볼록함수

수학에서, 함수의 그래프에서 두 점 사이의 선분이 두 점 사이의 그래프 위에 있으면, 실수치 함수는 볼록함수라고 불립니다.마찬가지로, 함수의 에피그래프(함수의 그래프 위 또는 위의 점들의 집합)가 볼록 집합일 경우 함수는 볼록하다.단일 변수의 두 번 미분 가능한 함수는 두 번째 도함수가 전체 ^[1]영역에서 음이 아닌 경우에만 볼록하다.단일 변수의 볼록함수의 잘 알려진 예로는 $2차함수{\displaystyle {}^{}}$ x $2(\$$2$})와 ${\displaystyle {지수함수}^{}}$e x(\$displaystyle e^{$x$\})$가 있다. 쉽게 말해 볼록함수는 그래프가 컵 ${\$ {\$displaystyle \cup$인 함수와 오목함수이다.그래프는 캡 모양입니다$.\$ $display$style \ $cap$。

볼록함수는 수학의 많은 영역에서 중요한 역할을 한다.그것들은 많은 편리한 특성으로 구별되는 최적화 문제에 대한 연구에서 특히 중요하다.예를 들어, 열린 집합의 엄밀하게 볼록한 함수는 최소값을 하나 이상 갖지 않습니다.무한 차원 공간에서도 적절한 추가 가설 하에서 볼록 함수는 그러한 성질을 계속 충족시키고 그 결과 변이 계산에서 가장 잘 이해되는 함수이다.확률론에서, 랜덤 변수의 기대치에 적용되는 볼록함수는 항상 랜덤 변수의 볼록함수의 기대치에 의해 위에 경계된다.옌센 부등식으로 알려진 이 결과는 산술-기하 평균 부등식과 쾰더의 부등식과 같은 부등식을 추론하는 데 사용될 수 있다.

정의.

$(\displaystyle$ X$)$를 실 벡터 공간의 볼록 부분 집합으로 $하고{\displaystyle }$ f${\displaystyle :X}$ ${\displaystyle \to }$ $(\$ f$:X\to$ \$mathbb {R})$을 함수로 하자.

$\displaystyle$f는$$ 다음 중 하나의 조건이 충족되는 경우에만 볼록이라고 합니다.

1. $모든{\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle t}$ t$$ 1 { $displaystyle$0 \ $leq$ t \ $leq$ 1$$}${\displaystyle {}_{}{및\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {모든\mathrm{}}_{}}$ x 1, x 2$X$ { \ displaystyle $x_{1$},$x_{$2} \ $in$X :
   $${\displaystyle f\left(x_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$

   
   오른쪽은$fstyle$ 함수의 $그래프$에서 (${\displaystyle x{}_{}}$ 1,$f$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1)${\displaystyle {}_{}}$\$displaystyle \$$left$$( x _$ {1$}$ $\ right )$$\}{\displaystyle }$ 와$$$$ ( x${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$,$f$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2)$$\ $displaystyle \$ left ( x _ {$2$ )${\displaystyle }$\ displaystyle \$left$ ( x _ {$2$ ) \ right$) 사이의$직선을 나타냅니다$.$t$\$$displaystyle$t를$0$에서$1$로 $접거나{\displaystyle }$ t$\$$displaystyle$$$t를$1$에서$0$으로 $줄이면{\displaystyle }$ 이 행이 스위프됩니다$.$마찬가지로 왼쪽 $함수{\displaystyle }$ f${displaystyle$ f$}$의 인수는$$$($$x\displaystyle$x_${1})$과 $($x\displaystyle $x_{2})$ $사이$의 직선 또는$$x${$$displaystyle$ x$}($$x{\displaystyle }$\$displaystyle$ f$)$의 $그래프{\displaystyle }$ 축을 나타내므로 이 조건이 충족됩니다.f$\displaystyle$ f$$$}$ $곡선$의 점 쌍 사이의 직선이 그래프 위에 있거나 그래프와 ^[2]만나는 것을 확인합니다.
2. 모든 < < \ $style$0 < $t$< $1$>및 ${\displaystyle {모든\mathrm{}}_{}}$ x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}x}$X ( x $1$, $x _${ 2 } \ $in$X )에$$ $대해서{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ \ $display style$ x _ { $1$} \ $neq$ x$_$ {$$2$$} :
   $${\displaystyle f\left(x_{1}+(1-t)x_{2}\right)\leq tf\left(x_{1}\right)+(1-t)f\left(x_{2}\right)}$$

   
   위의 첫 번째 조건과 관련된 이 두 번째 조건의 차이점은 이 조건에는 교차점$($예를 들어 (${\displaystyle x}$1,${\displaystyle {}_{}}$ ($x$1)\$displaystyle$\left ($x_{1}\$right$)\$right$$)}${\displaystyle 및{}_{}}$ (${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}2}$, f${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$2)\$displaystyle \$left ($x_{2}\$right$)\x2$)가 포함되지 않는다는 것입니다.$right$ f$($$이$ 조건의 오른쪽에서 직선은 f$'($$x1{\displaystyle }$) † f(x1) {$displaystyle$ f$;}$의 $곡선{\displaystyle }$ 중 첫 번째 조건은 f$)$가 되는 교차점을 포함합니다.${\displaystyle \mathrm{playstyle}}$ f\$left$$(x_{1}\right)\leq$ f$\$$left$$(x_{1}\$left$)$ 또는$$ $f$ 2) ${\displaystyle {}_{}}$ f(x 2)\$left(x_$$$${$2$$}\right) ${\displaystyle {}_{}}$$$0 {$style$f\left$($$x_{2$$}\$left(x_right${\displaystyle )\}}$에서 f$($x2) $또는{\displaystyle }$ $f{\displaystyle {}_{}}$($x$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)$$를 선택합니다$.$} 실제로$$ 교점은 볼록한 상태에서 고려할 필요가 없다$.$
   $$ftf\)f\displaystyle f\left(x_{2}+(1-t)\left(x)\left)\left_{x}$$

