기초 교정쇄

수학에서 기초적인 증명이란 기초적인 기술만을 사용하는 수학적 증명이다. 구체적으로는 복잡한 분석을 사용하지 않는 증빙을 참조하기 위해 숫자 이론에서 이 용어를 사용한다. 역사적으로 소수 정리처럼 특정한 이론은 "더 높은" 수학적인 이론이나 기법을 불러 일으켜야만 증명할 수 있다고 한때 생각되었다. 그러나 시간이 지날수록 이러한 결과들 중 상당수는 이후 기초적인 기술만을 사용하여 재책정되었다.

무엇이 기초적인 것으로 간주되는지에 대해 일반적으로 공감대는 없지만, 그럼에도 불구하고 이 용어는 수학적 전문용어의 일반적인 부분이다. 기본적인 증거는 이해하기 쉽거나 사소한 것이라는 의미에서 반드시 간단하지는 않다. 사실, 일부 기본적인 증거는 상당히 복잡할 수 있다. 그리고 이것은 특히 중요한 진술이 관련되었을 때 더욱 그렇다.^[1]

소수 정리

소수 정리와 관련하여 초등 증명과 비초등 증명의 구별은 특히 중요하게 여겨져 왔다. 이 정리는 1896년 자크 하다마르와 샤를 장 드 라 발레 푸신에 의해 복잡한 분석을 통해 처음 증명되었다.^[2] 그 후 많은 수학자들이 그 정리에 대한 기본적인 증거들을 구성하려고 시도했지만, 성공하지 못했다. G. H. 하디는 강한 의구심을 나타냈다; 그는 그 결과의 본질적인 "깊이"가 기초적인 증거를 배제한다고 생각했다.

소수 정리에 대한 기본적인 증거는 알려져 있지 않으며, 그것을 기대하는 것이 타당한지 물어볼 수도 있다. 이제 우리는 그 정리가 대략 리만의 제타함수가 일정한 선에 뿌리를 두고 있지 않다는 분석함수에 대한 정리와 동등하다는 것을 알고 있다. 기능 이론에 근본적으로 의존하지 않는 그런 정리의 증거는 내게는 아주 가능성이 희박해 보인다. 수학적인 정리가 특정한 방법으로 증명될 수 없다고 주장하는 것은 경솔하지만, 한 가지는 꽤 분명한 것 같다. 우리는 이론의 논리에 대해 어떤 견해를 가지고 있다; 우리는 우리가 "깊이 누워있다"고 말하는 것과 같이 어떤 이론들은 표면과 더 가까운 것이라고 생각한다. 만약 누구든지 소수정리의 기초적인 증거를 만들어 낸다면, 그는 이러한 견해들이 잘못되었다는 것을 보여줄 것이고, 주제가 우리가 생각했던 방식대로 함께 얽혀 있지 않다는 것, 그리고 이제 그 책들은 제쳐지고 이론은 다시 쓰여질 때라는 것을 보여줄 것이다.

— G. H. Hardy (1921). Lecture to Mathematical Society of Copenhagen. Quoted in Goldfeld (2003), p. 3^[3]

그러나 1948년, Atle Selberg는 그와 Paul Erdős가 소수 정리의 기초적인 증거를 찾도록 이끈 새로운 방법을 생산했다.^[3]

숫자이론적 결과의 증명과 관련하여 "초등적"이라는 개념을 공식화할 수 있는 것은 그 증거가 페아노 산술에서 수행될 수 있다는 제한이다.^{[citation needed]} 또한 그런 의미에서 이러한 증명들은 초보적인 것이다.^{[citation needed]}

프리드먼의 추측

하비 프리드먼은 "수학연보에 게재된 모든 정리는 미세한 수학적 물체(즉, 논리학자들이 산술적 진술이라고 부르는 것)만을 포함하는 것으로 초등 산술에서 증명될 수 있다"^[4]고 추측했다. 이 추측에서 언급된 기초 산술의 형태는 정수 산술과 수학적 유도에 관한 작은 공리 집합에 의해 공식화될 수 있다. 예를 들어, 이 추측에 따르면, 페르마의 마지막 정리는 기초적인 증거를 가져야 한다; 페르마의 마지막 정리에 대한 와일스의 증거는 기초적인 것이 아니다. 그러나 이 이론에서는 증명할 수 없는 반복된 지수함수의 존재와 같은 산술에 관한 다른 간단한 진술들이 있다.

참조