수학적 증명

수학적 증명은 수학적 진술에 대한 연역적 주장으로, 진술된 가정이 논리적으로 결론을 보장한다는 것을 보여줍니다.주장은 정리와 같은 이전에 확립된 다른 진술을 사용할 수 있지만, 원칙적으로 모든 증명은 허용된 추론 규칙과 ^[2]^[3]^[4]함께 공리로 알려진 특정한 기본 또는 원래 가정만을 사용하여 구성될 수 있습니다.증명은 논리적 확실성을 확립하는 완전 연역적 추론의 예이며, 경험적 주장 또는 "합리적 기대"를 확립하는 비소진 귀납적 추론과 구별됩니다.진술이 성립하는 많은 경우를 제시하는 것은 증명에 충분하지 않으며, 이는 모든 가능한 경우에 진술이 사실임을 입증해야 합니다.증명되지는 않았지만 참이라고 믿어지는 명제는 추측 또는 추가 수학적 작업을 위한 가정으로 자주 사용되는 가설로 알려져 있습니다.

증명은 수학적 기호로 표현된 논리와 보통 약간의 모호성을 인정하는 자연어를 사용합니다.대부분의 수학 문헌에서 증명은 엄격한 비공식 논리의 관점에서 작성됩니다.자연어의 개입 없이 완전히 기호 언어로 쓰여진 순수한 형식적 증명은 증명 이론에서 고려됩니다.형식적 증명과 비공식적 증명의 구분은 현재와 역사적 수학적 실천, 수학의 준경험주의, 주류 수학계 또는 다른 문화권의 구술 전통 등에 대한 많은 검토로 이어졌습니다.수학의 철학은 증명에서 언어와 논리의 역할, 그리고 언어로서 수학의 역할에 관심이 있습니다.

역사와 어원

"proof"라는 단어는 라틴어의 probare에서 왔습니다.이와 관련된 현대 단어로는 영어 "probe", "probation", "probability", 스페인어 "probar" (냄새를 맡거나 맛을 보거나 때로는 만지거나 시험을 보는 것),^[5] 이탈리아어 "probare", 독일어 "probiereen" 등이 있습니다.법적인 용어인 "신의(信義)"란 명예나 신분이 있는 사람이 사실을 증명할 수 있는 권한 또는 신빙성, 증언의 힘을 의미합니다.^[6]

그림과 유추와 같은 휴리스틱 장치를 사용한 신뢰성 논쟁은 엄격한 수학적 증명에 선행했습니다.^[7]토지 계측의 현실적인 문제에서 비롯된 기하학과 관련하여 결론을 제시하는 아이디어가 처음 나왔을 가능성이 높습니다.^[8]수학적 증명의 발전은 주로 고대 그리스 수학의 산물이며, 그것의 가장 큰 업적 중 하나입니다.^[9]탈레스 (624–546 BCE)와 키오스의 히포크라테스 (470–410 BCE)는 기하학에서 최초로 알려진 정리의 일부를 제공했습니다.에우독소스 (408–355 BCE)와 테아에투스 (417–369 BCE)는 정리를 만들었지만 증명하지는 못했습니다.아리스토텔레스 (384–322 BCE)는 정의는 이미 알려진 다른 개념들의 관점에서 정의되는 개념을 설명해야 한다고 말했습니다.

수학적 증명은 유클리드 (300 BCE)에 의해 혁명을 일으켰는데, 유클리드는 오늘날에도 여전히 사용되고 있는 공리적 방법을 도입했습니다.그것은 정의되지 않은 용어들과 공리들, 자명하게 참인 것으로 추정되는 정의되지 않은 용어들에 관한 명제들로부터 시작됩니다. (그리스어 "axios"에서, 가치 있는 것.)이를 바탕으로 연역 논리를 사용하여 정리를 증명하는 방법입니다.유클리드의 책, The Elements는 20세기 중반까지 서양에서 교육받았다고 여겨지는 사람들은 누구나 읽었습니다.^[10]피타고라스 정리와 같은 기하학의 정리 외에도, 원소들은 또한 2의 제곱근이 비이성적이라는 증명과 무한히 많은 소수가 있다는 증명을 포함하여 수론을 다룹니다.

