규범 벡터 공간

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수학에서 규범 벡터 공간 또는 규범 공간은 실제 또는 복잡한 숫자에 걸친 벡터 공간이며, 그 위에 규범이 정의된다.^[1] 규범은 현실 세계에서 "길이"라는 직관적인 개념의 실제 벡터 공간에 대한 공식화와 일반화다. 표준은 $일반적$으로 x ${\displaystyle \mathrm{defined}}$ x x ${\displaystyle \Vert }$, ${\displaystyle$ x$\mapsto$\$x\ ,}$로 표기되는 벡터 공간에 정의된 실제 값 함수로서, 다음과 같은 속성을 가진다.^[2]

1. 음이 아닌 것으로, 모든 $벡터{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$. ${\$$displaystyle \x\\geq 0}$에 대해$$${\displaystyle }$for $\$ ${\displaystyle 0}$ ${\$$displaystyle$ x$.}$을(를) 의미한다.
2. 0이 아닌 벡터, 즉,
   $${\displaystyle \ x\ =0{\text{}는 }}x=0을 암시한다.}$$

   
3. 모든 벡터 $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle x,}$ 및 모든$$ 스칼라 $\alpha {\displaystyle }$, ${\displaystyle \alpha ,}$에 대해
   $$\displaystyle \\\x\ = \displaystyle \,\ x\ .}$$

   
4. 삼각형 불평등은 유지된다. 즉, 모든 벡터 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $및{\displaystyle }$ y$$${\displaystyle }$, ${\displaystyle y,}$
   $$\displaystyle \ x+y\ \leq \ x\ +\ y\ .}$$

   

표준은 공식에 의해 그것의 (규범) 유도 미터법이라고 불리는 거리를 유도한다.

규범 벡터 공간을 미터법 공간과 위상 벡터 공간으로 만든다. 이 메트릭 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$이(가) 완료되면 표준 공간은 Banach 공간이 된다. 모든 표준 벡터 공간은 바나흐 공간까지 "특이하게 확장"될 수 있으며, 이는 바나흐 공간과 밀접하게 관련되는 표준 공간을 만든다. 바나흐의 모든 공간은 규범화된 공간이지만 대화란 사실이 아니다. 예를 들어, 실수의 유한한 시퀀스 집합은 유클리드 규범으로 규범화될 수 있지만, 이 규범에 대해서는 완전하지 않다.

내부 제품 공간은 표준이 벡터와 그 자체의 내부 생산물의 제곱근인 표준 벡터 공간이다. 유클리드 벡터 공간의 유클리드 규범은 유클리드 거리를 공식으로 정의할 수 있는 특수한 경우다.

규범화된 공간과 바나흐 공간에 대한 연구는 수학의 주요 하위 분야인 기능 분석의 근본적인 부분이다.

정의

규범 벡터 공간은 규범을 갖춘 벡터 공간이다. 세미노름 벡터 공간은 세미노름을 갖춘 벡터 공간이다.

삼각형 불평등의 유용한 변화는

벡터 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ $y{\displaystyle }$. ${\displaystyle$ y$.}$에 대해

이것은 벡터 규범이 연속함수라는 것도 보여준다.

속성 3은 스칼라 분야에서$$ 표준 ${\displaystyle \alpha }$ $displaystyle \alpha }$의 선택에 따라 달라진다. 스칼라 필드가 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$또는 $더{\displaystyle \mathbb{}}$ 일반적으로 C ${\$의 부분 집합)$$인 경우 이는 보통 일반 절대값으로 간주되지만 다른 선택이 가능하다. 예를 들어 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$를) 초과하는 벡터 공간의 경우$$ ${\displaystyle \alpha }$ $displaystyle \alpha }$을(를) $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ -adic$$ 표준이 될 수 있다.

위상구조

If ${\displaystyle (V,\ \,\cdot \,\ )}$ is a normed vector space, the norm ${\displaystyle \ \,\cdot \,\ }$ induces a metric (a notion of distance) and therefore a topology on ${\displaystyle V.}$ This metric is defined in the natural way: the distance between two vectors ${\displaystyle \mathb$$f {u} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ is given by ${\displaystyle \ \mathbf {u} -\mathbf {v} \ .}$ This topology is precisely the weakest topology which makes ${\displaystyle \ \,\cdot \,\ }$ continuous and which is compatible with the linear structure of ${\displaystyle V}$ in the followIgng sense:

1. 벡터 추가${\displaystyle }$+${\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \times }$ V${\displaystyle }$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \,+\,:V\time V\to V}$은(는) 이 위상에 대해 공동으로 연속된다. 이것은 삼각형 불평등에서 바로 뒤따른다.
2. 스칼라 곱셈 ${\displaystyle \cdot }$: ${\displaystyle K\mathbb{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle V}$→ ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \,\cdot \,:\mathb {K} \timeV$ V$\to$ V$},$ 여기서$$ $K{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaysty \mathb {K}$은 $V$의${\displaystyle }$기본 스칼라 필드인 {\$displaystyty V}$이 공동으로 지속된다$$. 이것은 규범의 삼각 불평등과 동질성에서 비롯된다.

