리만 기하학의 공식 목록

이것은 리만 기하학에서 만나는 공식들의 목록입니다.아인슈타인 표기법은 이 글 전체에서 사용됩니다.이 문서는 별도의 언급이 없는 경우를 제외하고 라플라시안에 대해 "분석" 기호 규칙을 사용합니다.

크리스토펠 기호, 공변 도함수

매끄러운 좌표 차트에서, 첫 번째 종류의 크리스토펠 기호는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}\left ({\frac {\partial x^{j}}g_{\frac {\partial x^{i}}g_{\frac {\partial x^{i}}g_{\frac {\partial x^{i}}-{\frac {\partial x^{k}}g_{ij}\right)={\frac {1}{2}\left(g_{ki,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}\right),}$

그리고 두번째 종류의 크리스토펠 상징들은

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma ^{m}{}_{ij}&=g^{mk}\Gamma _{kij}\&={\frac {1}{2}}\,g^{mk}\left ({\frac {\frac {\partial x^{j}}}g_{ki}+{\frac {\partial x^{i}}g_{kj}-{\frac {\frac {\partial x^{k}}g_{ij}\right)={\frac {1}{2}\,g^{mk}\left(g_{ki,j}+g_{kj,i}-g_{ij,k}\right)\, .\end{aligned}}$

여기서 ${\displaystyle {\mathrm{gij}}^{}}$ ${\$는 메트릭 텐서 ${\displaystyle {\mathrm{gij}}_{}}$ ${\$의 역행렬입니다$.$ 즉,

${\displaystyle \delta ^{i}{}_{j}=g^{ik}g_{kj}}$

그리하여

${\displaystyle n=\delta ^{i}{}_{i}=g^{i}{}_{i}=g^{ij}g_{ij}}$

는 매니폴드의 치수입니다.

크리스토펠 기호는 대칭 관계를 만족합니다.

${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}{i}_{}{\mathrm{}}_j}$= $γ$ ${\displaystyle {ki}^{}}$ ${\displaystyle$ \$Gamma _$_{$kji}$ 또${\displaystyle {\mathrm{는}}_{}}$ 각각 γ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}}$${\displaystyle j^{}}$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle k_{}}$ =$γ$ ${\displaystyle {\mathrm{ik}}_{}}$ j ${\displaystyle$ \$Gamma$^{$i}{}$${\displaystyle {\mathrm{\_}}_{}}$${jk}=\$Gamma ^{$i}{{kj$

두 번째는 Levi-Civita 연결의 비틀림이 없는 것에 해당합니다.

크리스토펠 기호에 대한 계약 관계는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \Gamma ^{i}{{ki}={\frac {1}{2}}g^{im}{\frac {\partial g_{im}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{2g}{\frac {\partial g}{\frac x^{k}}={\frac {\partial \log {\sqrt {g}}{\frac x^{k}}}}{\frac {\frac {\sqrt {g}}}{\frac {\partial x^}}}$

그리고.

${\displaystyle g^{k\ell}}\Gamma ^{i}{}_{k\ell}={\frac {-1}{\sqrt {g}}\;{\frac {\partial \left ({\sqrt {g}}\,g^{ik}\right)}{\partial x^{k}}}$

여기서 g는 메트릭 텐서 ${\displaystyle {\mathrm{gik}}_{}}$ ${\$의 행렬식의 절대값입니다$.$이들은 발산과 라플라시안을 다룰 때 유용합니다(아래 참조).

$성분$이 ${\displaystyle {vi}^{}}$ ${\$인 벡터장의 공변 도함수는 다음과 같이 주어집니다$$.

