베이어 스페이스

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In mathematics, a topological space ${\displaystyle X}$ is said to be a Baire space, if for any given countable collection ${\displaystyle \{A_{n}\}}$ of closed sets with empty interior in ${\displaystyle X}$, their union ${\textstyle \bigcup _{n}A_{n}}$ also has empty interior in ${\di$$splaystyle X$^[1] 동등하게, 그 자체로 미약하지 않은 국소 볼록한 공간을 Baire 공간이라고 부른다.^[2]바이어 범주 정리에 따르면 컴팩트한 하우스도르프 공간과 완전한 미터 공간은 바이어 공간의 예다.^[3]부르바키는 "바이어 스페이스"라는 용어를 만들었다.^[4]

동기

임의의 위상학 공간에서 빈 내부가 있는 폐쇄형 집합의 클래스는 밀도가 높은 오픈 집합의 경계로 정밀하게 구성된다.이 세트들은, 어떤 의미에서는, "결점"이다.일부 $예$로는 R${\displaystyle }$,$${\$displaystyle \mathb {R}$의 유한 집합$,$ 평면의 부드러운 곡선, 유클리드 공간의 적절한 부속공간 등이 있다.위상학적 공간이 바이어 공간이라면 그것은 "크다"로, 이는 무시할 수 있는 하위 집합의 셀 수 없는 결합이 아니라는 것을 의미한다.예를 들어, 3차원 유클리드 공간은 그 부속 평면의 셀 수 없는 결합이 아니다.

정의

바이어 공간의 정확한 정의는 대부분 보편적인 필요와 관점으로 인해 역사를 통해 약간의 변화를 겪었다.위상학적 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하는 경우 Baire 공간이라고 한다$$.

1. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$의 비어 있지 않은 모든 열린 부분 집합은 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 비어 있지 않은 부분 집합이다$.$^[5]
2. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 comeagre 하위 $집합$은 X ${\displaystyle X$
3. 밀도가 높은 밀도 하위 집합(즉, 닫힌 하위 집합의 내부 공간이 비어 있음)의 카운트 가능한 집합의 조합은 비어 있는 내부를 가지고 있다.^[5]
4. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서 밀도가 높은 오픈 세트의 모든 교차점은$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$^[5];
5. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 닫힌 서브셋의 조합에 내부 지점이 있을$$ 때마다 닫힌 서브셋 중 하나 이상이 내부 지점이 있어야 한다.
6. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 점에는 배어 공간인 근린(이 정의 조건 이외의 다른 조건에 따라)이 있다$$.^[5]
   • 따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) "로컬하게 Baire 공간"인 경우에만 Baire 공간이다$$.

충분한 조건

바이어 범주 정리

바이어 범주 정리는 위상학적 공간이 바이어 공간이 되기 위한 충분한 조건을 제공한다.위상과 기능 분석에서 중요한 도구다.

• (BCT1) 모든 완전한 가성 공간은 바이어 공간이다.^[5]보다 일반적으로, 완전한 유사 공간의 열린 부분 집합에 대해 동형인 모든 위상학적 공간은 바이어 공간이다.특히, 모든 완벽하게 메트릴 수 있는 공간은 베이어 공간이다.
• (BCT2) 모든 지역적 컴팩트한 하우스도르프 공간(또는 보다 일반적으로 지역적으로 컴팩트한 모든 술자리 공간)은 바이어 공간이다.

BCT1은 다음과 같은 각각의 공간이 Baire 공간임을 보여준다.

• 실제 숫자의 $R$ ${\$ {R$} 공간$
• 비합리적인 숫자의 공간, 이것은 베이어 공간 ${\displaystyle {\Omega }^{}}$ ${\$에 대한 동형이다.
• 모든 콤팩트한 하우스도르프 공간은 바이어 공간이다.
  • 특히 칸토어 세트는 베이어 공간이다.
• 사실 폴란드 공간은 다.

BCT2는 파라콤팩트가 아니더라도 모든 다지관은 바이어 공간이며 따라서 메트리징이 가능하지 않음을 보여준다.예를 들어, 긴 줄은 두 번째 범주의 것이다.

