균일화 정리

수학에서 획일화 정리에서는 간단히 연결된 모든 리만 표면이 오픈 유닛 디스크, 복합 평면 또는 리만 구체의 세 개의 리만 표면 중 하나에 상응한다고 말한다. 정리는 단순히 연결된 평면 개방형 서브셋에서 임의로 연결된 리만 표면으로 리만 매핑 정리를 일반화한 것이다.

모든 리만 표면은 간단히 연결된 리만 표면인 범용 커버를 가지고 있기 때문에, 균일화 정리에서는 리만 표면을 범용 커버("엘립틱")로, 리만 구를 범용 커버("파라볼릭")로, 리만 표면을 범용 커버로, 단위 디스크를 범용 디스크로 하는 세 가지 유형으로 분류한다. 커버("bolic") 또한 모든 리만 표면은 일정한 곡률의 리만 측도를 허용하며, 여기서 곡률의 값은 타원형에서 1이고 포물선에서는 0이며 쌍곡선에서는 -1이다.

획일화 정리도 폐쇄적 방향의 리만 2마니폴드를 타원형/파라볼릭형/하이퍼볼트형으로 유사한 분류로 산출한다. 그러한 각 다지관에는 일정한 곡률의 일치 등가 리만 메트릭스가 있으며, 여기서 곡률성은 타원형에서 1, 포물선에서는 0, 쌍곡선 사례에서 -1이 될 수 있다.

역사

펠릭스 클라인(1883)과 앙리 푸앵카레(1882)는 대수곡선의 (리만 표면)에 대한 획일화 정리를 추측했다. 앙리 푸앵카레(1883)는 이것을 임의의 다변량 분석함수로 확장하고 그것에 유리한 비공식적인 주장을 했다. 일반적 획일화 정리의 첫 번째 엄격한 증명서는 푸앵카레(1907)와 폴 코에베(1907a, 1907b, 1907c)에 의해 제시되었다. Paul Koebe는 나중에 몇 가지 더 많은 증거와 일반화를 주었다. 역사는 그레이(1994년)에 기술되어 있다; 1907년 코에베와 푸앵카레 논문까지의 통일화에 대한 완전한 설명은 드 생제르바이(2016년) (이 간행물을 공동으로 제작한 수학자 그룹의 부르바키형 가명)에 자세한 증거를 가지고 있다.

연결된 리만 표면 분류

모든 리만 표면은 그 범용 피복에 대한 이산 그룹의 자유, 적절, 홀로모르픽 작용의 몫이며, 이 범용 피복은 단순히 연결된 리만 표면으로서 다음 중 하나에 홀로모르픽("적합하게 등가" 또는 "비홀로모르픽"이라고도 한다)이다.

1. 리만 구
2. 복잡한 평면
3. 복잡한 평면의 단위 디스크

컴팩트 리만 표면의 경우, 단위 디스크의 범용 덮개가 있는 표면은 정확하게 1보다 큰 속들의 쌍곡선 표면이며, 모든 속은 비아벨리안 기본 그룹이 있고, 범용 덮개가 있는 표면은 속 1의 리만 표면, 즉 기본 그룹 Z가² 있는 복잡한 토리 또는 타원 곡선이다. 리만 구를 덮는 것은 0속, 즉 리만 구 자체의 것으로, 사소한 기본 집단을 가지고 있다.

폐쇄 지향 리만 2마니폴드 분류

방향 2-매니폴드에서는 리만 메트릭스가 등온 좌표까지의 통로를 사용하여 복잡한 구조를 유도한다. Riemanian 메트릭스가 로컬로 제공되는 경우

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},dy^{2},$

그런 다음 복잡한 좌표 z = x + iy에서 형식을 취한다.

${\displaystyle ds^{2}=\dda dz+\mu \,d{\overline{z}}^{2},}$

어디에

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{1}{4}}\왼쪽(E+G+2}{\sqrt {EG-F^{2}}}\오른쪽),\\mu ={\frac {1}{1}{1}{4\lambda }}}}}}(E-G+2iF),}$

μ와 μ가 μ > 0과 μ < 1로 부드러워지도록 한다. 등온 좌표(u, v)에서 메트릭은 형태를 취해야 한다.