   
   $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1 )${\displaystyle f}$f ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1$$)$display$f ( \ $displaystyle$f \ left ( $x$_ { 1 \ $right$)\$leq$f \$left$ ( $x$$$_ ${$$1$\ $right$ $)$$및$ f ( ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle f}$f ( ${\displaystyle {}_{}}$ 2) f f ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2$)\$ f$\left$( $x${ 2 )\ left ( $right$)는$$ 항상 도움이 되지 않습니다.

$실선{\displaystyle \mathbb{}}$ R$(\$에서 값이 매겨진 볼록함수를 특징짓는 두 번째 문장은 확장실수행${\displaystyle }$[ -${\displaystyle }$、 ${\displaystyle ]}$] ${\displaystyle =}$ { ± ${\displaystyle \}}$, { $display$ style [ - \$infty$ , \ $infty$ ] = \ $mathbb {$ R } \ pm } \ pm { \ $pm$} \ pm } \ cupty } \ cupty ${\displaystyle convex\mathbb{}}$ convex convex convex convex convex convex convex convex convex convex convex convex convex convex convex$함수{\displaystyle }$f {\$displaystyle$ f$}$는 ±${\$ {\$displaystyle \pm \infty}$를 값으로 취할 수 있습니다(단, 필수는 아닙니다).첫 번째 문은 t$\$$displaystyle$t가$$0$($$x$ 1) $또는$ 1$(x1$)을$$ $값$으로 사용할 수 $있기{\displaystyle }$ 때문에 사용되지 않습니다. 이 경우${\displaystyle {}_{}}$($=$ ± ${\$ { \ $displaystyle$ f$\$$left(x_{1$}\$right$)=\$pm \infty }$ $또는$ f${\displaystyle ({x\mathrm{}}_{}}$ 2)${\displaystyle {}_{}\mathrm{=}}$ ±$displaystyleft,$ {\$displaystyleft f_2}$ ($x}$ (x2)의 $경우$입니다.$y{\displaystyle }$, ${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle {}_{}1}$ )${\displaystyle }$+${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$- t )${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ( $x$2$$){ $displaystyle$ tf \$left$( x _ { 1 \ right $)+$ ($1 -$ )f \$left$ ( x _ {$2}$ \ $right$)는 정의되지 않습니다({$style$0 \ $cdot$\ $infty }$$및$ 0${\displaystyle }$$display$${\displaystyle }$( -${\displaystyle }$cdot$$\ $inftylefty$ ) styleftyledisplay 0 \ $cdisplay$ 0 \ infty ) $style$ ( \ cdisplay \ inftyleftyle ) style ( - cdisplay 0합계${\displaystyle }$- ${\displaystyle +}$ + ${\$ { $display$ style - \ $infty$+ \ $infty }$도 정의되어 있지 않기 때문에 볼록 확장 실수치 함수는 일반적으로 ${\$ { $displaystyle$- \ $infty$}와${\displaystyle }$+ $（$ \ $displaystyle$+ \ $infty }$${\displaystyle }$중 하나만 값으로 사용할 수 있습니다.

두번째 진술은 또한 엄격한 볼록 면의 후자는 엄격한 불평등<>로≤{\displaystyle \,\leq\와 같이,}를 대체함으로써 얻는 정의, 필요.{\displaystyle \,&lt을 말한다.}명시적으로, 지도가 f{\displaystyle f}은 엄격하게 볼록 모든 실수 0<>에 만일, t &l라고 불린다 수정할 수 있습니다.t;1{\dis$playstyle$0 < $t$< $1$>및 $모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{}_{}}$, x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}x}$X(x$$1 x ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$$$_ {$1$ , x$_$ { $2$} \ $in$X )를 지정합니다$$.${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2 \ $displaystyle x$_ { $1$} \ $neq x$_ {$2$} :

엄밀하게 볼록한 $함수{\displaystyle }$ f${$$displaystyle$ f$}$는 직선$f$와 곡선 f 사이의 교차점을 제외하고 $곡선{\displaystyle }$ f{$displaystyle$ f} 위의 임의의 한 쌍의 점 사이의 직선이 $곡선{\displaystyle }$ f${displaystyle$f} 위에$$ 있는 함수이다.

f$($$f$$)$에 -1을$$ 곱한 경우${\displaystyle }$f{$displaystyle$ f$}$의 함수는 오목(resp. strictly colve)이라고 한다.

대체 이름 지정

볼록한 용어는 흔히 볼록한 아래로 또는 위로 오목한 것으로 언급되며, 오목한 용어는 종종 아래로 오목하거나 위로 ^[3][4][5]볼록한 것으로 언급됩니다."up" 또는 "down" 키워드를 지정하지 않고 "colvex"라는 용어를 사용하는 경우, 이는 엄밀하게 컵 모양의 그래프 ${\$ { $displaystyle \cup$ $\}$을 참조합니다.예를 들어 Jensen의 부등식은 볼록함수 ^[6]또는 볼록함수를 포함하는 부등식을 말합니다.

