균일한 공간

위상수학에서 균일한 공간은 균일한 ^{[clarification needed]}구조를 가진 집합이다.균일한 공간은 완전성, 균일한 연속성 및 균일한 수렴과 같은 균일한 특성을 정의하기 위해 사용되는 추가 구조를 가진 위상 공간입니다.균일한 공간은 메트릭 공간과 위상 그룹을 일반화하지만, 이 개념은 분석에서 대부분의 증명에 필요한 가장 약한 공리를 공식화하기 위해 고안되었습니다.

위상구조의 통상적인 특성에 더해 균일한 공간에서는 점의 상대적 근접성과 근접성의 개념을 공식화한다.즉, "x가 y보다 a에 더 가깝다"와 같은 생각은 균일한 공간에서 의미가 있습니다.이에 비해 일반 위상공간에서는 집합 A, B가 주어졌을 때 점 x가 임의로 A에 가깝거나(즉 A의 폐색), 또는 A가 B보다 x의 근방이라고 하는 것은 의미가 있지만 점의 근접성이나 상대적인 근접성의 개념은 위상구조만으로는 잘 기술되어 있지 않다.

정의.

균일한 공간에는 세 가지 동등한 정의가 있습니다.모두 균일한 구조를 갖춘 공간으로 구성되어 있습니다.

수행원의 정의

이 정의는 주변 시스템의 관점에서 위상 공간의 표시를 조정한다. $U\subseteq X\times X$ U $U\subseteq X\times X$ X × $U\subseteq X\times X$ (\ $displaystyle$ U $\subseteq$ X\ $times$ X)의 $U\subseteq X\times X$ 빈 컬렉션 $\Phi$ {\ $displaystyle \Phi}$ 는 $\Phi$ 다음 공리를 충족하는 경우 균일한 구조(또는 균일성)입니다.

$U\in \Phi$ $∈$ { $displaystyle$ U \ $phi }$ 일 $U\in \Phi$ $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ $U\in \Phi$ , ${\$ $\Delta \subseteq U,$ , { $displaystyle$ \ $Delta$ \ $delta$ \ $phi$ }, 여기서 $\Delta \subseteq U,$ $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ { ( $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ , $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ ) : $}$ { displaystyle \ $Delta$ = \ { $x$ , x , x }: x \ $in$ $U\in \Phi$ } X $X\times X.$ 는 X의 대각선상에 $X\times X.$ .
$V\in \Phi .$ $}$ } \ $display$ $style$ $U\in \Phi$ U \ $in$ \ $Phi$ } $U\subseteq V\subseteq X\times X$ U $U\subseteq V\subseteq X\times X$ $U\subseteq V\subseteq X\times X$ × $U\subseteq V\subseteq X\times X$ X \ $subseteq$ V \ $subseteq$ X \ $times$ X $U\subseteq V\subseteq X\times X$ } } } 、 $V\in \Phi .$ $V\in \Phi .$ 、 \ $displaystyle$ V \ $in$ \ phi $V\in \Phi .$ } 。
$U\in \Phi$ \ $display style$ U \ $in$ \ Phi $U\in \Phi$ $V\in \Phi$ V $V\in \Phi$ 、 V display \ $display$ $style$ $V\in \Phi$ V \ $in$ $\$ Phi $U\cap V\in \Phi .$ then $V\in \Phi$ $、$ U $cap$ u $u$ udisplay if u if if if $if$ if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if if
U $U\in \Phi$ { $display style$ U \ $in \$ $Phi$ }의 $U\in \Phi$ $V\in \Phi$ 경우 V $V\circ V\subseteq U$ U $V\circ V\subseteq U$ U $V\circ V\subseteq U$ \ $display style$ V \ $subseteq U$ $V\circ V\subseteq U$ $V\circ V\subseteq U$ V $V\in \Phi$ $V\circ V$ $V\circ V\subseteq U$ ∘ （ \ display style V \ subseteq U ）。 $V\circ V$ 서 V $V\circ V$ V ∘ \ $display style$ V $\cir$ 는 복합 $Vcir$ 를 $V\circ V$ 나타냅니다.X $X\times X$ × $X$ 의 $X\times X$ 2개의 $서브셋$ V(\ $displaystyle$ V $)$ 와 $V$ U $(\$ $displaystyle$ U $)$ 의 $U$ 합성값은 다음과 같이 정의됩니다. ${\displaystyle V\circ U=\{(x,z)~:~{\text{}y가 X에 존재합니다.{\text{\text{}},(x,y)\in U\wedge(y,z)\in V,\}}.$
$U\in \Phi$ $∈$ { $display style$ U \ $in$ \ Phi $U\in \Phi$ }인 $U\in \Phi$ $U^{-1}\in \Phi ,$ 경우 $U^{-1}\in \Phi ,$ - $U^{-1}\in \Phi ,$ ∈ $U^{-1}\in \Phi ,$ 、 U - $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ { $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ y 、 x $U^{-1}\in \Phi ,$ $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ : $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ ( $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ , $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ ) $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ } $、$ { $display style$ U^ { - 1 - $1$ $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ } \ $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ $Phi （$ $x$ ; $x$ ; $U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}$ ; ）

(2) 및 (3)과 함께 $\Phi$ $\Phi$ { $displaystyle$ \ $Phi }$ 의 $\Phi$ 비흡수성은 $\Phi$ {\ { $displaystyle$ \ Phi $\Phi$ }가 $\Phi$ $X\times X.$ X × $X\times X.$ 의 필터임을 나타냅니다 $.\$ $displaystyle$ X $\times$ X $}$ 마지막 $X\times X.$ 속성을 생략하면 공간은 균등하다고 합니다. $\Phi$ 의 $\Phi$ 요소 $($ $디스플레이$ $스타일$ $U)$ 는 $U$ 주변을 뜻하는 프랑스어 단어에서 근방 또는 수행원이라고 불립니다.