${\displaystyle ds^{2}=\rho(du^{2}+^{2})}$

ρ > 0 매끈하게 복잡한 좌표 w = u + i v가 만족함

${\displaystyle \rho \, dw ^{2}=\rho w_{z}^{2}\왼쪽 dz+{w_{\overline {z}\,d{\overline {z}\오른쪽 ^{2}}}}}$

Beltrami 방정식을 제공하면 좌표(u, v)가 국소적으로 등온되도록 한다.

${\displaystyle {\reverline {z}=\mu {\revers w \rever \rever\bufficient z}$

국소적으로 다른 형태의 솔루션을 가지고 있다. 즉, 비탄력적인 자코비안이 있는 솔루션을 가지고 있다.

이러한 조건은 외부 파생 모델과 호지 항성 연산자 ∗^[1]의 관점에서 동등하게 표현될 수 있다. ∗두 = dv인 경우 u와 v는 등온 좌표가 된다. 여기서 ∗(p dx + q dy) = -q dx + p dy에 의해 ∗이 정의된다. Let ∆ = ∗ddd는 라플라스-벨트라미 연산자. 표준 타원 이론에 의해 u는 주어진 점, 즉 Δ u = 0에 가까운 고조파(non-barning)로 선택할 수 있다. 푸앵카레 보조정리 dv = ∗du는 d(dudu) = 0일 때 정확한 로컬 솔루션 v를 가지고 있다. 이 조건은 Δ u = 0에 해당하므로 항상 현지에서 해결할 수 있다. du는 0이 아니며 1-폼에서 Hodge 별 연산자의 제곱은 -1이므로 du와 dv는 선형적으로 독립적이어야 u와 v가 국부 등온 좌표를 부여한다.

등온 좌표의 존재는 다른 방법으로 증명할 수 있는데, 예를 들어, 벨트라미 방정식의 일반 이론을 알프도르 (Ahlfors) (2006)와 같이 사용하거나, 체르누스 (1955)와 조스트 (2006)와 같이 직접 초등 방법을 사용하여 증명할 수 있다.

콤팩트한 리만 표면과의 이 대응으로부터, 폐쇄적인 방향의 리만 2-매니폴드의 분류가 뒤따른다. 각각은 일정한 곡률의 닫힌 고유한 2-매니폴드와 일치하므로, 이등계 그룹의 이산형 부분군의 자유 작용에 의한 다음 중 하나의 지수를 나타낸다.

1. 구(구 +1)
2. 유클리드 평면(곡선 0)
3. 쌍곡면(쌍곡면 -1)

• 

  속 0

• 

  속1

• 

  속2

• 

  속 3

첫 번째 경우는 2-sphere, 즉 일정한 양의 곡률과 그에 따른 양의 오일러 특성(2와 동일)을 갖는 고유한 2-매니폴드를 제공한다. 두 번째는 모든 평평한 2-매니폴드, 즉 오일러 특성이 0인 토리를 준다. 세 번째 경우는 음수 곡률의 모든 2-매니폴드를 포함한다. 즉 쌍곡선 2-매니폴드는 모두 음수 오일러 특성을 가지고 있다. 이 분류는 가우스-보넷 정리(Gauss-Bonnet organization)와 일치하며, 이는 일정한 곡률을 가진 닫힌 표면의 경우 곡률의 부호가 오일러 특성의 부호와 일치해야 함을 의미한다. 오일러 특성은 2 – 2g과 같으며, 여기서 g는 2매니폴드의 속, 즉 "구멍수"이다.

