가우스의 보조정리(리만 기하학)

리만 기하학에서, 가우스의 보조정리자는 리만 다지관의 한 지점에 중심을 둔 어떤 충분히 작은 구체도 그 지점을 통과하는 모든 지오데믹에 수직이라고 주장한다.좀 더 형식적으로, M은 리바이-시비타 연결을 갖춘 리만족의 다지관이 되도록 하고, p는 M의 지점이 되도록 한다.지수 지도는 p의 접선 공간에서 M:로 매핑하는 것이다.

${\displaystyle \mathrm {exp} :T_{p}M\to M}$

0의 이웃에 있는 차이점형식이다.가우스의 보조정리자는 지수 지도 아래 TM에서_p 충분히 작은 반경의 구체의 이미지가 p에서 발생하는 모든 지오디컬과 수직이라고 단언한다.보조정리법은 지수 지도를 방사형 등측계로 이해할 수 있게 하며, 지오데믹 볼록도와 정상 좌표 연구에 있어 근본적인 중요성을 갖는다.

소개

우리는 지수 ${\displaystyle \mathrm{지도}}$를 p ${\displaystyle \in }$ M$${\$displaystyle p\in M}$에서 정의한다.

${\displaystyle \exp _{p:T_{p}M\supset B_{\epsilon }(0)\longrightarrow M,\quad v\longmapsto \gamma _{p,v}(1),}$

where ${\displaystyle \gamma _{p,v}}$ is the unique geodesic with ${\displaystyle \gamma _{p,v}(0)=p}$ and tangent ${\displaystyle \gamma _{p,v}'(0)=v\in T_{p}M}$ and ${\displaystyle \epsilon }$ is chosen small enough so that for every ${\displaystyle v\in B_{ϵ}(}$${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle v\in B_{\epsilon }(0)\subset T_{p}M}$지오데틱 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p,}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\$은 1에 정의되어$$ 있다.따라서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$}이(가) 완료되면$$ Hopf-Rinow 정리에 의해 ${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$이 전체 접선 공간에 정의된다$$.

$\alpha {\displaystyle }$: ${\displaystyle I}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle \alpha$:$I\rightarrow T_{p}M}$ be a curve differentiable in ${\displaystyle T_{p}M}$ such that ${\displaystyle \alpha (0):=0}$ and ${\displaystyle \alpha '(0):=v}$. Since ${\displaystyle T_{p}M\cong \mathbb {R} ^{n}}$, it is clear that we can choose ${$$\displaystyle \property(t):$$=vt$ 이 경우 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에 적용된$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$의 지수 차이의 정의에 따라 다음 사항을 얻는다$.$

${\displaystyle T_{0}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\gamma (1,p,vt){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}=\gamma '(t,p,v){\Big \vert }_{t=0}=v.}$

따라서 ($오른쪽{\displaystyle {}_{}}$ 식별 T 0 ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cong }$ T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}${ T p {\$displaystyle T_{0}T_{p}M_${p}$M\cong T_{p}M$ ) ${\displaystyle {exp}_{}}$ p$${\$displaystyle \exp_{p}$의 차등분식이 정체성이$$ 된다.암묵적 함수 정리로는 ${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$}}는 0${\displaystyle {}_{}}$ T p ${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle 0\in T_{p}M}$의 근방에 대한 차이점형이며$,$ 현재 gauss Lema는 ${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$도 방사형 등분법이라고$$ 말하고 있다.

지수 지도는 방사상 등위계(readial isometry이다.

