무한하강에 의한 증명

수학에서, 페르마트의 하강법이라고도 알려진 무한하강에 의한 증명은, 만약 그 진술이 숫자에 대해 유지된다면, 적은 숫자에 대해서도 마찬가지일 것이고, 무한하강과 울티로 이어진다는 것을 보여줌으로써, 어떤 진술이 어떤 숫자에 대해서도 도저히 지탱할 수 없다는 것을 보여주는데 사용된, 모순에 의한 증명의 특별한 종류다.순전히 ^[1]모순이다 잘 정돈된 원리에 의존하는 방법이며, 디오판틴 방정식과 같은 주어진 방정식이 해답이 없음을 보여주는 데 자주 사용된다.^[2]^[3]

전형적으로, 어떤 의미에서는 하나 이상의 자연수와 관련된 문제에 대한 해결책이 존재한다면, 그것은 반드시 하나 이상의 '작은' 자연수와 관련된 두 번째 해결책이 존재함을 암시할 것이라는 것을 보여준다. 이는 차례로 더 작은 자연수와 관련된 제3의 해답을 의미하며, 이는 제4의 해법, 즉 제5의 해법 등을 의미한다. 그러나, 더 작은 자연수는 무한히 존재할 수 없으며, 따라서 수학적 유도에 의해, 어떤 해결책이 존재한다는 원래의 전제는 부정확하다: 그것의 정확성은 모순을 낳는다.

이를 표현할 수 있는 다른 방법은 하나 이상의 솔루션 또는 사례가 존재한다고 가정하는 것이다. 여기서 최소의 솔루션 또는 예(최소 counterrexample)를 추론할 수 있다. 일단 그곳에 가면, 가장 작은 해결책이 존재한다면, 그것은 반드시 더 작은 해결책의 존재(어떤 의미에서는)를 암시해야 한다는 것을 증명하려고 할 것이고, 이것은 다시 어떤 해결책의 존재가 모순으로 이어질 것이라는 것을 증명할 것이다.

무한하강 방법의 가장 초기 사용은 유클리드 원소에 나타난다.^[2] 대표적인 예가 7권의 발의안 31인데, 유클리드에서는 모든 복합정수를 (유클리드 용어 "측정"으로) 일부 소수씩 나눈다는 것을 증명한다.^[1]

이 방법은 훨씬 후에 페르마(Fermat)에 의해 개발되었는데, 페르마(Fermat)는 이 용어를 만들어 디오판타인 방정식에 자주 사용했다.^[3]^[4] 대표적인 두 가지 예는 디오판틴 방정식 r² + s = t의⁴⁴ 비솔루빌리티를 보여주고, p ≡ 1 (mod 4) (증거 참조)일 때 홀수 프라임 p는 두 제곱의 합으로 표현할 수 있다고 기술한 두 제곱합의 합계에 대한 페르마의 정리를 증명하는 것이다. 이렇게 해서 페르마트는 고전적 관심의 디오판타인 방정식의 많은 사례에서 해결책의 비존재성을 보여줄 수 있었다(예를 들면 산술적 수열의 네 가지 완벽한 제곱의 문제).

어떤 경우, 현대인의 눈에는 그의 '무한하강 방법'이 타원 곡선 E의 합리적 포인트에 대한 이중화 함수의 역전을 착취하는 것이다. 그 문맥은 E에 대한 가상의 비종교적 이성적 논점이다. E에 점을 두 배로 늘리면 점을 작성하는 데 필요한 숫자의 길이(자리 수)가 대략 두 배가 되므로 점의 "할빙"은 더 작은 용어로 합리적으로 된다. 조건이 긍정적이기 때문에 영원히 줄어들 수는 없다.

수 이론

20세기의 수론에서는 무한 하강법을 다시 취하여 대수적 수 이론의 주추력, L 기능 연구와 연결되는 지점으로 밀어붙였다. 타원 곡선 E의 합리적 포인트가 미세하게 생성되는 아벨리안 집단을 형성하는 모르델의 구조적인 결과는 페르마의 스타일로 E/2E에 기초한 무한 하강 인수를 사용했다.

이것을 아벨의 품종 A의 사례로 확대하기 위해서, 안드레 웨일은 키 함수를 이용하여 용액의 크기를 정량화하는 방법, 즉 기초가 된 개념을 더 명시적으로 만들어야 했다. A(Q)/2A(Q)가 유한하다는 것을 보여주려면, 이것은 확실히 A의 합리적 지점의 그룹 A(Q)의 유한한 세대에 필요한 조건이다. 이렇게 해서 이론에서 추상적으로 정의한 코호몰로지 집단은 페르마의 전통에서 혈통과 동일시된다. 모르델-와일 정리는 후에 매우 광범위한 이론이 된 것의 시작에 있었다.