${\displaystyle v^{i}{{i}_{;j}=(\nabla_{j}v)^{i}={\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}+\Gamma ^{i}{}_{jk}v^{k}}$

마찬가지로 성분 ${\displaystyle {vi}_{}}$가$${\$displaystyle v_{i}$인$$(${\displaystyle 0,1)}${\$displaystyle (0,1)}$ - tensor 필드의 공변 도함수는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle v_{i;j}=(\nabla _{j}v)_{i}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x^{j}}}-\Gamma ^{k}{}_{ij}v_{k}}$

성분 ${\displaystyle {\mathrm{vij}}^{}}$가 ${\$인${\displaystyle }$(${\displaystyle 2,0)}$ ${\displaystyle(2,0)}$ -텐서$$ 필드의 경우 다음과$$ 같습니다.

${\displaystyle v^{ij}{}_{;k}=\nabla _{k}v^{ij}={\frac {\partial v^{ij}}{\partial x^{k}}}+\Gamma ^{i}{}_{k\ell }v^{\ell j}+\Gamma ^{j}{}_{k\ell }v^{i\ell }}$

지수가 더 많은 텐서의 경우도 마찬가지입니다.

함수(스칼라) ϕ ${\displaystyle \phi}$의 공변 미분은 일반적인 미분입니다.

${\displaystyle \nabla _{i}\phi =\phi _{;i}=\phi _{,i}={\frac {\partial \phi}{\partial x^{i}}}}$

Levi-Civita 연결은 미터법과 호환되기 때문에, 미터법의 공변 도함수는 사라집니다.

${\displaystyle (\nabla _{k}g)_{ij}=0,\quad (\nabla _{k}g)^{ij}=0}$

미터법의 행렬식(및 부피 요소)의 공변 도함수뿐만 아니라

${\displaystyle \nabla _{k}{\sqrt {g}}=0}$

초기 속도 ${\displaystyle {vi}^{}}$ ${\$ v$^{i}$로 시작하는$$ 지오데식 $X{\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle$ $X$$(t)}$ 차트에 테일러 확장이 있습니다$$.

${\displaystyle X(t)^{i}=tv^{i}-{\frac {t^{2}}{2}}\Gamma ^{i}{}_{jk}v^{k}+O(t^{3})}$

곡률 텐서

정의들

(3,1) 리만 곡률 텐서

• ${\displaystyle {R_{ijk}}^{l}={\frac {\partial \Gamma _{ik}^{l}}-{\frac {\partial \Gamma _{jk}^{l}}-{\frac {\partial x^{i}}}+{\big(})\Gamma _{ik}^{p}-\Gamma _{jp}^{l}-\Gamma _{jk}^{p}_{ip}^{l}{\big}}}$
• ${\displaystyle R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w}$

(3,1) 리만 곡률 텐서

• ${\displaystyle {R_{jkl}^{i}}={\frac {\partial \Gamma _{lj}^{i}}{\frac {\partial \Gamma _{kj}^{i}}}-{\frac {\partial x^{l}}}+{\big(})\Gamma _{kp}^{i}-\Gamma _{lp}^{p}-\Gamma _{lp}^{p}}$

리치 곡률

• ${\displaystyle R_{ik}={R_{ijk}}^{j}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric}(v,w)=\operatorname {tr}(u\maps to R(u,v)w)}$

스칼라 곡률

• ${\displaystyle R=g^{ik}R_{ik}}$
• ${\displaystyle R=\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric}}$

흔적 없는 리치 텐서

• ${\displaystyle Q_{ik}=R_{ik}-{\frac {1}{n}}Rg_{ik}}$
• ${\displaystyle Q(u,v)=\operator name {Ric}(u,v)-{\frac {1}{n}}Rg(u,v)}$

(4,0) 리만 곡률 텐서

• ${\displaystyle R_{ijkl}={R_{ijk}}^{p}g_{pl}$
• ${\displaystyle \operatorname {Rm}(u,v,w,x)=g{\big(}R(u,v)w,x{\big}}$

