바이어 함수

수학에서, Baire 함수는 함수의 연속적인 점괘 한계를 형성하는 연산을 transpite 반복하여 연속함수로부터 얻은 함수다.그것들은 1899년 르네 루이스 바이어에 의해 소개되었다.Baire 집합은 특성 함수가 Baire 함수인 집합이다.(Baire 집합에는 거의 동등하지만 불평등한 정의가 있다.)

바이어 함수의 분류

등급 α의 바이어 함수는 어떤 계수 가능한 서수 α에 대해 다음과 같이 위상학적 공간에 정의된 실제 값 함수의 벡터 공간을 형성한다.

Baire 클래스 0 기능은 연속 기능이다.
Baire 클래스 1 함수는 일련의 Baire 클래스 0 함수의 점괘 한계인 함수들이다.
일반적으로 Baire 등급 α 함수는 모두 Baire 등급의 함수 순서의 점괘 한계인 함수다.

일부 저자는 α 이하 등급의 모든 기능을 클래스 α의 함수에서 제거함으로써 클래스를 약간 다르게 정의한다.이는 각 바이어 함수가 잘 정의된 클래스를 가지지만 주어진 클래스의 함수가 더 이상 벡터 공간을 형성하지 않는다는 것을 의미한다.

앙리 르베게는 (단위 간격의 함수에 대해) 계수 가능한 서수 번호의 각 바이어 등급이 더 작은 등급에 속하지 않는 함수를 포함하며, 어떤 바이어 등급에도 속하지 않는 함수가 존재함을 증명했다.

바이어 1급

예:

모든 다른 기능의 파생상품은 등급1이다.파생상품이 연속적이지 않은 (x = 0) 변별성 함수의 예는 x ≠ 0일 때는 $x^{2}\sin(1/x)$ x $x^{2}\sin(1/x)$ $x^{2}\sin(1/x)$ sin $x^{2}\sin(1/x)$ / $x^{2}\sin(1/x)$ ) ${\displaystyle$ x $^{2}\$ sin $(1/x)},$ x = 0일 때는 0과 같은 함수다.유사한 기능의 무한한 합(합리적 숫자에 의해 크기가 조정되고 대체됨)은 조밀한 집합에서 파생상품이 불연속적인 다른 함수를 제공할 수 있다.단, 반드시 연속성의 지점이 있어, 「바이어 특성화 정리」(아래, 테이크 K = X = R)에서 쉽게 따른다.
정수 집합의 특성 함수, x가 정수일 경우 1이고 그렇지 않을 경우 0이다.(무한한 수의 대형 불연속)
비합리적인 x의 경우 0, 합리적인 숫자 p/q(축소된 형태)의 경우 1/q인 토마이의 함수.(불연속성의 밀집 집합, 즉 합리적인 수의 집합)
캔터 세트의 특성 함수, x가 캔터 세트에 있으면 1이고, 그렇지 않으면 0이다.이 함수는 x 값 집합의 경우 0이고, x 값 집합의 경우 1이다.1과 같은 곳이면 불연속이고 0과 같은 곳이면 연속이다.연속 함수 $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ ( $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ $d(x,C)$ ) $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ = $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ ( $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ - $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ ( $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ , $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ ) ${\displaystyle g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,$ $C$ $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})$ 여기서 $d(x,C)$ ( x $d(x,C)$ , $)는$ 칸토어 집합에서 가장 가까운 지점에서 x의 거리이다 $d(x,C)$ .

바이어 특성화 정리는 바나흐 공간 X에 정의된 실제 가치 함수 f는 X의 모든 비어 있지 않은 닫힌 부분 집합 K에 대해 f to K의 제약이 K의 위상에 상대적인 연속성의 점을 갖는 경우에만 Baire-1 함수라고 명시한다.

Baire의 또 다른 정리에 의해, 모든 Baire-1 함수에 대해 연속성의 지점은 comeager G_δ 집합이다(Kechris 1995, Organization (24.14).

바이어 2급

클래스 1이 아닌 간격[0,1]에 있는 바이어 클래스 2 함수의 예로는 합리적인 숫자의 특성 함수인 $\chi _{\mathbb {Q} }$ Q ${\$ 이(가) 있으며 $\chi _{\mathbb {Q} }$ 이 함수는 어디에서나 불연속되는 디리클레 함수로도 알려져 있다.

증명

우리는 두 가지 증거를 제시한다.

This can be seen by noting that for any finite collection of rationals, the characteristic function for this set is Baire 1: namely the function $g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,K)})$ converges identically to the characteristic function of $K$ , where ${\dis$ $Playstyle K}$ 은 $K$ 이성들의 유한 집합이다.합리성은 셀 수 있기 때문에 $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ = $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ { r $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ , $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ , $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ $K_{n}=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}}$ 에 대한 이러한 것들의 점별 한계를 살펴볼 수 있다 $K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}$ 여기서 $r_{n}$ = $r_{n}$ {\ $displaystystyle r_{$ n $r_{n}$ }}}}}}.위에서 언급한 정리로는 Baire-1이 아니다: 불연속성의 집합은 전체 간격이다(확실히 연속성의 집합은 오지 않는다).
디리클레 함수는 다음과 같이 일련의 연속함수의 이중 점괘 한계로 구성할 수 있다.

\forall x\in \mathb {R},\quad \chi _{\mathb {Q}=\lim_{k\to \inft }\ft(\cos(\pi x)\오른쪽)^{2j}}

정수 j와 k의 경우

바이어 클래스 3

그러한 기능의 예는 3등급의 보렐 집합인 정상수 집합의 지표에 의해 제시된다.

참고 항목

참조

Baire, René-Louis (1899). Sur les fonctions de variables réelles (Ph.D.). École Normale Supérieure.
Baire, René-Louis (1905), Leçons sur les fonctions discontinues, professées au collège de France, Gauthier-Villars.
Kechris, Alexander S. (1995), Classical Descriptive Set Theory, Springer-Verlag.

외부 링크

수학의 봄철 백과사전 Baire 수업에 관한 기사

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