중세 이슬람 수학에서도 발전이 이루어졌습니다.서기 10세기에 이라크의 수학자 알 하시미는 비이성적인 수의 존재를 포함하여 곱셈, 나눗셈 등과 관련된 대수적 명제를 증명하기 위해 "선"이라고 불리지만 반드시 기하학적 대상의 측정으로 고려되지는 않는 수를 연구했습니다.^[11]Al-Karaji는 산술 수열에 대한 귀납적 증명을 파스칼 삼각형의 이항 정리와 성질을 증명하기 위해 이를 사용했습니다.

현대의 증명 이론은 증명을 귀납적으로 정의된 데이터 구조로 취급하며, 공리는 어떤 의미에서도 "참"이라는 가정을 필요로 하지 않습니다.이것은 공리 집합론과 비유클리드 기하학과 같은 대체 공리 집합에 기초한 주어진 직관적 개념의 형식적인 모델로서 병렬 수학 이론을 허용합니다.

본성과 목적

실제로 증명은 자연어로 표현되며, 청중에게 진술의 진실성을 확신시키기 위한 엄격한 논증입니다.엄격함의 기준은 절대적인 것은 아니며 역사적으로 다양했습니다.증명은 의도하는 청중에 따라 다르게 제시될 수 있습니다.승인을 받으려면 증명이 공동의 엄격성 기준을 충족해야 합니다. 모호하거나 불완전한 것으로 간주되는 주장은 기각될 수 있습니다.

증명의 개념은 수학적 논리학 분야에서 공식화됩니다.^[12]형식적 증명은 자연어 대신 형식적인 언어로 쓰여집니다.공식 증명은 공식 언어로 된 공식들의 연속으로, 가정으로부터 시작하여, 그리고 각각의 후속 공식으로 앞선 공식들의 논리적 결과입니다.이 정의는 증명의 개념을 연구에 적용할 수 있게 만듭니다.실제로 증명 이론 분야는 형식적 증명과 그 속성을 연구하는데, 거의 모든 공리계가 시스템 내에서 증명할 수 없는 결정되지 않은 진술을 생성할 수 있다는 가장 유명하고 놀라운 존재입니다.

형식적 증명의 정의는 수학의 실무에서 쓰인 증명의 개념을 포착하기 위한 것입니다.이 정의의 건전성은 원칙적으로 공표된 증거가 공식적인 증거로 전환될 수 있다는 믿음에 해당합니다.하지만, 자동화된 증명 보조자의 분야 이외에서는, 이것이 실제로 행해지는 경우가 거의 없습니다.철학의 고전적인 질문은 수학적 증명이 분석적인지 합성적인지를 묻습니다.분석적-합성적 구별을 도입한 칸트는 수학적 증명이 합성적이라고 믿었고, 퀸은 1951년 《경험주의의 두 개의 도그마》에서 그러한 구별은 유지될 수 없다고 주장했습니다.^[13]

증명은 수학적인 아름다움으로 존경받을 수 있습니다.수학자 폴 에르트 ő스(Paul Erd Sambers)는 특히 우아하다고 판단되는 증명을 각각의 정리를 증명하는 가장 아름다운 방법을 담고 있는 가상적인 나에게 온 것으로 유명했습니다.2003년에 출판된 The BOOK의 Proofs라는 책은 편집자들이 특히 기쁘게 생각하는 32개의 Proofs를 제시하는 데 전념하고 있습니다.

증명방법

직접증명

직접 증명에서 결론은 공리와 정의, 그리고 이전의 정리들을 논리적으로 조합함으로써 성립됩니다.^[14]예를 들어, 직접 증명을 사용하여 두 짝수 정수의 합이 항상 짝수임을 증명할 수 있습니다.

