이웃(수학)

수학의 위상 및 관련 영역에서 이웃(또는 이웃)은 위상학 공간의 기본 개념 중 하나이다. 오픈 세트와 인테리어의 개념과 밀접한 관련이 있다. 직관적으로 말하면, 점의 인접성은 그 점을 포함하는 점들의 집합으로, 그 점으로부터 어떤 방향으로든 세트를 떠나지 않고 이동할 수 있다.

정의들

점의 인접성

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$이(가) 위상학적 공간이고 p ${\$$displaystyle$ p$}$이(가) X${\displaystyle }$, ${\$displaystyle $X$의 점인 경우$,$ $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$$p$}$의 인접$$ 영역은 $p$ ,${\displaystytyle p}$을 포함하는 X ${\}$의$$부분 집합 $V {\$disp {\displaystystystystythealep {\c.

이는 $또한{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$. ${\displaystyle X}$에서 V ${\displaystyle V}$의 위상학적 내부에 속하는$$ p${\displaystyle }p{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in X}$ 지점과 동등하다.

인접 $지역{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$은(^[1]는) 열린 하위 $집합{\displaystyle }$ X${\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$이(가) 될 필요는 없지만$$, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) X ${\displaystystyle X}$에서 열려 있으면 열린 인접 영역이라고 한다. 일부 저자들은 이웃을 개방하도록 요구하는 것으로 알려져 왔기 때문에 관례를 주목하는 것이 중요하다.

각각의 포인트의 이웃인 세트는 각각의 포인트를 포함하는 오픈 세트의 조합으로 표현될 수 있기 때문에 개방된다. 그림에서와 같이 직사각형은 모든 점의 인접 지역이 아니다; 직사각형의 가장자리나 모서리에 있는 점들은 직사각형 안에 포함된 어떤 열린 집합에도 포함되지 않는다.

어떤 점의 모든 이웃들의 모음을 그 점에서는 이웃 제도라고 부른다.

집합의 인접성

If ${\displaystyle S}$ is a subset of topological space ${\displaystyle X}$ then a neighbourhood of ${\displaystyle S}$ is a set ${\displaystyle V}$ that includes an open set ${\displaystyle U}$ containing ${\displaystyle S.}$ It follows that a set ${\displaystyle V}$ is a neighbourhood of ${\displaystyle S}$ if and only if it is a neighbourhood of all the points in ${\displaystyle S.}$ Furthermore, ${\displaystyle V}$ is a neighbourhood of ${\displaystyle S}$ if and only if ${\displaystyle S}$ is a subset of the interior of ${\displaystyle V.}$ A neighbourhood of ${\displays$$X$ ${\displaystyle X}$의 오픈 서브셋인 $Tyle S}$은 S$$${\displaystyle .}$ ${\displaystyle S.}$ 포인트의$$ 인접성은 이 정의의 특별한 경우일 뿐이다.

미터법 공간에서

미터법 공간 $M{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle d}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ M$=(X,d)}$에서, $중앙{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle$ $V}$과$($와)r > {\$displaystyle r>0$이 있는 오픈 볼이 있는 경우$$, $설정$된 V ${\$$displaystystyle$ V}은 $점{\displaystyle }$ p ${\d}$의 인접이다.

$V{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ V$.}$에 포함되어 있음

${\displaystyle }$$V{\displaystyle }$${\displaystyle V}$은$($는) S , {\$displaystyle$ S,}의$$ 모든 요소 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$과(와) $같은{\displaystyle }$ 양의$$숫자 r {\$displaystyle$ r$}$이(가$)$ 있는 경우$$ 세트 $S{\displaystyle }$ {\$displaystystyle$ S}의 균일한 인접도로 불린다$$.

