제곱근 2

Square root of 2
제곱근 2
Isosceles right triangle with legs length 1.svg
2의 제곱근은 다리가 1인 이등변 직각삼각형의 빗변의 길이와 같다.
표현
십진수1.4142135623730950488...
연속분율
바이너리1.01101010000010011110...
16진수1.6A09E667F3BCC908B2F...

2의 제곱근(약 1.4142)은 정수이며, 그 자체를 곱하면 숫자 2와 같습니다.수학에서는 2 1 22로 표기할 수 있으며 대수적 숫자입니다.엄밀히 말하면, 같은 성질을 가진 음수와 구별하기 위해서는, 이것을 2의 주 제곱근이라고 불러야 합니다.

기하학적으로, 2의 제곱근은 길이가 한 [1]단위인 변을 가진 정사각형을 가로지르는 대각선의 길이이다; 이것은 피타고라스 정리에 따른다.그것은 아마도 [2]비이성적인 것으로 알려진 첫 번째 숫자였을 것이다.분율99/70(추정 1.4142857)은 분모가 상당히 작은 양호한 유리 근사치로 사용될 수 있습니다.

온라인 정수 시퀀스 백과사전의 시퀀스 A002193은 제곱근 2의 소수점 확장 자릿수로 구성됩니다.여기서는 소수점 65자리로 [3]잘립니다.

1.4142135623730950488016887249698078671837694807317667973799

역사

주석이 달린 바빌로니아 점토판 YBC 7289.태블릿은 2의 제곱근을 6진수(1245110)로 나타내는 것 외에 정사각형의 한 변이 30이고 대각선이 422535인 예를 제공한다.또한 60진수 자리 30은 0 30 = 1/2나타낼 수 있으며, 이 경우 0 42 25 35는 약 0.7071065이다.

바빌로니아 점토판 YBC 7289(c. 1800–1600 BC)는 소수점 [4]6자리까지 정확하며, 가능한 세 자리수의 소수점 표현 22:

고대 인도 수학 문헌인 술바수트라(기원전 800–200년)에는 다음과 같이 초기 근사치가 제시되어 있다.[변]의 길이를 3분의 [5]1로 늘리고, 이 길이를 4분의 1에서 34분의 1로 한다.그것은,

이 근사치는 Pell 번호의 시퀀스에 기초한 점점 더 정확한 근사치의 시퀀스 중 7번째이며, 이는 δ2연속적인 분수 팽창에서 도출할 수 있다.더 작은 분모를 가지고 있음에도 불구하고, 그것은 바빌로니아의 근사치보다 약간 덜 정확하다.

피타고라스인들정사각형의 대각선이 그 변이나 현대 언어로는 2의 제곱근이 비이성적이라는 것을 발견했다.이 발견의 시기나 상황에 대해서는 정확히 알려진 것이 거의 없지만, 메타폰툼의 히파소스의 이름은 종종 언급된다.한동안 피타고라스인들은 2의 제곱근이 비이성적이라는 사실을 공식 비밀로 취급했고, 전설에 따르면 히파소스가 그것을 [1][6][7][8][excessive citations]누설했다는 이유로 살해당했다고 한다.2의 제곱근은 때때로 피타고라스의 또는 피타고라스의 상수라고 불립니다, 예를 들어 Conway & Guy (1996)[9] 의해.

고대 로마의 건축

고대 로마 건축에서 비트루비우스는 2차 수열 또는 4차 수법의 제곱근의 사용을 묘사한다.이는 기본적으로 산술적 방법보다는 기하학적 방법으로 구성되며, 원래 정사각형의 대각선은 결과 정사각형의 변과 같다.비트루비우스는 그 생각을 플라톤의 으로 돌린다.이 시스템은 원래 사각형 모서리의 45도에 접하는 정사각형을 만들어 포장도로를 만드는 데 사용되었습니다.이 비율은 또한 사각형의 [10]대각선 길이와 같은 길이를 제공하여 아트리움을 설계하는 데에도 사용되었다.

십진수치

계산 알고리즘

정수 비율 또는 소수점으로서 θ2를 근사하는 알고리즘은 여러 가지가 있다.많은 컴퓨터와 계산기에서 기본으로 사용되는 가장 일반적인 알고리즘은 제곱근을 계산하는 바빌로니아식[11] 방법입니다.내용은 다음과 같습니다.

