ZFC와 무관한 문장 목록

아래에서 논의한 수학적인 진술은 ZFC가 일관된다고 가정할 때 ZFC(제르멜로-프라엔켈 공리와 선택 공리로 구성되는 현대 수학의 표준적 공리 집합 이론)와는 확실히 독립적이다.문장이 ZFC의 공리로부터 증명되거나 반증될 수 없는 경우, 문장은 ZFC(때로는 "ZFC에서 결정 가능하지 않은" 표현)와 무관하다.

자명 집합론

1931년, 커트 괴델은 첫 번째 ZFC 독립성 결과, 즉 ZFC 자체의 일관성이 ZFC(Gödel의 두 번째 불완전성 정리)와는 독립적이라는 것을 증명했다.

다음 문구는 ZFC와 무관하며, 그 중에서도 다음과 같다.

• ZFC의 일관성
• 연속 가설 또는 CH(괴델은 CH가 참인 ZFC 모델을 제작하여 ZFC에서 CH가 반증될 수 없음을 보여주고, 폴 코헨은 나중에 CH가 실패하는 ZFC 모델을 강제로 전시하도록 하는 방법을 발명하여 CH가 ZFC에서 증명될 수 없음을 보여준다.다음과 같은 네 가지 독립성 결과도 괴델/코헨에 기인한다.
• 일반화된 연속체 가설(GCH)
• 관련 독립 진술은 집합 x가 y보다 적은 요소를 가지고 있다면, x는 y보다 더 적은 부분 집합을 가지고 있다는 것이다.특히 x와 y의 권력 집합의 기본값이 일치하면 이 진술은 실패한다.
• 시공성의 공리(V = L)
• 다이아몬드 원리(diamond principle),
• 마틴의 공리(MA);
• MA + ¬CH(Solovay와 Tennenbaum이 보여주는 독립성).^[1]

우리는 다음과 같은 함축적 사슬을 가지고 있다.

V = L → ◊ → CH,

V = L → GCH → CH,

CH → MA,

및 (순서 이론 섹션 참조):

◊ → ¬SH,

MA + ¬CH → EATS → SH.

대형 추기경의 존재와 관련된 여러 진술은 ZFC에서 증명될 수 없다(ZFC가 일관된다고 가정한다).이들은 ZFC와 무관하며, 대부분의 실무 세트 이론가들이 그렇게 믿고 있는 ZFC와 일치한다.이러한 진술은 ZFC의 일관성을 암시할 정도로 충분히 강하다.이는 ZFC와의 일관성을 ZFC에서 증명할 수 없는 결과(Gödel의 두 번째 불완전성 정리를 통해)를 가지고 있다(ZFC가 일관된다고 가정).이 세분류에 속하는 문장은 다음과 같다.

• 접근 불가능한 추기경의 존재
• 마를로 추기경의 존재
• 측정 가능한 추기경의 존재(울람이 첫 번째 추측)
• 초소형 추기경의 존재

다음과 같은 진술은 적절한 대형 추기경의 일관성을 가정할 때 ZFC와는 무관하다는 것을 증명할 수 있다.

• 적절한 강제 공리
• 오픈 컬러링 공리
• 마틴의 최대치
• 0의^# 존재
• 단수 추기경 가설
• 투영적 결정성(선택 공리가 가정되지 않은 경우 결정성의 전체 공리까지 포함)

실선의 세트 이론

정확한 값이 ZFC와는 무관한 바이어 범주 정리와 관련된 측정 이론과 진술과 연결된 실선의 많은 기형적 불변자가 있다.그들 사이에 비종교적 관계가 증명될 수 있는 반면, 대부분의 기독 불변자들은 ℵ과₁ 2사이의^ℵ₀ 어떤 규칙적인 추기경이 될 수 있다.이것은 실선의 세트 이론에서 주요한 연구 영역이다(시콘 도표 참조).MA는 가장 흥미로운 불변들을 2로^ℵ₀ 설정하는 경향이 있다.

실선의 부분집합 X는 양의 실재의 모든 시퀀스(시퀀스_n)에 X를 커버하는 구간(I_n)의 시퀀스가 존재하며 최대 ε의_n 길이를_n 가질 경우 0으로 설정된 강한 측정값이다.보렐의 추측, 즉 모든 강력한 측정치 0 세트는 셀 수 있다는 것은 ZFC와는 무관하다.

실제 라인의 부분집합 X는 매 공개 간격마다 ${\displaystyle {\aleph \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$-dense로$$ X의 많은$$ 요소들을 포함하고 있다.모든 $\aleph {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$1} -dens$$ 세트가 주문 이형인지 여부는 ZFC와 무관하다.^[2]

순서론

Suslin의 문제는 특정한 속성들의 짧은 리스트가 순서가 정해진 실제 숫자 R의 특징을 나타내는지를 묻는다.이것은 ZFC에서 이해할 수 없는 것이다.^[3]서슬린 선은 이 특정 특성 리스트를 만족하지만 R에 대해 이질서가 없는 순서 집합이다.다이아몬드 원리 ◊은 서슬린 선의 존재를 증명하는 반면, MA + ¬CH는 EATS(모든 아론자jn 트리는 특별함)^[4]를 내포하고 있는데, 이는 다시 서슬린 선의 비존재성을 내포하고 있다(그러나 동등하지는 않다).^[5]로널드 젠슨은 CH가 서슬린 선의 존재를 암시하지 않는다는 것을 증명했다.^[6]

쿠레파 나무의 존재는 접근하기 어려운 추기경의 일관성을 가정하여 ZFC와는 독립적이다.^[7]

순서 번호 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 파티션이 단색색상 순차적으로 닫힌 부분집합이 없는 두 가지 색상으로$$ 존재한다는 것은 Mahlo 추기경의 일관성을 가정하여 ZFC, ZFC + CH 및 ZFC + ¬CH와 무관하다.^[8][9][10]이 셀라의 정리는 H. 프리드먼의 질문에 대답한다.