특성.

볼록함수의 많은 특성은 많은 변수의 함수에 대해 하나의 변수의 함수에 대한 것과 동일한 단순한 공식을 가진다.변수 중 일부는 한 변수의 함수에 대해 나열되지 않으므로 변수가 많은 경우 아래의 속성을 참조하십시오.

한 변수의 함수

• f$\displaystyle$f가 간격에$$ 정의된 하나의 실제 변수의 함수라고 $가정$하고,
  $${\displaystyle R(x_{1},x_{2})=f(x_{1}-f(x_{1}){x_{2}-x_{1}}}$$

  
  (${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$2$$) { $displaystyle$R ( $x$_ {$1$ , $x$_ { $2$} )는$$ 위 도면의 보라색 선의 $기울기$입니다$.R$ { $displaystyle$R }은 ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}{}_{}}$, $x$2${\displaystyle }),{\displaystyle }${ $displaystyle (x_{1$}, $x_2})$에서 대칭이며$,$ R {$displaystyle$$$R은$$x $1$을 $교환$하여 변경되지 $않습니다{\displaystyle }$.1$}}$ $및$ 2({$displaystyle$$x_{$2}}).$$$$f({$displaystyle$f$})$는 R${\displaystyle ({}_{}{}_{}}$1, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2$)($${\displaystyle {x\_\mathrm{}}_{}}$${$$1$$},$$$$x_${2})가 단조롭게 감소하지 않는 $경우$에만 볼록합니다$($$그$ $).$이러한 볼록성의 특성은 다음과 같은 결과를 증명하는 데 매우 유용하다.
• $.\displaystyle$ C$$$.\$displaystyle c$.\$displaystyle f.\$displaystyle$ f.는 C$.\displaystyle$ C$.\$displaystyle f$.$로 정의되어 있는 하나의 실제 변수의 $볼록함수{\displaystyle }$ f$\displaystyle$ f$.$는 좌도함수와 우도함수를 허용하며 이는 단조적으로 감소하지 않는다.$그$ 결과$$$f$는 $전혀{\displaystyle }$구별이 가능하지만$,$ 많아야 많은 점에서$f$가 구별이 불가능한 집합은 여전히 조밀할 수 있습니다.C$(\displaystyle$ C$)$가 닫혀 있는 $경우{\displaystyle }$ C$(\displaystyle$ C$)$의 $엔드{\displaystyle }$ 포인트에서 f$(\displaystyle$ f$)$가 연속되지 않을 수 있습니다(예: 섹션 참조).
• 한 변수의 미분 가능한 함수는 그 도함수가 그 구간에서 단조롭게 감소하지 않는 경우에만 구간에서 볼록하다.함수가 미분 가능하고 볼록한 경우, 연속적으로 미분할 수도 있습니다.
• 한 변수의 미분 가능한 함수는 그래프가 모든 ^{[7]: 69} 접선 위에 있는 경우에만 구간에서 볼록합니다.
  $${\displaystyle f(x)\geq f(y)+f'(y)(x-y)}$$

  
  모든 $($$)$ 및 y$(x$$)$에 대해 간격에 표시됩니다.
• 한 변수의 두 배 미분 가능한 함수는 두 번째 도함수가 음이 아닌 경우에만 구간에서 볼록하다. 이것은 볼록성에 대한 실제적인 테스트를 제공한다.시각적으로, 두 번 구별 가능한 볼록 함수는 반대로 구부러지지 않고 "굽혀진다".만약 그 두 번째 도함수가 모든 점에서 양수라면, 함수는 엄밀하게 볼록하지만, 그 역수는 유지되지 않는다.예를 들어 f${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $($${\displaystyle )}$ ${\displaystyle =}$ $x$4(x^{$4})$의 2차 도함수는 f${\displaystyle \delta }$($x$)$=$ 12 x 2(x)= $12x^{$$2$$\})$이며, x $=$의 $경우{\displaystyle }$ $0$이지만 x $(x)$는 볼록한 값입니다$.$
  • 이 성질과 위의 성질은... 그 도함수는 단조롭게도 감소하지 않는다.f$display$ { $display$ style f$$}가 X$간격$에서 음이 아닌 경우 f$display$ { $display$ style f$$$$}는$$ X$간격$에서 단조롭게 $감소$하지 않는 반면 그 반대가 참이 아니기 때문에 "는 동일하지 않습니다$.$ 예를 $들어{\displaystyle {}^{}}$, f$display$ { $displaystyle$f'는 X 디스플레이에서 $단조$롭게 감소하지 않습니다.$스타일$X의$일부{\displaystyle }$ 포인트에서는 f ${\$ {\$displaystyle$f$\text{'}\}$가 정의되지 않은 상태에서 스타일 X를 선택합니다$$.
• f$(\displaystyle$ f$)$가 1개의 실수 변수의 볼록함수이고${\displaystyle }$f(0${\$ ${\displaystyle 0}$(\$displaystyle$ f$(0$)\$leq$ 0$)$인 경우$f$${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$f)는 양의 실수에 부가됩니다.$즉{\displaystyle }$, f$($+${\displaystyle }$b${\displaystyle )}$+ $)\displaystyle f(a+b)$는 양의 실수에 부가됩니다.$(\displaystyle$ b$)$

• 함수는 모든 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$1, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}\mu }$C {\$displaystyle x_{1$},$x_{$2}\$in$C에 대해 $구간{\displaystyle }$C {\$displaystyle$ C$}$의 중간점 볼록함수입니다.
  $${\displaystyle f\leftfrac {x_{1}+x_{2}}}{2}}\right)\leq {f(x_{1}+f(x_{2}}}{2}}.}$$

  
  이 상태는 볼록함보다 약간 약합니다.예를 들어, 중간점 볼록한 실수치 르베그 측정 가능 함수는 볼록하다: 이것은 시에르핀스키의 ^[8]정리이다.특히, 중간점 볼록한 연속 함수는 볼록할 것이다.

