헬프랜드 표현

수학에서 기능 분석에서 겔판드 표현(I. M. Gelfand의 이름을 따서 명명)은 다음 두 가지 중 하나이다.

• 상호 작용하는 바나흐 알헤브라를 지속적인 기능의 알헤브라로 나타내는 방법
• 상호 작용 C*-알게브라의 경우 이 표현은 등축 이형성이라는 사실

전자의 경우, Gelfand 표기를 통합형 함수의 Fourier 변환의 광범위한 일반화로 간주할 수 있다.후자의 경우, Gelfand-Naimark 표현 정리는 정상 연산자에 대한 스펙트럼 이론의 발달에 있어서 하나의 길이며, 정상 행렬의 대각선화 개념을 일반화한다.

역사적 발언

어느(그리고 하나의 역사적으로 동기에 의해 많은 연구는 바나흐 algebras[표창 필요한]), L1(R)algebras은 그룹의 요소를 엄중 노버트 위너( 보는 표창 아래)의 유명한 부명제의 훨씬 싸고 보다 관념적으로 짧은 증거 했고{\displaystyle 1(Z)ℓ다 Gelfand의 초기 어플리케이션입니다. \ell ^{1}({\mathbf$$각$$ 알헤브라의 번역 밀도가 높은 하위 스페이스에 해당하는 ${Z}$}.

모형 대수학

국소적 소형 Hausdorff 위상학적 공간 X의 경우 무한대로 사라지는 X의 연속적 복합값 함수의 공간₀ C(X)는 자연적인 방식으로 C*-알지브라:

• 복잡한 숫자에 대한 대수적 구조는 덧셈과 곱셈의 점적 연산을 고려하여 얻는다.
• 비자발성은 점적으로 복잡한 결합이다.
• 표준은 기능에 대한 균일한 규범이다.

X가 국소적으로 콤팩트하고 하우스도르프가 중요한 것은 이것이 X를 완전히 규칙적인 공간으로 바꾼다는 것이다.그러한 공간에서 X의 모든 닫힌 부분 집합은 X의₀ 연속적인 복합 가치 함수의 공통 영점 집합으로, C(X)에서 X의 위상을 회복할 수 있다.

X가₀ 콤팩트한 경우에만 C(X)가 일탈적이며, 이 경우 C₀(X)가 C(X)와 같을 경우 X의 모든 연속 복합값 함수의 대수인 C(X)와 같다는 점에 유의한다.

역행 바나흐 대수학 Gelfand 표현

$복잡한{\displaystyle }$ 숫자의 $C$ ${\$ 필드에 정의된, A ${\displaystyle A}$을(를) 상호 교환 Banach 대수학으로 한다$$.A non-zero algebra homomorphism (a multiplicative linear functional) ${\displaystyle \Phi \colon A\to \mathbb {C} }$ is called a character of ${\displaystyle A}$; the set of all characters of ${\displaystyle A}$ is denoted by ${\displaystyle \Phi _{A}}$.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 모든 문자가 자동으로$$ 연속됨을 알 수 있으며, 따라서 ${\displaystyle {\phi }_{}}$A {\$displaystyle \Phi_{A$}는 A ${\displaystyle A}$의 연속 선형 함수 $A$$∗{*}$의 하위 집합이며$,$ 더욱이 상대적 약* 위상이 장착된 경우 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ φ A${\displaystyle \Phi _{A}$은(는) 국소적으로 콤팩트하고 하우스도르프(Banach-Alaoglu 정리에서 따온 것이다.)$공간{\displaystyle }$ $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\$는 대수 A ${\displaystyle A}$이(가) ID 요소를 갖는$$ 경우에만^{[citation needed]} 소형( 방금 정의한 토폴로지에서)이다$$.

