페르 엔플로

페르 엔플로
1972년 엔플로
태어난	(1944-05-20) 1944년 5월 20일 (77세) 스웨덴 스톡홀름
모교	스톡홀름 대학교
로 알려져 있다.	근사 문제 슈어더 기준 힐버트의 다섯 번째 문제(무한 차원) 초경량Banach 공간의 균일하게 볼록한 대류 내장형 공간(입방체 변형 포함) 낮은 도에서의 다항식의 "집중" 불변 하위 공간 문제
수상	"스코티쉬 북" 문제 해결을 위한 마주르의 "살아있는 거위" 153
과학 경력
필드	기능분석 연산자 이론 분석수 이론
기관	버클리 캘리포니아 대학교 스탠퍼드 대학교 파리 에콜 폴리테크니크 스톡홀름 왕립 공과대학교 켄트 주립 대학교
박사학위 자문위원	한스 로드스트룀
박사과정 학생	안젤라 스팔스베리 브루스 레즈닉
영향	조람 린덴스트라우스 로랑 슈워츠
영향받은	베르나르 보자미

Per H. Enflo(스웨덴어: [ˈpær ˈěnfluː]; 1944년 5월 20일 출생)는 기능분석에 주로 종사하는 스웨덴의 수학자로, 그가 근본적이라고 여겨졌던 문제들을 풀었던 분야다.이 문제들 중 세 가지는 40년 이상 동안 열려 있었다.^[1]

• 기본 문제 및 근사치 문제^[2] 및 이후
• Banach 공간의 불변적인 하위 공간 ^[3]문제

이러한 문제들을 해결하면서, Enflo는 기능 분석과 운영자 이론에 수 년 동안 다른 연구자들에 의해 사용되었던 새로운 기술을 개발했다.Enflo의 연구 중 일부는 숫자 이론과 같은 다른 수학 분야와 컴퓨터 과학, 특히 컴퓨터 대수학 및 근사 알고리즘에서도 중요했다.

Enflo는 켄트 주립 대학교에서 일하며, 그곳에서 그는 대학교수의 직함을 가지고 있다.Enflo는 일찍이 캘리포니아 버클리, 스탠포드 대학, 에콜 폴리테크니크(파리)와 스톡홀름 왕립 공과대학에 있는 밀러 기초과학연구소에서 재직했다.

엔플로도 콘서트 피아니스트다.

기능 분석 및 운영자 이론에 대한 Enflo의 기여

수학에서 기능 분석은 벡터 공간과 이에 작용하는 연산자의 연구와 관련이 있다.그것은 기능 공간, 특히 푸리에 변환과 같은 기능의 변환과 미분방정식과 적분방정식의 연구에 역사적 뿌리를 두고 있다.기능 분석에서 벡터 공간의 중요한 클래스는 실제 또는 복잡한 숫자에 걸쳐 완전한 정규화된 벡터 공간으로 구성되는데, 이를 바나흐 공간이라고 한다.바나흐 공간의 중요한 예로는 힐버트 공간이 있는데, 여기서 표준은 내부 제품에서 발생한다.힐버트 공간은 양자역학의 수학적 공식화, 확률적 과정, 시계열 분석 등 많은 분야에서 근본적인 중요성을 지니고 있다.함수 공간 연구 외에도 함수 공간에 대한 연속 선형 연산자를 연구한다.

힐버트의 다섯 번째 문제와 임베딩

스톡홀름 대학에서 한스 뢰드스트룀은 기능분석 정신에서 엔플로가 힐베르트의 다섯 번째 문제를 고려할 것을 제안했다.^[4]1969~1970년 2년 동안 엔플로(Enflo)는 힐버트의 다섯 번째 문제에 대한 5개의 논문을 발표했는데, 이 논문들은 짧은 요약과 함께 엔플로(Enflo)에서 수집되었다.이들 논문의 결과 중 일부는 엔플로(1976년)와 베냐미니와 린덴스트라우스의 마지막 장에 기술되어 있다.

컴퓨터 공학에서의 응용 프로그램

Enflo의 기술은 컴퓨터 과학에서 응용을 찾아냈다.알고리즘 이론가들은 유한 미터 공간을 낮은 "분산"을 가진 저차원 유클리드 공간에 포함하는 근사 알고리즘을 도출한다(Lipschitz 범주에 대한 그로모프의 용어; c.f).바나흐-마주르 거리).물론 저차원적인 문제는 계산 복잡성이 낮다.더 중요한 것은, 문제가 유클리드 평면이나 3차원 유클리드 공간에 잘 내장된다면, 기하학적 알고리즘은 예외적으로 빨라진다.