먼저 a > 00 선택합니다.이 값은 특정 정확도의 근사치에 도달하기 위해 필요한 반복 횟수에만 영향을 줍니다.그런 다음 이 추측을 사용하여 다음 재귀 계산을 반복합니다.

알고리즘을 통해 반복 횟수가 많을수록(즉, 더 많은 계산이 수행되고 "n"이 클수록) 근사치가 향상됩니다.반복할 때마다 올바른 자릿수는 약 2배가 됩니다.a = 1부터 시작하는0 알고리즘의 결과는 다음과 같습니다.

  • 1 (a0)
  • 3/2 = 1.5 (a1)
  • 17/12 = 1.416...(a2)
  • 577/408 = 1.414215...(a3)
  • 665857/480832 = 1.4142135623746...(a4)

합리적인 근사치

단순 유리 근사 99/70( 1 1.4142857)을 사용하는 경우가 있다.분모는 70에 불과하지만 정확한 값과 1/10,000(약 +0.72×10−4) 미만의 차이가 있습니다.

다음 두 가지 더 나은 합리적 근사치는 약간 더 작은 오차(약 -0.72×10−4)의 140/99( ( 1.4141414...)와 약 0.12×10−4 오차( 1 1.4142012)의 239/169( 1 1.4142012)이다.

a = 1(665,857/1832,832)로0 시작한 후 바빌로니아 방법의 4회 반복에서 도출된 2의 제곱근의 합리적 근사는 약 1.6×10만큼−12 너무 크다. 그 제곱근은 2.00000000045 이하이다.

계산에서의 기록

1997년 카나다 야스마사( kan田康正) 교수팀은 2엔 가치를 소수점 이하 1억3743만895만3444자리까지 계산했다.2006년 2월에 가정용 컴퓨터를 사용함으로써 2파운드 계산 기록이 사라졌다.곤도 시게루는 [12]2010년에 소수점 1조 자리를 계산했다.계산하기 어려운 소수 확장이 있는 수학 상수 중 [13]2022년 3월 현재 더 정확하게 계산되는 것은 θ, e, 황금비뿐이다.이러한 계산은 그러한 숫자들이 정상인지 경험적으로 확인하는 것을 목표로 한다.

이것은 최근 [13]2자릿수 계산 기록표입니다.

날짜. 이름. 자릿수
2022년 1월 5일 티지안 헨젤만 100000001000
2016년 6월 28일 론 왓킨스 10000000000000
2016년 4월 3일 론 왓킨스 50000000000000000
2016년 1월 20일 론 왓킨스 2000000000100
2012년 2월 9일 알렉산더 이 20000000050
2010년 3월 22일 곤도 시게루 100000000000000

불합리한 증거

δ2 불합리성에 대한 짧은 증명은 유리근정리에서 얻을 수 있다., p(x)정수계수를 갖는 단수다항식이라면 p(x)의 유리근은 반드시 정수이다.이것을 다항식 p(x) = x2 - 2에 적용하면, δ2는 정수이거나 비합리적이다.θ2 정수가 아니기 때문에 (2는 완전 제곱이 아니다) θ2는 무리수여야 한다.이 증거는 완전 제곱이 아닌 자연수의 어떤 제곱근도 비합리적이라는 것을 보여주기 위해 일반화 될 수 있다.

제곱하지 않은 자연수의 제곱근이 비이성적이라는 다른 증거는 2차 비이성 수 또는 무한 강하를 참조하십시오.

무한 강하로 증명

이 숫자의 불합리성에 대한 한 가지 증거는 무한 강하로 인한 다음과 같은 증거이다.그것은 또한 간접적인 증거로도 알려진 모순에 의한 증거이며, 명제의 반대가 참이라고 가정하고 이 가정이 거짓임을 보여줌으로써 명제가 참이어야 한다는 것을 암시함으로써 명제가 증명된다는 것이다.