기타 충분한 조건

• 완전한 미터법 공간의 산물은 바이어 공간이다.^[5]
• 위상학적 벡터 공간은 모든 닫힌 균형 흡수 부분집합이 비어 있지 않은 내부를 가질 때에만 발생하는 ^[5]Baire 공간인 경우 및 경우에만 발생한다.^[6]

예

• 공간 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$는) 일반적인 위상이 있는 실제 숫자의 공간이며$$, Baire 공간이며, 그 자체로 두 번째 범주의 공간이기도 하다.합리적인 숫자는 첫 번째 범주의 것이고 불합리한 숫자는 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\${R$}$의 두 번째 범주의 것이다$.$
• 또 다른 큰 등급의 바이어 공간은 자리스키 위상(Zariski topology)을 가진 대수적 품종이다.For example, the space ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ of complex numbers whose open sets are complements of the vanishing sets of polynomials ${\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ is an algebraic variety with the Zariski topology.일반적으로 이 $값$은 A ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$로 표시된다$.$
• 칸토어 세트는 베이어 공간이며, 그 자체로 두 번째 범주가 되지만, 일반적인 위상과 함께$$${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [0,1]$ 간격의 첫 번째 범주에 속한다.
• 다음은 Lebesgue 측정값$$ {\$displaystyle \$$mathb$$${$R}$ $}$의 두 번째 범주 집합 예$:$

  ${\displaystyle \bigcap _{m=1}^{\inflt _{n1}^{n=1}{n}-}-({\tfrac {1}{1}2}})^{n+m}^{n1}{\tfrac{1}{1}:{n}@}\rig}}}오른쪽)}$

  여기서${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은 합리적인 숫자를 열거하는 순서다$$.
• 실수로부터 물려받은 일반적인 위상과의 합리적 숫자의 공간은 Baire 공간이 아니라는 점에 유의하십시오. 이 공간은 내부, 단골격 없이 닫힌 많은 집합의 조합이기 때문이다.

비예시

첫 번째 비예시 중 하나는 표준 유클리드 위상이 있는$$ 실제 라인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$mathb {Q$$}$$}$ 안에$$ 있는 합리성 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$mathb {$Q}}}의 유도 위상으로부터 나온다.Given an indexing of the rationals by the natural numbers ${\displaystyle \mathbb {N} }$ so a bijection ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {Q} ,}$ and let ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left(A_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ where ${$$\displaystyle A_{n}:=\mathbb {Q} \setminus \{f(n)\},}$ which is an open, dense subset in ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ Then, because the intersection of every open set in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is empty, the space ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ cannot be a Baire space.

특성.

• 비어 있지 않은 모든 Baire 공간은 그 자체로 두 번째 범주에 속하며, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 셀 수 없이 많은 밀도 높은 오픈 서브셋의 교차점은 비어 있지 않지만$$, 이 두 가지 중 어느 것도 사실이 아니며, 이는 이성들의 위상학적 분리 합계와 단위 간격$[$ 1 ${\displaystyle ]}$ . ${\displaystystylem$ [$0, 1]$에서 알 수 있다.$}$
• Baire 공간의 모든 열린 하위 공간은 Baire 공간이다.
• 연속 함수 $f{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{n}:$$X\to Y}$= with pointwise limit ${\displaystyle f:X\to Y.}$ If ${\displaystyle X}$ is a Baire space then the points where ${\displaystyle f}$ is not continuous is a meagre set in ${\displaystyle X}$ and the set of points where ${\displaystyle f}$ is continuous is dense in ${\displaystyle X.$$}}$ 이것의 특별한$$ 경우는 균일한 경계 원칙이다.
• Baire 공간의 닫힌 부분집합이 반드시 Baire는 아니다.
• 두 개의 Baire 공간의 산물이 반드시 Baire는 아니다.그러나, 임의로 많은 바이어 공간의 제품이 다시 바이어라고 보장할 충분한 조건이 존재한다.

참고 항목

• 바이어 공간(set 이론)
• 바나흐-마주르 게임
• 배럴드 스페이스
• 서술 집합론
• 메그레 세트
• 노점 조밀 세트
• 바이어의 재산
• 블럼버그 정리

인용구

참조

외부 링크

• 베이어공간에 관한 수학기사 백과사전
• 바이어 정리 수학 백과사전