그러나 그러한 임베딩 기법에는 Enflo의 (1969) 정리에서 알 수 있듯이 한계가 있다.^[5]

만약 D< 2{\displaystyle m\geq 2}, 해밍 입방체 Cm{\displaystyle C_{m}≥ 모든 m에서는}"왜곡 D{\displaystyle D}"(이하)과 2m{\displaystyle 2^{m}}-dimensional 유클리드 공간에.{\displaystyle D<,{\sqrt{m}}}. 그 결과 최적읬던 1가지 이슈 때문이었습니다는 포함될 수 없다.natur$m{\displaystyle }$ $displaystyle \{0,1\}^{m}$을(를) m ${\displaystyle m}$ -차원$$ 유클리드 공간의 하위공간으로$$ 실현하는 al 임베딩.^[6]

"엔플로[1969년]에 의해 발견된 이 정리는 아마도 유클리드 공간에 임베딩하기 위한 무한 왜곡을 보여주는 첫 번째 결과일 것이다.Enflo는 바나흐 공간들 사이에서 균일한 내장성의 문제를 고려했고, 그 왜곡은 그의 증명에서 보조 장치였다."^[7]

바나흐 공간의 기하학적 구조

균일하게 볼록한 공간은 Banach 공간이다. 그래서 > {\$displaystyle \epsilon >0}$에 대해 {\$displaystyle$$$\$delta >0}$이(가) 있어${\displaystyle x}$ x$1$ ${\displaystyle \mathrm{1<img\; alt="\backslash |x\backslash |\backslash leq\; 1"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/537314853c9b26a54722077d1a943ccfa32d16f2"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:7.916ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="265">}}$ ${\$\$leq$ 1$}$과 $\Vert {\displaystyle }$ $\$\\$day\leq$,

$\displaystyle \ x+y\ >2-\cHB }$

라는 뜻을 내포함하다

$\displaystyle \ x-y\ <\epsilon .}$

직감적으로 유닛볼 내부의 라인 세그먼트의 중심은 세그먼트가 짧지 않은 한 유닛 볼 안쪽 깊숙한 곳에 위치해야 한다.

1972년 Enflo는 "모든 초반복 바나흐 공간은 등가 균일하게 볼록한 규범을 인정한다"는 것을 증명했다.^[8][9]

기본 문제와 마주르의 거위

1973년에 발표된 한 논문으로 퍼 엔플로 씨는 수십 년 동안 기능 분석가들을 난처하게 했던 세 가지 문제를 해결했다.스테판 바나흐의 기본 문제, 스타니슬라브 마주르의 "구스 문제" 그리고 알렉산더 그로텐디크의 근사 문제.그로텐디크는 바나흐 공간과 연속 선형 연산자의 이론에서 그의 근사치 문제가 중심 문제라는 것을 보여주었다.

바나흐의 기본 문제

그 기본 문제는 스테판 바나흐가 그의 저서 "선형 연산자 이론"에서 제기하였다.바나흐는 분리 가능한 바나흐 공간마다 슈워더 기반이 있는지 물었다.

Schauder 기반 또는 계수 가능한 기반은 벡터 공간의 일반적인 (Hamel) 기반과 유사하다. 차이점은 Hamel 베이스의 경우 유한 합인 선형 조합을 사용하는 반면 Schauder 베이스의 경우 무한 합이 될 수 있다는 것이다.이는 바나흐 공간을 포함한 무한 차원 위상 벡터 공간 분석에 슈더 베이스가 더 적합하게 만든다.

슈워더 기지는 1927년 율리우스 슈워더에 의해 설명되었다.^[10][11]V는 Banach의 공간을 F 필드로 나타내도록 하라.Schauder 기초는 모든 원소 v v V에 대해 F에 고유한 원소 시퀀스_n(α)가 존재하여 다음과 같은 V 원소의 시퀀스_n (b)

${\displaystyle v=\sum _{n\in \mathb {N}}\\\n\\\\\\}\\\\}$

표준 위상에 대해 수렴이 이해되는 경우.슈워더 베이스는 일반적인 위상 벡터 공간에서도 유사하게 정의될 수 있다.

