지수 지도(리만 기하학)

리만 기하학에서 지수 지도는 리만 다지관(또는 사이비-리만 다지관) M의 접선 공간 TM의_p 부분집합에서 M 자체로 이어지는 지도다. (시사) 리만족 미터법은 표준적 아핀 연결을 결정하며, (시사) 리만족 다지관의 지수적 지도는 이 연결의 지수적 지도로 주어진다.

정의

M을 차별성 있는 다지관이 되게 하고, p를 M의 지점으로 삼아라. M의 어핀 연결은 p점을 통한 직선의 개념을 정의할 수 있게 한다.^[1]

v ∈ TM을_p p의 다지관에 접선 벡터가 되게 한다. 그 다음, 초기_v 접선 벡터 satisfying′(_v0) = v를 만족하는 고유한 지오데틱 γ_v = p가 있다. 해당 지수도는 exp(v) = γ_pv(1)으로 정의된다. 일반적으로 지수 지도는 국부적으로만 정의된다. 즉, TM에서_p 유래한 작은 동네만 다지관의 p 동네로 가져간다. 자연적으로 국소적인 일반 미분방정식에 존재와 고유성의 정리에 의존하기 때문이다. 접선 번들의 모든 지점에서 지수 지도가 잘 정의되어 있으면 어핀 연결을 완전 연결이라고 한다.

특성.

직관적으로 말하면, 지수 지도는 다지관에 주어진 접선 벡터를 가져다가 그 지점에서 출발하여 지오데틱을 따라 그 방향으로 단위 시간 동안 간다. v는 지오데틱의 속도 벡터에 해당하므로 실제 (리만니아) 이동 거리는 그것에 좌우될 것이다. 우리는 또한 geodesics에 있을 때도 부서 속도, β은unit-speed 격자(측지 아크 길이에 의해 parameterized)때 expp을 적용하는 그렇게 동등하게 우리가)β(v)우리 접선 벡터 v을 것이다 대의 방향으로 가고,, M에 일부 거리 이내에 기준 시점에서 다른 포인트 p—this expp(v)를 정의할 수 있i. reparametrize 수 있s 다지관에 대한 접선 공간이 다지관의 일종의 "선형화"라는 것을 입증하는 가장 구체적인 방법 중 하나일 것이다.

호프-리노우 정리는 다지관이 미터법 공간(이 속성을 가진 지수적 지도가 있는 다지관에 대해 지리학적으로 완전한 일반적인 용어를 정당화하는)인 경우에만 전체 접선 공간에 지수적 지도를 정의할 수 있다고 주장한다. 특히 콤팩트 매니폴드는 지질학적으로 완전하다. 그러나 exp가_p 전체 접선 공간에 정의된다 하더라도 일반적으로 세계적인 차이점형주의가 될 수는 없을 것이다. 그러나 접선 공간의 기원에 있어서의 그것의 차이는 신분 지도이므로, 역함수 정리를 통해 우리는 지수 지도가 임베딩(즉, 지수 지도가 국부적 차이점형)인_p TM의 기원에 대한 근방을 찾을 수 있다. exp를_p 통해 차등적으로 매핑할 수 있는 TM의_p 원점에 관한 가장 큰 공의 반지름을 p에서 M의 주입도 반지름이라고 한다. 지수 지도의 절단 지점은 대략적으로 지수 지도가 고유한 최소값을 가지지 못하는 모든 지점의 집합이다.

가우스(또 다른 가우스의 보조 정리)의 기하 급수적인 지도의 중요한 재산은 다음과 같은 단어의 기본형:expp의 정의의 영역에서 어떤 접선 벡터 v 다른 벡터 w'v'(따라서 w이 실제로double-tangent 우주 티비(TpM에 있)의 끝에)과 v 때 앞으로 박람회를 통해 추진 맞춤 v에 직교 여전히 직교한다.nen티알 지도 이는 특히 TM의_p 원점에 대한 작은 공의 경계 구가 그러한 벡터에 의해 결정되는 M의 지오디컬과 직교한다는 것을 의미한다(즉, 지오디컬은 방사형이다). 이것은 리만 다지관의 지질학적 정상 좌표의 정의에 동기를 부여한다.