$보통$ U [ $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ ] $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ { $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ : $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ ( x $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ , y ) $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ } $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ ( { $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ x $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ } × $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ ) $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ , $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}=\operatorname {pr} _{2}(U\cap (\{x\}\times X)\,),$ { $displaystyle$ U [ x ]= \ { $y$ : ( $x$ , $y$ ) \ $in$ U \ } = \ $operatorname { pr } _$ { $pr$ （ x \ $times$ } \ times ）。\ $operatorname {pr} _{2}}$ 는 $\operatorname {pr} _{2}$ 두 번째 좌표에 대한 정규 투영입니다 $.$ 그래프에서 일반적인 수행원은 " $y=x$ $y=x$ \ $displaystyle$ y $=x$ 를 대각선으로 둘러싼 블럽으로 그려집니다. 다른 $U[x]$ U [ $]$ \ $displaystyle$ U [ $x$ 는 수직 단면을 구성합니다.( $(x,y)\in U$ , $(x,y)\in U$ $(x,y)\in U$ U { $displaystyle ( x$ , $y$ )\ $in$ U $(x,y)\in U$ }인 경우x { $displaystyle$ x $}$ 와 $x$ y { $displaystyle$ y $}$ 는 $y$ $U$ U { \ $displaystyle$ U} - close라고 합니다.마찬가지로X의 $하위$ $집합$ A $(\$ $displaystyle$ X $)$ 의 $A$ $X$ 모든 포인트 쌍이 $U$ (\ $displaystyle$ U)-close $U$ (A × $A\times A$ $displaystyle$ A $\times$ A $)$ 인 $A\times A$ $A$ $경우$ $(\displaystyle$ A\times A $)$ 는 U(\displaystyle $U$ U $)-$ small이라고 $합니다$ .( $x$ , $(x,y)\in U$ $(y,x)\in U.$ ) $(y,x)\in U.$ $(x,y)\in U$ U . \ $displaystyle$ ( x $(x,y)\in U$ , $y$ ) $(y,x)\in U.$ U . \ $in U$ . \ $(x,y)\in U$ $displaystyle$ ( y , x ) $(y,x)\in U.$ {\ U . \ $displaystyle$ U . 1차 공리에서는 각 $U.$ 가 $U$ $\$ $displaystyle$ U $\$ $in U.$ ( \ $displaystyle$ )에 $(y,x)\in U.$ $U$ $U.$ 가깝다고 합니다 $.$ $oth$ U $(displaystyle$ U $)$ $-close$ 및 $V$ (\ $displaystyle$ V) -close"도 균일성의 근접 관계입니다.네 번째 공리에는 $각$ $수행원$ 마다 " $반쪽$ 을 넘지 $U$ $않는"$ $수행원$ $V$ 가 있다고 $V$ 명시되어 있다.마지막으로, 마지막 공리는 균일한 구조에 대한 속성 "밀착성"이 x{ $displaystyle$ x $}$ 와 $x$ $y$ .{ $displaystyle$ y $}$ 에서 대칭임을 나타냅니다.

$\Phi$ {\(\ $displaystyle$ $\Phi)$ 의 $\Phi$ 엔트리지 또는 엔트리지 $($ 또는 엔트리지)의 기본 시스템은 ${\mathcal {B}}.$ ${\(\displaystyle \Phi)$ 의 $\Phi$ $\Phi$ 엔트리지 B $(\$ $)$ ${\mathcal {B}}$ 이다 ${\mathcal {B}}$ .cal ${B}}.$ 따라서 ${\mathcal {B}}.$ 위의 속성 2에 따라 B $(\$ 의 ${\mathcal {B}}$ 기본 시스템은 균일성 $\Phi$ (\ $displaystyle\Phi})$ 을 $\Phi$ 명확하게 지정하기에 $\Phi$ 합니다. ${\(\displaystyle \Phi ）$ 는 $\Phi$ X $×$ (\ $displaystyle$ X)의 $X\times X$ 서브셋 $세트$ 입니다. $e$ {\ $mathcal {B}}$ 모든 ${\mathcal {B}}.$ 균일한 공간에는 대칭적인 부속으로 구성된 기본 부속 시스템이 있습니다.

균일성에 대한 직관은 메트릭 공간의 예를 통해 제공됩니다. ( $(X,d)$ , $(X,d)$ ) { $displaystyle ( X$ , $d$ ) }이 $(X,d)$ 메트릭 공간인 경우 $(X,d)$ 세트는

\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\times X:d(x,y)\leq a\}\display {where}\displays a>0}

X의

표준

균일한 구조를 위한 기본 시스템을 구성합니다

.

({

displaystyle

X

.}

x

x

(\

displaystyle

x)와

x

y

y(\

displaystyle

y

)

는

y

(\

입니다

U_{a}

. x

(\displaystyle

x

)

와

x

y(\

displaystyle

y

)

x

의 거리가

최대

1

displaystyle

y)일 때 정확히 가깝습니다

.

tyle a . }

$\Phi \supseteq \Psi ;$ 집합에서 $\Phi$ $\Phi \supseteq \Psi ;$ $\Psi$ \Phi)은 {\(\displaystyle\Phi)보다 {\(\displaystyle\Supseteq $\Psi)$ 가 $\Phi \supseteq \Psi ;$ $\Psi$ $\Phi .$ ${\(\displaystyle\Psi)$ 이라고 하면 다른 균일성 $\Psi$ {\(\displaystyle $\style\Psyle)$ 보다 $\Phi$ $\Psi$ 미세하다 $.$

의사 측정법 정의

균일한 공간은 (세미노름이 제공하는) 기능 분석에서 특히 유용한 접근법인 의사 측정 시스템을 사용하여 대체적이고 동등하게 정의할 수 있다.좀 더 정밀하게, f:X×X→ R{\displaystyle f:X\times X\to \mathbb{R}}는 집합 X에서 의거리다{X\displaystyle}그 역 이미지들은=f는 을을 − 1([0,]){\displaystyle U_{}([0,a])};0{\displaystyle a>0}은 불행의 entourages의 근본적인 시스템을 형성하는데 나타낼 수 있다.iform $U_{a}$ 에 의해 생성되는 균일성 $(\$ 은 $U_{a}$ $f.$ 단일 $의사계량$ f $.\displaystyle$ f $.\$ displaystyle f.\displaystyle은 토폴로지가 의사계량 게이지 공간으로 정의되는 공간이라고 합니다.