스코틀랜드 책의 문제 153: 마주르의 거위

바나흐와 다른 폴란드 수학자들은 스코틀랜드 카페에서 수학 문제를 연구할 것이다.문제가 특히 흥미롭고 해결이 어려워 보일 때, 문제는 문제집에 기록되곤 했는데, 그것은 곧 스코틀랜드 책으로 알려지게 되었다.특히 중요해 보이거나 어렵거나 둘 다인 것처럼 보이는 문제에 대해, 문제의 제안자는 종종 그 해결책에 대해 상을 주겠다고 다짐하곤 했다.

1936년 11월 6일, 스타니슬라브 마주르는 연속적인 기능을 나타내는 데 문제를 제기했다.스코틀랜드 책에 공식적으로 153개의 문제를 적으면서, 마주르는 "살아있는 거위"를 보상으로 약속했는데, 이것은 대공황 기간과 제2차 세계 대전 전야에 특히 풍부한 가격이다.

얼마 지나지 않아, 마주르의 문제는 분리 가능한 바나흐 공간에 있는 슈워더 기지의 존재에 관한 바나흐의 문제와 밀접하게 연관되어 있다는 것을 깨달았다.스코틀랜드 책의 다른 문제들은 대부분 정기적으로 해결되었다.그러나, 마주르의 문제와 몇 가지 다른 문제들에 대한 진전은 거의 없었고, 이것은 전 세계 수학자들에게 널리 알려진 개방적인 문제가 되었다.^[12]

그로텐디크의 근사 문제 공식화

Grotendieck의 Barnach 공간 이론과 연속 선형 연산자에 관한 연구는 근사 특성을 도입했다.모든 소형 연산자가 유한 등급 연산자의 한계인 경우 바나흐 공간은 근사 특성을 갖는다고 한다.그 반전은 언제나 진실이다.^[13]

긴 모노그래프에서, Grotendieck는 만약 모든 바나흐 공간이 근사 특성을 가지고 있다면, 모든 바나흐 공간은 Schauder 기반을 가지고 있을 것이라는 것을 증명했다.따라서 Grotendieck는 모든 Barnach 공간에 근사 특성이 있는지 여부를 결정하는 데 기능 분석가의 주의를 집중시켰다.^[13]

엔플로 용액

1972년, Per Enflo는 근사 속성과 Schauder 기초가 결여된 분리 가능한 Banach 공간을 구축했다.^[14]1972년, Mazur는 바르샤바의 Stefan Banach Center에서 열린 시상식에서 Enflo에게 살아있는 거위를 수여했고, "거위 보상" 행사는 폴란드 전역에 방송되었다.^[15]

불변 하위 공간 문제 및 다항식

기능 분석에서 가장 두드러진 문제 중 하나는 불변적인 아공간 문제였으며, 이는 다음 명제의 진실에 대한 평가를 필요로 했다.

치수 > 1의 복잡한 바나흐 공간 H와 경계 선형 연산자 T : H → H를 감안할 때, H는 비종속 폐쇄형 T-invariant 하위공간을 가지고 있다. 즉, T(W) ⊆ W와 다른 H의 폐쇄형 선형 아공간 W가 존재한다.

Banach 공간의 경우, 불변 하위 공간이 없는 운영자의 첫 번째 예는 Enflo에 의해 구성되었다. (Hilbert 공간의 경우, 불변 하위 공간 문제는 열린 상태로 남아 있다.)

엔플로(Enflo)는 1975년 불변 아공간 문제에 대한 해결책을 제시하면서 1976년 개요를 발표했다.엔플로(Enflo)는 1981년 전문을 제출했고, 이 기사의 복잡성과 길이는 1987년^[16] 엔플로(Enflo)의 오랜 "수학자 사이에 세계적인 유통이 있었다"^[17]로 출판을 지연시켰고, 일부 사상은 엔플로(1976년) 이외의 출판물에 기술되었다.^[18][19]예를 들어, Enflo의 작품은 Enflo의 아이디어를 인정한 Beauzamy에 의해 불변적인 하위 공간이 없는 운영자의 유사한 건설에 영감을 주었다.^[16]

1990년대에 Enflo는 Hilbert 공간의 불변적인 아공간 문제에 대한 "건설적" 접근법을 개발했다.^[20]