여러 변수의 함수

• 확장실수${\displaystyle }$[${\displaystyle }$-${\displaystyle \mathrm{},}$ , ${\displaystyle ]}$ ]$$${\displaystyle =}$${\displaystyle }$${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup }${ ±${\displaystyle \mathrm{}}$}$$ { $displaystyle$ [ -$,$、 \ $infty$, \ $infty$] $=$ { $displaystyle$ [ -$intfty$, \ $infty$ ] \ $mathbb {$ R = \ { r } \ { cup } \ { \ { \ $pm$} \ infty } \ infty } } only \ infty } is \ infty is$$ \ inf$$} \ \ $inf$ } is$$ \ $inf$ .
  $$\displaystyle \{(x,r)\in X\times \mathbb {R} ~:~r\geq f(x)\}$$

  
  볼록 집합입니다.
• 볼록 도메인 상에 정의된 미분 가능 $함수{\displaystyle }$ f${displaystyle$ f$}$는 f${\displaystyle (x)}$f${\displaystyle (y)}$ +${\displaystyle \mathrm{}}$f${\displaystyle (y)}$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ -${\displaystyle y}$) ${\displaystyle (}$ ( x - y )\ $displaystyle$$f(y)+\nabla$ f$(y)\cdot(x-y$$)$가 도메인 내의 모든${\displaystyle }x{\displaystyle }$, $y,$ y, y에 대해 유지되는 $경우$에만 볼록함수이다.
• 두 번째 편도함수의 헤시안 행렬이 볼록 집합 내부에 정의 반정의 행렬일 경우에만 여러 변수의 두 배 미분 가능한 함수는 볼록 집합 위에 볼록하다.
• $볼록함수{\displaystyle }$ f$,$ {{$displaystyle$ f의 경우 a ${\displaystyle \}}$ {$displaystyle$\{$x$$:f(x)<a\}$ 및${\displaystyle }$a $}$ {${\displaystyle x\mathbb{}}$$:f(x)\leq$ a$\}$ {displaystyle$\in\mathbbbr$$}$ $집합$은 다음과 같습니다$.$이 성질을 만족시키는 함수를 준볼록함수라고 하며 볼록함수가 될 수 없다.
• ${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ $볼록함수{\displaystyle }$ f$\displaystyle$ f$$$\display\display\operatorname {argmin},f}$ - 볼록함수 f\displayset이 된다.
• 볼록 함수의 국소 최소값도 전역 최소값입니다.엄밀하게 볼록한 함수는 최대 1개의 글로벌 ^[9]최소값을 가집니다.
• Jensen의 부등식은 모든 볼록 $함수{\displaystyle }$ f${displaystyle$ f$}$에 적용됩니다$.$X(\$displaystyle$ X)가$$ f$,$ {\$displaystyle$ f}, {\displaystyle f}, {\displaystyle f$}$의 $영역$에서 값을 취하는 랜덤 변수인 $경우{\displaystyle }$${\displaystyle ,}$ E$($ ( X ), {${\displaystyle \mathrm{E}\},}$\$displaystyle\operatorname {E}(F$}, {E}($x\$ge f}(\ge f}, {E}, \displaystyle f}의 $값$을 취합니다.$atorname {E}$은$($는) 수학적 기대치를 나타냅니다.실제로 볼록함수는 정확히 젠슨의 부등식 가설을 만족시키는 함수이다.
• 2긍정적인 변수의 하나의 변수에 들어 있는 볼록 한 일차 동차 함수){\displaystyle)}과는 y,{\displaystyle는 y,}(그것은, 함수 f을 만족시킨 x, y))긍정적인 real을 위한 f(), y){\displaystyle f(ax,ay)=af(x, y)}, x, y>0{\displaystyle a,x,y>0})convex해야 한다. 에서기타 ^[10]변수입니다.