$X,$ 의 $의사측정학$ 패밀리 $($ fi $)$ 의 경우 패밀리 $\left(f_{i}\right)$ $displaystyle$ $\left(f_{i}\right)$ 에 $X,$ 의해 정의된 균일한 구조는 개별 $f_{i}.$ $.{displaystyle f_i}$ 에 $\left(f_{i}\right)$ 의해 정의된 균일한 구조 중 최소 상한입니다.} 이 $f_{i}.$ 균일성의 기본 시스템은 개별 $f_{i}.$ fi $.$ {\ $displaystyle f_{$ i}에 의해 정의된 균일성의 유한 교집합에 의해 $제공$ 된다 $.$ } 의사측정학 $f_{i}.$ 계열이 유한한 경우, 동일한 균일한 구조를 단일 의사측정학, 즉 계열의 $\sup _{}f_{i}$ $\sup _{}f_{i}$ $\sup _{}f_{i}$ f $\sup _{}f_{i}$ \ $displaystyle$ \sup _ ${} f_{$ i $\sup _{}f_{i}$ }에 의해 정의됨을 알 수 있다 $.$

간단히 말해, 계산 가능한 기본 시스템(특히 계산 가능한 의사 측정 패밀리에 의해 정의된 균일성)을 허용하는 균일한 구조가 단일 의사 측정으로 정의될 수 있다는 것을 보여줄 수 있다.그 결과 모든 균일한 구조는 (아마도 셀 수 없는) 의사 측정 패밀리에 의해 위와 같이 정의될 수 있다(부르바키 참조:일반 토폴로지 제9장 '1 no.4').

균일한 커버 정의

균일한 공간 $(X,\Theta )$ 은 $(X,\Theta )$ "균일한 커버"라 불리는 구별되는 커버 $(\displaystyle \Theta$ )를 $\Theta ,$ 갖춘X $세트$ (\ $displaystyle$ X $)$ 로 $X$ , 스타 정제 시 필터가 되는X $(\displaystyle$ X)에서 $X,$ 추출됩니다.어느 커버 Q의 커버 P{\displaystyle \mathbf{P}}은 항성 다듬고,{\displaystyle \mathbf{Q},} 쓰여진 P<, ∗ Q,{\displaystyle \mathbf{P}<>^{*}\mathbf{Q},}모든 A∈ P,{\displaystyle A\in \mathbf{P},}을 모을 수 있는 U∈ Q{\displaystyle U\in \mathbf{Q}에} 말했다. 그런A $A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,$ B $A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,$ $A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,$ 、 $A\cap B\neq \varnothing ,B\in \mathbf {P} ,$ 、 { $displaystyle$ A \ $cap$ B \ $neq$ \ $varnothing , B$ \ $in$ \ $mathbf$ { $P }$ $B\subseteq U.$ 、 B $B\subseteq U.$ \ $displaystyle$ B \ $subseteq$ U }의 $B\subseteq U.$ 경우 필터 상태는 원칙적으로 다음과 같이 감소합니다 $.$

$\{X\}$ $\{X\}$ $}$ ({ $displaystyle$ \ { $X$ \ } )는 $\{X\}$ 균일한 커버입니다( $\{X\}\in \Theta$ , { X $\{X\}\in \Theta$ \ $displaystyle$ \ { X \ } \ $in$ \ $Theta$ ） $\{X\}\in \Theta$ 。
${\$ $\mathbf {P}$ \mathbf { $P}$ ${{*}\mathbf {Q}$ 이 $\mathbf {P} <^{*}\mathbf {Q}$ $($ 가) P $\mathbf {P}$ {\ $displaystyle$ \ $mathbf$ {P $}$ 이고 $\mathbf {P}$ $\mathbf {Q}$ {\ $displaystyle$ $\mathbf {Q})$ $X,$ 가 $\mathbf {Q}$ X인 경우 $,$ {\ $displaystyle$ X $,}$ 도 $\mathbf {Q}$ Q $X,$ \ $mathbf {Q}$ 입니다.
P $(\$ $\mathbf {Q}$ Q(\ $displaystyle \mathbf {Q})$ 가 $\mathbf {Q}$ 균일한 커버인 $\mathbf {P}$ P $(\$ $\mathbf {Q}$ Q $(\displaystyle$ \ $mathbf {Q})$ 를 모두 스타로 하는 균일한 $\mathbf {R}$ R(\ $displaystyle$ \ $mathbf {R})$ 이 $\mathbf {R}$ 있습니다 $.$

$점$ x(\ $displaystyle$ x $)$ 와 $x$ 균일한 $\mathbf {P} ,$ P $(\displaystyle$ $\$ $mathbf$ ${$ $P$ $})$ 가 $\mathbf {P} ,$ 주어졌을때 x(\ $displaystyle$ x $)$ 를 $x$ $\mathbf {P}$ 하는 $\mathbf {P}$ (\displaystyle \ $mathbf$ {P $})$ 멤버의 합집합을 " $"$ P(\ $displaystyle$ $)$ 및 T)의 x $(\$ $displaystyle$ x)의 $\mathbf {P} ,$ 전형적인 근방식으로 볼 수 있습니다 $.$ 그의 직관적인 척도는 공간 전체에 균일하게 적용된다.