동종 다항식의 곱셈 부등식

Enflo의 건설에서 필수적인 아이디어는 "낮은 도에서의 다항식 집중"이었다.모든 양의 정수 m{m\displaystyle}과 n{n\displaystyle}에게 있어, C(m, n)>도 치고{m\displaystyle}와 엔{n\displaystyle}의 모든 동질 다항식 P{P\displaystyle}, Q{Q\displaystyle}에 k에 0{\displaystyle C(m,n)>0} 그러한({\displays 존재한다.tyle$k}$ 변수$$), 그런 다음

${\displaystyle PQ \geq C(m,n) P \, Q ,}$

여기서 ${\displaystyle P}$ $displaystyle P}$은(는$)$ $P{\displaystyle }$ {\$displaystyle P}$ 계수의 절대값의 합을 의미한다$.$ Enflo는 $C{\displaystyle (,}$ ${\displaystyle n}$ ) $displaystyle$ $C($$m,n)}$가 변수 $k{\displaystyle }$ ${\$displaysty k}의 수에 의존하지 않는다는 것을 증명했다$$. 몽고메리에 의해 Enflo의 원본 증명되었다$.$^[21]

이 결과는 동종 다항식의 벡터 공간에 있는 다른 규범에 일반화되었다.이 규범들 중에서 가장 많이 사용된 것은 봄비에리 규범이었다.

봄비에리 규범

봄비에리 규범은 다음과 같은 스칼라 제품으로 정의된다.모든 $\alpha {\displaystyle }$ ,${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 대해, 우리는

${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\displaystyle X{}^{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\beta }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \langle$ X$^{\\alpha$}$X^{\\beta }\angle =0}$ $만약$ α α ≠${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

모든 ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$${\displaystyle {\alpha }^{}}$ α$$N {\$displaystyle \alpha \in$ \$mathb${$N$}$^{N$}}에$$ ${\displaystyle 대해{}^{}}$ ${\displaystyle X{}^{}{}^{\mathrm{}}}$α 2 =$!,$ {\$displaystyle$ X$^{\alpha }^{2}={\fraca!}{\alpha!},},},}},},},}$

where we use the following notation: if ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N})\in \mathbb {N} ^{N}}$, we write ${\displaystyle \alpha =\Sigma _{i=1}^{N}\alpha _{i}}$ and ${\displaystyle \alpha !=\Pi$$_{i=1}^{N}(\alpha _{i}!)$ $및$ X ${\displaystyle {\alpha }_{}^{}{}^{}}$= 1 ${\displaystyle {\mathrm{N}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}{}_{}^{}{{\alpha }_{}}_{}^{}}$ i${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle X^{\alpha }=\Pi _{i=1}X_{i}^{\alpha _{i}}}.$$}$

이 규범의 가장 주목할 만한 특성은 봄비에리 불평등이다.

$P{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P$${\displaystyle ,}$$Q}$을(를$)$ $n{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$$displaystyle$ d$^{\$$circle }}$과${\displaystyle {}^{}을}$) d${\displaystyle {\circ }^{}}$ ${\$$displaystyle$ $d$$^{\circircle$}(Q$)$의 두 동종 다항식이 되도록$$ 한 다음 불평등이 유지된다.

${\dfracyle {d^{\circle }(P)!d^{\circle }Q!}}{{(d^{\circle }(P)+d^{\circle }(Q)!2}} P ^{2}\, Q ^{2}\leq P\cdot Q ^{2}\leq P ^{2}\, Q ^{2}.}$

위의 진술에서 봄비에리 불평등은 좌뇌 불평등이며, 우뇌 불평등은 봄비에리 규범이 곱셈하 다항식 대수학의 표준임을 의미한다.

봄비에리 부등식은 두 다항식의 산물이 임의로 작을 수 없다는 것을 내포하고 있으며, 이 하한선은 다항 인자화(또는 불변 서브공간이 없는 연산자를 엔플로(Enflo)가 건설하는 것)와 같은 응용에서 기본이다.

적용들

엔플로(Enflo)의 "낮은 도에서의 다항식 집적" 아이디어는 수 이론^[22] 대수학 및 디오판틴 기하학,^[23] 다항식 인자화에서 중요한 간행물로 이어졌다.^[24]

수학적 생물학:인구역학

응용 수학에서 퍼 엔플로(Per Enflo)는 수학 생물학, 특히 인구 역학에서 여러 논문을 발표했다.