증명 방법

획일화 정리의 많은 고전적인 증명들은 단순히 연결된 리만 표면에 실제 가치의 고조파 함수를 구성하는 것에 의존하는데, 아마도 한 두 지점의 특이성을 가지고 있으며 종종 그린의 함수의 형태에 대응한다. 조화함수를 구성하는 네 가지 방법, 즉 페론법, 슈바르츠 교대법, 디리클레트의 원리, 바일의 직교 투영법 등이 널리 채택되어 있다. 닫힌 리만 2마니폴드의 맥락에서, 몇몇 현대적인 증명들은 일치하게 동등한 측정의 공간에 비선형 미분 방정식을 호출한다. 여기에는 테히뮐러 이론의 벨트라미 방정식과 조화 지도의 측면에서 동등한 공식, 푸앵카레가 이미 연구한 리우빌 방정식, 기타 비선형 흐름과 함께 리치 흐름이 포함된다.

라도의 정리를 보면 모든 리만 표면은 자동적으로 2차 카운트 할 수 있다는 것을 알 수 있다. 라도의 정리는 흔히 획일화 정리 증명에 이용되지만, 일부 증명은 라도의 정리가 결과가 되도록 공식화되었다. 콤팩트한 Riemann 표면의 경우 두 번째 계수성은 자동이다.

힐베르트 공간법

1913년 헤르만 베일은 1911년부터 1912년까지 괴팅겐 강의를 바탕으로 고전 교과서인 "Die Idee der Riemnschen Fléche"를 출판했다. 이 책은 리만 표면의 이론을 현대적인 배경에서 처음으로 제시한 책이며, 세 판을 통해 영향력을 유지해왔다. 펠릭스 클라인에게 바쳐진 초판은 힐베르트의 힐베르트의 공간 기술을 이용한 디리클레 문제에 대한 처리, 브루워의 위상에 대한 공헌, 그리고 코에베의 획일화 정리 및 그에 따른 개선 증명 등을 통합했다. 훨씬 후에 Weyl(1940)은 힐버트 공간에 기초하여 Diriclet 문제에 능률적으로 접근하는 직교 투영법을 개발했다; 타원적 정규성에 대한 Weil의 보조정리법을 포함한 그 이론은 Hodge의 조화적 통합 이론과 관련이 있었다; 그리고 두 이론은 모두 현대 타원적 운영 이론에 포함되었다.오스와² L 소볼레프 공간. 1955년부터 영어로 번역된 그의 책의 제3판(1964년)에서 Weyl은 삼각측량보다 미분다지관의 현대적 정의를 채택했지만 직교 투영법은 사용하지 않기로 결정했다. 스프링어(1957)는 바일의 획일화 정리 설명을 따랐지만, 디리클레 문제를 다루기 위해 직교 투영법을 사용했다. 고다이라(2007)는 바일(Weyl)의 저서에서 접근법을 설명하고, 직교 투영법을 사용하여 단축하는 방법도 설명한다. 관련 계정은 도날드슨(2011년)에서 찾을 수 있다.

비선형 흐름

Ricci 흐름을 소개하면서 Richard S. 해밀턴은 닫힌 표면의 Ricci 흐름이 지표를 균일하게 만든다는 것을 보여주었다(즉, 흐름이 일정한 곡률 지표로 수렴한다). 그러나 그의 증거는 획일화 정리에 의존했다. 누락된 단계는 2-sphere의 Ricci 흐름과 관련되었다: 균일화 정리 (0의 경우)에 대한 호소를 피하기 위한 방법은 Chen, Lu & Tian(2006)에 의해 제공되었고,^[2] 2-sphere의 Ricci 흐름에 대한 짧은 자급자족 설명이 Andrews & Bryan(2010)에 제공되었다.

일반화

코에베는 리만 표면이 복잡한 구의 열린 부분집합(또는 모든 요르단 곡선이 그것을 분리하는 경우 동등하게)에 대해 동형인 경우, 그것은 그 복잡한 영역의 열린 부분집합과 일치하게 동등하다는 일반적인 통일화 정리를 증명했다.

3차원에서는 8개의 Thurston 기하학이라 불리는 8개의 기하학이 있다. 모든 3-매니폴드가 기하학을 인정하는 것은 아니지만, 그리고리 페렐만에 의해 증명된 Thurston의 기하학적 추측에 따르면 모든 3-매니폴드는 기하학적으로 가능한 조각들로 잘릴 수 있다고 한다.