각 $x\in X,$ $A\in \mathbf {P}$ $each$ $,$ \ $displaystyle$ x, \ $in$ $A\in \mathbf {P}$ X $,$ \ $A\in \mathbf {P}$ x, \ $mathbf {P$ $}$ 가 $x\in X,$ $A\in \mathbf {P}$ 있을 $U$ 경우, 동일한 공간공간에서 커버 $\mathbf {P}$ $(\$ { $P$ $})$ 를 $\mathbf {P}$ 정의합니다 $U[x]\subseteq A.$ $A.}$ 이 $U[x]\subseteq A.$ 균일한 커버는 두 번째 정의와 같이 균일한 공간을 형성한다. $\bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},$ 로 균일한 커버의 의미로 균일한 공간이 주어지면 $\bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},$ { $\bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},$ A $\bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},$ × $\bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},$ : A $\bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},$ P $\bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},$ $、$ \ $displaystyle$ \ $bigcup \$ { A \ $times$ A : $A$ \ $in$ $\bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},$ \ $mathbf {P}$ $\}$ 은 $\bigcup \{A\times A:A\in \mathbf {P} \},$ $\mathbf {P}$ $($ 는) 첫 번째 정의와 같이 균일한 공간에 대한 특성이다 $.$ 게다가 이 두 가지 변환은 서로 반대입니다.^[1]

균일한 공간의 토폴로지

모든 균일한 $공간$ X(\ $displaystyle$ X $)$ 는 $X$ 부분 $O\subseteq X$ $(\displaystyle$ O $\subseteq X)$ 를 $O\subseteq X$ 열도록 정의함으로써 토폴로지 공간이 됩니다 $.$ $모든$ $(\displaystyle$ x $\in$ O $)$ 에 $x\in O$ $대해$ V $(\displaystyle$ V $)$ 가 $V$ 부분 집합O(\ $display$ )인 $V[x]$ 경우). $yle$ O $.}$ 이 $O.$ 토폴로지에서는 $포인트x$ {\ $displaystyle$ x $}$ 의 $x$ 인접 필터는 $\{V[x]:V\in \Phi \}.$ { $\{V[x]:V\in \Phi \}.$ [ $\{V[x]:V\in \Phi \}.$ : $\{V[x]:V\in \Phi \}.$ $\{V[x]:V\in \Phi \}.$ $\{V[x]:V\in \Phi \}.$ φ φ $\{V[x]:V\in \Phi \}.$ 。{ $displaystyle$ \ { $V$ [ $x$ ] : $V\in \Phi \}$ $\{V[x]:V\in \Phi \}.$ 이는 "반쪽 크기" 수행원의 존재를 재귀적으로 사용함으로써 입증될 수 있습니다.일반적인 토폴로지 공간과 비교하여 균일한 구조가 존재하기 때문에 이웃의 크기를 비교할 수 있다 $V[x]$ $V[x]$ [ $]$ \ $displaystyle$ V [ $x$ ] $V[y]$ V [ $]$ \ $displaystyle$ V [ $y$ ]는 $V[y]$ "같은 크기"로 간주된다.

균일한 구조에 의해 정의된 토폴로지는 균등성에 의해 유도된다고 한다.토폴로지 공간의 균일한 구조는 균일한 구조에 의해 정의된 토폴로지가 원래 토폴로지와 일치할 경우 토폴로지와 호환됩니다. $일반적$ 으로 X.\ $displaystyle$ X의 $특정$ 토폴로지와 호환될 수 있습니다 $.$

통일 가능한 공간

토폴로지 공간은 토폴로지와 호환되는 균일한 구조가 있는 경우 균등화 가능 공간이라고 불립니다.

균등화 가능한 모든 공간은 완전히 규칙적인 위상 공간입니다.또한 균일화 가능한 $공간$ X(\ $displaystyle$ X $)$ 의 $X$ 경우 다음과 같습니다.

$(\displaystyle$ X $)$ 는 $X$ Kolmogorov 공간입니다.
$(\displaystyle$ X $)$ 는 $X$ 하우스도르프 공간입니다.
$(\displaystyle$ X $)$ 는 $X$ Tychonoff 공간입니다.
호환성이 있는 균일한 구조의 경우, 모든 엔트리의 $\{(x,x):x\in X\}.$ 교차점은 $\{(x,x):x\in X\}.$ { $\{(x,x):x\in X\}.$ ( $\{(x,x):x\in X\}.$ x , $\{(x,x):x\in X\}.$ ) : $\{(x,x):x\in X\}.$ X } 입니다 $.{$ $displaystyle$ \ { ( x , $x$ ) : $x$ \ $in$ X $\{(x,x):x\in X\}.$ \ } 。 $}$

일부 저자(예: Engelking)는 균일화 가능한 공간의 정의에 이 마지막 조건을 직접 추가한다.

균일화 가능한 공간의 토폴로지는 항상 대칭 토폴로지입니다.즉, 공간은 R 공간입니다₀.

