운동(수학)

Exercise (mathematics)

수학 연습은 정해진 도전에 대수학이나 다른 수학의 일상적인 응용이다. 수학 교사들은 학생들의 능력을 계발하기 위해 수학 훈련을 배정한다. 초기 운동은 정수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 다룬다. 학교에서의 광범위한 연습과정은 그러한 산수를 합리적인 숫자로 확장시킨다. 기하학에 대한 다양한 접근방식은 각도, 세그먼트, 삼각형의 관계에 기초하여 연습한다. 삼각법 주제는 삼각학적 정체성으로부터 많은 운동을 얻는다. 대학 수학 연습은 종종 실제 변수의 기능이나 이론의 적용에 의존한다. 미적분학의 표준 연습에는 파생상품과 특정 기능의 통합이 포함된다.

보통 강사들은 학생들에게 연습이 명시되고 모범답안이 제공된다. 종종 학생들이 스스로 운동을 시도할 준비가 되기 전에 몇 가지 작업한 예가 설명된다. Schaum's Outlines에 있는 것과 같은 일부 텍스트들은 수학적인 주제에 대한 이론적 처리보다는 작업한 예들에 초점을 맞추고 있다.

개요

Lev Vygotsky에 따르면, 적절한 연습은 학생들이 지도와 함께 과제를 완료할 수 있는 영역에 놓여 있다.

초등학교 학생들은 한 자리수 산술 연습으로 시작한다. 나중에 대부분의 운동은 적어도 두 자리수를 포함한다. 초등 대수학에서의 일반적인 연습은 다항식의 인자화를 요구한다. 또 다른 연습은 2차 다항식으로 정사각형을 완성하는 것이다. 인위적으로 만들어진 단어 문제는 수학의 관련성을 유지하기 위한 운동의 한 장르다. Stephen Leacock은 다음과 같은 유형을 설명했다.[1]

그의 예술의 처음 4가지 규칙을 숙달하고, 총과 분수를 성공적으로 연습한 산술의 학생은 자신이 문제라 알려진 끊임없는 질문들에 직면해 있음을 발견한다. 이것들은 모험과 산업의 단편이며, 끝이 생략되어 강한 가족적 유사성을 배반하지만, 로맨스의 어떤 요소가 없는 것은 아니다.

연습문제와 수학문제의 구별은 Alan H. Schenfeld에 의해 이루어졌다.[2]

학생들은 관련 과목을 숙달해야 하며, 그에 맞는 연습이 필요하다. 하지만 만약 운동만이 학생들이 수업에서 보는 문제라면, 우리는 학생들에게 심각한 해를 끼치고 있는 것이다.

그는 다음과 같이 도전할 것을 주장했다.

"실제 문제"에 의해... 내 말은 학생들에게 정직한 도전이 될 수 있는 수학적 과제들, 그리고 해결책을 얻기 위해서는 학생들이 일을 해야 한다는 것이다.

마빈 비팅거도 교과서 2판을[3] 준비하면서 비슷한 감정을 표현했다.

사용자들의 의견에 대응하여, 저자들은 당면한 수업의 즉각적인 목표에 대한 이해 이외에 학생의 어떤 것을 필요로 하는 연습을 추가했지만, 반드시 매우 어려운 것은 아니다.

각 학생의 근위부 발달 영역, 즉 학생의 코호트는 연습문제를 도전하지만 좌절시키지 않는 난이도의 연습문제를 설정한다.

미적분 교과서[4] 서문의 일부 논평은 이 책에서 연습의 중심 위치를 보여준다.

연습은 본문의 약 4분의 1로 구성되어 있는데, 이는 본문에서 가장 중요한 부분이다. 각 장의 끝에 있는 보충 연습은 다른 연습 세트를 확장하고 이전 장의 기술을 필요로 하는 누적 연습을 제공한다.

이 텍스트는 "응용프로그램의 기능 및 그래프"(Cho 0.6)를 포함하며, 이는 단어 문제에 대한 14페이지의 준비 페이지다.