  1. δ2가 유리수라고 가정하면 비율이 정확히 δ2인 정수의 쌍이 존재하는 것을 의미합니다.
  2. 만약 두 정수가 공통 인자를 가지고 있다면, 유클리드 알고리즘을 사용하여 제거할 수 있다.
  3. 다음으로 θ2는 a와 b가 (공통인자를 가지지 않는) 공유 정수인 환원 불가능분수 a/b로 쓸 수 있으며, 이는 a 또는 b 중 적어도 하나가 홀수여야 한다는 것을 의미한다.
  4. 따라서2 a/b2 = 2 2 a = 2b이다2. (a/b)n = an/bn ) (a22 b는 정수)
  5. 따라서 a2 2b2 같기 때문에 짝수입니다(2b2 반드시 다른 정수의 2배이기 때문에 짝수입니다).
  6. 따라서 a는 짝수여야 합니다(홀수 정수의 제곱은 짝수가 되지 않습니다).
  7. a는 짝수이므로, a = 2k만족하는 정수 k가 존재한다.
  8. 스텝 4의 두 번째 방정식에서 스텝 7의 2ka에 대입하면: 2b2 = a2 = (2k)2 = 4k2, 즉 b = 2k2 같다2.
  9. 2k2 2로 나누어지기 때문에 짝수이고, 2k2 = b이기2 때문에 b2 짝수이므로 b가 짝수라는 것을 의미한다.
  10. 스텝 5와 스텝 8의 a와 b는 모두 짝수이며, 이는 스텝 3에서 기술한 바와 같이 a/b를 환원할 수 없는 과 모순된다.
Q.E.D.

모순이 존재하기 때문에 θ2가 유리수라는 가정(1)은 거짓이어야 한다.즉, θ2는 유리수가 아닙니다.즉, is2는 비합리적이다.

이 증거는 아리스토텔레스가 Analytica Priora, [14]§ 23에서 암시했다.그것은 유클리드원소에 완전한 증거로, 제 X권의 117호 명제로 처음 등장했다.그러나 19세기 초부터 역사학자들은 이 증거가 보간이며 유클리드에 [15]기인하지 않는다는 데 동의했다.

고유한 인수분해를 통한 증명

무한 강하 증명과 마찬가지로 2 ({ a}=.양쪽은 같은 양의 산술의 기본 정리의해 같은 소인수 분해가 되며, 특히 인자 2가 같은 횟수로 발생해야 한다.그러나 계수 2는 오른쪽에 홀수 횟수로 표시되지만 왼쪽에 짝수 횟수로 표시되므로 모순입니다.

기하학적 증명

그림 1스탠리 텐넨바움의 기하학적 증거로 2파운드불합리성

간단한 증거는[16] 1950년대 초 스탠리 테네바움이 학생이었을 때 스탠리 테네바움이 가장 최근에 등장한 것이 American [17]Scientist의 2016년 5월-6월호에 실린 노슨 야노프스키의 기사에 있을 때 존 호튼 콘웨이에 의한 것이다.각각 정수 변이 있는 두 개의 정사각형 a와 b가 주어진 경우, 그 중 하나는 다른 쪽 면적의 두 배를 가지며, 그림 1과 같이 작은 정사각형 두 개를 큰 정사각형에 배치한다.가운데의 정사각형 중첩 영역((2b 2- a))은 두 개의 덮이지 않은 정사각형(2(a -2 b))의 합과 같아야 합니다.그러나 대각선의 이러한 정사각형에는 원래 정사각형보다 작은 양의 정수 변이 있습니다.이 과정을 반복하면, 임의의 작은 정사각형이 다른 정사각형의 두 배 면적의 두 배이지만, 둘 다 양의 정수 변을 가지고 있는데, 이는 양의 정수가 1보다 작을 수 없기 때문에 불가능하다.

그림 22파운드의 불합리성에 대한 톰 아포스톨의 기하학적 증거

2000년 American Mathemical [18]Monthly에 2파운드 비이성적이라는 또 다른 기하학적 환원론과 부조리론이 실렸다.그것은 또한 무한 강하로 인한 증거의 한 예이다.그것은 고전적인 나침반과 직선 구조를 사용하며, 고대 그리스 기하학자들이 사용했던 것과 유사한 방법으로 정리를 증명한다.그것은 본질적으로 이전의 단락과 같은 대수적 증거이며, 기하학적으로 다른 관점에서 볼 때 그렇다.

ABC를 그림 2와 같이 빗변 길이 m과 다리 n을 갖는 직각 이등변 삼각형이라고 하자.피타고라스 정리에 따르면 m/n = δ2이다.m과 n이 정수라고 가정합니다.m:n가장 낮은 항으로 주어진 비율입니다.