Similarly, for any seminormed vector space we can define the distance between two vectors ${\displaystyle \mathbf {u} }$ and ${\displaystyle \mathbf {v} }$ as ${\displaystyle \ \mathbf {u} -\mathbf {v} \ .}$ This turns the seminormed space into a pseudometric space (notice this is weaker than a metric) and 연속성 및 수렴과 같은 개념의 정의를 허용한다. 좀 더 추상적으로 말하면 모든 반정형 벡터 공간은 위상학적 벡터 공간이며 따라서 반정규형에 의해 유도되는 위상학적 구조를 지니고 있다.

특별한 관심사는 바나흐 공간이라고 알려진 완전한 규범화된 공간이다. 모든 표준 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$은(는) 일부 Banach 공간 내부의 밀도 있는 하위 공간으로 사용되며$$, 이 Banach 공간은 $기본적$으로$$V {\$displaystyle$V}에 의해 고유하게 정의되며$$ $V{\displaystyle }$. ${\displaystyle V.}$의 완료라고 불린다.

동일한 벡터 공간에 있는 두 가지 규범을 동일한 위상이라고 정의하면 등가라고 한다. 유한 차원 벡터 공간에서는 모든 규범이 동등하지만 무한 차원 벡터 공간에서는 그렇지 않다.

유한 차원 벡터 공간의 모든 규범은 동일한 위상(결과적인 미터법 공간이 동일할 필요는 없지만)을 유도하기 때문에 위상학적 관점에서 동등하다.^[3] 그리고 어떤 유클리드 공간도 완성되어 있기 때문에 우리는 모든 유한차원 규범 벡터 공간은 바나흐 공간이라고 결론 내릴 수 있다. 표준 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) $단위{\displaystyle }$볼 B = { ${\displaystyle x}$ :${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle \Vert }$1$}$ {\$displaystyle$B=\{$x:\$ x\ \$leq$1\}}이(가) 압축된 경우에만 로컬로 압축되며, $이$는$$V {\displaystyle $V}$이 유한한$$ 경우에만 해당된다. (사실, 보다 일반적인 결과는 사실이다: 위상학적 벡터 공간은 유한한 차원일 경우에만 국소적으로 압축된다. 여기서 요점은 우리는 위상이 표준으로부터 온다고 가정하지 않는다는 것이다.)

반원형 벡터 공간의 위상은 많은 좋은 성질을 가지고 있다. 0 주위에$$ $N{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle {\mathcal{N}(0)}$을(를) 지정하면 다른 모든 인접 시스템을 다음과 같이 구성할 수 있다.

와 함께

더욱이 흡수 집합과 볼록 집합으로 구성된 기원에 대한 인접 기준이 존재한다. 이 특성은 기능 분석에 매우 유용하므로, 이 특성과 함께 정규화된 벡터 공간의 일반화를 국소 볼록한 공간이라는 이름으로 연구한다.

A norm (or seminorm) ${\displaystyle \ \cdot \ }$ on a topological vector space ${\displaystyle (X,\tau )}$ is continuous if and only if the topology ${\displaystyle \tau _{\ \cdot \ }}$ that ${\displaystyle \ \cdot \ }$ induces on ${\displaystyle X}$ is coarser than ${\displa$, 약간 열려 공 B{B\displaystyle}은(X,‖ ⋅ ‖){\displaystyle(X,\ \cdot))}(아마{)∈ X:‖)‖<1}와{\displaystyle){x\in X:\ x\<>1\}}의 예제와 같이)에 존재하는 일이 일어나Ystyle \tau}(의미, τ ‖ ⋅ ‖ ⊆ τ{\displaystyle \tau_{)\cdot\와 같이}\subseteq\tau}). 나는 열려n${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$ ,${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (X,\tau )}($$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ {\$displaystyle B\$in \$tau })$이(가) 다르게 말했다.