(4,0) 웨일 텐서

• ${\displaystyle W_{ijkl}=R_{ijkl}-{\frac {1}{n(n-1)}}R{\big (}g_{ik}g_{jl}-g_{jk}{\big )}-{\frac {1}{n-2}}{\big (}Q_{ik}g_{jl}-Q_{jk}g_{il}-Q_{il}g_{jk}+Q_{jl}g_{ik}{\big )}}.$
• ${\displaystyle W(u,v,w,x)=\operatorname {Rm}(u,v,w,x)-{\frac {1}{n(n-1)}R{\big(}g(u,w)g(v,x)-g(u,x)g(v,w){\big)}-{\frac {1}{n-2}}{\big(}Q(u,w)g(v,x)-Q(u,x)g(v,w){\big}}$

아인슈타인 텐서

• ${\displaystyle G_{ik}=R_{ik}-{\frac {1}{2}}Rg_{ik}}$
• ${\displaystyle G(u,v)=\operator name {Ric}(u,v)-{\frac {1}{2}}Rg(u,v)}$

아이덴티티

기본대칭

• ${\displaystyle {R_{ijk}}^{l}=-{R_{jik}^{l}$
• ${\displaystyle R_{ijkl}=-R_{jikl}=-R_{ijklk}=R_{klij}}$

웨일 텐서는 리만 텐서와 기본 대칭이 같지만 리치 텐서의 '아날로그'는 0입니다.

• ${\displaystyle W_{ijkl}=-W_{jikl}=-W_{ijlk}=W_{klij}}$
• ${\displaystyle g^{il}W_{ijkl}=0}$

리치 텐서, 아인슈타인 텐서, 그리고 트레이스리스 리치 텐서는 대칭적인 2-텐서입니다.

• ${\displaystyle R_{jk}=R_{kj}$
• ${\displaystyle G_{jk}=G_{kj}$
• ${\displaystyle Q_{jk}=Q_{kj}$

비앙키족의 첫번째 정체

• ${\displaystyle R_{ijkl}+R_{jkil}+R_{kijl}=0}$
• ${\displaystyle W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}=0}$

제2비앙키 정체

• ${\displaystyle \nabla _{p}R_{ijkl}+\nabla _{i}R_{jkl}+\nabla _{j}R_{pikl}=0}$
• ${\displaystyle(\nabla _{u})\operatorname {Rm})(v,w,x,y)+(\nabla _{v}\operatorname {Rm})(w,u,x,y)+(\nabla _{w}\operatorname {Rm})(u,v,x,y)=0}$

두 번째 비앙키 정체성 계약

• ${\displaystyle \nabla _{j}R_{pk}-\nabla _{p}R_{jk}=-\nabla^{l}R_{jpkl}}$
• ${\displaystyle(\nabla _{u}\operatorname {Ric})(v,w)-(\nabla _{v}\operatorname {Ric})(u,w)=-\operatorname {tr} _{g}{\big(}(x,y)\mapsto(\nabla _{x}\operatorname {Rm})(u,v,w,y){\big}}$

두 번 계약된 비앙키의 두 번째 신원

• ${\displaystyle g^{pq}\nabla _{p}R_{qk}={\frac {1}{2}}\nabla _{k}R}$
• ${\displaystyle \operatorname {div} _{g}\operatorname {Ric} = {\frac {1}{2}}dR}$

동등한 값:

• ${\displaystyle g^{pq}\nabla _{p}G_{qk}=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {div} _{g}G=0}$

리치 아이덴티티

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 벡터 필드인 경우

${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{i}X^{k}-\nabla _{j}\nabla _{i}X^{k}=-{R_{ijp}}^{k}X^{p}}$

이것은 단지 리만 텐서의 정의일 뿐입니다.ω ${\displaystyle$ \$omega$}이$($가) 하나의 양식인 경우

${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}\omega _{k}-\nabla _{i}\omega _{k}={R_{ijk}}^{p}\omega _{p}}$

일반적으로, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$가 (0,k)-텐서 필드일 경우

${\displaystyle \nabla _{i}\nabla _{j}T_{l_{1}\cdots l_{k}}-\nabla _{j}\nabla _{i}T_{l_{1}\cdots l_{k}}={R_{ijl_{1}}^{p}T_{pl_{2}\cdots l_{k}}+\cdots +{R_{ijl_{k}}^{p}T_{l_{1}\cdots l_{k-1}p}}$

