관련 번들

수학에서 구조군 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}($위상학군)을 가진 섬유다발 이론은 연관다발을 만드는 작업을 가능하게 하는데, 여기서 번들의 일반적인 섬유는 F ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}에서$$ ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$2}}로$$변하는데, 이 두 가지 모두 그룹이 있는 위상학 공간이다.G{G\displaystyle}의 구조 그룹 G와 광섬유 다발. F 들어 액션, 섬유(즉 cocycle)의 두 좌표계 Uα과 Uβ의 겹치는 부분에 전환 기능 Uα∩Uβ에G-valued 기능 gαβ로 지정됩니다.어느 새로운 섬유 다발 같은 전환 기능을 뿐만 아니라 아마 a. 섬유 다발 F′을 건설할 수 있다른 섬유

예

A simple case comes with the Möbius strip, for which ${\displaystyle G}$ is the cyclic group of order 2, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$. We can take as ${\displaystyle F}$ any of: the real number line ${\displaystyle \mathbb {R} }$, the interval ${\displaystyle [-1,\ 1]}$, the real n움버 라인이 0점 이하 또는 2점 세트 {${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \text{1}\mathrm{}\}}$ ${\displaystyle \{-1,\1$$이것들$에 대한 G {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $G}$의 작용(각 $사례$에서 x${\displaystyle }$→${\displaystyle }$- x ${\displaystyle x\\rightarrow$\$-x}$로 작용하는 비식별 요소)은 직관적으로 비교할 수 있다$.$We could say that more formally in terms of gluing two rectangles ${\displaystyle [-1,\ 1]\times I}$ and ${\displaystyle [-1,\ 1]\times J}$ together: what we really need is the data to identify ${\displaystyle [-1,\ 1]}$ to itself directly at one end, and with the twist over at the 다른 쪽 끝이 데이터는 패치 함수로서 기록될 수 있으며, 값은 G이다.관련 번들 구성은 이 데이터가${\displaystyle }${${\displaystyle }$- 1,${\displaystyle \text{1}\mathrm{}}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{-1,\\1\}$에 대해${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$, $1$]$${\$displaystyle$[-$1,\]}$만큼 효과가$$ 있다는 관측에 불과하다$.$

건설

일반적으로 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이$($가) 작용하는 $섬유{\displaystyle }$ F$${\$displaystyle F$}이(가) 있는 묶음에서 관련 기본 번들(이름으로 섬유가 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$인 묶음$,$ 번역에 의해 작용하는 것으로 간주되는 묶음)으로의 전환을 설명하면 충분하다.그러면 우리는 $기본{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {번들}_{}}$을$$통해 F 1 {\displaystyle$F_{1$}에서 $F{\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle F_{2$}}까지$$ 갈 수 있다$.$공개 커버에 대한 데이터 측면에서 세부적인 사항은 하천의 경우로 제시된다.

이 구간은 다음과 같이 구성되어 있다.먼저 지정된 파이버 번들에서 지정된 파이버를 포함한 관련 번들을 생산하는 일반적인 절차를 소개한다.이 경우 지정된 섬유가 그룹 자체의 왼쪽 동작을 위한 주요 균질 공간이며 관련된 주성분 번들을 산출하는 경우에 특화된다.또한, 주요 번들의 섬유에 대해 올바른 조치가 주어진다면, 우리는 섬유 제품 구조를 통해 관련 번들을 구성하는 방법을 설명한다.^[1]

일반적으로 연결된 번들

π : E → X는 위상학적 공간 X 위에 있는 섬유 묶음이며, 구조 그룹 G와 일반적인 섬유 F가 있다.정의상 파이버 F에는 (변환 그룹으로서) G의 왼쪽 동작이 있다.더 나아가 이 조치가 효과적이라고 가정하자.^[2]X의 오픈커버 U와_i 파이버 맵 모음으로 구성된 번들 E의 로컬 소급화가 있다.

φ_i : π⁻¹(U_i) → U_i × F

전환 지도가 G의 요소에 의해 주어지는 것. 보다 정확하게는 다음과 같은 연속 함수_ij g : (U_ij u U) → G가 있다.

ψ_ij(u,f) := φ_i o φ_j⁻¹(u,f) = (u,g_ij(u)f) 각 ∈ (u_i,f_j) × F.

이제 F′은 G의 연속적인 왼쪽 작용을 갖춘 지정된 위상학적 공간이 되도록 한다.그러면 섬유 F′과 E와 관련된 번들은 커버 U에_i 종속된 로컬 사소한 것이 있는 번들 E′이며, 변환 기능은 다음에 의해 주어진다.

ψ′(_iju,f′) = (u, g_ij(u) f′) for (u,f′) ×(U_i, ∩ U_j) × F′

여기서 G-값 함수 g_ij(u)는 원래 번들 E의 국소적 사소한 것에서 얻은 함수들과 동일하다.