유한 분야에 관한 책의 저자들은 그들의 연습문제를 자유롭게 선택했다.[5]

교과서로서의 이 책의 매력을 높이기 위해 본문에는 적절한 시점에 워크아웃한 예시를 포함시켰고 1장 - 9절에 대한 연습 목록도 포함시켰다. 이러한 연습은 일상적인 문제에서부터 주요 이론의 대체 증거에 이르기까지 다양하지만 본문에서 다루는 것 이상의 내용을 포함한다.

J. C. 맥스웰은 운동이 수학 언어에 접근하는 것을 어떻게 용이하게 하는지를 설명했다.[6]

수학자로서 우리는 수나 양의 상징에 특정한 정신수술을 수행하고, 보다 단순한 수술에서 보다 복잡한 수술로 차근차근 진행하면서, 우리는 같은 것을 여러 가지 다른 형태로 표현할 수 있게 된다. 비록 자명한 공리의 필연적인 결과이기는 하지만 이러한 다른 형태의 등가성이 항상 우리의 마음에 있는 것은 아니다. 그러나 수학자는 오랜 연습으로 이러한 형태들 중 많은 형태에 익숙해지고, 하나에서 다른 것으로 이어지는 과정에 전문가로 성장하여, 종종 당혹스러운 표현을 변형시킬 수 있다.보다 알기 쉬운 언어로 그 의미를 설명하는 다른 언어로.

여러 대학의 개인 강사들은 그들의 수학 수업의 일부로 운동을 사용한다. 쇤펠트 총장은 대학의 문제해결을 조사하면서 다음과 같이 지적했다.[7]

수학 전공을 위한 상위 세분화 오퍼링으로, 학생들은 대부분 개인 강사가 작성한 문제집을 연구했다. 그러한 과목에서, 특정한 휴리스틱스를 가르치려는 시도 없이, 하는 것으로 배우는 것에 중점을 두었다: 학생들은 많은 문제를 연구했다. 왜냐하면 그것이 수학을 잘 하는 방법이기 때문이다.

이러한 연습 컬렉션은 강사와 그의 기관의 소유물일 수 있다. 운동 세트의 가치의 예로서 토루 쿠몬의 성취와 그의 쿠몬 방법을 생각해 보자. 그의 프로그램에서 학생은 각 단계의 운동을 숙달하기 전에 진행하지 않는다. 러시아 수학교에서 학생들은 1학년 때부터 다단계 문제를 시작하며, 해결책을 향해 나아가기 위해 이전의 결과를 바탕으로 하는 것을 배운다.

1960년대에, 수학 연습의 모음은 러시아어에서 번역되었고 W. H. Freeman and Company에 의해 출판되었다. USSR 올림피아드 문제집(1962년),[8] 고등대수의 문제집(1965년),[9] 미분방정식의 문제집(1963년).[10]

역사

중국에서는 고대부터 숫자를 나타내기 위해 막대 세기를 사용하였고, 산수는 막대 미적분과 후에 수안판으로 이루어졌다. 숫자와 계산에 관한 책과 수학적 예술에 관한 9장에는 선형대수의 예인 연습이 포함되어 있다.[11]

약 980년 알-시지는 1996년 얀 호겐디크에 의해 번역되고 출판된 기하학적 형상의 쉬운 출처를 만드는 방법을 썼다.[12]

연습의 아랍어 모음집에는 스페인어 번역본인 Compendio de Algebra de Abenbéder가 주어졌고 네이처(Nature)에서 검토되었다.[13]

1900년 이전의 유럽에서는 그래픽 원근법의 과학이 기하학적 운동을 구성했다. 예를 들어, 1719년에 브룩 테일러는 새로운 선형 원리에 썼다.

[독서자]는 이 원칙이 얼마나 광범위한지 관찰하는 데 있어 훨씬 더 많은 즐거움을 찾을 수 있을 것이다. 그가 이 예술을 연습하는 동안, 스스로 고안해야 할 특정 사례에 그것들을 적용함으로써...[14]

테일러는 계속했다.