언급

${\displaystyle \mathrm{고전적}}$인 ${\displaystyle \mathrm{결과}}$는${\displaystyle }$(M$,$ g) {\$displaystyle$ (M$,$이(가$)$ 국소적으로 순응적으로 평평한 경우에만 $W$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$W$$=$0임$을 나타냅니다.차트의 일부 함수$$φ δ {\$displaystyle \varphi}$에 대해 메트릭 텐서가 ${\displaystyle {gi}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ φ ${\displaystyle {\mathrm{ij}}_{}}$ ${\displaystyle g_{ij$}=$e^{\varphi}\$delta $_{ij}}$의 상대적인 매끄러운 좌표 차트로 $M$ ${\displaystyle$ M$}$을(를) 덮을 수 있는 경우에만 해당됩니다.

구배, 발산, 라플라스-벨트라미 연산자

함수 ϕ ${\displaystyle \phi}$의 기울기는 차동 ∂ ${\displaystyle i_{}}$ ϕ d ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \partial_{i}\phi dx^{i}}$의 인덱스를 높임으로써 얻을 수 있으며$,$ 구성 요소는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \nabla ^{i}\phi =\phi ^{;i}=g^{ik}\phi _{;k}=g^{ik}\phi _{,k}=g^{ik}\partial _{k}\phi =g^{ik}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{k}}}}$

${\displaystyle {성분}^{}}$ $VM{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ V$^{m}$인 벡터 필드의 발산은$$

${\displaystyle \nabla _{m}V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{m}}}+V^{\frac {\log {\sqrt {g}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{\sqrt {g}}{\frac {\partial(V^{m}{\sqrt {g}}}{\frac {\sqrt {g}}}{\partial x^{m}}}}.$

${\displaystyle f}$ $함수$에 작용하는 라플라스-벨트라미 연산자는 기울기의 발산에 의해 주어집니다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta f&=\nabla _{i}\nabla ^{i}f={\frac {1}{\sqrt {g}}{\frac {\partial x^{j}}}\left(g^{jk}{\sqrt {g}}{\frac {\partial x^{k}}\right)\&=g^{jk}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g^{jk}}{{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{jk}g^{il}{\frac {\partial g_{il}}{\frac {\partial x^{j}}{\frac {\partial x^{k}}}{\frac {\partial x^{k}}}{\frac {\partial x^{2}f}{\partial x^{j}}}-g^{jk}}\Gamma ^{l}{_{jk}}{\frac {\frac partial f}}{\partial x^{l}}}\end{aligned}}$

유형${\displaystyle }$(${\displaystyle 2,}$ ${\displaystyle 0)}$ ${\displaystyle(2, 0)}$의 대칭 텐서 필드의 발산은 다음과 같이 단순화됩니다$$.

${\displaystyle \nabla _{k}A^{ik}={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial(A^{ik}{\sqrt {g}})}{\partial x^{k}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{지도}}$ ϕ${\displaystyle :}$ M → N ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$의 헤시안은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \left(\nabla \left(d\phi \right)\right)_{ij}^{\gamma }={\frac {\partial ^{2}\phi^{\gamma }}{\frac {\partial x^{i}}-^{M}\Gamma ^{k}{{{ij}}{\frac {\partial \phi ^{\gamma }}{\partial x^{k}}}+{N}\Gamma ^{\alpha \gamma }{\frac {\phi ^{\alpha beta }}{\frac x^{i}}{\frac {\partial \phi ^{\beta }}{\partial x^{j}}}{\frac {\frac \phi ^{\partial}}{\partial x^{j}}}.}$

쿨카르니-노미즈 제품

Kulkarni-Nomizu 제품은 리만 다양체의 기존 텐서에서 새로운 텐서를 구성하는 데 중요한 도구입니다.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ 및$$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$를 대칭$$ 공변 2-텐서라고 합니다.좌표로 보면,