두 개의 짝수 정수 x와 y를 생각해보세요.짝수이기 때문에 일부 정수 a와 b에 대해 각각 x = 2a, y = 2b로 표기할 수 있습니다.그러면 합은 x + y = 2a + 2b = 2(a+b)가 됩니다.따라서 x+y는 2를 인자로 가지며 정의상 짝수입니다.따라서 임의의 2개의 짝수 정수의 합은 짝수입니다.

이 증명에서는 짝수 정수의 정의, 덧셈 및 곱셈 하에서 닫힘의 정수 속성 및 분포 속성을 사용합니다.

수학적 귀납법에 의한 증명

수학적 귀납법은 그 이름에도 불구하고 귀납적 추론의 한 형태가 아니라 추론의 한 방법입니다.수학적 귀납법에 의한 증명에서, 단 하나의 "기본 케이스"가 증명되고, 임의의 케이스가 다음 케이스를 암시한다는 것을 확립하는 "귀납법"이 증명됩니다.유도 규칙은 원칙적으로 증명된 기본 사례에서 시작하여 반복적으로 적용될 수 있기 때문에 모든(보통 무한히 많은) 사례가 증명 가능합니다.^[15]이렇게 하면 각 사례를 개별적으로 증명할 필요가 없습니다.수학적 귀납법의 변형은 무한 강하에 의한 증명으로, 예를 들어 2의 제곱근의 비합리성을 증명하는 데 사용될 수 있습니다.

수학적 귀납법에 의한 증명의 일반적인 응용은 하나의 수에 대하여 성립하는 것으로 알려진 성질이 모든 자연수에 대하여 성립함을 증명하는 것입니다. $N$ = ${1, 2, 3, 4, ...}$ 를 자연수의 집합이라 하고, $P (n)$ 을 $다음$ 과 같이 N에 $속하는$ 자연수 n을 포함하는 수학적 문장이라 하자.

(i)P $(1)$ 은 참이며, 즉 $n$ = $1$ 의 경우 $P (n)$ 은 참입니다.
(ii) $P (n +1)$ 은 $P (n)$ 이 참일 때마다 참이며, 즉 $P (n)$ 은 P $(n +1)$ 이 참임을 암시합니다.
그렇다면 $P (n)$ 은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 참입니다.

예를 들어, $2n$ - $1$ 형태의 모든 양의 정수가 홀수임을 귀납법으로 증명할 수 있습니다. $P (n)$ 이 " $2n$ - $1$ 은 홀수"를 나타내도록 하자:

(i)

n

=

1

,

2n

- 1

=

2

(1)

-

1

=

1

의 경우

2

로 나눌 때 1의

나머지

를 남기므로

1

은 홀수입니다.

따라서

P

(1)

은 참입니다.

(ii) 만약

2n

-

1

이 홀수이면

(P

(n

)), (2n -

1)

+

2도

홀수여야 합니다. 홀수에

2

를 더하면 홀수가 되기 때문입니다.그러나

(2n

-

1)

+ 2

=

2n

+ 1 =

2(n +1)

-

1

이므로,

2(n +1)

-

1

은 홀수입니다 (

P (n +1

)).따라서

P (n)

은

P (n +1

)을 의미합니다

.

따라서 모든 양의 정수

n

에 대해

2n

-

1

은 홀수입니다.

"수학적 귀납법에 의한 증명" 대신 "귀납법에 의한 증명"이라는 짧은 문구가 자주 사용됩니다.^[17]

대조 증명

대조에 의한 증명은 논리적으로 동등한 대조적 문장을 설정함으로써 "만약 p라면 q라면 p가 아니다"라는 문장을 추론합니다.

예를 들어, $x$ 를 사용하여 $정수$ x {\ $displaystyle$ x $}$ 이 $x^{2}$ $x$ 가 $)$ $주어졌을$ 때 x 2 {\ $displaystyle$ x $^{2}}$ 가짝수이면 x {\ $x$ $x}$ 가 짝수임을 확인할 수 있습니다.

x

x

이

x

(가) 짝수가 아니라고 가정합니다.