...모든 예술을 배우는 진실하고 최선의 방법은 다른 사람에 의해 행해진 많은 예들을 보는 것이 아니라, 예술을 실천하는 데 있어서 자기자신을 발휘함으로써 그 예들을 먼저 소유하는 것이다. 그리고 나서 예술을 친숙하게 만드는 것이다.[15]

학교에서 글쓰기 슬레이트를 사용하는 것은 운동을 위한 초기 형식을 제공했다. 펜과 종이를 기반으로 한 필기시험과 공부 도입에 이어 운동 프로그램의 성장도 이어졌다.

펠릭스 클라인은 에콜 폴리테크니크의 입학시험 준비를 다음과[16] 같이 묘사했다.

...'특수 요리'의 코스. 이것은 수학 교육의 매우 강한 집중력 - 일주일에 최대 16시간 - 초기의 분석 기하학 및 역학, 그리고 최근에는 미적분학을 철저히 연구하여 많은 연습을 통해 안전하게 숙달된 도구로 만들어진다.

실베스트르 라크로이스는 재능있는 선생님이자 폭로자였다. 그의 서술 기하학에 관한 책은 독자의 이해를 돕기 위해 "Probleme"라고 이름 붙여진 단원을 사용한다. 1816년 그는 운동과 시험의 필요성을 강조한 "일반 교수"와 "특히 수학 교수"에 관한 에세이를 썼다.

시험관은, 단기적으로, 자신이 질문하는 과목을 충분히 다룰 수 있을 정도로, 가르친 자료의 대부분은, 덜 철저할 수 없다. 왜냐하면, 만약 그가 원서를 제쳐둔다면, 그는 이러한 방식으로 학생들의 능력을 위한 어떤 것도 얻지 못할 것이기 때문이다.[17]

앤드류 워릭은 연습의 역사적 문제에 관심을 모았다.

수학물리학 교과서에 삽화 연습과 문제들이 포함되어 있는 것은 이제 예사롭지 않은 것처럼 보일 정도로 흔한 일이지만, 이 교육학 장치는 비교적 최근의 것으로서 특정한 역사적 맥락에서 도입되었다는 점을 높이 평가하는 것이 중요하다.[18]: 168

케임브리지 대학교에 개설된 수학 삼각형 시험을 보고할 때, 그는 이렇게 말한다.

이와 같은 누적되고 경쟁적인 학습도 대학 강사들이 보통 수준의 속도로 대규모 수업을 가르치는 것보다 개인 교습, 특별히 준비한 원고, 등급별 예시와 문제 등을 활용해 더욱 효과적으로 이루어졌다.[18]: 79

그는 시험과 운동의 관계를 설명하면서 글을 쓴다.

...1830년대까지 야심찬 학생들이 열망하는 기준을 규정하는 것은 교과서 연습보다는 시험지 문제였다...[캠브리지 학생]은 예시의 가장 미미한 스케치를 통해 자신의 길을 찾기를 기대했을 뿐만 아니라, 그러한 연습들을 시험에서 어려운 문제를 다루기 위한 유용한 준비로 간주하도록 가르쳤다.[18]: 152

개혁이 어떻게 뿌리를 내렸는지를 설명하면서 워릭은 이렇게 썼다.

케임브리지에서는 새로운 분석법을 포함한 수학을 가르치는 가장 좋은 방법이 실제적인 예와 문제를 통해서라고 널리 믿어져 왔으며, 1830년대 중반까지 고등 분석을 가르친 제1세대 젊은 대학 동기들 중 몇몇은 그들 자신의 연구를 착수하기 시작했으며, 또한 애포(appo)가 되었다.트립포스 시험관들.[18]: 155