지수 지도는 또한 곡률의 추상적 정의를 리만 자신이 원래 구상한 보다 구체적인 실현과 연관시키는 데 유용하다. 단면 곡률성은 고려 시 p점을 통과하는 일부 표면의 가우스 곡률(즉, 2차원 서브매니폴드에 의한 다지관 슬라이싱)으로 직관적으로 정의된다.이온. 지수 지도를 통해, 이제_p TM의 2차원 하위 공간의 exp에서_p 영상에 의해 결정되는 p를 통해 표면의 가우스 곡률로 정밀하게 정의할 수 있다.

거짓말 이론에서 지수 지도와의 관계

좌우 번역 모두 하의 사이비-리만족 메트릭스 불변성을 가진 리 그룹의 경우, 사이비-리만족 구조의 지수적 맵은 리 그룹의 지수적 맵과 동일하다. 일반적으로, 모든 연결된 반간편(또는 환원) 거짓말 그룹이 그렇기는 하지만, Lie 그룹은 바이-인바리 측정 지표를 가지고 있지 않다. 바이 인바리어트 리만 메트릭스의 존재는 사이비 리만 메트릭스의 존재보다 강하며, 리 대수학이 콤팩트 리 그룹의 리 대수라는 것을 암시한다. 반대로 어떤 콤팩트(혹은 아벨리안) 리 그룹도 그런 리만 메트릭스를 가지고 있다.

"정직한" 지수 지도를 보여주는 예를 들어보자. 일반적인 곱셈에서 R이라는⁺ 양의 실수들을 생각해보자. 그러면 각각의 접선 공간은 단지 R이다. 포인트 y에 있는 R의 각 카피에 수정된 이너 제품을 소개한다.

${\displaystyle \langle u,v\angle _{y}={\frac {uv}{y^{2}}:$

(일반적으로 실제 숫자로 표시하되 y로² 확장). (이것이 메트릭을 좌변량(좌측 곱셈)으로 만드는 것이다. 인자에 의한 좌변량(좌측 곱셈)은 내부 제품에서 두 번, 즉 분모의 제곱을 취소한다.

점 1 ∈ R⁺ 및 x ∈ R을 1의 접선 공간의 요소로 간주한다. 1에서 나오는 통상적인 직선, 즉 y(t) = 1 + xt는 물론 지오데틱과 같은 경로를 포괄한다. 단, 일정한 속도로 곡선을 그리려면 ("정속", 기억하라, 우리가 이 재미있는 측정법을 사용하고 있기 때문에 보통 일정한 속도가 되지 않을 것이다.) 이를 위해 호 길이로 다시 정렬한다(수정된 메트릭에$$ 의해 ${\displaystyle {}_{}}$된 표준$\$ y {\$displaystyle$ \$cdot$_{$y}$의 접선 벡터 길이의 적분).

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t} x _{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac { x }{1+\tau x}}d\tau = x \int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac { x }{x}}\ln 1+tx }$

그리고 s의 함수로 t를 얻기 위해 그 함수를 뒤집은 후, 우리는 대체하고 얻는다.

${\displaystyle y(s)=e^{sx/ x }}$

이제 단위 속도 정의를 사용하여

${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$)${\displaystyle }$= y${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \exp _{1}(x)=y($x$_{1}=y($ x $)\},$

예상 e^x.

이것에 의해 정의되는 리만 거리는 단순하다.

${\displaystyle \mathrm{distance}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle a}$, b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle ln}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle b}$/ a${\displaystyle }$) $displaystyle \operatorname {dist}(a,b)= \ln(b/a)$ $\},$

로그 용지에 그래프를 그린 사람이라면 누구나 익숙해야 할 측정지표

참고 항목

• 지수 항목 목록

메모들

참조

• do Carmo, Manfredo P. (1992), Riemannian Geometry, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8. 3장을 참조하라.
• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (1975), Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier. 제1장 제2절 및 제3절을 참조한다.
• "Exponential mapping", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Helgason, Sigurdur (2001), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Graduate Studies in Mathematics, 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 volume= 추가 텍스트(도움말)가 있음.