볼록성을 보존하는 작업

• ${\displaystyle }$$-$ ${\displaystyle f}$ { displaystyle $-f$}는 f$$ { $displaystyle$ f$}$가 볼록한 $경우$에만 오목합니다${\displaystyle .}$
• r$${\$displaystyle$ r$}$이(가) 실수일 $경우{\displaystyle }$ f$${\$displaystyle$ f$}$가 볼록한 $경우$에만${\displaystyle }$r +$$ {\$displaystyle$r+$f}$가 볼록합니다.
• 음수가 아닌 가중 합계:
  • ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle w_{}}$ n${\displaystyle {}_{}0}$0 { $displaystyle$ w$_$ {1$}$ , \$ldots$$$, $w_$${$$}$ \ $geq$ 0$$} 및$$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle ...}$ , ${\displaystyle f_{}}$n { $displaystyle f_{1$} \$ldots$ ,$f_{$n$$} 이 모두 볼록형일 ${\displaystyle {경우\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+${\displaystyle }$f ${\displaystyle {}_{}}$ . { $display w_1}$+ $f_n$} + $.$} 특히$$ 2개의 볼록함수의 합은 볼록함수이다$.$
  • 이 속성은 무한 합계, 적분 및 기대값(존재하는 경우)까지 확장됩니다.
• 요소별 최대값: { ${\displaystyle f_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {ii}_{}}$I { $displaystyle$\ { $f$_ { $i$} _$$${ i$ \ $in$I} $。{\displaystyle }$$g{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) $=$ ${\displaystyle \underset{}{sup}}$ i${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$i (${\displaystyle x}$) { $displaystyle$ g$(x$)=\$sup$ _${i\in$ I$}f_{i}(x$)}는$$ 볼록형이다.$g{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )$${$display$ g$(x)}$의 도메인은 식이 유한한 점의 집합입니다.중요한 특수한 경우:
  • ${\displaystyle {f1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle {fn}_{}}${$style f_{1},\ldots,f_{n}$이 볼록함수인 $경우{\displaystyle {}_{}}$ $g{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle =max{}_{}}$ { ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$1 (${\displaystyle x}$) , ${\displaystyle ...}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n{}_{}\}}$ .$${ $displaystyle$ g$(x$ ) = \ $max$\ left \ { $f_{1}(x$, \ $ldots$) \ right } $。$$}$
  • 단스킨의 정리:f${\displaystyle (x,}$ $)$ {$displaystyle$ f$(x,y)}$가$$x {{$displaystyle$ x$}$로 볼록한 $경우{\displaystyle }$, $c{\displaystyle }$${displaystyle$$$c$}$가 설정되어$$ 있지 $않아도{\displaystyle }$ g$x$ $=$ ${\displaystyle {sup}_{}}$y$c$ ${\displaystyle {}_{}}$f$(x,y)$는$$x {\$displaystyle$x}로 볼록합니다.
• 구성:
  • f$${\$displaystyle$ f$}$ $및$ g {$displaystyle$g$}$가 $볼록함수$이고$g$ {\$displaystyle$ g$$}가 일변량 영역에서 변위하지 않는 $경우{\displaystyle }$ $h{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =g}$ (${\displaystyle f}$ (${\displaystyle }$x$$) {$displaystyle$h (x) $= g$ (f$(x)}$는 볼록함수입니다.예를 들어 f$${\$displaystyle$ f$}$가 볼록한 $경우{\displaystyle }$ ${\displaystyle e^{}}$ $)$ {$displaystyle e^{f($x$)\}$도 볼록하고 단조롭게 증가하기 $때문$에$$e(x) {$displaystyle$ e$^{x}$도 볼록합니다.
  • f$${\$displaystyle$ f$}$가 오목하고$$g {\$displaystyle$ g$}$가 일변량 영역에 걸쳐 볼록하고 증가하지 않는 $경우{\displaystyle }$, $h{\displaystyle (x)}$ $=$ g(${\displaystyle x)}${$displaystyle$ h($x)=g(f(x)}$는 볼록하다.
  • 볼록성은 아핀 맵에서 불변합니다.즉$,$ f {\$displaystyle$ f$}$가 $도메인{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle D_{}{\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\subseteq \mathbf {R} ^{m$인 $경우{\displaystyle }$ $g{\displaystyle }$${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =f}$ ( ${\displaystyle Ax}$ +${\displaystyle b}$) \ $displaystyle$g ( x ) $= f$ ($Ax$ + b )$$${\displaystyle （}$ Ax + $B$) ,$도메인$ D ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ $displaystyle D_{g}\subseteq \mathbf {R}^{n}$의 텍스트{, $}b\in \mathbf {R}$^{m$$$}} 。$$}$
• 최소화:$f{\displaystyle (x,}$ $)$ {$displaystyle$ f$(x$$,y$$)}$가 (${\displaystyle x}$${\displaystyle }$${\displaystyle ,y}$) {$displaystyle$$$(${\displaystyle x}$ ,$$y ) $=$ y${\displaystyle {\mathrm{display}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$f (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle y}$ )$$=\$inf \inf$ \$displayimits$ _${y\in$ C $}$ f$$$($$x$ , y )의$$ $경우{\displaystyle }$ $다음$과 같이 $표시$됩니다$.$$(x)\neq -\infty .}$
• f$${\$displaystyle$ f$}$가 볼록한 $경우{\displaystyle }$, 그 $투시{\displaystyle }$ g$(x,$ (x t {x, } : x ( $f$)、 > 0 $}$ { $display styleft f$${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$$,$t ) ）。$\operatorname {Dom}(f,t)\tfrac$ {x}\in\operatorname {Dom$}($f,t$>0\$right\rbrace$}$는 볼록형입니다$.$
• 벡터 공간에서 정의된 $함수{\displaystyle }$f : X ${\displaystyle \to }$ {\$displaystyle$ f$:$$X$$\to$ \$mathbb$${$$R}$은 볼록하고${\displaystyle }$f ($a$$$+ $b$y)${\displaystyle (}$ (${\displaystyle }$x )${\displaystyle }$+ $b$)인 $경우$에만${\displaystyle \mathrm{f}}$(${\displaystyle }$0 ) ${\$ $0$ 을 $만족합니다$$.$$rs{\displaystyle }$a , ${\displaystyle b00}${ $displaystyle$a ,$b$ \ $geq$ 0$$} (${\displaystyle \mathrm{a<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; a,b\backslash geq\; 0\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/9f3f5868710a6f6fa10bf8dd86011e6c85c40073"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:7.522ex;\; height:2.509ex;">}}$+ b${\displaystyle 1}$1 )를 $만족$합니다$.{$ $display style a$+ b \ $leq$ 1$$. }

강한 볼록함수

강한 볼록성의 개념은 엄밀한 볼록성의 개념을 확장하고 매개 변수화한다.강한 볼록함수도 엄밀하게 볼록함수이지만 그 반대는 아니다.