립만 베르스의 동시 균일화 정리는 동일한 준 후치안 그룹과 같은 속 >1의 콤팩트 리만 표면 두 개를 동시에 균일화하는 것이 가능하다는 것을 보여준다.

측정 가능한 리만 매핑 정리는 보다 일반적으로 균일화 정리에서 복잡한 구체의 개방된 부분 집합에 대한 지도를 주어진 측정 가능한 벨트라미 계수를 가진 퀘이콘 형식 지도로 선택할 수 있음을 보여준다.

참고 항목

• p-adic 균일화 정리

메모들

참조

역사적 참고자료

• Schwarz, H. A. (1870), "Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren", Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich, 15: 272–286, JFM 02.0214.02.
• Klein, Felix (1883), "Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie", Mathematische Annalen, 21 (2): 141–218, doi:10.1007/BF01442920, ISSN 0025-5831, JFM 15.0351.01, S2CID 120465625
• Koebe, P. (1907a), "Über die Uniformisierung reeller analytischer Kurven", Göttinger Nachrichten: 177–190, JFM 38.0453.01
• Koebe, P. (1907b), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven", Göttinger Nachrichten: 191–210, JFM 38.0454.01
• Koebe, P. (1907c), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (Zweite Mitteilung)", Göttinger Nachrichten: 633–669, JFM 38.0455.02
• Koebe, Paul (1910a), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 138: 192–253, doi:10.1515/crll.1910.138.192, S2CID 120198686
• Koebe, Paul (1910b), "Über die Hilbertsche Uniformlsierungsmethode" (PDF), Göttinger Nachrichten: 61–65
• Poincaré, H. (1882), "Mémoire sur les fonctions fuchsiennes", Acta Mathematica, 1: 193–294, doi:10.1007/BF02592135, ISSN 0001-5962, JFM 15.0342.01
• Poincaré, Henri (1883), "Sur un théorème de la théorie générale des fonctions", Bulletin de la Société Mathématique de France, 11: 112–125, doi:10.24033/bsmf.261, ISSN 0037-9484, JFM 15.0348.01
• Poincaré, Henri (1907), "Sur l'uniformisation des fonctions analytiques", Acta Mathematica, 31: 1–63, doi:10.1007/BF02415442, ISSN 0001-5962, JFM 38.0452.02
• Hilbert, David (1909), "Zur Theorie der konformen Abbildung" (PDF), Göttinger Nachrichten: 314–323
• Perron, O. (1923), "Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu=0", Mathematische Zeitschrift, 18 (1): 42–54, doi:10.1007/BF01192395, ISSN 0025-5874, S2CID 122843531
• Weyl, Hermann (1913), Die Idee der Riemannschen Fläche (1997 reprint of the 1913 German original), Teubner, ISBN 978-3-8154-2096-6
• Weyl, Hermann (1940), "The method of orthogonal projections in potential theory", Duke Math. J., 7: 411–444, doi:10.1215/s0012-7094-40-00725-6

역사조사

• Abikoff, William (1981), "The uniformization theorem", Amer. Math. Monthly, 88 (8): 574–592, doi:10.2307/2320507, JSTOR 2320507
• Gray, Jeremy (1994), "On the history of the Riemann mapping theorem" (PDF), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II. Supplemento (34): 47–94, MR 1295591
• Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Hidden Harmony—Geometric Fantasies: The Rise of Complex Function Theory, Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences, Springer, ISBN 978-1461457251
• de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformization of Riemann Surfaces: revisiting a hundred-year-old theorem, translated by Robert G. Burns, European Mathematical Society, doi:10.4171/145, ISBN 978-3-03719-145-3, 프랑스어 본문의 번역 (2007년 코에베 및 푸앵카레 1907년 논문 100주년 동안 준비)

