내쉬 삽입 정리

Nash embedding theorems

존 포브스 내쉬 주니어의 이름을 따서 명명된 내쉬 포함 정리(또는 포함 정리)는 모든 리만 다양체일부 유클리드 공간에 등각적으로 포함될 수 있다고 명시하고 있다.Isometric은 모든 경로의 길이를 보존하는 것을 의미합니다.예를 들어, 페이지가 구부러져도 페이지에 그려진 곡선은 페이지가 구부러져도 같은 원호 길이를 유지하기 때문에, 종이를 구부리거나 찢거나 늘리거나 하지 않는 것은 페이지의 등각적 삽입을 유클리드 공간에 준다.

첫 번째 정리는 연속 미분 가능 (C1) 임베딩에 대한 것이고, 두 번째 정리k 클래스 C의 분석적 또는 매끄러운 임베딩에 대한 것이다.이 두 가지 이론은 서로 매우 다르다.첫 번째 정리는 매우 간단한 증거를 가지고 있지만 몇 가지 반직관적인 결론으로 이어지는 반면, 두 번째 정리는 기술적이고 반직관적인 증거를 가지고 있지만 덜 놀라운 결과를 낳습니다.

C정리1 1954년에, C이론은k 1956년에 출판되었다.실제 해석정리는 1966년 내쉬에 의해 처음 다루어졌다; 그의 주장은 그린과 자코보위츠(1971년)에 의해 상당히 단순화되었다.(이 결과의 현지 버전은 1920년대에 엘리 카르탕과 모리스 자넷에 의해 증명되었습니다.)실제 분석의 경우 Nash 역함수 인수의 평활화 연산자(아래 참조)를 Cauchy 추정치로 대체할 수 있습니다.C-k 사례에 대한 내쉬의 증거는 나중에 h-원칙과 내쉬-모저 암묵적 함수 정리로 추론되었다.제2의 내쉬 임베딩 정리의 보다 간단한 증명은 귄터(1989)에 의해 얻어진 것으로, 그는 비선형 편미분 방정식 세트를 수축 매핑 정리가 [1]적용될 수 있는 타원계로 환원했다.

내쉬-카이퍼 정리 (C1 삽입 정리)

m차원 리만 다양체(M, g)가 주어졌을 때, 등각 임베딩은 유클리드 메트릭의 풀백g와 같도록 연속적으로 미분 가능한 위상 임베딩 f:M δ이다n.분석적 측면에서, 이것( 부드러운 좌표 차트에 상대적)).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{시스템으로 간주될 수 있다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}와 알려지지 않은(실수치의)기능을 위해.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-onlyᆬ1(m+1) 많은 1계 편미분 방정식:.

n이 1/2m(m + 1)보다 작을 경우 미지수보다 방정식이 더 많습니다.이러한 관점에서, 다음과 같은 정리에 의해 주어진 등각 매립의 존재는 놀라운 것으로 여겨진다.

내쉬-카이퍼 [2]정리(M, g)를 m차원 리만 다양체로 하고 f:M → 유클리드 공간 δn 짧은 매끄러운 내장(또는 침지)을 δn 하자. 여기서 n µm + 1이다.이 지도는 등각선일 필요는 없습니다.그런 다음 f균일하게 수렴하는 연속 미분 가능한 등각 매립(또는 몰입) M µn 시퀀스가 있다.

이 정리는 원래 존 내쉬에 의해 약한 조건 n µ m + 2로 증명되었다.의 방법은 니콜라스 카이퍼에 의해 [3][4]위의 정리를 얻기 위해 수정되었다.

Nash-Kuiper 정리에 의해 생성된 등각적 임베딩은 종종 반직관적이고 [5]병적인 것으로 간주된다.그들은 종종 매끄럽게 구별되지 않는다.예를 들어, 데이비드 힐버트의 잘 알려진 정리는 쌍곡면δ3 매끄럽게 등각적으로 담길 수 없다고 주장한다.음의 스칼라 곡률의 아인슈타인 다양체는 하이퍼서페이스로서 [6]등각적으로 매끄럽게 담글 수 없으며, 시잉셴 체른과 카이퍼의 정리는 심지어 비양성 단면 곡률의 닫힌 m차원 다양체는 [7]δ2m – 1 매끄럽게 등각적으로 담글 수 없다고 말한다.또한 일부 매끄러운 등각 매립은 내쉬-카이퍼 정리의 f의 대부분 무제한 선택에 의해 위반되는 강성 현상을 나타낸다.예를 들어, 둥근 구체의 매끄러운 등각 초면 침지 이미지는 그 자체가 둥근 [8]구여야 합니다.대조적으로, 내쉬-카이퍼 정리는 작은 타원체로서 구의 위상 매립에 임의로 가까운 원형 구체의 연속적으로 미분 가능한 등각 초면 침체의 존재를 보장한다.

폐쇄적이고 지향적인 모든 2차원 매니폴드를 δ3 매끄럽게 삽입할 수 있습니다.이러한 매립은 표면상의 주어진 리만 메트릭에 대해 짧아지도록 임의로 작은 상수로 스케일링할 수 있다.내쉬-카이퍼 정리로부터 외접 볼의 반지름이 임의로 작은 리만 표면에는 연속적으로 미분 가능한 등각 함몰이 있다는 것을 알 수 있다.반면 [9]δ에는3 부곡면 폐쇄면을 매끄럽게 등각적으로 박을 수조차 없다.또한 임의의 닫힌 리만 표면의 매끄러운(또는 심지어2 C) 등각 매립의 경우, 내장된 [10]메트릭의 표면적 및 곡률 측면에서 외접 볼의 반지름에 정량적(양) 하한이 존재한다.