다음과 같은 부등식이 ^[11]도메인 $내$의 모든${\displaystyle }$점 $,$ y, y에 대해 유지되는 경우, 미분 $가능$한 함수$f$는 $>$ 0 {\$displaystyle$m $>$0 {\$displaystyle$$$x$,y}$로 강하게 볼록하다고 불립니다.

더 일반적으로 말하면여기서 $、$ （ \ $displaystyle \$ \ $cdot$\$）$는 표준입니다.이러한 부등식을 만족시키는 함수를 타원함수라고 하는 저자들도 있다.

동등한 조건은 다음과 같습니다.^[13]

함수가 강하게 볼록하기 위해 미분 가능해야 할 필요는 없다.$강한$ 볼록함수에 대한 세 번째 정의^[13]${\displaystyle (}파라미터{\displaystyle }$ m$,$ {$displaystyle$m,})는$$$$ 도메인 내의 $모든{\displaystyle }$ x$y 및$ t${\displaystyle ,}$ [ ${\displaystyle 0}$ , $],$ {$displaystyle$ t$\in [ 0$ , $1$], )입니다.

이 이 정의 m로 →, 그리고 볼록 함수의 정의에 동일하다 엄격한 볼록성에 대한 정의 규정 0{\displaystyle m\to 0,}그럼에도 불구하고 이런 때 m)0입니다.{\displaystyle m=0.}, 기능 그것은 엄밀히 말하면 볼록 하고 있지만 있는 강력한 m을에 볼록하지 않는 다가오면;0{\displaystyle m>0}(참조하십시오.examp이하).

$함수{\displaystyle }$f {\$displaystyle$ f$\}{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$가 2회 연속 미분 가능한 경우 도메인 내의 $모든{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle$$$i$}$에 대해${\displaystyle {\mathrm{}}^{all\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}(x}$$)$${\displaystyle m}$ m$$ {\$displaystyle$ \$nabla ^{2}f(x)\succeq mI일$ $경우$에만 $파라미터{\displaystyle }$m {\$displaystyle$ m$}$으로 볼록합니다.${\displaystyle {}^{}}$f(\$displaystyle \nabla ^{2}f)$는 헤시안 행렬이며, 부등식$$θ(\$displaystyle \succeq)$는${\displaystyle {\mathrm{}}^{\theta \mathrm{}}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle x)}$ - ${\displaystyle m}$I(\$displaystyle \nabla$^{$2}f(x)-mI)$가 양의 반확정임을 의미합니다.이는 모든${\displaystyle }x$의 최소 고유값 ${\displaystyle {}^{}}{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$2${\displaystyle }$f ( ${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle \nabla ^{2}f(x)}$가 m$(\$$displaystyle$ m$)$ $이상$이어야 하는 것과 같습니다$.{$ $displaystyle$$$x$$. } 도메인이 단지 실선일 경우$,{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle f}$ 2${\displaystyle }$f ($$x ){ $displaystyle$ \$nabla$${\displaystyle {^}^{}}$$2$f ($x$ )는 2 f (x$$ )의 ${\displaystyle \mathrm{도함수}}$입니다${\displaystyle .}$$isplaystyle$ f$'(x)}$ 이므로$$ $조건$은 f${\displaystyle }$'(${\displaystyle x}$ )$≥$ ${\displaystyle m}$ { $displaystyle$ f$'(x)\geq$m 입니다.m ${\displaystyle =}$ { $displaystyle$ m$= 0$$$}이면 Hessian이 양의 반확정(${\displaystyle \mathrm{또는}}$ 도메인이 실선인 $경우{\displaystyle {}^{}}$ f${\displaystyle {（}^{}}$x ）$$ ${\displaystyle 0}$ { $displaystyle f(x$)})$$임을 $의미$합니다.볼록하지만 강하게 볼록하지는 않습니다.

함수가 2배 연속적으로 미분 가능하다고 가정할 때,${\displaystyle {\mathrm{}}^{\theta \mathrm{}}}$ ${\displaystyle {}^{}}$f (${\displaystyle x}$ $){$ $displaystyle \nabla$^{$2}f(x)}$의 하한이 강한 볼록함을 의미함을 나타낼 수 있다.Taylor's 정리를 이용하면 존재한다.

그렇게 해서그리고나서고유값에 대한 가정에 의해, 우리는 위의 두 번째 강한 볼록성 방정식을 회복한다.

$함수{\displaystyle }$ f$\displaystyle$f는$$ 함수가 다음과 같은 경우에만 파라미터 m으로 강하게 볼록하다.

볼록하다.

볼록, 엄밀하게 볼록, 그리고 강하게 볼록한 것의 구별은 언뜻 보면 미묘할 수 있다.f$\displaystyle$f가 2배$$ 연속적으로 미분 가능하며 도메인이 실제 라인인 $경우{\displaystyle }$ 다음과 같이 특성화할 수 있습니다.