조화 함수

페론의 방법

• Heins, M. (1949), "The conformal mapping of simply-connected Riemann surfaces", Ann. of Math., 50 (3): 686–690, doi:10.2307/1969555, JSTOR 1969555
• Heins, M. (1951), "Interior mapping of an orientable surface into S²", Proc. Amer. Math. Soc., 2 (6): 951–952, doi:10.1090/s0002-9939-1951-0045221-4
• Heins, M. (1957), "The conformal mapping of simply-connected Riemann surfaces. II", Nagoya Math. J., 12: 139–143, doi:10.1017/s002776300002198x
• Pfluger, Albert (1957), Theorie der Riemannschen Flächen, Springer
• Ahlfors, Lars V. (2010), Conformal invariants: topics in geometric function theory, AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
• Beardon, A. F. (1984), "A primer on Riemann surfaces", London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press, 78, ISBN 978-0521271042
• Forster, Otto (1991), Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, vol. 81, translated by Bruce Gilligan, Springer, ISBN 978-0-387-90617-1
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Riemann surfaces (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90465-8
• Gamelin, Theodore W. (2001), Complex analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 978-0-387-95069-3
• Hubbard, John H. (2006), Teichmüller theory and applications to geometry, topology, and dynamics. Vol. 1. Teichmüller theory, Matrix Editions, ISBN 978-0971576629
• Schlag, Wilhelm (2014), A course in complex analysis and Riemann surfaces., Graduate Studies in Mathematics, vol. 154, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-9847-5

슈바르츠의 교대법

• Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung, Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, vol. 64, Springer
• Behnke, Heinrich; Sommer, Friedrich (1965), Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 77 (3rd ed.), Springer
• Freitag, Eberhard (2011), Complex analysis. 2. Riemann surfaces, several complex variables, abelian functions, higher modular functions, Springer, ISBN 978-3-642-20553-8

디리클레 원리

• Weyl, Hermann (1964), The concept of a Riemann surface, translated by Gerald R. MacLane, Addison-Wesley, MR 0069903
• Courant, Richard (1977), Dirichlet's principle, conformal mapping, and minimal surfaces, Springer, ISBN 978-0-387-90246-3
• Siegel, C. L. (1988), Topics in complex function theory. Vol. I. Elliptic functions and uniformization theory, translated by A. Shenitzer; D. Solitar, Wiley, ISBN 978-0471608448

바일의 직교 투영법

• Springer, George (1957), Introduction to Riemann surfaces, Addison-Wesley, MR 0092855
• Kodaira, Kunihiko (2007), Complex analysis, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 107, Cambridge University Press, ISBN 9780521809375
• Donaldson, Simon (2011), Riemann surfaces, Oxford Graduate Texts in Mathematics, vol. 22, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-960674-0

사리오 연산자

• Sario, Leo (1952), "A linear operator method on arbitrary Riemann surfaces", Trans. Amer. Math. Soc., 72 (2): 281–295, doi:10.1090/s0002-9947-1952-0046442-2
• Ahlfors, Lars V.; Sario, Leo (1960), Riemann surfaces, Princeton Mathematical Series, vol. 26, Princeton University Press

비선형 미분 방정식

벨트라미의 방정식

• Ahlfors, Lars V. (2006), Lectures on quasiconformal mappings, University Lecture Series, vol. 38 (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3644-6
• Ahlfors, Lars V.; Bers, Lipman (1960), "Riemann's mapping theorem for variable metrics", Ann. of Math., 72 (2): 385–404, doi:10.2307/1970141, JSTOR 1970141
• Bers, Lipman (1960), "Simultaneous uniformization", Bull. Amer. Math. Soc., 66 (2): 94–97, doi:10.1090/s0002-9904-1960-10413-2
• Bers, Lipman (1961), "Uniformization by Beltrami equations", Comm. Pure Appl. Math., 14 (3): 215–228, doi:10.1002/cpa.3160140304
• Bers, Lipman (1972), "Uniformization, moduli, and Kleinian groups", The Bulletin of the London Mathematical Society, 4 (3): 257–300, doi:10.1112/blms/4.3.257, ISSN 0024-6093, MR 0348097

조화 지도

• Jost, Jürgen (2006), Compact Riemann surfaces: an introduction to contemporary mathematics (3rd ed.), Springer, ISBN 978-3-540-33065-3