규범 가능한 공간

A topological vector space ${\displaystyle (X,\tau )}$ is called normable if there exists a norm ${\displaystyle \ \cdot \ }$ on ${\displaystyle X}$ such that the canonical metric ${\displaystyle (x,y)\mapsto \ y-x\ }$ induces the topology ${\displaystyle \tau }$ on ${$$\displaystyle$ X$.}$ 다음은$$ 콜모고로프 때문이다.^[4]

Kolmogorov의 규범성 기준: Hausdorff 위상학적 벡터 $공간$은 0 , ${\displaystyle X}$. {\$displaystyle 0\in.}$의 볼록한 폰 노이만 경계 부근이 존재하는 경우에만 규범할 수 있다$.$

규범 가능한 공간 계열의 제품은 공간 중 정확히 다수의 공간이 비경쟁적인 경우에만(즉, $\ne {\displaystyle }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \neq \{0\})$^[4] 규범 가능하다. Furthermore, the quotient of a normable space ${\displaystyle X}$ by a closed vector subspace ${\displaystyle C}$ is normable, and if in addition ${\displaystyle X}$'s topology is given by a norm ${\displaystyle \ \,\cdot ,\ }$ then the map ${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$ given by $$$X$+ $C$ $\mapsto$ $\underset{}{inf}$ c $\underset{}{\in }$ $c\underset{}{}$ $\underset{}{c}$ ‖ x + $c$ $\Vert$ {$$\$textstyle$x+$C\mapsto \inf _{c\in C}\$ x$+c\$}}}는 ${\displaystyle X}$/ C$${\$displaystyle$ X$/C$$}$에 대해 잘 정의된 표준으로, X$$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle C.}$ ${\\displaystystyty$ X$/$$C$.$}$^[5]

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) Hausdorff 로컬 볼록 위상 벡터 공간인 경우, 다음은 동일하다.

1. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 규범적이다.
2. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$은(는) 원산지의 경계 부근을 가지고$$ 있다.
3. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 강한 이중 공간 $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$은(는) 규범적이다.^[6]
4. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 강력한 이중 공간 $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ $X_$${b}^{\prime }}}$은(는) 메트리징 가능하다$$.^[6]

Furthermore, ${\displaystyle X}$ is finite dimensional if and only if ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ is normable (here ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ denotes ${\displaystyle X^{\prime }}$ endowed with the weak-* topology).

The topology ${\displaystyle \tau }$ of the Fréchet space ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ as defined in the article on spaces of test functions and distributions, is defined by a countable family of norms but it is not a normable space because there does not exist any norm ${\displaystyle \ \cdot \ }$ on ${\displaystyle C^{}\mathrm{indu}}$ ( K ) {\$displaystyle C^{\nupty }(K)}$이(가) 이 표준이 유도하는 위상이 $\tau {\displaystyle .}$ ${\displaystyle \tau.}$과(와) 같도록$.$

측정 가능한 위상 벡터 공간이 규범군에 의해 정의되는 위상을 가지고 있더라도, 그럼에도 불구하고 그것은 규범 가능한 공간(위상이 어떤 단일 규범으로도 정의될 수 없다는 의미)이 되지 못할 수 있다. 그러한 공간의 예로는 프레셰트 공간 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle K}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle$ C$^{\\nupty }(K)$가 있는데, 그$$ 위상 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$은(는) 계산 가능한 규범 계열에 의해 정의되지만$$, exi가 없기 때문에 규범 가능한 공간은 아니다.st any norm ${\displaystyle \ \cdot \ }$ on ${\displaystyle C^{\infty }(K)}$ such that the topology this norm induces is equal to ${\displaystyle \tau .}$ In fact, the topology of a locally convex space ${\displaystyle X}$ can be a defined by a family of norms on ${\displaystyle X}$ if and $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X.}$에 하나 이상의 연속 표준이 있는 경우에만 해당

선형 지도 및 이중 공간

두 표준 벡터 공간 사이의 가장 중요한 지도는 연속 선형 지도다. 이 지도들과 함께, 규범화된 벡터 공간은 범주를 형성한다.

표준은 벡터 공간의 연속 함수다. 유한 치수 벡터 공간 사이의 모든 선형 지도도 연속적이다.

두 개의 표준 벡터 공간 사이의 등각도는 모든 벡터 $v{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ {$v}$에 대해$$ (${\displaystyle f}({\displaystyle v\mathbf{})}$= ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle v\mathbf{}}$ ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle$ $\$$f(\mathbf {v})\\mathbf {v} \$$mathbf {v}$ \} $\}}$을(를 의미) 보존하는$$ 선형 맵 $f{\displaystyle }$ ${\displaystymathmartb$}이다.$$ 등축은 항상 연속적이고 주입적이다. 규범 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$과 $W{\displaystyle }$ ${\displaystyle W}$ 사이의 굴절 이등분법을 이등분법이라고 하고$$, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$과 $W{\displaystyle }$ ${\displaystystyle W}$을 이등분법이라고 한다. 등축성 이형성 규범 벡터 공간은 모든 실용적 목적을 위해 동일하다.