반대로, 각각의 완전한 정규 공간은 균일화 가능합니다. $완전$ 규칙 $X의$ 토폴로지와 호환되는 균일성은 $X의$ 연속 실수치 함수를 균일하게 연속적으로 만드는 가장 거친 균일성으로 정의할 수 있습니다. $(f\times f)^{-1}(V),$ {\ $displaystyle$ $f}$ 는 $f$ $X$ 의 $연속$ 실수치 함수이고 $V$ ${\$ $displaystyle$ V $}$ 는 $(f\times f)^{-1}(V),$ $X$ $V$ 균일한 공간의 수행원이다 $.$ $\mathbf {R} .$ R $.$ ${\$ $displaystyle$ \ $mathbf {R$ $}$ 이 균일성은X의 $원래$ 토폴로지보다 확실히 거칠어진 토폴로지를 $\mathbf {R} .$ 합니다 $.$ 원래의 토폴로지보다 미세하게 되어 있는 것(즉, $X와 일치$ 하는 것)은 $X;$ $x\in X$ 완전한 규칙성의 단순한 결과입니다. $x\in X$ 와 인근 $x\in X$ 입니다. $($ $x$ $f(x)=0$ 의 $X$ {{ $displaystyle$ X $},$ { $displaystyle$ x $},$ { $f(x)=0$ f $}$ , V{ $displaystyle$ V $}$ 의 $f(x) = 0$ 보완에서 1인 $f(x)=0$ 실수값 $함수$ f ${$ $displaystyle$ f $}$ 가 $f$ 있습니다.

특히 콤팩트한 하우스도르프 공간은 균일화할 수 있다.실제로 콤팩트 하우스도르프 $공간$ X(\ $X\times X$ X $)$ 의 $X$ 경우 $X\times X$ X $×X$ (\ $displaystyle$ X\times $X\times X$ $X\times X$ )의 대각선 부근의 집합은 토폴로지와 호환되는 고유한 균일성을 형성합니다.

하우스도르프 균일한 공간은 계산 가능한 의사 측정 패밀리에 의해 균일한 공간을 정의할 수 있는 경우 측정 가능합니다.실제로 위에서 설명한 바와 같이 이러한 균일성은 단일 의사측정에 의해 정의될 수 있습니다.이것은 공간이 하우스도르프일 경우 반드시 메트릭이 됩니다.특히 벡터 공간의 위상이 하우스도르프이고 셀 수 있는 세미노름족에 의해 정의될 수 있는 경우, 그것은 측정 가능하다.

균일한 연속성

위상 특성을 보존하는 위상 공간 간의 연속 함수와 유사한 것은 균일한 특성을 보존하는 균일한 공간 간의 균일한 연속 함수이다.

균등하게 연속되는 함수는 엔투어의 역화상이 다시 엔투어의 역화상인 경우 또는 균등 커버의 역화상이 다시 균일한 커버인 경우로 정의된다.명시적으로 $\left(x_{1},x_{2}\right)\in U$ 의 $모든$ $수행원$ V $(\$ $displaystyle$ V $)$ 에 $V$ $Y$ $\left(x_{1},x_{2}\right)\in U$ X의 $수행원$ U $\left(x_{1},x_{2}\right)\in U$ $displaystyle$ $\left(x_{1},x_{2}\right)\in U$ 가 $U$ $X$ 존재하는 경우 균일한 공간 사이의 $f:X\to Y$ f $f:X\to Y$ $\left(x_{1},x_{2}\right)\in U$ $f:X\to Y$ (\ $displaystyle$ f $:X\$ $\left(x_{1},x_{2}\right)\in U$ $f:X\to Y$ Y $)$ 를 $f:X\to Y$ 균등하게 연속이라고 한다 $.$ $e$ $\left(x_{1},x_{2}\right)\in$ U $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ ( $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ ) $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ , $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ ( $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ x $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ ) ${\$ ;\ display $style \left$ ( f \ $left$ ( x $_$ { $1}$ \ right ) $f$ $U$ \ $、$ f \ $left$ ( x _ { 1 \ $right$ )\ right )\ in $V$ ; 、v $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ ,,,, $stylestylestyle$ 、 \ $display$ $\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)\in V;$ styleft ( f \ display stystyleft ( x _ right ) 、 f \ 、 f \ $、$ f \ display $styleft$ $f\times f:X\times X\to Y\times Y$ $,\displaystyle$ Y $f\times f:X\times X\to Y\times Y$ displaystyle Y, $f\times f:X\times X\to Y\times Y$ 서 $Y,$ $f\times f:X\times X\to Y\times Y$ f $f\times f:X\times X\to Y\times Y$ × X → Y × $f\times f:X\times X\to Y\times Y$ {\ $displaystyle$ f $:X\times$ X $\to Y}$ 는 $f\times f:X\times X\to Y\times Y$ ( $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$ × $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$ ) ( $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$ , $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$ ) $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$ ( $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$ ( $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$ 1) $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$ , f $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$ ( $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$ 2) $(f\times f)\left(x_{1},x_{2}\right)=\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right).$ . $display$ style $( f _ 1$ \ $times$ f ) $}$

모든 균일하게 연속되는 함수는 유도 토폴로지에 관해 연속적이다.

균일한 맵이 있는 균일한 공간은 카테고리를 형성합니다.균일한 공간 사이의 동형성을 균일한 동형성이라고 한다.명시적으로, 그것은 또한 역이 균일한 연속성을 갖는 균일한 연속적 사출이다.균일 매립이란 역 $i^{-1}:i(X)\to X$ - $i^{-1}:i(X)\to X$ : $i^{-1}:i(X)\to X$ ( $i^{-1}:i(X)\to X$ ) $i^{-1}:i(X)\to X$ ( \ $displaystyle$ i ^ { - $1$ $i:X\to Y$ : $i$ （ X ） \ $to$ X $i^{-1}:i(X)\to X$ } 도 $i:X\to Y$ 균일하게 연속되는 주입식 연속 $i:X\to Y$ i : $X$ $i(X)$ $i:X\to Y$ $i:X\to Y$ ( \ $displaystyle$ i ^ { - 1 - 1 ） → X ( \ $to$ $i^{-1}:i(X)\to X$ X ) 도 동일하고, 여기서 $i(X)$ I ( $X$ )는 $i(X)$ 동일성을 $가진다$ $.$ $레이스타일 Y.}$

완전성

완전 메트릭 공간의 개념을 일반화하면 균일한 공간에 대한 완전성도 정의할 수 있습니다.Cauchy 시퀀스로 작업하는 대신 Cauchy 필터(또는 Cauchy 네트)로 작업합니다.