리우빌 방정식

• Berger, Melvyn S. (1971), "Riemannian structures of prescribed Gaussian curvature for compact 2-manifolds", Journal of Differential Geometry, 5 (3–4): 325–332, doi:10.4310/jdg/1214429996
• Berger, Melvyn S. (1977), Nonlinearity and functional analysis, Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
• Taylor, Michael E. (2011), Partial differential equations III. Nonlinear equations, Applied Mathematical Sciences, vol. 117 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-1-4419-7048-0

리만 메트릭스 흐름

• Hamilton, Richard S. (1988), "The Ricci flow on surfaces", Mathematics and general relativity (Santa Cruz, CA, 1986), Contemp. Math., vol. 71, American Mathematical Society, pp. 237–262
• Chow, Bennett (1991), "The Ricci flow on the 2-sphere", J. Differential Geom., 33 (2): 325–334, doi:10.4310/jdg/1214446319
• Osgood, B.; Phillips, R.; Sarnak, P. (1988), "Extremals of determinants of Laplacians", J. Funct. Anal., 80: 148–211, CiteSeerX 10.1.1.486.558, doi:10.1016/0022-1236(88)90070-5
• Chrusciel, P. (1991), "Semi-global existence and convergence of solutions of the Robinson-Trautman (2-dimensional Calabi) equation", Communications in Mathematical Physics, 137 (2): 289–313, Bibcode:1991CMaPh.137..289C, CiteSeerX 10.1.1.459.9029, doi:10.1007/bf02431882, S2CID 53641998
• Chang, Shu-Cheng (2000), "Global existence and convergence of solutions of Calabi flow on surfaces of genus h ≥ 2", J. Math. Kyoto Univ., 40 (2): 363–377, doi:10.1215/kjm/1250517718
• Brendle, Simon (2010), Ricci flow and the sphere theorem, Graduate Studies in Mathematics, vol. 111, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4938-5
• Chen, Xiuxiong; Lu, Peng; Tian, Gang (2006), "A note on uniformization of Riemann surfaces by Ricci flow", Proceedings of the American Mathematical Society, 134 (11): 3391–3393, doi:10.1090/S0002-9939-06-08360-2, ISSN 0002-9939, MR 2231924
• Andrews, Ben; Bryan, Paul (2010), "Curvature bounds by isoperimetric comparison for normalized Ricci flow on the two-sphere", Calc. Var. Partial Differential Equations, 39 (3–4): 419–428, arXiv:0908.3606, doi:10.1007/s00526-010-0315-5, S2CID 1095459
• Mazzeo, Rafe; Taylor, Michael (2002), "Curvature and uniformization", Israel Journal of Mathematics, 130: 323–346, arXiv:math/0105016, doi:10.1007/bf02764082, S2CID 7192529
• Struwe, Michael (2002), "Curvature flows on surfaces", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci., 1: 247–274

일반참조

• Chern, Shiing-shen (1955), "An elementary proof of the existence of isothermal parameters on a surface", Proc. Amer. Math. Soc., 6 (5): 771–782, doi:10.2307/2032933, JSTOR 2032933
• DeTurck, Dennis M.; Kazdan, Jerry L. (1981), "Some regularity theorems in Riemannian geometry", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 14 (3): 249–260, doi:10.24033/asens.1405, ISSN 0012-9593, MR 0644518.
• Gusevskii, N.A. (2001) [1994], "Uniformization", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Krushkal, S. L.; Apanasov, B. N.; Gusevskiĭ, N. A. (1986) [1981], Kleinian groups and uniformization in examples and problems, Translations of Mathematical Monographs, vol. 62, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4516-5, MR 0647770
• Taylor, Michael E. (1996a), Partial Differential Equations I: Basic Theory, Springer, pp. 376–378, ISBN 978-0-387-94654-2
• Taylor, Michael E. (1996b), Partial Differential Equations II:Qualitative studies of linear equations, Springer, ISBN 978-0-387-94651-1
• Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Partial differential equations (reprint of the 1964 original), Lectures in Applied Mathematics, vol. 3A, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0049-2
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9
• Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 94, Springer, ISBN 978-0-387-90894-6

외부 링크

• 등각 변환: 원에서 사각형으로.