• ${\displaystyle }$$f{\displaystyle }$$${${\displaystyle }$$displaystyle$ f$$} 볼록한$$ 경우 f ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$0$$ { $displaystyle$ f` ($x$ ) \ $geq$ 0$$인 $경우$에만 모든 x .$${ $displaystyle$ x$$}
• ${\displaystyle f}${\$displaystyle$ f$}$는 모든$$x {\$displaystyle$x$}$에 대해 f ($x$)$> 0$인 완전히 볼록합니다(주의: 이 값은 충분하지만 필수는 아닙니다).
• ${\displaystyle f}${ $display style$ f$$}는$$ 모든${\displaystyle }x{\displaystyle }$ 에 대해 f ( )≥ > { $displaystyle$ f' ( $x$) \ $geq$ m $> 0$ 인 에만 볼록합니다$.$ { $displaystyle$ x$$}

비록 f″()n)을 예를 들어, f엄격하게 볼록{\displaystyle f}고,()n)가 f(()n)=1n{\displaystyle f"(x_{n})={\tfrac{1}{n}}{\displaystyle(x_{n})}점}의 순서는 가정합니다.;0{\displaystyle f"(x_{n})>0}, 기능의 있어서만은 아니자. 볼록$f{\displaystyle {}^{}(x}$)${displaystyle$f'(x$)가$임의로 작아지기 때문입니다$$.

콤팩트 $영역{\displaystyle }$X$(\$$displaystyle$ X$)$ 상에서$$ ${\displaystyle X}$(\$displaystyle$ x$\in$X)에$$ 대해 f0(\$displaystyle$ f$'(x)>0)$을 만족시키는 2회 연속 미분 가능 $함수{\displaystyle }$f(\$displaystyle$ f$)$는 볼록하다.이 진술의 증거는 콤팩트 집합의 연속 함수가 최대와 최소를 갖는다는 극단값 정리로부터 온다.

강한 볼록함수는 일반적으로 볼록함수 또는 엄밀하게 볼록함수보다 작업하기 쉽다. 왜냐하면 그것들은 작은 클래스이기 때문이다.엄밀하게 볼록한 함수와 마찬가지로, 강한 볼록한 함수는 콤팩트 집합에서 고유한 최소값을 가집니다.

균등 볼록 함수

계수 $"\displaystyle\phi$를 갖는 균일한 ^[14][15]볼록함수는 도메인 내의 $모든{\displaystyle }$ x${\displaystyle ,}$ $y,$y, $t{\displaystyle 0}$[ ${\displaystyle 0}$ , 1$],$ \$displaystyle$ t$\in [ 0$ , 1${\displaystyle }$], \$displaystyle$t\in [ 0 , $1$]를$$ 만족하는 $함수입니다.$

$여기$서 ${\$ { $displaystyle \phi }$는 음이 아닌 함수로 0에서만 사라집니다.이것은 강볼록함수의 개념의 일반화이며${\displaystyle ,}$ $\theta {\displaystyle }$ (${\displaystyle \alpha )}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle m2{}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}^{}}$2 $(\alpha$) =$display tfrac {m}$ {2$}}\alpha$^{$2}}$를 취함으로써 강볼록함수의 정의를 회복한다.

일부 저자는 계수$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle\phi)$를 증가 ^[15]함수로 요구하지만 모든 ^[14]저자가 이 조건을 필요로 하는 것은 아닙니다.

