아핀 묶음

수학에서 아핀다발은 전형적인 섬유, 섬유, 자질구레한 형태의 형태와 전이 기능이 아핀인 섬유다발이다.^[1]

형식 정의

Let ${\displaystyle {\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X}$ be a vector bundle with a typical fiber a vector space ${\displaystyle {\overline {F}}}$. An affine bundle modelled on a vector bundle ${\displaystyle {\overline {\pi }}:{\overline {Y}}\to X}$ is a fiber bundle ${\displaystyle \pi :}$${\displaystyle \pi$$$일반적인 섬유 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$이(가) $F$의${\$에 모델링된 부속 공간인 $Y\to X}$은(는) 다음과 같은 조건이 유지되도록 한다$$.

(i) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 모든 $섬유{\displaystyle {}_{}}$ Y ${\displaystyle x_{}}$ ${\$$x$$}$은(는) $벡터{\displaystyle \stackrel{}{}}$$번들$ Y {\$displaystyle {\}{$Y$$}}의 해당 $섬유$에${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$대해 모델링된 부속 공간이다$.$

(ii) $Y{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\to X}$의 아핀 번들 지도책이 있으며, 이$$ 지도책의 국소적 소급화 형태 및 전환 기능은 아핀 이형화이다.

아핀 번들을 다룰 때는 아핀 전환 기능을$$ 가진 아핀 번들 좌표$xμ$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$) ${\displaystyle(x^{\$mu $}},y^{i}})$만 사용한다.

${\displaystyle y'^{i}=A_{j}^{i}(x^{\nu }}y^{j}+b^{i}(x^{\nu })).}$

묶음 형태도 있고

${\displaystyle Y\times _{X}{\overline {Y}}\longrightarrow Y,\qquad(y^{i},{\overline {y}^{i})\longmapsto y^{i}+{\overline {y}}}}}}}}$

${\displaystyle Y\time _{X}Y\longrightarrow {\overline {Y},\qquad(y^{i},y'^{i})\longmapsto y^{i}-y'^{i}}}}}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$ $"){\displaystyle({\$$overline$${y}^{i}}}$은(는) 벡터 $번들{\displaystyle \stackrel{}{}}$ Y$}{{\$의 선형 번들 좌표로$,$ ${\displaystyle y^{\stackrel{}{}\prime }}$ i${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle A_{}^{}}$ j ${\displaystyle {}_{}^{}}$( x ${\displaystyle {\nu }^{}}$) ${\displaysty'^{i}$$A_{j}^{i}(x^{\nu }}}{\overline{y}^{j$

특성.

아핀다발에는 글로벌 섹션이 있지만 벡터다발과 대조적으로 아핀다발에는 표준적인 글로벌 섹션이 없다.$\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ X ${\displaystyle \pi$:$\to X}$은$($는) 벡터 $번들$ ${\displaystyle \pi }$에 $모델링된$ 아핀 $묶음$이다${\displaystyle .}$

${\displaystyle Y\ni y\s(\pi(y))\in {\overline {Y},\qquad {\overline {\overline {Y}\ni}\to s(\pi(y))+{\overline{y}\in Y.}$

특히 모든 벡터 번들 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은(는) 이러한 형태론 ${\displaystyle \mathrm{때문}}$에 아핀 번들의 자연 구조를 가지고$$ 있는데, 여기서 $s{\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle s=0}$은 $Y{\displaystyle }$ ${\displaysty Y}$의 표준 영값 섹션이다$.$ 예를 들어, 다지관 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 접선 번들 $TX}.$아군(Align)은 붙임성이 있는 보따리다.

아핀 번들 $Y{\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y$${\displaystyle \backslash }$$to X}$은$($는) $치수{\displaystyle }$m {\$displaystyle m}$의 $전형적$인$$섬유 V {\$displaystyle V}$의 아핀$$ 변환의 일반 $아핀{\displaystyle }$ 구조 그룹 $GA$를 가진 섬유 번들이다$.$이 구조 그룹은 항상 일반 선형 그룹 G ${\displaystyle L}$(${\displaystyle m\mathbb{}}$, R${\displaystyle }$) ${\displaystyle GL(m,\mathb {R}$ $)\}($으)로 축소할 수 있다. 즉, 어핀 번들은 선형 전환 기능이 있는 지도책을 승인한다.

아핀다발의 형태론(morphism of appine bundles)에 의해 번들 형태론 ${\displaystyle :}$ :${\displaystyle Y}$ → ${\displaystyle {}^{}}$ism {\$displaystyle \Phi$:$Y$ ${\displaystyle Y}$의 각 섬유에 대한 제한이 첨부된$$ $지도인 Y\to$ Y$'}$모든 아핀다발 형태론 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$:벡터 번들 $Y{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\$$displaystyle$$Y}$에 대해 벡터 번들 Y${\displaystyle \stackrel{}{}}$${\displaystyle {\{}^{}}$ {\$displaystyle$ {Y}을(를$$$$) 모델링한 애프터 $번들{\displaystyle {\stackrel{}{}}^{}}$${\displaystyle {}^{}}$Y $\$ {\$displaystyle$ Y$}$에 대해 Y\$to$ Y$'}이($가$)$는 고유한 선형 번들 형태론을 생성한다$$.

${\displaystyle {\Phi}}}}{{{i}}={\partial \Phi}{{i}}}{\overline{Y}}}}}}}}}}}}\overline {Y}{\overline {Y}^{}}}}}}}}}}}}}}$

$\phi {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Phi }$의 선형 파생 모델로 불린다$.$

참고 항목

• 섬유다발
• 섬유다지관
• 벡터 번들
• 아핀 공간

메모들

참조

• S. 코바야시, K. 노미즈, 미분 기하학의 기초, Vols. 1, 2, Wiley-Interscience, 1996, ISBN 0-471-15733-3.
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on 2017-03-30, retrieved 2013-05-28
• Sardanashvily, G, 이론가를 위한 고급 미분 기하학. 섬유 묶음, 제트 다지관 및 라그랑지 이론, 램버트 학술 출판, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7; ArXiv:0908.1886.
• Saunders, D.J. (1989), The geometry of jet bundles, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36948-7