표준 벡터 공간을 말할 때, 우리는 규범을 고려하기 위해 이중 공간의 개념을 강화한다. 표준 벡터 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$의 듀얼 $V{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$′ ${\$ V$^{\prime }$은 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에서 베이스 필드(복합체 또는 reals)에$$ 이르는 모든 연속 선형 맵의 공간이며, 이러한 선형 맵을 "기능"이라고 한다. The norm of a functional ${\displaystyle \varphi }$ is defined as the supremum of ${\displaystyle \varphi (\mathbf {v} ) }$ where ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ranges over all unit vectors (that is, vectors of norm ${\displaystyle 1}$) in ${\displaystyle V.}$ This turns ${$$\displaystyle V^{\prime }}$을(를) 표준 벡터 공간으로 표현한다. 표준 벡터 공간의 연속 선형 함수에 대한 중요한 정리는 한-바나흐 정리다.

정규화된 공간은 세미노멀된 공간의 비율적 공간으로 지정됨

많은 표준화된 공간(특히 Banach 공간)의 정의는 벡터 공간에 정의된 세미놈을 포함하며, 그 다음 규범된 공간은 세미놈 영의 원소의 하위공간에 의해 지수공간으로 정의된다. 예를 들어, ${\displaystyle L^{}}$ p$${\$displaystyle$ L$^{p}}$의 공백으로, 다음과 같이 정의된 함수는

모든 기능의 벡터 공간에 있는 세미노름으로, 레베그에는 우측의 일체형이 정의되고 유한하다. 그러나, 세미놈은 르베그 측정값 0에서 지원되는 모든 함수에 대해 0과 동일하다. 이 기능들은 우리가 "양분해"하는 하위 공간을 형성하여 0 함수와 동등하게 만든다.

유한 제품 공간

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 세미노름$$ 공간$({\displaystyle X_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle q_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\$이 주어지며 세미노름 $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$→ R${\displaystyle ,}$ ${\displaysty q_{i}:$$X_{i}\to \mathb {R},}$은(는) 다음을 기준으로 제품 공간을 나타낸다$$.

여기서 벡터 추가는 다음과 같이 정의된다. 및 다음과 같이 정의된 스칼라 곱하기

$\mathb {R}$을(를) 기준으로$$ 새 함수${\displaystyle q}$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$→ R {\$displaystyle q:X$\to \mathb {R$}$

$X{\displaystyle }$. ${\displaystyle$X.} 함수$$$q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은(는) 모든$$ $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 표준인 경우에만$$ 표준이다.

보다 일반적으로 각 실제 p${\displaystyle \mathrm{p}}$ 1 ${\displaystyle p\geq$ 1$}$에 대해 $지도{\displaystyle }$ Q${\displaystyle }$: ${\displaystyle X\mathbb{}}$→ R ${\$의해 정의됨$$

반규범이다. 각 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$에 대해 이것은$$ 동일한 위상학적 공간을 정의한다.

초급 선형대수를 포함하는 간단한 논쟁은 한정된 차원 세미노름 공간만이 규범화된 공간의 생산 공간과 사소한 세미노름으로 발생하는 공간이라는 것을 보여준다. 결과적으로, 반원형 공간의 많은 흥미로운 예와 적용은 무한 차원 벡터 공간에 발생한다.

참고 항목

• 바나흐 공간, 표준에 의해 유도된 메트릭과 관련하여 완전한 표준 벡터 공간
• Banach-Mazur compactum – 콤팩트한 미터법으로 만들어진 표준 공간의 n차원 서브 스페이스 세트.
• 핀슬러 다지관, 각 접선 벡터의 길이가 표준에 의해 결정됨
• 내부 제품 공간, 내부 제품에 의해 표준이 주어지는 표준 벡터 공간
• Kolmogorov의 규범성 기준 – 규범성 공간의 특성화
• 국소 볼록형 위상 벡터 공간 – 볼록형 오픈 세트로 정의된 위상이 있는 벡터 공간
• 공간(수학) – 구조물이 추가된 수학 세트
• 위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간

참조

참고 문헌 목록

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems, Mathematics and its Applications (East European Series), vol. 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, pp. xvi+524, doi:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR 0920371, OCLC 13064804
• Schaefer, H. H. (1999). Topological Vector Spaces. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

외부 링크

• 위키미디어 공용의 표준 공간과 관련된 미디어