이 정의는 각각의 경우 G 값 함수의 동일한 시스템에 의해 주어지기 때문에 전환 함수의 cocycle 조건을 분명히 존중한다.(또 다른 국소적 사소한 것을 사용하고, 필요한 경우 공통적인 정교함으로 넘어가면, g는_ij 같은 코바이어리지를 통해 변모한다.)따라서, 섬유다발 건설 정리에 의해, 이것은 주장된 것처럼 섬유 F′를 가진 섬유다발 E′을 생산한다.

파이버 번들과 연결된 기본 번들

이전과 같이 E가 구조 그룹 G를 가진 섬유 묶음이라고 가정한다.특별한 경우, G가 F and에 자유롭고 전이적인 왼쪽 동작을 가지고 있어서 F′ 자체가 G의 왼쪽 동작을 위한 주된 동질 공간인 경우, 관련 번들 E′을 섬유 번들 E와 연관된 주 G 번들이라고 부른다.더욱이 새로운 섬유 F fibre이 G와 동일시된다면(그래서 F′은 왼쪽 동작뿐만 아니라 G의 오른쪽 동작을 계승한다), F′에 대한 G의 오른쪽 동작은 E′에 대한 G의 오른쪽 동작을 유도한다.이러한 신분 확인의 선택으로 E′은 통상적인 의미에서 주요한 번들이 된다.G에 대한 주요 동질 공간에 대한 올바른 작용을 규정하는 표준적인 방법은 없지만, 그러한 두 가지 동작은 구조 그룹 G와 동일한 기초 섬유 번들을 가지는 주성분 번들을 산출할 것이며(이것은 G의 왼쪽 동작에서 나온 것이기 때문에), G-공간과 같은 이형성을 가지는 G-공간과 같은 이형성을 갖는다.둘과 관련된 묶음의 형태론

이러한 방식으로 올바른 동작을 갖춘 주 G번들은 종종 구조 그룹 G와 함께 파이버 번들을 지정하는 데이터의 일부로 생각되는데, 파이버 번들에는 관련 번들 구조를 통해 주 번들을 구성할 수 있기 때문이다.그 다음 절에서와 같이 파이버 제품을 사용하여 파이버 번들을 도출할 수 있다.

주 번들과 연결된 섬유 번들

π : P → X를 G번들 주체가 되게 하고 : : G → Homeo(F)를 공간 F에 G의 연속적인 좌측 작용으로 한다(원활한 범주에서는 매끄러운 다지관 위에서 매끄러운 작용을 해야 한다).일반성의 상실 없이, 우리는 이 조치를 효과적으로 취할 수 있다.

다음을^[3][4] 통해 P × F에서 G의 올바른 작용 정의

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,\rho(g^{-1}f)\,.}$

그런 다음 이 동작으로 공간 E _ρ= P × F = (P × F) /G를 얻는다.(p,f)의 등가 등급을 [p,f]로 나타낸다.참고:

${\displaystyle [p\cdot g,f]=[p,\rho (g)f]{\mbox{모두 }g\in G.}$

투영 지도 π_ρ : E → X by π_ρ([p,f]) = π(p)를 정의한다.이것은 잘 정의되어 있다는 점에 유의하십시오.

그렇다면 π_ρ : E → X는 F섬유와 G구조체를 가진 섬유다발이다.전환 기능은 ρ(t_ij)에 의해 제공되며, 여기서 t는_ij 주요 번들 P의 전환 기능이다.

구조군 축소

The companion concept to associated bundles is the reduction of the structure group of a ${\displaystyle G}$-bundle ${\displaystyle B}$. We ask whether there is an ${\displaystyle H}$-bundle ${\displaystyle C}$, such that the associated ${\displaystyle G}$-bundle is ${\displaystyle B}$, up to isomorphism. 보다 구체적으로 말하면, $이것$은 B ${\displaystyle B}$에 대한 전환 $데이터$를$$H {\$displaystyle$ H$}$의 값으로 일관성 있게 작성할$$ 수 있는지 묻는 것이다$.$ 즉, 관련 번들 매핑의 이미지(실제로 functor)를 확인하도록 요구한다.

감소의 예

벡터 번들의 예로는 일반 선형 그룹 GL(n)에서 직교 그룹 O(n)로 구조 그룹을 감소시키는 메트릭의 도입과 실제 일반 선형 그룹 GL(2n,R)에서 복합 선형 그룹 G로 구조 그룹을 감소시키는 실제 번들에 복합 구조의 존재 등이 있다.L(n,C)

또 다른 중요한 경우는 순위 k와 n-k 하위 번들의 Whitney sum(직접합)으로서 순위 n의 벡터 번들 V가 분해되어 GL(n,R)에서 GL(k,R) × GL(n-k, R)로 구조 집단이 감소하는 결과를 가져오는 것이다.

또한 하나의 엽이 블록 매트릭스 하위그룹에 대한 접선다발의 감소로 정의되는 조건도 표현할 수 있지만, 여기서 감소는 필요한 조건일 뿐, 프로베니우스 정리가 적용되도록 통합성 조건이 존재한다.

참고 항목

• 스피너 번들

참조

책들

• Steenrod, Norman (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00548-6.
• Husemoller, Dale (1994). Fibre Bundles (Third ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-94087-8.
• Sharpe, R. W. (1997). Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program. New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.