적용 예

√2의 비합리성

2의 제곱근은 비합리적(즉, 정수의 2분의 1로 표현할 수 없음)이라는 증거는 고대 그리스인에 의해 발견되었으며, 아마도 무한하강에 의한 증명 중 가장 일찍 알려진 예일 것이다. 피타고라스는 정사각형의 대각선이 그 옆면, 즉 현대어로 볼 때 두 개의 제곱근이 비이성적이라는 것을 발견했다. 이 발견의 시기나 상황에 대해서는 확실하지 않은 것은 거의 없지만, 메타폰툼의 히파수스의 이름이 자주 언급된다. 한동안 피타고라스는 두 개의 제곱근이 비이성적이라는 발견을 공무상 비밀로 취급했고, 전설에 따르면 히파수스는 그것을 누설한 죄로 살해당했다고 한다.^[5]^[6]^[7] 2의 제곱근은 때때로 "피타고라스 수" 또는 "피타고라스 상수"라고 불리는데, 예를 들어 Conway & Guy(1996)와 같다.^[8]

고대 그리스인들은 대수학을 갖지 못한 채 무한하강에 의해 기하학적 증거를 고안해냈다(존 호튼 콘웨이는 더 쉽게^[9] 접근할 수 있는 무한하강에 의한 또 다른 기하학적 증거를 제시했다). 다음은 유사한 선에 따른 대수적 증거다.

√2가 합리적이었다고 가정해 보자. 그러면 라고 쓰여질 수 있었다.

{\sqrt{2}}={\frac {p}{q}}}

$p$ 와 $q$ 라는 두 개의 자연수에 대해. 그러면 쪼그려 앉는 것이 주어질 것이다.

2={\frac {p^{2}}:{q^{2}},}

2q^{2}=p^{2},

그래서 2는 p를² 나누어야 한다. 2는 소수이기 때문에 p를 유클리드 보조정리기로 나누어야 한다. 따라서 p = 2r, 일부 정수 r의 경우.

그러나

2q^{2}=(2r)^{2}=4r^{2},

q^{2}=2r^{2},

이는 2도 q를 나누어야 한다는 것을 보여준다. 따라서 q = 일부 정수 s의 경우 2s.

이것으로 알 수 있다.

{\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}

{\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}

=

{\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}

{\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}

{\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}

=

{\frac {p}{q}}={\frac {2r}{2s}}={\frac {r}{s}}

{\

따라서 √2를 이성적인 숫자로 쓸 수 있다면, 언제나 작은 부분을 가진 이성적인 숫자로 쓸 수 있는데, 그 자체가 아직 작은 부분, ad infinitum으로 쓸 수 있을 것이다. 그러나 이것은 자연수의 집합에서는 불가능하다. √2는 이성적이거나 비이성적일 수 있는 실수이기 때문에, 22가 비이성적일 수 있는 유일한 선택은 √2가 비이성적일 수밖에 없다.^[10]

(대안적으로 이것은 만약 √2가 합리적이었다면, "가장 작은" 표현 p/q를 찾으려는 어떠한 시도도 더 작은 표현은 존재한다는 것을 의미할 것이기 때문에, 분수로써 "가장 작은" 표현은 존재할 수 없다는 것을 증명한다. 이는 유사한 모순이다.)

정수가 아닌 경우 √k의 비합리성

양의 정수 k의 경우 √k는 정수가 아니라 합리적이고 자연수 m과 n의 경우 _n½로 표현할 수 있다고 가정하고 q는 qk보다 작은 최대 정수가 되도록 한다. 그러면

{\begin{aligned}{\sqrt {k}}&={\frac {m}{n}}\\[8pt]&={\frac {m({\sqrt {k}}-q)}{n({\sqrt {k}}-q)}}\\[8pt]&={\frac {m{\sqrt {k}}-mq}{n{\sqrt {k}}-nq}}\\[8pt]&={\frac {(n{\sqrt {k}}){\sqrt {k}}-mq}{n({\frac {m}{n}})-nq}}\\[8pt]&={\frac {nk-mq}{m-nq}}\end{aligned}}