그러면

x

x

이

x

(가) 홀수입니다.두 홀수의 곱이 홀수이므로 x

x^{2}=x\cdot x

=

x^{2}=x\cdot x

⋅

x^{2}=x\cdot x

{\displaystyle

x

^{2

}= x

\cdot x}

이(가) 홀수입니다.따라서

x^{2}

x^{2}

{\

x

^{2}}

는 짝수가 아닙니다

x^{2}

.따라서 x

x^{2}

{\

x

^{2}}

가

x^{2}

짝수이면 가정이 거짓이어야 하므로

x

{\displaystyle

x

}

이(가) 짝수여야 합니다

x

.

모순에 의한 증명

라틴어 reductio ad barulatum(부조리한 것으로 환원함)이라는 구절로도 알려진 모순에 의한 증명에서, 어떤 진술이 참이라고 가정되면 논리적 모순이 발생하므로 그 진술은 거짓이어야 한다는 것이 나타납니다.유명한 예로는 ${\sqrt {2}}$ ${\$ 이 ${\sqrt {2}}$ (가) 무리수라는 증명이 있습니다.

{\sqrt {2}}

{\

이

{\sqrt {2}}

(가) 유리수라고 가정합니다.그런 다음

{\sqrt {2}}={a \over b}

=

{\sqrt {2}}={a \over b}

{\displaystyle {\sqrt {

2}} = {a

\over b}

로 가장 낮은 용어로 쓸 수 있습니다. 여기서 a와 b는 공통 인자가 없는 0이 아닌 정수입니다.따라서

b{\sqrt {2}}=a

=

a {\displaystyle

b

{\sqrt {

2}}=

a

양변을 제곱하면 2b = a가 됩니다.왼쪽 표현식은 2의 정수배이므로 오른쪽 표현식은 정의상 2로 나눌 수 있습니다.즉, a는² 짝수이며, a 역시 짝수여야 한다는 것을 의미합니다. (#대조에 의한 증명에서) 위 명제에서 볼 수 있습니다.따라서 a = 2c를 쓸 수 있고, c도 정수입니다.원래 방정식으로 대체하면 2b = (2c) = 4c가 됩니다.양쪽을 2로 나누면 b = 2c가 됩니다.그런데 앞과 같은 주장으로 2 나누기 b이므로² b는 짝수여야 합니다.그러나 a와 b가 모두 짝수이면 2를 공통 요인으로 갖습니다.이는 a와 b가 공통 인자가 없다는 이전의 설명과 모순되므로

{\sqrt {2}}

{\

이(가) 무리수라는

{\sqrt {2}}

결론을 내려야 합니다.

의역하자면: ${\sqrt {2}}$ 2 ${\$ 를 분수로 ${\sqrt {2}}$ 쓸 수 있다면, 2는 항상 분자와 분모에서 인수분해될 수 있기 때문에 이 분수는 결코 가장 낮은 용어로 쓸 수 없습니다.

시공에 의한 증명

건축에 의한 증명, 또는 예에 의한 증명은 그 성질을 가진 것이 존재한다는 것을 보여주기 위해 성질을 가진 구체적인 예를 건설하는 것입니다.예를 들어, 조셉 리우빌은 명백한 예를 들어 초월수의 존재를 증명했습니다.또한 모든 요소가 특정 속성을 가지고 있다는 명제를 반증하기 위해 반례를 구성하는 데 사용할 수도 있습니다.

소진에 의한 증명

소진에 의한 증명에서는 한정된 수의 경우로 나누어 각각의 경우를 증명함으로써 결론이 성립됩니다.경우의 수는 때때로 매우 많아질 수 있습니다.예를 들어, 4색 정리의 첫 번째 증명은 1,936건으로 소진에 의한 증명이었습니다.이 증명은 대부분의 사건이 수작업이 아닌 컴퓨터 프로그램으로 확인되었기 때문에 논란이 있었습니다.2011년^[update] 현재 4색 정리의 가장 짧은 증거는 여전히 600건 이상의 사례를 가지고 있습니다.^[18]

확률적 증명

확률론적 증명은 확률 이론의 방법을 사용하여 확실하게 예가 존재함을 보여주는 증거입니다.확률적 증명은 구성에 의한 증명과 마찬가지로 존재 정리를 증명하는 많은 방법 중 하나입니다.