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$을$($를) 그대로 두십시오. 다음에 나오는 내용은 T ${\displaystyle v_{}}$ T ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cong }$ T ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cong }$ R ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$R}{$n$

가우스의 보조정리에는 다음과 같이 적혀 있다.Let ${\displaystyle v,w\in B_{\epsilon }(0)\subset T_{v}T_{p}M\cong T_{p}M}$ and ${\displaystyle M\ni q:=\exp _{p}(v)}$.그 다음, ⟨ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle (v}$ ${\displaystyle )}$, T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle }$w${\displaystyle }$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle v_{}}$, ${\displaystyle w}$ $⟩$ p${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle$ \$langle$T_${v$}\$exp _{p$}(v$),$$T_{v}\exp _{p}(w)\rangele _{q}=\langle v,w\rangele _{p}.$$}$

For ${\displaystyle p\in M}$, this lemma means that ${\displaystyle \exp _{p}}$ is a radial isometry in the following sense: let ${\displaystyle v\in B_{\epsilon }(0)}$, i.e. such that ${\displaystyle \exp _{p}}$ is well defined.And let ${\displaystyle q:=\exp _{p}(v)\in M}$. Then the exponential ${\displaystyle \exp _{p}}$ remains an isometry in ${\displaystyle q}$, and, more generally, all along the geodesic ${\displaystyle \gamma }$ (in so far as ${\displaystyle \$$감마(1,p,v)=\exp _{p}(v)}$이(가) 잘 정의되어 있다!그런 다음 방사상으로 ${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$의 정의 영역이 허용하는 모든 방향에서 등각계로 남는다$.$

증명

그것을 상기하다.

${\displaystyle T_{v}\exp _{p}\colon T_{p}M_{v}T_{p}M_{p}M\supset T_{v}B_{\epsilon }{{v)\long rightarrow T_{p}}M.}$

우리는 세 단계로 진행된다:

• ${\displaystyle {}_{}T}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle v}$ ${\displaystyle )}$= v ${\displaystyle T_{v}\exp _{p}(v)=v}$ $$: 곡선을 구성하자.

${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} \supset I\rightarrow T_{p}M}$ such that ${\displaystyle \alpha (0):=v\in T_{p}M}$ and ${\displaystyle \alpha '(0):=v\in T_{v}T_{p}M\cong T_{p}M}$. Since ${\displaystyle T_v{T}_{p}M\cong T_{p}M\cong {\mathbb{R}}^n}$${\displaystyle T_{v}T_{p}M\cong T_{p}M\cong \mathb$ {${\displaystyle \mathrm{R}}$$}^{n}},$${\displaystyle \alpha (}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle :=}$ v${\displaystyle (t}$+${\displaystyle }$1 ) ${\displaystyle \alpha (t):v(t+1)}$를 넣을 수 있다$.$그러므로

${\displaystyle T_{v}\exp _{p}(v)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Bigl (}\exp _{p}(tv){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=1}=\Gamma (\gamma )_{p}^{\exp _{p}(v)}v=v,}$

여기서 $\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Gamma }$은(는) 병렬 전송 연산자이고 $\gamma {\displaystyle }$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \gamma (t)=\exp _{p}(tv$$\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma$}이$($가) 지오데식이기 때문에 ${\$이(가) 평행이기$$ 때문에 마지막 평등은 사실이다.

이제 스칼라 제품 $⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle v}$ ${\displaystyle )}$, T ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {\exp }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),$$T_{v}\exp _{p}(w)\rangele }$.

$w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$을(를) ${\displaystyle T_{}}$ ${\$ w_${$ 구성 $요소$로 분리한다.$v{\displaystyle }$$$${\displaystyle v}$에 평행하고$$ ${\displaystyle {구성}_{}}$ 요소 $W{\displaystyle {}_{}}$ ${\$ 정상$$ $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}.$ 특히 $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w_{{}$를 넣는다$.$$T{\displaystyle }$$:=av},$${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ $\}.$

앞의 단계는 직접적으로 다음을 함축한다.

${\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w)\rangle =\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{{T}\angle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangele }$

${\displaystyle =a\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(v)\angle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\랑글 =\langle v,w_{{n1}T}\angle +\langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangele .}$

그러므로 우리는 두 번째 임기가 무효라는 것을 보여주어야 한다. 왜냐하면 가우스의 보조정리법에 따르면, 우리는 다음과 같은 것을 가져야 하기 때문이다.