중앙 A에 호 BD와 CE를 그립니다.DE에 가입합니다.따라서 AB = AD, AC = AE 및 δBAC 및 δDAE일치합니다.따라서, 삼각형 ABC와 ADE는 SAS에 의해 일치한다.

θEBF는 직각, θBEF는 반직각이므로 △ BEF도 직각 이등변 삼각형이 됩니다.따라서 BE = m - n은 BF = m - n의미합니다. 대칭에 따르면 DF = m - n이고 △ FDC도 직각 이등변 삼각형입니다.또한 FC = n - (m - n) = 2n - m된다.

따라서 빗변길이 2n~m, 다리m~n의 오른쪽 이등변삼각형이 더 작다.이러한 값은 m과 n보다 작고 같은 비율의 정수이므로 m:n이 가장 낮은 항에 있다는 가설과 모순됩니다.따라서 m과 n은 둘 다 정수일 수 없으므로 θ2는 무리수이다.

건설적 증명

건설적 접근법에서, 하나는 합리적이지 않은 것과 다른 하나는 비합리적인 것(즉, 모든 이성으로부터 수량적으로 떨어져 있는 것)을 구별하고, 후자는 더 강한 속성이다.1 < a/b < 3/2 (θ2가 이러한 경계를 만족하는 경우)의 평가2(즉, 2를 나누는 숫자의 최고 제곱)는 홀수이고 a의 평가2 짝수이므로, 2b2 - a2 1이어야 한다.그럼[19].

a/b + δ2 3주는 1<a/b < 3/2라고 가정하기 때문에 후자의 부등식은 참이다(양적 간격은 3차적으로 확립될 수 있다).이는 δ2 - a/b의 차이에 대한 1/3b2 하한을 나타내며, 제외 중간 법칙에 의존하지 않는 비합리성의 직접적인 증거를 제공한다. Errett Bishop(1985, 페이지 18)을 참조한다.이 증명은 §2와 어떤 합리적인 것의 차이를 건설적으로 보여준다.

피타고라스의 3배 증명

이 증명은 다음과 같은 원시 피타고라스 세 의 특성을 사용합니다.

a, b, c가 a + b2 = c22 같은 양의 정수라면 c는 결코 [20]짝수일 수 없다.

이 보조항목을 사용하여 두 개의 동일한 완전 정사각형을 더해서 또 하나의 완전 정사각형을 만들 수 없다는 것을 나타낼 수 있습니다.

스타일 합리적이라고 가정해 보십시오.그러므로,

서 a \a ( , ) {\ \a, b )=1}
양쪽을 제곱하면

여기서 (b, b, a)는 원시 피타고라스의 삼중항이며, 이 보조항으로부터 a는 결코 짝수이다.그러나, 이것은 a가 짝수여야 한다는 것을 암시하는 2b2 = a라는2 방정식과 모순된다.

곱셈 역

2의 제곱근(즉, 1/2제곱근)의 곱셈 역(호수)은 널리 사용되는 상수이다.

2 sin cos 45 ∘ ⁡ 45 ∘∘ = { { { \ ^ { \ } \ 45 ^ { \ } 0 . 18654400 284(OEIS의 시퀀스 A010503)

평면 내의 축과 45° 각도를 이루는 단위 벡터는 좌표를 가지기 때문에 θ2의 1/2도 역시 θ2의 역수인 기하학 및 삼각법에서 공통량이다.

이 숫자는 다음을 만족합니다.

특성.

원뿔 반지름이 2 이하일 경우 각도 크기와 섹터 면적은 동일합니다.이 다이어그램은 섹터 영역 u에 기반한 원형 및 쌍곡선 함수를 보여 줍니다.

2파운드 흥미로운 특성은

부터

이것은 은 비율의 속성과 관련이 있습니다.

또한 복소수 i -i에 대해 제곱근 기호를 적절히 해석할 경우 제곱근 및 산술 연산만을 사용하여 θ2를 가상 단위 i의 복사본으로 표현할 수 있다.

δ2는 또한 1을 제외한 유일한 실수이며 무한 테트레이트(즉 무한 지수 타워)는 제곱과 같다.1, c > 1, x = cnn+1 > 1의 x = cxn 경우, n θ 로서의 x 의n 한계는 f(c)라고 불립니다(이 한도가 존재하는 경우).f(c) = c2. 또는 기호적으로 θ2는 c > 1의 유일한 숫자이다.