확률론적 방법에서는, 많은 후보들의 집합부터 시작하여, 주어진 속성을 갖는 객체를 찾습니다.각 후보가 선택될 확률을 할당한 다음 선택된 후보가 원하는 속성을 가질 확률이 0이 아님을 증명합니다.이것은 어떤 후보자가 속성을 가지고 있는지 지정하지 않지만, 적어도 하나가 없으면 확률이 양수일 수 없습니다.

확률론적 증명은 정리가 '아마도' 참이라는 주장, 즉 '가용성 논쟁'과 혼동하지 않는 것입니다.콜라츠 추측에 대한 연구는 신뢰성이 진정한 증거와 얼마나 거리가 먼지 보여줍니다.대부분의 수학자들이 주어진 물체의 성질에 대한 확률적인 증거가 진정한 수학적 증거로 간주되지 않는다고 생각하는 반면,몇몇 수학자들과 철학자들은 적어도 몇몇 종류의 확률적 증거들(예를 들어 라빈의 확률론적 알고리즘)이 진정한 수학적 증거만큼 좋다고 주장했습니다.^[19]^[20]

합법 증명

조합 증명은 서로 다른 방법으로 같은 개체를 세는 것을 보여줌으로써 서로 다른 식의 동등성을 확립합니다.종종 두 집합 사이의 사영을 사용하여 두 집합의 크기에 대한 식을 같게 표시합니다.또는 이중 계산 인수는 단일 집합의 크기에 대해 두 개의 다른 식을 제공하며, 두 식을 동일하다는 것을 다시 보여줍니다.

비건설적 증명

비건설적 증명은 어떤 성질을 가진 수학적 대상이 존재한다는 것을 증명하지만, 그러한 대상이 어떻게 발견될 수 있는지는 설명하지 않습니다.종종, 이것은 물체의 존재가 불가능하다는 것이 증명되는 모순에 의한 증명의 형태를 취합니다.반면, 건설적인 증명은 특정 대상을 찾는 방법을 제공함으로써 특정 대상이 존재한다는 것을 확립합니다. $a^{b}$ 비건설적 증명의 유명한 예는 b ${\$ 가 유리수가 되는 $a^{b}$ 비합리적인 수 a와 b가 2개 존재함을 보여줍니다.이 증명은 ${\sqrt {2}}$ ${\$ 이 ${\sqrt {2}}$ (가) 무리수임을 사용하지만(Euclid 이후로 쉬운 증명이 알려져 있음), ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ ${\$ 이(가) 무리수임을 ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ 사용하지 않습니다(이는 사실이지만 증명은 기본적이지 않음).

{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}

은(a =

a=b={\sqrt {2}}

= 2

{\displaystyle

a

a=b={\sqrt {2}}

= b = {\

sqrt {2}})

또는

{\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

{\sqrt {2}^{\sqrt {2}

는

a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

이므로 a =

a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}

{\

displaystyle

a = {\

sqrt

{2

}^{\sqrt

{2

}},

b={\sqrt {2}}

= 2 {\

displaystyle

b = {\

sqrt

{2

}}

을(를) 생성합니다

b={\sqrt {2}}

그러면

\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

=

\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

=

\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{2}=2

{\

laystyle \left ({

\

sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}={\

sqrt {2}}^{2}

=2

따라서 형식

a

의 유리수입니다

a^{b}.

{\displaystyle

a

^{b}.

}

순수수학에서의 통계적 증명

"통계적 증명"이라는 표현은 암호학, 혼돈 급수, 확률적 수론 또는 분석적 수론과 같은 순수 수학 분야에서 기술적 또는 구어적으로 사용될 수 있습니다.^[21]^[22]^[23]수학적 통계학이라고 알려진 수학 분야에서 수학적 증명을 지칭하는 것은 덜 일반적으로 사용됩니다.아래의 "데이터를 이용한 통계적 증명" 섹션도 참조하십시오.