분자와 분모는 각각 양수지만 1보다 작은 표현( 1k - q)으로 곱한 다음 독립적으로 단순화했다. 따라서 결과물인 m'과 n'은 그 자체로 정수이며 각각 m과 n보다 작다. 따라서 √k를 표현하기 위해 어떤 자연수 m과 n을 사용하든, 같은 비율을 가진 더 작은 자연수 m과 n이 존재한다. 그러나 자연수에 대한 무한하강이 불가능하기 때문에 이것은 √k가 자연수의 비율로 표현될 수 있다는 원래의 가정을 반증한다.^[11]

r²⁴ + s = t의⁴ 비탄성 및 순열

$r^{2}+s^{4}=t^{4}$ $r^{2}+s^{4}=t^{4}$ + $r^{2}+s^{4}=t^{4}$ $r^{2}+s^{4}=t^{4}$ = t $r^{2}+s^{4}=t^{4}$ ${\$ r $^{2}+s^{4$ $}}=t^{4}}$ 정수로는 $r^{2}+s^{4}=t^{4}$ $q^{4}+s^{4}=t^{4}$ $q^{4}+s^{4}=t^{4}$ + $q^{4}+s^{4}=t^{4}$ $q^{4}+s^{4}=t^{4}$ = t $q^{4}+s^{4}=t^{4}$ ${\$ }의 비탄력성을 나타내기에 충분하다. $}}=t^{4}}$ 는 페르마의 마지막 정리의 특수한 경우인 정수(integers)로 $q^{4}+s^{4}=t^{4}$ , 후자의 역사적 증거는 무한하강을 이용하여 전자를 보다 광범위하게 증명함으로써 진행되었다. 다음의 보다 최근의 증거는 피타고라스의 삼각형은 가장 작은 삼각형이 없기 때문에 사각형 또는 두 개의 사각형 중 어느 쪽도 각각 가질 수 없다는 것을 더 광범위하게 증명함으로써 이 두 가지 불가능성을 모두 보여준다.^[12]

그러한 피타고라스의 삼각형이 존재한다고 가정해보자. 그러면 그것은 크기가 축소되어 같은 성질을 가진 원시적(즉, 1) 피타고라스적 삼각형을 줄 수 있다. Primitive Pythagorean triangles' sides can be written as $x=2ab,$ $y=a^{2}-b^{2},$ $z=a^{2}+b^{2}$ , with a and b relatively prime and with a+b odd and hence y and z both odd. y와 z가 각각 홀수라는 속성은 y와 z 모두 제곱의 두 배가 될 수 없다는 것을 의미한다. 더욱이 x가 정사각형이나 두 개의 정사각형이라면 a와 b는 각각 정사각형이나 두 개의 정사각형이다. 각 면에 각각 정사각형 또는 두 개의 정사각형으로 가정하는 세 가지 경우가 있다.

y와 z: 이 경우 y와 z는 모두 제곱이다. 그러나 다리가 ${\sqrt {yz}}$ z ${\$ $b^{2}$ 2 {\ $sqrt$ {\sqrt { $yz}},$ $a^{2}$ 2 $b^{2}$ {\ $displaystyle$ a $^{$ $2}}:}$ 인 오른쪽 삼각형도 $a^{2}$ 정사각형 다리( $a^{2}$ 2 {\ $displaystysty$ b $^{2}})$ 를 포함한 정수면이 있고 havv가 된다. $a^{2}$ $a^{2}$ 보다 작은 하이포텐use ( $z=a^{2}+b^{2}$ = $z=a^{2}+b^{2}$ + $z=a^{2}+b^{2}$ $z=a^{2}+b^{2}$ ${\$ $z=a^{2}+b^{2}$ )
z와 x:z는 제곱이다. $b$ 가 ${\displaystyle a},$ b $a$ ${\displaystyle$ b $},$ 하이포텐use $b$ z ${\displaystyle$ { $sqrt{z}}$ 인 정수 오른쪽 삼각형도 ${\sqrt {z}}$ 각각 정사각형 또는 $두$ 개의 정사각형인 양면 $({\$ $displaystystyle$ $a$ $},$ ${\sqrt {z}}$ ${\sqrt$ 을 가질 수 있다. $}}}$ 과(와) 비교하여 ${\sqrt {z}}$ ${\displaystyle$ z $z$
y와 x: y는 제곱이다. 다리 $b$ $b$ ${\sqrt {y}}$ y ${\$ 을 ${\sqrt {y}}$ (를) 가진 정수 오른쪽 삼각형 및 ${\$ $displaystyle$ a $}$ 은(는) 각각 정사각형 또는 두 개의 정사각형인 양면(b와 a $z=a^{2}+b^{2}$ 을 $a$ 가지며 $,$ 원래 삼각형( $z=a^{2}+b^{2}$ = a $2$ $z=a^{2}+b^{2}$ )보다 작은 하이포텐션을 가진다 $a$ . ${\displaystyle z=a^{2}+b^{2}}.$

이러한 경우 어느 경우든, 각각 정사각형 또는 두 개의 정사각형인 피타고라스 삼각형 하나가 더 작은 삼각형으로 이어졌고, 이는 결국 더 작은 삼각형 등으로 이어질 것이다. 그러한 순서는 무한히 계속될 수 없기 때문에, 그러한 삼각형이 존재한다는 원래의 전제는 틀려야 한다.