${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a\in A}$을(를$)$ $지정$하면 ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ :${\displaystyle }$^ ${\displaystyle {}_{}}$→ C ${\$$\Phi _{A}\to {\mathb{C}}}$ $by$ ^ (${\displaystyle \varphi }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varphi }$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\widehat{a}(\phi )=\phi (a$A{\displaystyle \Phi_{A}Φ}의 정의 그리고 그것을 위상은 ^{\displaystyle{\widehat{}}}고 사라진다 infinity[표창 필요한]과 지도가 ↦ ^{\displaystyle a\mapsto{\widehat{}}},에서 리 대수의 불완전 변태 unit-preserving norm-decreasing을 정의합니다 연속 할 수 있습니다. A{\displays$Tyle A}$ ~ $C$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$) ${\displaystyle C_{0}(\Phi _{A})}$.이 동형동맥은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 Gelfand $표현$이고$,$${\displaystyle \stackrel{}{}}$^$${\$displaystyle${\$widehat{a}}$는 원소의 Gelfand 변형 $a{\displaystyle }$ ${\\displaysty$a$\}$이다. 일반적으로 그 표현은 주입도 굴절도 아니다.

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) ID 요소를 갖는$$ 경우, $and$ A ${\$와 A ${\displaysty$ A$}$의 최대 이상 집합 사이에 편차가 있다($$이는 Gelfand-Mazur 정리에 의존한다).As a consequence, the kernel of the Gelfand representation ${\displaystyle A\to C_{0}(\Phi _{A})}$ may be identified with the Jacobson radical of ${\displaystyle A}$. Thus the Gelfand representation is injective if and only if ${\displaystyle A}$ is (Jacobson) semisimple.

예

In the case where ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} )}$, the group algebra of ${\displaystyle \mathbb {R} }$, then ${\displaystyle \Phi _{A}}$ is homeomorphic to ${\displaystyle \mathbb {R} }$ and the Gelfand transform of ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$$$ 푸리에 변환 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$tilde{$f}}$입니다$.$

In the case where ${\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})}$, the ${\displaystyle L^{1}}$-convolution algebra of the real half-line, then ${\displaystyle \Phi _{A}}$ is homeomorphic to ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} ~\colon ~\operatorname {Re} (z)$$\geq$ 0$\backslash \}\}$ 및 $요소$의 ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ 변환 and L ${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {R\mathrm{}}^{}{}_{}}$+${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle f\in L^1}(\mathb {R} _{+})$은 Laplace 변환 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ f$\{\backslash$$displaystyle {\$mathcal {$L}}이다.$

C*-알지브라 케이스

동기로서, 특별한 경우 A = C(X₀)를 고려한다.Given x in X, let ${\displaystyle \varphi _{x}\in A^{*}}$ be pointwise evaluation at x, i.e. ${\displaystyle \varphi _{x}(f)=f(x)}$. Then ${\displaystyle \varphi _{x}}$ is a character on A, and it can be shown that all characters of A are of this form; a more precise analysis shows 집합뿐만 아니라 위상학적 공간으로서 with을_A X와 동일시할 수 있다.그헬프랜드의 대표성은 그때 이소모르프다.

${\displaystyle C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A}).\ }$

정류 C*-알지브라 스펙트럼

A로 표시된 정류 C*-알지브라 A의 스펙트럼 또는 Gelfand 공간은 A에서 복잡한 숫자에 이르는 0이 아닌 *-동형성의 집합으로 구성된다.스펙트럼의 원소는 A에 문자라고 한다.(A에서 복잡한 숫자에 이르는 모든 대수적 동형성은 자동적으로 *동형성이므로 '문자'라는 용어의 이 정의가 위의 것과 일치한다는 것을 알 수 있다.)

특히 정류 C*-알제브라 스펙트럼은 국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간이다.유니탈의 경우, 즉 C*-알지브라에 승수 단위 원소가 1인 경우, 모든 문자 f는 유니탈이어야 하며, 즉 f(1)는 복합 숫자 1이다.이것은 제로 동형성을 배제한다.따라서 X는 약한* 수렴 하에서 닫히고 스펙트럼은 실제로 소형이다.비유니탈의 경우, *의 약한-* 폐쇄는 { }, {0}, 여기서 0은 제로 호모폴리시즘이며, 콤팩트한 하우스도르프 공간에서 하나의 점을 제거하면 국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간이 나온다.