컴퓨터 보조 증명

20세기까지 어떤 증명도 원칙적으로 그것의 타당성을 확인하기 위해 유능한 수학자에 의해 확인될 수 있다고 가정되었습니다.^[7]그러나 이제 컴퓨터는 정리를 증명하고 인간이나 팀이 확인하기에는 너무 긴 계산을 수행하는 데 사용됩니다. 4색 정리의 첫 번째 증명은 컴퓨터 보조 증명의 한 예입니다.일부 수학자들은 컴퓨터 프로그램의 오류나 계산 시 런타임 오류의 가능성이 그러한 컴퓨터 지원 증명의 타당성에 의문을 제기한다고 우려합니다.실제로, 중복성과 자체 점검을 계산에 통합하고 여러 개의 독립적인 접근법과 프로그램을 개발함으로써 컴퓨터 지원 증명을 무효화하는 오류의 가능성을 줄일 수 있습니다.특히 증명이 자연어를 포함하고 있고 숨겨진 잠재적 가정과 오류를 밝혀내기 위해 깊은 수학적 통찰력이 필요한 경우, 인간에 의한 증명의 경우에도 오류를 완전히 배제할 수 없습니다.

결정할 수 없는 진술

일련의 공리로부터 증명할 수도 없고 증명할 수도 없는 문장을 결정할 수 없다고 합니다.유클리드 기하학의 나머지 공리로부터 증명할 수도 반박할 수도 없는 평행 공준이 한 예입니다.

수학자들은 수학에서 집합론의 표준 체계인 ZFC(Zermelo-Frankel set theory)에서 증명할 수도 없고 증명할 수도 없는 진술이 많다는 것을 보여주었습니다. ZFC에서 결정할 수 없는 진술 목록을 참조하십시오.

괴델의 (첫 번째) 불완전성 정리는 수학적으로 관심이 있는 많은 공리계들이 결정되지 않은 진술들을 가질 것이라는 것을 보여줍니다.

휴리스틱 수학과 실험 수학

크니두스의 에우독소스와 같은 초기 수학자들이 증명을 사용하지 않은 반면, 유클리드부터 19세기 후반과 20세기의 기초 수학 발전에 이르기까지 증명은 수학의 필수적인 부분이었습니다.^[24]1960년대에 컴퓨팅 능력이 증가하면서 실험 수학에서 ^[25]증명 정리 틀 밖의 수학적 대상을 조사하는 중요한 작업이 수행되기 시작했습니다.이러한 방법의 초기 선구자들은 궁극적으로 이 작업을 고전적인 증명 정리 프레임워크에 포함시킬 의도를 가지고 있었습니다. 예를 들어 프랙탈 기하학의 초기 개발은 궁극적으로 그렇게 포함되어 있었습니다.^[26]

증명 종료

때때로, 증명의 끝을 나타내기 위해 "Q.E.D."라는 약어가 쓰여집니다.이 약어는 라틴어로 "실증될 것"을 뜻하는 "quoderat demonandum"을 의미합니다.더 일반적인 대안은 Paul Halmos의 이름을 따서 "tombstone" 또는 "할모스"로 알려진 □ 또는 ∎와 같은 정사각형 또는 직사각형을 사용하는 것입니다.구두 발표 중에 "QED", "□" 또는 "∎"를 쓸 때 "보여주기로 한"이 구두로 언급되는 경우가 많습니다.유니코드는 "증명의 끝" 문자인 U+220E(∎)(220E(hex) = 8718(dec))를 명시적으로 제공합니다.