${\displaystyle A_{ij}=A_{ji}\qquad \qquad B_{ij}=B_{ji}}$

그런 다음 이를 어떤 의미에서 곱하여 $A$ ∧ ◯ B ${\displaystyle$ ${~\wedge \!\!$$\!\!\!\!$$\!\!\;\bigcirc ~}B$정의 공식은

${\displaystyle \left(A{~\wedge \!!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B\right)_{ijkl}=A_{ik}B_{jl}+A_{jl}B_{ik}-A_{il}B_{jk}-A_{jk}B_{il}}$

분명히 제품이 만족합니다.

${\displaystyle A{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}B=B{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}A}$

관성 프레임에서

정규 관성 프레임은 원점에서 ${\displaystyle {gi}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ = ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle g_{ij$}=\delta $_{ij}}$ 관계를 가지며 γ ${\displaystyle {}_{}}$ j ${\displaystyle k_{}}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle \Gamma$^{$i}{}_{jk$}=$0}$ 관계를 가지는 좌표 차트입니다(그러나 이들은 프레임의 다른 점에서는 성립하지 않을 수 있습니다).이러한 좌표를 정규 좌표라고도 합니다.이러한 프레임에서는 여러 연산자에 대한 표현이 더 간단합니다.아래에 제시된 공식은 프레임의 원점에서만 유효합니다.

${\displaystyle R_{ik\ell m}={\frac {1}{2}}\left ({\frac {\partial ^{2}g_{im}}{\partial x^{k}}+{\frac {\partial x^{2}g_{k\ell}}}{{\frac {\partial x^{i}\partial x^{m}}-{\frac {\partial x^{2}g_{i\ell }}}-{\frac {\partial x^{k}\partial x^{m}}-{\frac {\partial x^{2}g_{km}{\partial x^{i}}\right}}}$

${\displaystyle R^{\ell }{}_{ijk}={\frac {\partial }{\partial x^{j}}\Gamma ^{\ell }{{ik}}-{\frac {\partial }{\partial x^{k}}\Gamma ^{\ell }{{ij}}$

등각변화

$g$ ${\displaystyle g}$을(를) $매끄러운$ 다양체$$M {\$displaystyle M}$에서$$리만 또는 의사-리만 메트릭이라 $,$ M {\$displaystyle$ M$}$에서$$φ {\displaystyle \$varphi}$ 매끄러운 실수 값 함수라 하자$.$ 그러면

${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2\varphi}g}$

는 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 의 리만 메트릭이기도 합니다$.$ $g{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$ 가 $g$ ${\displaystyle g}$ 와 (점 단위로) 등각이라고 합니다$.$ 분명히, 메트릭의 등각성은 동등성 관계입니다.다음은 메트릭과 관련된 텐서의 등각 변화에 대한 몇 가지 공식입니다.(틸드로 표시된 수량은 $g{\displaystyle }$ ~${\tilde {g}}$과(와) 연관되고$,$ 표시되지 않은 수량은 g ${\displaystyle g}$과(와) 연관됩니다.)$$

레비-시비타 연결

• ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{ij}^{k}=\Gamma _{ij}^{k}+{\frac {\partial x^{i}}}\delta _{j}^{k}+{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{j}}}\delta _{i}^{k}-{\frac {{\partial \varphi }{\partial x^{l}}g_{ij}}$
• ${\displaystyle {\widetilde {\nabla}}_{X}Y=\nabla _{X}Y+d\varphi (X)Y+d\varphi (Y)X-g(X,Y)\nabla \varphi }$