§2는 Viéte의 § 공식표시됩니다.

m 제곱근에 마이너스 [21]부호가 하나뿐입니다.

모양은 비슷하지만 항 수가 유한한 δ2는 다양한 삼각 [22]상수에서 나타난다.

δ2 정상수인지 아닌지는 알 수 없으며, 이는 불합리성보다 더 강한 특성이지만, 그 2진수 팽창에 대한 통계 분석은 [23]2진수를 기준으로 하는 것이 정상이라는 가설과 일치한다.

표현

시리즈 및 제품

아이덴티티 cos θ/4 = sin θ/4 = 1/θ2사인코사인에 대한 무한곱 표현과 함께 다음과 같은 곱으로 이어집니다.

그리고.

또는 동등하게

숫자는 삼각함수테일러 급수를 취해서도 표현할 수 있습니다.예를 들어, cos θ/4의 급수는 다음과 같습니다.

x = 1이고 이중 요인 n을 사용하는 δ1 + x의 Taylor 시리즈!!주다

이 시리즈의 수렴오일러 변환으로 가속될 수 있습니다.

BBP 타입의 공식으로 2」를 나타낼 수 있을지는 불명확합니다.다만,[24] BBP 타입의 공식은 「2」및 2 ln(1+)」2 로 알려져 있습니다.

숫자피보나치 유사 반복 관계 a(n) = 34a(n-1), a(0) = 0, a(1) =[25] 6의 두 번째 항으로n 정의된 분모로 이집트 분수의 무한 급수로 나타낼 수 있다.

연속분율

2의 제곱근과 연속 분수의 수렴에 의한 근사치

2의 제곱근은 다음과 같은 연속된 분수를 나타냅니다.

이 표현을 잘라냄으로써 형성된 수렴은 2의 제곱근에서 정확성을 높이는 데 근사한 일련의 분수를 형성하고, 이 분수는 (사각형의 변과 대각선 사이의 비율을 근사하는 데 사용했기 때문에 고대 그리스인들에게는 변과 직경 숫자로 알려져 있다.) 번째 컨버전트는 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408입니다.컨버전스 p/q "2"2 거의 정확히 1/2q22[citation needed] 차이입니다.다음 컨버전스는 p + 2q/p + q 입니다.

네스트된 정사각형

다음 네스트된 정사각형 표현은 2로 수렴됩니다.

적용들

용지 크기

A시리즈의 용지 사이즈

1786년, 독일의 물리 교수 게오르크 크리스토프[26] 리히텐베르크는 긴 가장자리가 짧은 가장자리보다 2배 이상 긴 종이는 반으로 접혀지고 짧은 면에 맞춰져 원본과 정확히 같은 비율로 종이를 만들 수 있다는 것을 발견했다.길이가 짧은 쪽의 길이 비율에 따라 시트를 반으로 자르면 작은 시트가 원래 시트와 동일한 (대략적인) 비율을 가질 수 있습니다.20세기 초에 독일이 종이 크기를 표준화했을 때, 그들은 리히텐베르크의 비율을 사용하여 "A" 시리즈의 종이 [26]크기를 만들었습니다.현재 ISO 216(A4, A0 등)의 용지 사이즈의 (대략) 애스펙트비는 1:/2입니다.

실증:
{ S =} 더 짧은 와 L {\ L=} 더 긴 길이와

216에 R LS = 2({ R}}=

R S { R ' ={L ' } { S '} } be be sheet sheet sheet sheet sheet 、 반토막 시트의 유사한 비율이라고 .

L / L (L / ) 2 { R' ={ S } { / 2 } = { 2 S } { / S } = { 2 } { 2 }

물리 과학

물리과학에서는 2의 제곱근과 관련된 몇 가지 흥미로운 특성이 있습니다.

  • 2의 제곱근은 12음 등온도 음악에서 트리톤 간격의 주파수 비율이다.
  • 2의 제곱근은 사진 렌즈에서 f-stops의 관계를 형성하며, 이는 두 연속된 구멍 사이의 면적 비율이 2임을 의미한다.
  • 행성의 천문학적 교차일점 동안 태양의 위도(종단)는 행성의 축 기울기를 θ2로 나눈 것과 같다.

「 」를 참조해 주세요.

메모들

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    예일 바빌로니아 컬렉션의 루트(2) 태블릿(YBC 7289)의 고해상도 사진, 설명 및 분석
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레퍼런스

외부 링크