참고 항목

참고문헌

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^ "A Note on the History of Fractals". Archived from the original on February 15, 2009. Mandelbrot, working at the IBM Research Laboratory, did some computer simulations for these sets on the reasonable assumption that, if you wanted to prove something, it might be helpful to know the answer ahead of time.
^ Lesmoir-Gordon, Nigel (2000). Introducing Fractal Geometry. Icon Books. ISBN 978-1-84046-123-7. ...brought home again to Benoit [Mandelbrot] that there was a 'mathematics of the eye', that visualization of a problem was as valid a method as any for finding a solution. Amazingly, he found himself alone with this conjecture. The teaching of mathematics in France was dominated by a handful of dogmatic mathematicians hiding behind the pseudonym 'Bourbaki'...
^ Herbst, Patricio G. (2002). "Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century" (PDF). Educational Studies in Mathematics. 49 (3): 283–312. doi:10.1023/A:1020264906740. hdl:2027.42/42653. S2CID 23084607.
^ Dr. Fisher Burns. "Introduction to the Two-Column Proof". onemathematicalcat.org. Retrieved October 15, 2009.

추가열람

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외부 링크

Wikimedia Commons의 수학적 증명 관련 매체
수학에서의 증명:심플하고 매력적이며 거짓된
Wik variety에서 제공하는 증거에 대한 강의

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[12] Buss, Samuel R. (1998), "An introduction to proof theory", in Buss, Samuel R. (ed.), Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 137, Elsevier, pp. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6Buss, Samuel R. (1998), "An introduction to proof theory", in Buss, Samuel R. (ed.), Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 137, Elsevier, pp. 1–78, ISBN 978-0-08-053318-6특히 p. 3: "증명 이론의 연구는 전통적으로 수학적 증명을 형식화하는 문제에 의해 동기 부여됩니다. 프레게[1879]의 1차 논리의 원래 공식화는 이러한 방향으로의 첫 번째 성공적인 단계였습니다."

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[14] 큐필라리, 20쪽.

[15] 큐필라리, 페이지 46.

[16] 모든 자연수에 대한 수학적 귀납법에 의한 단순 증명 예제

[17] 귀납법에 의한 증명 2012년 2월 18일 Warwick 대학 수학 용어집 Wayback Machine에서 보관됨

[18] 4색정리 #단순화 및 검증 참조.

[19] 데이비스, 필립 J.(1972), "수학적 담론의 충실성:하나와 하나가 정말로 둘일까요?"미국 수학 월간 79:252–63

[20] Fallis, Don(1997), "확률론적 증명의 인식적 현황", 철학저널 94:165-86

[21] '수론과 교환 대수학에서'특히 보조정리의 통계적 증명."[1]

[22] "일정한 π(즉, pi)가 정상인지 여부는 일부 통계적 증명을 제외하고는 엄격한 이론적 증명 없이 혼란스러운 문제입니다."(Derogatory use)[2]

[23] "이러한 관측은 큰 E의 실패 확률이 매우 빠르게 사라지는 골드바흐 추측에 대한 통계적 증거를 제시합니다." [3]

[24] Mumford, David B.; Series, Caroline; Wright, David (2002). Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-35253-6. What to do with the pictures? Two thoughts surfaced: the first was that they were unpublishable in the standard way, there were no theorems only very suggestive pictures. They furnished convincing evidence for many conjectures and lures to further exploration, but theorems were coins of the realm and the conventions of that day dictated that journals only published theorems.

[25] "A Note on the History of Fractals". Archived from the original on February 15, 2009. Mandelbrot, working at the IBM Research Laboratory, did some computer simulations for these sets on the reasonable assumption that, if you wanted to prove something, it might be helpful to know the answer ahead of time.

[26] Lesmoir-Gordon, Nigel (2000). Introducing Fractal Geometry. Icon Books. ISBN 978-1-84046-123-7. ...brought home again to Benoit [Mandelbrot] that there was a 'mathematics of the eye', that visualization of a problem was as valid a method as any for finding a solution. Amazingly, he found himself alone with this conjecture. The teaching of mathematics in France was dominated by a handful of dogmatic mathematicians hiding behind the pseudonym 'Bourbaki'...

[27] Herbst, Patricio G. (2002). "Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century" (PDF). Educational Studies in Mathematics. 49 (3): 283–312. doi:10.1023/A:1020264906740. hdl:2027.42/42653. S2CID 23084607.

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