(4,0) 리만 곡률 텐서

• $=$$T_{jl}+g_{jl}$$T_{ik}-g_{il}$$T_{jk}-g_{jk}$$T_{il}{\big}}$ 여기서 ${\displaystyle {\mathrm{Tij}}_{}}$ $=$ $∇$ ${\displaystyle i_{}}$ $∇$ ${\displaystyle j_{}}$ $φ$ -${\displaystyle }$$∇$ ${\displaystyle i_{}}$ $φ ∇$ ${\displaystyle {}_{}}$ $φ$${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \frac{1}{}}$ 2 ${\displaystyle d}$ $φ$ 2 ${\displaystyle {\mathrm{gi}}_{}}$ j$${\$displaystyle T_{ij$}$=$\$nabla$_{$i}\nabla _{j}\varphi -\nabla$ _${i}\varphi \nabla$ _${j}\varphi +{\frac {1}{2}} d\varphi ^{2}g_{ij}$

Kulkarni-Nomizu 제품 사용:

• ${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Rm}}}=e^{2\varphi}\operatorname {Rm} -e^{2\varphi}g{~\wedge \!!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}\left(\operatorname {Hes} \varphi -d\varphi \otimes d\varphi +{\frac {1}{2}} d\varphi ^{2}g\right)}$

리치 텐서

• ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ij}=R_{ij}-(n-2){\big(}\nabla _{i}\varphi -\nabla _{i}\varphi \nabla _{j}\varphi {\big)}-{\big(})\delta \varphi +(n-2)d\varphi ^{2}g_{ij}}$
• ${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric}}}=\operatorname {Ric} -(n-2){\big(}\operatorname {Hes}\varphi -d\varphi \otimes d\varphi {\big)}-{\big(}\delta \varphi +(n-2)d\varphi ^{2}{\big}g}$

스칼라 곡률

• ${\displaystyle {\widetilde {R}}=e^{-2\varphi }R-2(n-1)e^{-2\varphi }\Delta \varphi -(n-1)e^{-2\varphi }d\varphi ^{2}$
• $n$ ≠ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n\neq 2}$인 경우 $R$ ~${\displaystyle \stackrel{}{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$ φ${\displaystyle {}^{}}$[ ${\displaystyle R}$- ${\displaystyle 4\frac{}{}}$( n${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$)${\displaystyle \frac{}{}}$( ${\displaystyle n^{}\frac{}{}}$- ${\displaystyle 2^{}\frac{}{}}$) e -${\displaystyle {}^{}}$( n${\displaystyle {}^{}}$- 2 )${\displaystyle {}^{}}$φ${\displaystyle {}^{}}$/${\displaystyle 2^{}}$ δ (${\displaystyle }$e (${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$]${\displaystyle {\tilde {R$}}=$e^{-2\varphi }\left[R-{\frac {4(n-1)}{(n-2)}\e^{-(n-2)}\varphi /2}\Delta \left(e^{(n-2)\varphi /2}\right]}$

흔적 없는 리치 텐서

• ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\widetilde {R}}{\widetilde {g}_{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{n}}Rg_{ij}-(n-2){\big(}\nabla _{i}\varphi _{i}\varphi \nabla _{j}\varphi {\big}+{\frac {(n-2)}{n}{\big(})\delta \varphi - d\varphi ^{2}{\big)}g_{ij}}$
• ${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric}}}-{\frac {1}{n}}{\widetilde {R}}{\widetilde {g}}=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}{\big(}\operatorname {Hes} \varphi - d\varphi \otimes d\varphi {\big)}+{\frac {(n-2)}{n}}{\big(})}\Delta \varphi - d\varphi^{2}{\big}g}$

(3,1) 웨일 곡률

• ${\displaystyle {{\widetild {W}}_{ijk}^{l}={W_{ijk}}^{l}$
• ${\displaystyle \stackrel{}{}}$임의의 $벡터{\displaystyle }$필드${\displaystyle }$${\displaystyle X,}$ Y, ${\displaystyle Z}$에 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{대한}}}$ W ${\displaystyle \stackrel{}{~}}$(${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \stackrel{}{Y}}$, Z )$=$ ${\displaystyle W}$ (${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y,}$Z ) {\$displaystyle$$${\$widetilde$ {$W}$ ($X,$Y,$$Z) = W ($X,$ $Y$$, Z)}$