균일한 $X의$ Cauchy $필터$ (각각 Cauchy 프리필터) F $(각각$ 프리필터)는 필터 $F$ (각각 프리필터) F $(각각$ 프리필터)이며 $F$ , 모든 $수행원$ U $(\displaystyle$ U $)$ 에 $U,$ $A\in F$ A $A\times A\subseteq U.$ $displaystyle$ A $)$ 가 $A\in F$ 하도록 $A\times A\subseteq U.$ $.$ $A\subseteq U.$ 다시 $A\times A\subseteq U.$ 말해 필터에 "임의적으로 작은" 집합이 포함되어 있으면 필터는 Cauchy가 됩니다.이는 (균일한 구조에 의해 정의된 토폴로지와 관련하여) 수렴되는 각 필터가 코치 필터라는 정의에 따라 결정됩니다.최소 Cauchy 필터는 더 작은(즉, 더 거친) Cauchy 필터를 포함하지 않는 Cauchy 필터입니다.모든 Cauchy 필터에는 고유한 최소 Cauchy 필터가 포함되어 있음을 알 수 있습니다.각 포인트의 인접 필터(포인트의 모든 인접 필터로 구성된 필터)는 최소 Cauchy 필터입니다.

반대로 모든 Cauchy 필터가 수렴하는 경우 균일한 공간을 complete라고 합니다.콤팩트한 하우스도르프 공간은 토폴로지와 호환되는 고유한 균일성에 관한 완전한 균일한 공간입니다.

$f:A\to Y$ 한 균일한 공간은 다음과 같은 중요한 특성을 누릴 수 있습니다 $f:A\to Y$ $f:A\to Y$ : A $f:A\to Y$ {\ $displaystyle$ f $:$ $A$ $\$ $to$ Y는 $f:A\to Y$ 균일한 $X$ 의 $X$ 조밀한 $부분$ $A$ A에서 $균일$ 한 공간 $Y,$ 로균일한 연속 함수이며, $\$ $displaystyle$ f는 $Y,$ $f$ X의 모든 $부분$ 에서 균일한 연속 함수로 확장(고유하게)할 수 있다 $.$

완전한 균일한 공간으로 만들어질 수 있는 토폴로지 공간이며, 그 균일한 공간이 원래의 토폴로지를 유도하는 것을 완전 균일한 공간이라고 한다.

균일한 $공간$ X(\ $displaystyle$ X $)$ 의 $X$ $C$ 완성은 완전한 균일한 $공간$ C(\ $displaystyle$ C $)$ 와 $i(C)$ I $(\displaystyle$ i $:X\to$ C)의 $i(C)$ $C.$ 가 $i(C)$ 높은 균일한 매립 $i:X\to C$ $i:X\to C$ $(\displaystyle$ i:X\to $i:X\to C$ C)로 $i:X\to C$ 이루어진 $(i,C)$ 쌍 $(i,C)$ $i$ $C)$ 이다. $레 C.}$

하우스도르프 균일한 공간의 완성

미터법과 마찬가지로 모든 균일한 $공간$ X $(\displaystyle$ X $)$ 는 $X$ 균일한 공간의 하우스도르프 완성을 가집니다. 즉, 완전한 하우스도르프 균일한 $공간$ Y(\ $displaystyle$ Y $)$ 와 $Y$ 균일하게 연속된 지도 i $:$ $i:X\to Y$ (\ $displaystyle$ i $:X\to$ Y)( $i:X\to Y$ $X$ \ $displaystyle$ X가 $X$ 균일한 공간일 경우)이 존재합니다.{\ $displaystyle$ i $}$ 는 $i$ 다음 속성을 가진 토폴로지 매립형입니다 $.$

X

(\displaystyle

X

)

를

X

완전한 하우스도르프 균일한

공간

Z

(\displaystyle

Z

)

에

Z,

균일하게 연속되는

f

의 f(\

displaystyle

f

)

에

f

대해 고유한 균일 연속

g:Y\to Z

g

g:Y\to Z

g:Y\to Z

g:Y\to Z

(\

displaystyle

g

:

Y

f=gi.

.\displaystyle

f

=

와

f=gi.

값입니다.

}

하우스도르프 $완성$ Y $(\displaystyle$ Y $)$ 는 $Y$ 동형사상까지 독특합니다.X의 $최소$ Cauchy $필터$ 로 $Y를$ 할 수 있습니다 $.$ $X의$ 각 점 $x$ 의 $x$ $\mathbf {B} (x)$ 필터 $\mathbf {B} (x)$ B $(x$ $)$ 는 $\mathbf {B} (x)$ 최소 $Cauchy$ 필터이므로 $i$ 는 X의 최소 $\mathbf {B} (x)$ $Cauchy 필터$ 로 구성될 수 있습니다 $.$ x $(x)$ 를 $x$ B $\mathbf {B} (x).$ 로 $매핑하여$ 컴파일합니다 $.\displaystyle \mathbf {B}(x)$ } 이렇게 $\mathbf {B} (x).$ 정의된 지도 $i$ 는 $i$ 으로 $i$ 주입식이 아닙니다 $.$ 사실 동등성 $i(x)=i(x')$ $i(x)=i(x')$ x $=$ $i(x)=i(x')$ ( $x$ ))의 그래프는 $X$ 의 모든 $엔티튜어$ $($ $x$ $)$ 의 $X,$ 교차점이며 $,$ $따라서$ $Xstyle$ 이 $X$ 주입식입니다.하우스도르프입니다