이것은 방정식이

r^{2}+s^{4}}}=t^{4},

{\displaystyle

}}=t^{4},}

및

r^{4}+s^{2}=t^{4},

{\displaystyle r^{4}+s^{4}}}=t^{2}}:

두 개의 면이 정사각형인 피타고라스의 삼각형을 만들 수 있기 때문에, 비삼각형 해결책을 가질 수 없다.

페르마의 정리 n = 4 사례에 대한 무한 강하에 의한 다른 유사한 증명에 대해서는 그랜트, 페렐라^[13], 바바라 등의 기사를 참조한다.^[14]

참고 항목

비에타 점프

참조

^ ^a ^b "What Is Infinite Descent". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-12-10.
^ ^a ^b "Fermat's Method of Infinite Descent Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2019-12-10.
^ ^a ^b Donaldson, Neil. "Fermat's Method of Descent" (PDF). math.uci.edu. Retrieved 2019-12-10.
^ Weil, André (1984), Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser, pp. 75–79, ISBN 0-8176-3141-0
^ 스테파니 J. 모리스 "피타고라스 정리" 수학 학장 조지아 대학교 에드.
^ Brian Clegg, "The Dangerous Ratio...", Nrich.org, 2004년 11월.
^ 쿠르트 폰 프리츠 "메타폰툼의 히파수스에 의한 불협화음 발견" 1945년 수학 연보,
^ Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, p. 25
^ "Square root of 2 is irrational (Proof 8)". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-12-10.
^ Conrad, Keith (August 6, 2008). "Infinite Descent" (PDF). kconrad.math.uconn.edu. Retrieved 2019-12-10.
^ Sagher, Yoram (February 1988), "What Pythagoras could have done", American Mathematical Monthly, 95 (2): 117, doi:10.2307/2323064, JSTOR 2323064
^ Dolan, Stan, "Fermat's downe infinie" , Mathematical Gazette 95, 2011년 7월, 269–271.
^ 그랜트, 마이크, 페렐라, 말콤, "비이성적인 자에게 전함", 수학 가제트 83, 1999년 7월, 페이지 263–267.
^ 바바라, 로이, "Fermat의 케이스 n = 4에서의 마지막 정리", 2007년 7월, Mathematical Gazette 91, 260–262.

추가 읽기

PlanetMath에서 무한 강하.
Fermat의 PlanetMath 마지막 정리 예.

[:0-1] "What Is Infinite Descent". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-12-10.

[:1-2] "Fermat's Method of Infinite Descent Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Retrieved 2019-12-10.

[:2-3] Donaldson, Neil. "Fermat's Method of Descent" (PDF). math.uci.edu. Retrieved 2019-12-10.

[4] Weil, André (1984), Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser, pp. 75–79, ISBN 0-8176-3141-0

[5] 스테파니 J. 모리스 "피타고라스 정리" 수학 학장 조지아 대학교 에드.

[6] Brian Clegg, "The Dangerous Ratio...", Nrich.org, 2004년 11월.

[7] 쿠르트 폰 프리츠 "메타폰툼의 히파수스에 의한 불협화음 발견" 1945년 수학 연보,

[8] Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, p. 25

[9] "Square root of 2 is irrational (Proof 8)". www.cut-the-knot.org. Retrieved 2019-12-10.

[10] Conrad, Keith (August 6, 2008). "Infinite Descent" (PDF). kconrad.math.uconn.edu. Retrieved 2019-12-10.

[11] Sagher, Yoram (February 1988), "What Pythagoras could have done", American Mathematical Monthly, 95 (2): 117, doi:10.2307/2323064, JSTOR 2323064

[12] Dolan, Stan, "Fermat's downe infinie" , Mathematical Gazette 95, 2011년 7월, 269–271.

[13] 그랜트, 마이크, 페렐라, 말콤, "비이성적인 자에게 전함", 수학 가제트 83, 1999년 7월, 페이지 263–267.

[14] 바바라, 로이, "Fermat의 케이스 n = 4에서의 마지막 정리", 2007년 7월, Mathematical Gazette 91, 260–262.

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