${\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\랑글 =\langle v,w_{N}\랑글 =0.}$

• ${\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),$$T_{v}\exp _{p}(w_{N})\랑글 =0}$ $$:

곡선을 정의해 봅시다.

$[\displaystyle \alpha \colon [-\epsilon ,\epsilon ]\times [0,1]\longrightarrow T_{p}M,\qquad (s,t)\longmapsto tvp+tsw_{{{{{}}}}N}}$

참고:

${\displaystyle \alpha (0,1)=v,\qquad {\frac {\partial t}{\partial t}{\partial t}=v+sw_{N},\partial \partial s}{partial s}{\partial s}=t_{N}}}}}}}}}}}}}}$

다음과 같이 합시다.

${\displaystyle f\colon [-\epsilon ,\epsilon ]\time [0,1]\longrightarrow M,\qquad (s,t)\longmapsto \exp _{p}(tv+tsw_{})N}),}$

그리고 우리는 다음과 같이 계산한다.

${\displaystyle T_{v}\exp _{p}(v)=T_{\alpha (0,1)}\exp _{p}\left({\frac {\partial \alpha }{\partial t}}(0,1)\right)={\frac {\partial }{\partial t}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (s,t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=1,s=0}={\frac {\partial f}{\partial t}}(0,1)}$

그리고

${\displaystyle T_{v}\exp _{p}(w_{N})=T_{\alpha (0,1)}\exp _{p}\left({\frac {\partial \alpha }{\partial s}}(0,1)\right)={\frac {\partial }{\partial s}}{\Bigl (}\exp _{p}\circ \alpha (s,t){\Bigr )}{\Big \vert }_{t=1,s=0}={\frac {\partial f}{\partial s}}(0,1).}$

그러므로

${\displaystyle \langle T_{v}\exp _{p}(v),T_{v}\exp _{p}(w_{N})\rangle =\좌측\langle {\frac {\partial f}{\partial f}}{\partial s}}\rigle(0,1).}$

이제 이 스칼라 제품이 $변수{\displaystyle }$ t ${\displaystyle t}$과$($와) 실제로 독립되어 있는지 확인할 수 있으며, 따라서 예를 들면 다음과 같다.

${\displaystyle \left\langle {\flac}{\flac}{\flac}{\flac s}\right\rangle (0,1)=\flangle {\flac {\flac f}{\flac {\required f}{\rightrangle (0,0,0,0,},},},},},},})},},},},}$

위에서 설명한 대로 다음과 같기 때문이다.

${\displaystyle \lim \{t\오른쪽 화살표 0}{\frac {\partial f}{\partial s}}}=\lim_{tp_{tv}\exp _{p}(tw_{N}=0})$

미분차가 선형 지도라는 것을 전제로 한다.그러므로 이것은 보조정리증을 증명할 것이다.

• We verify that ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =0}$: this is a direct calculation.맵 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle f(s}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle t\mapsto f(s,t)}$은 측지학이므로,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle \underbrace {{\frac {D}{\partial t}}{\frac {\partial f}{\partial t}}} _{=0},{\frac {\partial f}{\partial s}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial t}}{\frac{\partial f}{\partial s}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {D}{\partial s}}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial s}}\left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle .}$

Since the maps ${\displaystyle t\mapsto f(s,t)}$ are geodesics, the function ${\displaystyle t\mapsto \left\langle {\frac {\partial f}{\partial t}},{\frac {\partial f}{\partial t}}\right\rangle }$ is constant.그러므로,

${\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial s}{\partial f}{\partial f}{\partial t}}{\partial s}}{\partial vsw_{\langle vsw_{\partial vsw}}}{\langledata.N}\right\rangle =2\left\langle v,w_{N}\right\rangle =0.}$

참고 항목

• 리만 기하학
• 미터법 텐서

참조

• do Carmo, Manfredo (1992), Riemannian geometry, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3490-2