Y{ $displaystyle$ Y $}$ 의 $Y$ 균일한 구조는 각 대칭 $어텐던트$ V {\ $displaystyle$ V $}($ 즉 $(x,y)\in V$ ( $(y,x)\in V$ $(x,y)\in V$ y $)$ $(x,y)\in V$ V ${\$ $displaystyle$ $(x$ $(y,x)\in V$ $y$ )\ $in$ V $}$ 의 $(x,y)\in V$ $(y,x)\in V$ 의미 $)$ V {\ $displaystyle$ ( $y$ $,$ x $)\in$ V}) $(y,x)\in V$ $C(V)$ $(y,x)\in V$ $C(V)$ ( $V$ ) styledisplay C (x $)$ $style$ (x )최소 $V$ 의 V $(\displaystyle$ V $)$ -작은 $V$ 세트를 가진 최소 코시 필터의 ystyle $(F,G)}$ 개 $(F,G)$ . $C(V)$ C $C(V)$ ) $C(V)$ { $style$ C $(V)}$ 는 $C(V)$ 기본 장치 시스템을 형성한다는 것을 보여줄 수 있습니다. $(\style$ Y $)$ 는 $Y$ 이와 같이 정의된 균일한 구조를 갖추고 있습니다.

$i(X)$ i $)$ { $displaystyle$ i $(X)$ 는 $i(X)$ $Y.$ 의조밀한 서브셋입니다 $.$ $X$ (\ $displaystyle$ X $)$ 가 $X$ Hausdorff인 $경우$ i(\ $displaystyle$ i $)$ 는 $i$ i $i(X),$ 의 동형사상이며 $,$ $따라서$ X $(\displaystyle$ $i(X),$ i $($ $X)$ 의 $i(X),$ $X$ 조밀한 서브셋으로 식별할 수 있습니다.또한 i $)$ { $style$ i $(X)}$ 는 $i(X)$ $X.$ 항상 Hausdorff입니다 $.$ X와 $X.$ 된 Hausdorff 균일한 공간이라고 합니다 $.$ R $({displaystyle$ X $})$ 이 $R$ 등가 $i(x)=i(x'),$ i( $=$ $i(x)=i(x'),$ $),$ { $displaystyle i$ (x')=i $(x$ ')}, 즉 $X/R$ 의 몫 $R$ 입니다. $i(X).$ . { $style$ i $(X$ )}. {\style i(X $)}.$ $}$

예

모든 메트릭 공간 $(M,d)$ , $(M,d)$ ) $(M,d)$ { $displaystyle (M, d)}$ 은 $(M,d)$ 균일한 공간으로 간주할 수 있습니다.실제로 측정지표는 의사계량계이기 때문에 의사계량정의는 M{\ $displaystyle$ M $}$ 에게 $M$ 균일한 구조를 $M$ 한다.이 균일성의 기본 시스템은 세트에 의해 제공됩니다.
$\displaystyle \qquad U_{a}\triangleq d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\}.}$
$M$ 의이 균일한 구조(\ $displaystyle$ M $)$ 는 $M$ M의 $M.$ 인 메트릭 공간 토폴로지를 생성합니다 $.\displaystyle$ M $.$ 단 $M.$ , 다른 메트릭 공간은 동일한 균일한 구조를 가질 수 있습니다(단, 단순한 예는 일정한 메트릭 배수로 제공됩니다).이 균일한 구조는 메트릭 공간에 대해 균일한 연속성과 완전성에 대한 동등한 정의를 생성한다.
측정지표를 사용하여 일치하는 위상을 가진 고유한 균일한 구조의 간단한 예를 구성할 수 있다.예를 들어 $d_{1}(x,y)=|x-y|$ 1 $d_{1}(x,y)=|x-y|$ ( $d_{1}(x,y)=|x-y|$ , $d_{1}(x,y)=|x-y|$ ) $d_{1}(x,y)=|x-y|$ - $d_{1}(x,y)=|x-y|$ y \ $displaystyle d_$ ${1$ $}(x$ $,y$ ) = $d_{1}(x,y)=|x-y|$ x - $y$ $d_{1}(x,y)=|x-y|$ } $\mathbb {R}$ 、 $d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.$ 2 ( $d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.$ , $d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.$ ) $d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.$ - $d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.$ . $d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.$ \ $displaystyle d_{2$ }(x $d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.$ , $d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.$ y ) = \ $left$ ^ { $x$ } ^ { e } 로 $d_{2}(x,y)=\left|e^{x}-e^{y}\right|.$ . $\mathbb {R$ $\{(x,y):|x-y|<1\}$ , 균일한 구조는 구별됩니다 $\{(x,y):|x-y|<1\}$ ( $x$ , $\{(x,y):|x-y|<1\}$ y ) $\{(x,y):|x-y|<1\}$ : $\{(x,y):|x-y|<1\}$ - y < $1$ } ( $x$ $,$ y ) : $x$ - y < $1$ \ $\{(x,y):|x-y|<1\}$ }는 $\{(x,y):|x-y|<1\}$ $d_{1}(x,y)$ $d_{1}(x,y)$ , $y )$ 의 $d_{1}(x,y)$ 균일한 구조의 어텐던트이지만 $d_{2}(x,y).$ $d_{1}(x,y)$ $d_{2}(x,y).$ ( $d_{2}(x,y).$ , y $d_{2}(x,y).$ )의 $d_{2}(x,y).$ 는 $제외됩니다.$ } 비공식적으로 $d_{2}(x,y).$ 이 예는 통상적인 균일성을 취하여 연속적이면서도 불균일한 함수의 작용에 의해 왜곡된 것으로 볼 수 있다 $.$
$V\subseteq G\times G$ V × $V\subseteq G\times G$ $(\$ $style$ V\ $subseteq$ G\ $times$ G $)$ 를 $V\subseteq G\times G$ 어텐더로 정의하면 모든 $토폴로지$ $그룹$ G(특히 모든 토폴로지 벡터 공간)가 균일한 공간이 됩니다 $\{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}$ x , $y$ ) $\{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}$ $\{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}$ y - 1 $（ x$ style ） $\{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}$ G의 $ID$ 요소의 neighbor $U$ $({displaystyle$ G $}{$ $displaystyle$ G}}{displaystyle G $}$ 의 $G.$ $G$ $G,$ 이 균일한 구조를G의 $오른쪽$ 균일성이라고 합니다 $a\in G,$ $a\in G,$ G의 $모든$ G에 대해 { $x\to x\cdot a$ $a$ $\$ $in$ G $}$ 의 $a\in G,$ 오른쪽 $x\to x\cdot a$ x $x\to x\cdot a$ { $displaystyle$ x\ $to x\cdot$ }이기 $U$ 때문입니다 $.$ 이 균일한 구조에 관해 균일하게 연속적입니다.또한G에서 $왼쪽$ 균일성을 정의할 수도 있습니다 $.\displaystyle$ G $;\$ displaystyle $G;$ G $.\displaystyle$ G로둘 다 특정 토폴로지를 $G.$ 합니다.
토폴로지 $그룹$ G(\ $displaystyle$ G $)$ 와 $G$ 그 $H\subseteq G$ 그룹 H $(\displaystyle$ H $\subseteq$ G $)$ 에 $H\subseteq G$ 대해 왼쪽 코세트 $(\displaystyle$ G $/H)$ 는 $G/H$ 다음과 같이 정의된 균일성 $(\displaystyle \Phi)$ 에 $\Phi$ 대해 균일한 공간이다.는 U ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ ~ ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ { ( ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ s , ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ ) ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ G ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ / H ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ × G ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ / ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ : ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ ∈ ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ , ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ { $displaystyle$ { $U$ } = \ { ( s , $t$ ) \ $in G$ / H : $\ t$ \ $in$ U \ cdot s \ } 를 ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ ${\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\},$ 합니다. $여기서$ U\ $style$ 은 U $/$ $H\ cdot$ s\ cdots $\$ } 를 $U$ 실행합니다. $Phi .}$ G $\Phi .$ $/H$ 에 $G/H$ 하는 $G/H$ 유도 토폴로지는 $g\to G/H.$ 도 g $g\to G/H.$ $g\to G/H.$ $.\displaystyle$ g $\to$ G/ $H$ 로 정의되는 몫 토폴로지와 같다 $.$
단순한 토폴로지는 데카르트 $X\times X$ X × $X\times X$ (\ $displaystyle$ X\ $times$ X) 전체가 $X\times X$ 유일한 어텐던트인 균일한 공간에 속합니다.