$V{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ V$.}$에 포함되어 있음

r>로 0, X{X\displaystyle}에서 거리에 있는 모든 지점 r{r\displaystyle}보다 S에서{S\displaystyle}(또는 동등하게, Sr{년 이하의 집합 S{S\displaystyle}의 r{r\displaystyle}-neighbourhood Sr{\displaystyle S_{r}}집합{\displaystyle r>0,}.displa$ystyle$ $S_{r}$은($$는$)$$$S {\$displaystyle$ S$}$의 한 지점에 중심이 맞춰진 $모든$ r ${\displaystyle r$의$오픈 볼$의 조합이다$.$$}$

$r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$ -neighbourhood는$$ 균일한 인접 지역이며, 집합이 ${\$$displaystyle$ r$}$의 일부 값에 대한 $r{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle r}$ -neighbourhood를$$ 포함하는 경우에만 균일한 인접 지역이라는 사실을 직접적으로 따른다.

예

일반적인 유클리드 메트릭과 다음으로$$ 정의된$$ 부분 $집합{\displaystyle }$ V ${\$$displaystyle \mathb {R}$의 실제 숫자 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle$ V$}$이(가) 제공됨

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) 자연수 N$$ ${\$집합의 인접성이지만 이 집합의 동일한 인접성은 아니다.

인접 지역의 토폴로지

위의 정의는 오픈 세트의 개념이 이미 정의되어 있는 경우에 유용하다. 토폴로지를 정의하는 다른 방법이 있는데, 먼저 인접 시스템을 정의한 다음, 각각의 점의 인접성을 포함하는 집합으로 세트를 여는 것이다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 인접 시스템은 $X{\displaystyle }$${\displaystyle }$${\displaystyle$ $X$$}$의 각 x , ${\displaystyle$ X$}$에 대한$$ $필터{\displaystyle }$ N${\displaystyle (x}$)$${\$displaystyle N(x)}$을(를) 할당하는 것으로$$, $다음$과 같다$.$

1. 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는) $N{\displaystyle (x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle N(x)}$에서 각 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$의 요소임
2. each ${\displaystyle U}$ in ${\displaystyle N(x)}$ contains some ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle N(x)}$ such that for each ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle U}$ is in ${\displaystyle N(y).$$}$

하나는 두 정의가 모두 호환된다는 것을 보여줄 수 있다. 즉, 오픈 세트를 사용하여 정의한 인접 시스템에서 얻은 위상이 원래 위상이며, 반대로 인접 시스템에서 시작할 때는 위상이 원래 위상이 된다.

균일한 이웃

In a uniform space ${\displaystyle S=(X,\Phi ),}$ ${\displaystyle V}$ is called a uniform neighbourhood of ${\displaystyle P}$ if there exists an entourage ${\displaystyle U\in \Phi }$ such that ${\displaystyle V}$ contains all points of ${\displaystyle X}$ that are ${\display$$스타일 U}$ - $P{\displaystyle ;}$ ${\displaystyle P;}$의 일부 ${\displaystyle \mathrm{지점}}$, ${\displaystyle 즉}$ 모든 $x{\displaystyle \{}$ P$.$ {\$displaystyle U[x$]\subseteq $V}$의 U.${\displaystyle }$${\displaystyle x\in$ P$.}$에 대한$$ $일부{\displaystyle }$ 지점 ${\displaystyle \mathrm{가까이}}$에 있음

삭제된 인접 지역

위치한 지점 p의 삭제된 이웃 p의{p\displaystyle}(가끔 구멍이 나서 이웃이라고 불리는)은 이웃,{p}.{\displaystyle\와 같이{p\}없이{\displaystyle p,}. 예를 들어}, 간격(− 1,1)){y:− 1<> 베<1}{\displaystyle(-1,1)=\{y:-1<, y<, 1\}}은 이웃. p=0{\d$isplaystyle p=0}$ in the real line, so the set ${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$ is a deleted neighbourhood of ${\displaystyle 0.}$ A deleted neighbourhood of a given point is not in fact a neighbourhood of the point. 삭제된 인접성의 개념은 함수의 한계 정의와 한계점의 정의(다른 것들 중)에서 발생한다.

참고 항목

• 근린제도
• 지역(수학)
• 관상동네

참조

• Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2694-8.