예

한 변수의 함수

• $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2$($=$x^{2})$는 fµ ( $= 2$> $x)$이므로 f는 볼록함수입니다.그것은 또한 강한 볼록함(따라서 엄격하게 볼록함)이며, 강한 볼록함 상수 2를 가지고 있다.
• $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ $($=$x^{4})$는 f ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}0}$ 0$(x)$=$12x^{2}\geq$ 0$\}$이므로 f는 볼록 함수입니다.비록 2차 도함수가 모든 점에서 엄밀하게 양의 값은 아니지만, 그것은 엄밀하게 볼록하다.그것은 강하게 볼록하지 않다.
• 절대값 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x}$) ${\displaystyle =}{\displaystyle x}$({$displaystyle$ f$(x$)= x$}$는 점 x${\displaystyle \mathrm{=}}$ 0$.$ {$displaystyle$ x$=0}$에 미분이 없음에도 불구하고 볼록하다(삼각형 부등식에 반영됨).} 엄밀하게$$ 볼록한 것은 아닙니다$.$
• p${\displaystyle 1}$1의${\displaystyle }함수{\displaystyle }$ f ( x ) $=$ x p { $displaystyle$ f$(x$ $= x$는 볼록하다.
• 지수 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x)}$ $=$ ${\displaystyle e^{}}$x {\$displaystyle$ f$(x$)= $e^{x}$는 볼록하다.또한 f (x ) $=$ $>$ 0 {\$displaystyle$ f$'(x$)= $e^{x}$ > $0$이므로 엄밀하게 볼록하지만, 2차 도함수는 임의로 0에 가까울 수 있으므로 강하게 볼록하지 않다.보다 일반적으로$$f ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle$f}가 볼록$$ 함수일 $경우{\displaystyle }$ $함수{\displaystyle }$ g (${\displaystyle x}$ ) $= e$ (${\displaystyle {}^{}}$x$$) = e$^{f(x)}$는 로그 볼록함수이다.대신 "^[16]슈퍼볼록스"라는 용어가 사용되기도 한다.
• ${\displaystyle }$(${\displaystyle 0}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle 1}$ ) ${\displaystyle =1}$, $f$( x ) $=$ ${\displaystyle 0}$ { $displaystyle$f$$( 0 ) $= f$ ( 0 ) $=$f ( $1$$$)${\displaystyle }$$= f$( x < { $displaystyle$0 <$x 1$${\displaystyle }$} ;;displaydisplay itdisplaydisplaydisplaydisplaydisplay 、 0 、 0 ${\displaystyle }$、 0${\displaystyle }$、 0 、 0 $）$으로 정의되어 있는 f ( $0$ )는 볼록형식으로 $연속$됩니다$.$
• ${\displaystyle {함수\mathrm{}}^{}}$ x 3$({$ x$^{3})$은 2차 $도함수{\displaystyle \mathrm{}}$ $({displaystyle 6x$를 가지므로 x${\displaystyle }$${\displaystyle 0}$$$0({$displaystyle$x\$geq$$0$})인 집합에서는 볼록하고 x ${\displaystyle \}}$ 0$.$ {$displaystyle$x\$le$ 0}인 집합에서는 오목합니다$.$
• 단조롭게 증가하지만 볼록하지 않은 함수의 예로는${\displaystyle }$f (${\displaystyle x}$ ) ${\displaystyle =}$ {\$displaystyle$ f$(x$) =$log$ ${\displaystyle \mathrm{xx}}$ ($x$ )$$= $log${${\displaystyle }$\ $displaystyle$ g$(x$) $=$ \ $log$x$$} $등$이 $있습니다{\displaystyle }$.
• 볼록하지만 단조롭게 증가하지 않는 함수의 예로는 h${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2$($ 및$$ $($ ${\displaystyle =}$ - $(x$) = x(x) = - $x(x$ 등이 $있습니다{\displaystyle }$.
• $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ {\$displaystyle$f$(x$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle =}$ 1 x $tfrac {1}$ {$x}$ } ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$${\displaystyle }$${\$ $=$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ x 3 { $display$ f'(x) =$$2 x$tfrac${2} ${x^{$3}} $which$、 f ( x$$) 、 ${\displaystyle \mathrm{colvespected}}$ f$(x$ )$$（ x )${\displaystyle }$） 。간격${\displaystyle (}$ -${\displaystyle \mathrm{}、}$ ${\displaystyle 0}$)$${ $displaystyle$ ( - \ $infty , 0$ ) } $.$ 。
• ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ f${\displaystyle (}$$x$)${\displaystyle \mathrm{}=}$ ${\displaystyle \frac{{1\mathrm{}}^{}}{}}$ x $2({$ f$(x$)={$1}{x^{$2$$}}) $=$ f$displaystyle$f(0)=\$infty$는 간격$({\displaystyle }$0$display)$에서는 볼록하고 간격$(-infty$ $0)$에서는 볼록합니다$.$$스타일(-\infty,\infty)$은 x$$${\displaystyle =0}$의 특이점 $때문$에 발생합니다.$${\$displaystyle$ x$=0}$$}$

n개 변수의 함수

• 소프트맥스 함수라고도 불리는 LogSumExp 함수는 볼록 함수입니다.
• 양의 정의 행렬의 영역에서의 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $-{\displaystyle }$ log${\displaystyle \delta \det }$($$X ) {$displaystyle -\log \det$ ($X)}$는 ^{[7]: 74} 볼록하다.
• $모든$ 실가 선형 변환은 볼록하지만 엄밀하게 볼록하지는 않다$.$ ${\displaystyle f}$ {\$displaystyle$ f$}$가 $선형$이면 f${\displaystyle }$($a$ +${\displaystyle }$b ) ${\displaystyle =f}$ (${\displaystyle }$a${\displaystyle }$) +${\displaystyle }$f (${\displaystyle b}$) {$displaystyle$f (${\displaystyle a}$ + b) $= f$ ($a)$ +$f$ ($b$이기 $때문$이다.이 문장은 "볼록"을 "오목"으로 대체해도 유효합니다.
• 모든 실수값 아핀 함수, 즉 $f{\displaystyle (x)}$ $=$ ${\displaystyle a^{}}$ T${\displaystyle {}^{}}$ + $,$ \$displaystyle$ f$(x$)=$a^{$ 형식의 각 함수$T}x+b,}$는 볼록함과 오목함을 동시에 나타낸다.
• 모든 노름은 삼각 부등식과 양의 균질성에 의해 볼록함수이다.
• 음이 아닌 행렬의 스펙트럼 반경은 대각선 ^[17]요소의 볼록 함수이다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

레퍼런스

• Bertsekas, Dimitri (2003). Convex Analysis and Optimization. Athena Scientific.
• 보웨인, 조나단, 그리고 루이스, 에이드리안.(2000).볼록 분석과 비선형 최적화입니다.스프링거.
• Donoghue, William F. (1969). Distributions and Fourier Transforms. Academic Press.
• 장 밥티스트의 히리아르트 우루티와 클로드의 르마레찰.(2004).볼록 분석의 기초.베를린: 스프링거.
• Krasnosel'skii M.A., Rutickii Ya.B. (1961). Convex Functions and Orlicz Spaces. Groningen: P.Noordhoff Ltd.
• Lauritzen, Niels (2013). Undergraduate Convexity. World Scientific Publishing.
• Luenberger, David (1984). Linear and Nonlinear Programming. Addison-Wesley.
• Luenberger, David (1969). Optimization by Vector Space Methods. Wiley & Sons.
• Rockafellar, R. T. (1970). Convex analysis. Princeton: Princeton University Press.
• Thomson, Brian (1994). Symmetric Properties of Real Functions. CRC Press.
• Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.

외부 링크

• "Convex function (of a real variable)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Convex function (of a complex variable)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]