고차원에서는 휘트니 임베딩 정리에서와 같이, 내쉬-카이퍼 정리는 닫힌 m차원 리만 다양체가 2m차원 유클리드 공간에서 임의의 작은 근방에 연속적으로 미분 가능한 등각적 임베딩을 허용한다는 것을 보여준다.휘트니의 정리는 비콤팩트 다양체에도 적용되지만, 이러한 내장물은 단순히 작은 상수로만 크기가 짧아질 수 없다.내쉬는 모든 m차원 리만 다양체가 [11]δ2m + 1 연속적으로 미분 가능한 등각 임베딩을 허용한다는 것을 증명했다.

내쉬가 연구할 당시 그의 정리는 수학적 호기심이라고 여겨졌다.결과 자체는 주요 응용 분야를 찾지 못했습니다.하지만, 내쉬의 증명 방법은 카밀로 드 렐리스와 라즐로 세켈리히디에 의해 유체 역학의 수학적 연구로부터 규정된 운동 에너지와 함께 오일러 방정식의 낮은 규칙성 해법을 구성하기 위해 채택되었습니다.해석적인 측면에서, 오일러 방정식은 미지의 [12]함수의 첫 번째 도함수의 2차 비선형성을 통해 등각 매입 방정식과 형식적으로 유사합니다.내쉬의 증명에 대한 아이디어는 미카엘 그로모프에 의해 볼록 적분 원리로 추상화되었고 그에 상응하는 [13]h원칙이 적용되었다.이것은 스테판 뮐러블라디미르 슈베라크가 힐베르트의 19번째 문제에 적용하여 [14]변분 계산에서 최소 미분 가능성의 최소화를 구성했다.

Ck 매입 정리

그 기술적인 성명을 내쉬의 최초의 논문에서 출연하고 있다:만약 M은m-dimensional 리만 다양체(또는 클래스의 분석적 Ck, 3≤ k≤ ∞)만약 M은 콤팩트 다양체 n≤ m(m+1)거나 M은non-compact 매니폴드(3m+11)/2)과 등거맀던 1가지 이슈 때문이었습니다 ƒ, 그렇다면 수 n(과 n≤ m(3m+11)/2,:M→ Rn(또한 분석적 o. 존재하는 다음r클래스k C)[15]의 경우,즉, θ는 C 매니폴드를 내장k 것으로, M의 모든 p에 대해 다음과 같은 의미에서 도함수 dθ는p 탄젠트 공간p TM에서 R까지의 선형n 맵이며, TMp 주어진 내부 곱 및 Rn 표준 도트 곱과 양립한다.

TMp 모든 벡터 u, v에 대해.n이 1/2m(m + 1)보다 클 경우 이는 아직 결정되지 않은 편미분방정식(PDE) 시스템입니다.

내쉬 포함 정리는 전체 다양체가 Rn 포함된다는 의미에서 전역 정리이다.국소 매립 정리는 훨씬 단순하며 다지관의 좌표 근방에서 고급 미적분의 암묵적 함수 정리를 사용하여 증명될 수 있다.전역 임베딩 정리의 증명은 등각 임베딩을 위한 내쉬의 암묵적 함수 정리에 의존합니다.이 정리는 많은 다른 저자들에 의해 추상적 맥락으로 일반화되었고, 여기서 내쉬-모저 정리라고 알려져 있다.내쉬의 암묵적 함수 정리의 증명에서 기본적인 생각은 해를 구성하기 위해 뉴턴의 방법을 사용하는 것이다.표준 뉴턴의 방법은 시스템에 적용될 때 수렴에 실패합니다. 내쉬는 뉴턴 반복을 수렴하기 위해 회전으로 정의된 평활 연산자를 사용합니다. 이것이 후조건부 뉴턴의 방법입니다.이 기술이 해답을 제공한다는 사실 자체가 존재 정리이며 독립적인 관심사이다.다른 맥락에서 표준 뉴턴 방법의 수렴은 레오니드 칸토로비치에 의해 일찍이 증명되었다.

메모들

  1. ^ 테일러 2011, 페이지 147–151.
  2. ^ Eliashberg & Mishachev 2002, 챕터 21; 그로모프 1986, 섹션 2.4.9.
  3. ^ 1954년 내시
  4. ^ Kuiper 1955a; Kuiper 1955b.
  5. ^ 고바야시 & 노미즈 1969, 주 18.
  6. ^ 고바야시 & 노미즈 1969, 정리 VII.5.3.
  7. ^ 고바야시 & 노미즈 1969, 콜라리 VII.4.8.
  8. ^ 고바야시 & 노미즈 1969, 코롤러리 VII.5.4 및 주15.
  9. ^ 고바야시 & 노미즈 1969, 정리 VII.5.6.
  10. ^ Burago & Zalgaller 1988, Collollary 6.2.2.
  11. ^ 1954년 내시, 394-395페이지.
  12. ^ De Lelis & Székelyhidi 2013; Isett 2018.
  13. ^ 그로모프 1986, 섹션 2.4
  14. ^ 뮐러 & 슈베라크 2003.
  15. ^ 1956년 내시

레퍼런스