Warwick은 독일에서 Franz Ernst Neumann은 거의 같은 시기에 "학생을 필수 수학 기술과 기법의 서열로 안내하는 등급화된 연습의 공통적인 시스템을 개발했고, ...began은 그의 학생들이 그들의 기술을 배울 수 있는 자신만의 문제 세트를 구축했다"[18]: 174 고 보도했다. 러시아에서 스테판 티모셴코는 훈련을 중심으로 가르침을 개혁했다. 1913년 그는 페테르부르크 의사소통 수단 대학에서 재료의 힘을 가르치고 있었다. 1968년에 썼듯이

[Practical] exercises were not given at the Institute, and on examinations the students were asked only theoretical questions from the adopted textbook. I had to put an end to this kind of teaching as soon as possible. The students clearly understood the situation, realized the need for better assimilation of the subject, and did not object to the heavy increase in their work load. The main difficulty was with the teachers – or more precisely, with the examiners, who were accustomed to basing their exams on the book. Putting practical problems on the exams complicated their job. They were persons along in years...the only hope was to bring younger people into teaching.[19]

See also

References

  1. ^ Stephen Leacock "A,B,C – The Human Element in Mathematics", pages 131 to 55 in The Mathematical Magpie (1962) by Clifton Fadiman (editor) Simon & Schuster
  2. ^ Alan H. Schoenfeld (1988) "Problem Solving",(see page 85), chapter 5 of Mathematics Education in Secondary Schools and Two-Year Colleges by Paul J. Campbell and Louis S. Grinstein, Garland Publishing, ISBN0-8240-8522-1
  3. ^ Marvin L Bittinger (1981) Fundamental Algebra and Trigonometry, 2nd edition, Addison Wesley, ISBN 0-201-03839-0
  4. ^ L.J. Goldstein, D.C. Lay, D. I. Schneider (1993) Calculus and Its Applications, 6th edition, Prentice Hall, ISBN 0-13-117169-0
  5. ^ R. Lidl & H. Niederreitter (1986) Introduction to Finite Fields and their Applications, page viii, Cambridge University Press
  6. ^ J. C. Maxwell (1890) Scientific Papers of James Clerk Maxwell, volume 2, W. D. Niven editor, page 216, via Internet Archive
  7. ^ Schoenfeld 1988 p 82
  8. ^ D.O. Shklansky, N.N. Chetzov, and I. M. Yaglom, translated by John Maykovich, revised by Irving Sussman, The USSR Olympiad Problem Book, W. H. Freeman and Company
  9. ^ D. K. Faddeev & I.S. Sominski, translated by Joel Lee Brenner (1965) Problems in Higher Algebra, W.H. Freeman & Company
  10. ^ Aleksei Fedorovich Filippov, translator and editor J.L. Brenner (1963,6) Problems in Differential Equations, W.H. Freeman
  11. ^ Hart, Roger (2010). The Chinese Roots of Linear Algebra. JHU Press. ISBN 9780801899584.
  12. ^ Jan Hogendijk (1996) The Ways of Making Easy the Derivation of Geometric Figures by Al-Sijzi
  13. ^ G. B. Mathews (1917) Compendio de Algebra de Abenbéder from Nature 98:466,7 (#2465).
  14. ^ Brook Taylor (1719) New Principles of Linear Perspective, Preface, p vi, as found in Kirsti Andersen (1992) Brook Taylor’s Work on Linear Perspective, p 152, Springer, ISBN 0-387-97486-5
  15. ^ Taylor p vii, Andersen p 153
  16. ^ Felix Klein, M. Ackerman translator (1979) Development of Mathematics in the 19th Century, p 59, Math Sci Press
  17. ^ S. F. Lacroix (1816) Essais sur l’enseignement en general, et sur celui des mathematiques en particulier, page 201
  18. ^ a b c d e Andrew Warwick (2003) Masters of Theory: Cambridge and the Rise of Mathematical Physics, University of Chicago Press ISBN 0-226-87375-7
  19. ^ Stephen Timoshenko (1968) As I Remember, Robert Addis translator, pages 133,4, D. Van Nostrand Company

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