스펙트럼은 과부하된 단어라는 점에 유의한다.또한 단위 1을 가진 대수 x 요소의 스펙트럼 σ(x)을 가리키며, 이는 A에서 x - r 1을 반전할 수 없는 복합수 r의 집합이다.유니탈 C*-알게브라의 경우, 두 개념은 다음과 같은 방식으로 연결된다: σ(x)는 f가 A의 Gelfand 공간에 걸쳐 있는 복잡한 숫자 f(x)의 집합이다.이는 스펙트럼 반지름 공식과 함께 â이 A*의 단위 볼의 부분 집합이므로 상대적 약* 위상(weitergency-*)을 제공할 수 있음을 보여준다.이것이 포인트와이즈의 수렴의 토폴로지다.A의 각 x에 대해 복잡한 숫자 {f_k(x)}_k의 그물이 f(x)로 수렴되는 경우에만 A의 스펙트럼 요소 {f_k}_k이(가) f(x)로 수렴된다.

A가 분리 가능한 C*-algebra인 경우, 취약한-* 위상은 경계 하위 집합에서 측정 가능하다.따라서 분리 가능한 정류자 C*-알지브라 A의 스펙트럼은 미터법으로 간주할 수 있다.그래서 위상은 시퀀스의 정합화를 통해 특징지어질 수 있다.

동등하게 σ(x)는 γ(x)의 범위인데, 여기서 γ은 겔판드 표현이다.

겔판트-나이마크 공동 정리 명세서

A를 정류 C*-알지브라로 하고 X를 A의 스펙트럼으로 한다.내버려두다

$[\displaystyle \property :A\to C_{0}(X)}$

위에서 정의한 게펠랜드의 표현이다.

정리.Gelfand map γ은 A에서 C₀(X)까지의 등축 * 이형성이다.

아래의 Arveson 참조를 참조하십시오.

정류 C*-알지브라 스펙트럼은 선체-선상 위상과 함께 A의 모든 최대 이상 m의 집합으로 볼 수도 있다.(일반적인 Banach 대수학 사례에 대한 이전 의견을 참조하십시오.)그러한 m의 경우, 지수 대수 A/m은 1차원적(겔판드-마주르 정리)이므로, A의 어떤 것도 Y에 대해 복합적인 값을 갖는 함수를 발생시킨다.

유닛이 있는 C*-알게브라의 경우, 스펙트럼 맵은 유닛과 유닛을 보존하는 연속 *-동형성을 가진 상용 C*-알게브라의 범주에서 콤팩트한 하우스도르프 공간과 연속 지도의 범주로 역행성 펑터가 발생한다.이 functor는 이 두 범주 사이의 상반된 동등성의 1/2이다(그 부호는 각 콤팩트한 Hausdorff 공간에 할당되는 functor이다 X the C*-algebra₀ C(X)).특히, 콤팩트한 하우스도르프 공간 X와 Y를 주어, X가 Y와 동형인 경우에만 C(X)와 C(Y)의 이형체(C*-algebra)가 된다.

'전체' Gelfand-Naimark 정리는 임의(추상) 비확정 C*-algebras A에 대한 결과로서, Gelfand 표현과 그다지 유사하지는 않지만, 연산자의 대수로서 A를 구체적으로 표현한다.

적용들

가장 중요한 응용 프로그램 중 하나는 C*-알제브라 A: x가 부호인 x*와 통용되는 경우에만 x요소가 정상이고, 교호인 C*-알제브라 C*(x)를 생성하는 경우에만 동등하게 기능하는 미적분학의 존재다.C*(x)에 적용된 Gelfand 이소모르프리즘에 의해, 이것은 국소적으로 작은 공간의 연속함수의 대수학에는 * 이소모르픽이다.이러한 관찰 결과는 거의 즉시 다음과 같다.

정리.A를 신분과 A의 정상적인 요소를 가진 C*-알지브라로 삼아라.그 다음 스펙트럼상 연속함수의 대수 that(x)에서 A로 이어지는 *-형상 f → f(x)가 있다.

• 1을 A의 곱셈정체에 매핑한다.
• 스펙트럼의 아이덴티티 함수를 x에 매핑한다.

이것은 힐버트 공간의 경계된 정상 연산자들에게 연속적인 기능을 적용할 수 있게 해준다.

참조

• Arveson, W. (1981). An Invitation to C*-Algebras. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.
• Bonsall, F. F.; Duncan, J. (1973). Complete Normed Algebras. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2.
• Conway, J. B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96. Springer Verlag. ISBN 0-387-97245-5.
• Wiener, N. (1932). "Tauberian theorems". Ann. of Math. II. Annals of Mathematics. 33 (1): 1–100. doi:10.2307/1968102. JSTOR 1968102.