추상대수학

1973년 사하론 셀라는 화이트헤드 문제("Ext¹(A, Z) = 0을 가진 모든 아벨리아 그룹 A는 자유 아벨리아 그룹인가?")가 ZFC와는 무관하다는 것을 보여주었다.^[11]Ext¹(A, Z) = 0을 가진 아벨 그룹을 Whitehead 그룹이라고 하며, MA + headCH는 비자유 Whitehead 그룹의 존재를 증명하는 반면, V = L은 모든 Whitehead 그룹이 자유롭다는 것을 증명한다.적절한 강제력을 적용한 가장 초기 사례 중 하나로, 셀라는 비자유 화이트헤드 그룹이 있는 ZFC + CH 모델을 구축했다.^[12][13]

실제 숫자와 그 분수 M = R(x,y,z)에 대한 세 변수의 다항식 A = R[x,y,z]을 고려하십시오.A-모듈로서의 M의 투영 치수는 2 또는 3이지만, 2와 같거나, CH가 보유할 경우에만 2와 같다.^[14]

연속체 가설이 유지되는 경우에만, 헤아릴 수 없이 많은 분야의 직접적인 산물은 글로벌 차원 2를 가진다.^[15]

수 이론

구체적인 다항식 p ∈ Z[x₁, ..., x₉]를 적으면 "inters m₁, ..., m₉ with p(m₁, ..., m₉) = 0"이라는 문구는 ZFC에서 입증되거나 반증될 수 없다(ZFC가 일관된다고 가정한다).이것은 유리 마티야세비치가 힐베르트의 10번째 문제를 해결한 데서 따온 것이다; 다항식은 ZFC가 일관성이 없는 경우에만 정수 뿌리를 가지도록 구성된다.^[16]

측량 이론

기능이 더 이상 측정할 수 없다고 가정되지 않고 단지 두 개의 반복된 통합이 잘 정의되고 존재한다는 점에서 긍정적인 기능에 대한 푸비니의 보다 강력한 정리는 ZFC와는 독립적이다.한편으로 CH는 반복된 통합이 같지 않은 단위 사각형에 함수가 존재함을 암시한다. 즉, 함수는 단순히 추기경 Ω의₁ 웰 오더와 동등한 [0, 1]의 지시함수일 뿐이다.유사한 예는 MA를 이용하여 구성할 수 있다.반면 강한 후비니 정리의 일관성은 프리드먼에 의해 처음 나타났다.^[17]프리링의 대칭 공리의 변종에서도 추론할 수 있다.^[18]

위상

Normal Moore Space 추측, 즉 모든 정상적인 무어 공간은 메트리가 가능하고 CH 또는 MA + ¬CH를 가정할 때 반증될 수 있으며, 대형 추기경의 존재를 암시하는 어떤 공리를 가정할 때 증명될 수 있다.따라서 대형 추기경들에게 부여된 노멀 무어 스페이스 추측은 ZFC와는 무관하다.

$P{\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$)${\displaystyle }$/ ${\$ 유한$$, P 포인트, Q 포인트, ...에 대한 다양한 주장

S- 및 L-스페이스

기능분석

Garth Dales와 Robert M. 솔로바이는 1976년에 바나흐 대수 C(X)에서 다른 바나흐 대수학으로의 모든 대수 동형성(X는 어떤 콤팩트한 하우스도르프 공간)은 연속적이어야 한다는 카플란스키의 추측이 ZFC와는 무관하다는 것을 증명했다.CH는 어떤 무한 X에 대해서도 바나흐 대수학으로 불연속적인 동형성이 존재함을 암시한다.^[19]

무한 차원 분리 가능한 힐버트 공간 H에서 경계 선형 연산자의 대수 B(H)를 고려한다.콤팩트 연산자는 B(H)에서 양면 이상을 형성한다.1987년 안드레아스 블라스와 사하론 셀라가 증명했듯이, 이 이상이 적절히 작은 두 개의 이상을 합한 것인가 하는 문제는 ZFC와는 무관하다.^[20]

찰스 에이커먼과 닉 위버는 2003년에 "Naimark의 문제에 대한 counterrexample이 존재하며, 이것은 ℵ에₁ 의해 생성되는 요소"라는 문장이 ZFC와는 무관하다는 것을 보여주었다.

미로슬라프 바차크와 페트르 하제크는 2008년 "모든 아스플룬트 공간 Ω은₁ 마주르 교차로 속성과 함께 리노밍을 한다"는 문구가 ZFC와 무관함을 증명했다.결과는 마르틴의 최대 공리를 사용하여 보여지는 반면 마르 히메네즈와 호세 페드로 모레노(1997)는 CH를 가정하여 counterrexample을 제시하였다.

일리야스 파라와^[21] N이 보여주는 것처럼. Christopher Phillips와 Nik Weaver,^[22] 칼킨 대수학의 외부 자동화의 존재는 ZFC를 넘어 설정된 이론적 가정에 달려 있다.

모델 이론

장 추기경의 추측은 에르드 추기경의 일관성을 가정하는 ZFC와는 무관하다.

계산성 이론

마르시아 그로섹과 테오도어 슬라먼은 튜링 학위 구조와 관련하여 ZFC와는 무관한 진술의 예를 들었다.특히, 연속체보다 작은 크기의 최대 독립적 세트가 존재하는지 여부.^[23]

참조

외부 링크

• ZFC와 무관한 합리적인 의견의 진술은 무엇인가?, mathoverflow.net