(를)라고 한다.

• $중요$한 것은 S ${\displaystyle S}$ 외부의 수렴이 허용된다는 점이다. If ${\displaystyle X}$ is not Hausdorff and if every Cauchy prefilter on ${\displaystyle S}$ converges to some point of ${\displaystyle S,}$ then ${\displaystyle S}$ will be complete even if some or all Cauchy prefilters on ${\displaystyle S}$also converge to points(s) in the complement ${\dis$$Playstyle X$\setminus $S$$.}$ 요컨대$$ $S{\displaystyle }$ {\$displaystyle S}$의 이러한 Cauchy 프리필터가 $S{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ $S$$.}$의 포인트에만 수렴할$$ 필요는 없다. $S$. ${\displaystyle$ S$.}$의 Cauchy nets의 융합에 대해서도 같은 말을 할 수 있다.
  • As a consequence, if a commutative topological group ${\displaystyle X}$ is not Hausdorff, then every subset of the closure of ${\displaystyle \{0\},}$ say ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} \{0\},}$ is complete (since it is clearly compact and every compact set is necessarily complete). So in particular, if ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ (for example, if ${\displaystyle S}$ a is singleton set such as ${\displaystyle S=\{0\}}$) then ${\displaystyle S}$ would be complete even though every Cauchy net in ${\displaystyle S}$ (and every Cauchy prefilter on ${\displaystyle$$S}$ )은($$는) cl ${\displaystyle }${$$${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl}{0\}}$의 모든 포인트로$$ 수렴한다($$$cl{\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ {${\displaystyle 0\}}$ ${\$$displaysty$ $\$$operatorname$${cl}$$$$\{0\}).$
  • This example also shows that complete subsets (indeed, even compact subsets) of a non-Hausdorff space may fail to be closed (for example, if ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} \{0\}}$ then ${\displaystyle S}$ is closed if and only if ${\displaystyle S=\operatorname {cl$$} \{0\}}$).

다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 유지되는 경우 역방향 위상학 그룹 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 완전한 그룹이라고 한다$$.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 그 자체로 완전하다.
2. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 Cauchy net은 $적어도{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle$ X$.}$의 한 지점으로 수렴된다.
3. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에는 X .$${\$displaystyle$X}의$$ 전체 하위 집합이기도 $한{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle$ 0}의 근방이 있다$.$
   • 이것은 모든 지역적으로 작은 상호 작용 위상학 집단이 완성되었음을 암시한다.
4. 표준 균일성을 부여받으면 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 완전한 균일 공간이 된다.
   • 균일한 공간의 일반적인 이론에서, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 각 Cauchy 필터가${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$,${\displaystyle }$$display$ ) {\$displaystyle (X,\$tau )}의 어느 $지점$까지 수렴되면$$ 균일한 공간을 완전한 균일한 $공간$이라고 한다$.$

위상학 집단은 순차적으로 완전한 자기자신의 부분집합일 경우 순차적으로 완전하다고 한다.

주변 환경 기준: $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$이(가) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \subseteq }$ C ${\displaystyle$ X$\subseteq C}$과(와) 교감 위상학 그룹 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 완료이고 N$$ ${\$이(가) $X$ . ${\\displaystystystystysty}$의 출발지의 근린다고 가정합시다$$.

$C{\displaystyle .}$ ${\displaystyle C$의 기원에 있는 근린 근거지$.$$}$^[21]

균일 연속성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ $및{\displaystyle }$ Y$$ ${\displaystyle Y}$을(를) 위상학적 그룹, $D{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D\subseteq X,}$ 및$$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystystyle f:$$D\to Y}$는 지도가 된다$$$.$ $그런{\displaystyle }$ 다음 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle D}$→ Y ${\displaystyle f:$$D\to Y}$ is uniformly continuous if for every neighborhood ${\displaystyle U}$ of the origin in ${\displaystyle X,}$ there exists a neighborhood ${\displaystyle V}$ of the origin in ${\displaystyle Y}$ such that for all ${\displaystyle x,y\in D,}$ if ${\displaystyle y-x\in U}$ the${\displaystyle n}$ $f{\displaystyle }$( y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle V}$. ${\displaystyle f(y)-f(x)\in$ V$.}$

일반화

연속성 조건을 약화시킴으로써 위상학 집단의 다양한 일반화를 얻을 수 있다.^[24]

• 반투명 그룹은 각 c c G에 대해 x ↦ xc와 x ↦ cx로 정의된 두 함수 G → G가 연속적으로 존재하는 위상들을 가진 그룹 G이다.
• quasitopological group은 함수 매핑 요소들이 그들의 invers에 또한 지속되는 반투명 그룹이다.
• 파라토폴로지 그룹은 그룹 연산이 지속되도록 위상이 있는 그룹이다.

참고 항목

• 대수군
• 전체 필드
• 콤팩트 그룹 – 콤팩트 토폴로지를 가진 토폴로지 그룹
• 완벽한 위상 벡터 공간 – 점차적으로 서로에게 가까워지는 지점이 항상 한 지점에 수렴되는 TVS
• 리 그룹 – 그룹 운영이 매끄러운 차별화된 매니폴드 그룹
• 로컬 압축 필드
• 로컬 컴팩트 그룹
• 로컬 컴팩트 양자 그룹
• 프로파나이트군
• 순서 위상 벡터 공간
• 위상아벨류
• 위상학장
• 위상 모듈
• 위상 링
• 위상학적 의미군
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간

메모들

인용구

참조