역사

1937년 André Weil이 균일한 구조의 첫 번째 명확한 정의를 제시하기 전에, 완전성과 같은 균일한 개념은 미터법 공간을 사용하여 논의되었다.니콜라스 부르바키는 Topologie Généale이라는 책에서 균일한 구조의 정의를 제시했고 John Tukey는 균일한 커버 정의를 제시했습니다.Weil은 또한 의사 측정학 계열의 관점에서 균일한 공간을 특성화했다.

「」를 참조해 주세요.

거친 구조
전체 메트릭 공간 – 메트릭 지오메트리
완전한 토폴로지 벡터 공간– 점차 가까워지는 포인트가 항상 한 포인트로 수렴되는 TV
완전히 통일 가능한 공간
토폴로지의 필터– 모든 기본적인 토폴로지의 개념과 결과를 설명하고 특징짓기 위해 필터를 사용합니다.
근접 공간 – 서브셋 간의 "근접" 개념을 설명하는 구조
공간(수학) – 구조가 추가된 수학 집합
균일한 컨버전스의 토폴로지
균일한 연속성 – 기능 변경에 대한 균일한 구속
균등 동형 – 균등 연속 동형
균일한 특성 – 균일한 위상 공간의 범주에서 연구 대상
균등하게 연결된 공간 – 균일한 공간의 유형

레퍼런스

^ "IsarMathLib.org". Retrieved 2021-10-02.

니콜라 부르바키,Topologie Générale (), ISBN 0-387-19374-X(1-4장), ISBN 0-387-19372-3(5-10장):제2장은 균일한 구조에 대한 포괄적인 참고 자료이며, 제9장 § 1은 유사측정학을, 제3장 § 3은 위상군에 대한 균일한 구조를 다룬다.
1989년 베를린, Ryszard Engelking.
존 R. 이스벨, ISBN 0-8218-1512-1
I. M. James, ISBN 0-521-38620-9
I. M. James, ISBN 0-387-96466-5
존 투키, ISBN 0-691-09568-X
앙드레 베유, 1937년 파리, 과학, 인디아 551호

[isarmathlib_UniformSpace_ZF_2-1] "IsarMathLib.org". Retrieved 2021-10-02.

[1]

v t 토폴로지
필드	일반(포인트 세트) 대수적 조합 연속체 차동 기하학 저차원의 호몰로지 코호몰로지 집합 이론 디지털.
주요 개념	오픈 세트 / 클로즈드 세트 내부 연속성 공간 작은 연결된 하우스도르프 미터법 균일한 호모토피 호모토피군 기본군 단순 복합체 CW 콤플렉스 다면체 복합체 다지관 번들(수학) 두 번째 셀 수 있는 공간 코보디즘
메트릭 및 속성	오일러 특성 베티수 권선번호 체른 번호 방향성
주요 결과	바나흐 고정점 정리 드 람의 정리 영역의 불변성 푸앵카레 추측 티코노프의 정리 유리손의 보조군
카테고리 수학 포털 위키북 위키 다양성 토픽 일반적인 대수적 기하학적 출판물

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목차

정의.

수행원의 정의

의사 측정법 정의

균일한 커버 정의

균일한 공간의 토폴로지

통일 가능한 공간

균일한 연속성

완전성

하우스도르프 균일한 공간의 완성

예

역사

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