인간 진화

Enflo는 또한 인구유전학과 고인류학에도 출판되었다.^[25]

오늘날 모든 인간은 종족의 장벽에 의해 격리된 호모 사피엔스 사피엔스의 한 모집단에 속한다.그러나, "Out of Africa" 모델에 따르면, 이것은 호민관의 첫 번째 종은 아니다: 호모, 호모 하빌리스의 첫 번째 종은 동아프리카에서 적어도 2 Ma에서 진화했고, 이 종의 구성원들은 비교적 짧은 시간 내에 아프리카의 다른 지역에 서식했다.호모 에렉투스는 1.8 Ma 이상 진화했고 1.5 Ma가 구세계에 퍼졌다.

인류학자들은 현재의 인구가 하나의 상호연결된 인구로 진화했는지(멀티레지온 진화 가설에 의해 가정된 바와 같이), 아니면 오직 동아프리카에서만 진화했는지, 특정된 다음 아프리카에서 이주하여 유라시아에서 인구를 대체했는지("아프리카 밖으로"모형" 또는 "완전한 대체인구로 불림)에 대해 의견이 분분해 왔다."모델"을 포함하십시오.

네안데르탈인과 현대인류는 수천 년 동안 유럽에서 공존했지만 이 기간의 지속시간은 불확실하다.^[26]현대 인류는 40-43,000년 전에 처음으로 유럽으로 이주했을지도 모른다.^[27]네안데르탈인은 고르함 동굴과 같은 이베리아 반도 남쪽 해안의 리푸지아에서 2만4000년 전까지만 해도 살았을지도 모른다.^[28][29]네안데르탈인과 현대인의 유골에 대한 상호긴장론이 제기됐지만 논란이 되고 있다.^[30][31]

Hawks와 Wolpoff와 함께 Enflo는 네안데르탈인과 현대인의 DNA에 대한 화석 증거에 대한 설명을 발표했다.이 기사는 다민족과 단일 아프리카 기원을 제안하는 이론들 사이의 현대 인류의 진화에 대한 논쟁을 해결하기 위해 노력한다.특히, 네안데르탈인의 멸종은 "네안데르탈 유전자 풀에 현대인의 DNA가 지속적으로 유입되고 있다"^[32][33][34]는 기술적 측면에서 유럽으로 유입된 현대인류의 파동 때문에 발생할 수 있었다.

Enflo는 또한 에리 호수에 있는 얼룩말 홍합들의 인구 역학성에 대해 썼다.^[35]

피아노

Per Enflo는 또한 콘서트 피아니스트다.

음악과 수학의 신동인 엔플로(Enflo)는 1956년 11세의 나이로 스웨덴의 젊은 피아니스트 대회에서 우승했고, 1961년에는 같은 대회에서 우승했다.^[37]12살 때, Enflo는 스웨덴 왕립 오페라 오케스트라와 함께 솔로로 출연했다.1963년 스톡홀름 콘서트 홀에서 데뷔하였다.Enflo의 선생님들은 Bruno Seidhofer, Géza Anda, Gottfried Boon (그 자신은 Arthur Schnabel의 학생이었다)을 포함시켰다.^[36]

1999년 Enflo는 제1회 반 클리번 재단의 우수 아마추어를 위한 국제 피아노 콩쿠르에 참가하였다.^[38]

엔플로(Enflo)는 켄트(Kent)를 중심으로 정기적으로 공연을 하고 오하이오주 콜럼버스에서 모차르트 시리즈(트리우네 페스티벌 오케스트라와 함께).오하이오 주립대학이 후원하는 라디오 방송국 WOSE의 클래식 네트워크에 그의 독주곡들이 등장했다.^[36]

참조

메모들

• 2005-4-11, eInside, 2005 Kent State University의 2005 우수 학자상 수상 발표.2007년 2월 4일에 검색됨.

참고 문헌 목록

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외부출처

• 카니시우스 대학의 페르엔플로 전기
• 켄트주립대학교 퍼엔플로 홈페이지
• Enflo, Per (25 April 2011). "Personal notes, in my own words". perenflo.com. Archived from the original on 26 April 2012. Retrieved 13 December 2011.

데이터베이스

• 수학계보 프로젝트에서 페르 엔플로
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• Mathematical Reviews. "Per Enflo". Retrieved 2010-05-14.