볼륨폼

• ${\displaystyle {\det {\widetilde {g}}}=e^{n\varphi}{\sqrt {\det g}}$
• ${\displaystyle d\mu _{\widetilde {g}}=e^{n\varphi}\,d\mu _{g}$

p-폼의 호지 연산자

• ${\displaystyle {\widetilde {\ast}}_{i_{1}\cdots i_{n-p}}^{j_{1}\cdots j_{p}}=e^{(n-2p)\varphi }\ast_{i_{1}\cdots i_{n-p}^{j_{1}\cdots j_{p}}$
• ${\displaystyle {\widetilde {\ast}}=e^{(n-2p)\varphi }\ast }$

p-폼에 대한 공차분

• ${\displaystyle {\widetilde {d^{\ast}}_{j_{1}\cdots j_{p-1}}^{i_{1}\cdots i_{p}}=e^{-2\varphi}(d^{\ast})_{j_{1}\cdots j_{p-1}^{i_{p}}-(n-2p)e^{-2\varphi }\nabla ^{i_{1}}\varphi \delta_{j_{1}^{i_2}\cdots \delta_j_{p-1}^{i_{p}}^{i_{p}}^{i_{p}}$
• ${\displaystyle {\widetilde {d^{\ast}}=e^{-2\varphi}d^{\ast}-(n-2p)e^{-2\varphi}\iota _{\nabla \varphi}}$

라플라시안 온 함수

• ${\displaystyle {\widetilde {\Delta}}\Phi =e^{-2\varphi }{\Big(})\Delta \Phi +(n-2)g(d\varphi,d\Phi ){\Big )}$

호지 라플라시안(Hodge Laplacian

• ${\displaystyle {\widetilde {\delta ^{d}}\omega =e^{-2\varphi }{\Big(})\Delta ^{d}\omega -(n-2p)d\circ \iota _{\nabla \varphi }\omega -(n-2p-2)d\iota _{\nabla \varphi }\circ d\omega +2(n-2p)d\varphi \iota _{\nabla \varphi }\omega -2d\varphi \wedge d^{\ast }\omega {\Big}}$

"기하계" 기호 규칙은 이곳의 호지 라플라시안에 사용됩니다.특히 일반적인 라플라시안과 반대되는 기능을 가지고 있습니다.

몰입의 두번째 기본 형태

$({\displaystyle M,g)}$ ${\displaystyle (M,g)}$을(를) 리만이고 $F{\displaystyle :}$ σ →${\displaystyle }$(${\displaystyle M,g)}$ ${\displaystyle F:$$\Sigma \to (M,g)}$는 2배 미분 가능한 몰입입니다.두 번째 기본 형식은 각 $p$ ∈ ${\displaystyle M}$에 대해${\displaystyle p\in$ M$,}$ 대칭 쌍선형 맵 ${\displaystyle {hp}_{}}$ T ${\displaystyle P_{}}$ σ${\displaystyle }$× ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ σ → ${\displaystyle {TF(p)}_{}}$ ${\displaystyle {}_{},}$ ${\displaystyle h_{p:$$T_{p}\Sigma \times T_{p}\Sigma \to T_{F(p)},$${\displaystyle {이}_{}}$는${\displaystyle {\mathrm{gF}(}_{}}$p$)$ {\$displaystyle g_{F($p)}} ${\displaystyle {-dF}_{}{p}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$$⊂$) $σ$${\displaystyle {\mathrm{TF}(}_{}}$)${\displaystyle }$M$.$ {\$displaystyle dF_{p}(T_{$p}\$Sigma)\subset T_{F($p)}$M.$

• ${\displaystyle \stackrel{}{h}}$~${\displaystyle \stackrel{}{(}u,}$ ${\displaystyle v)}$ $=$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (\mathrm{u},}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{v\; )}}}$ -${\displaystyle \stackrel{}{(}}$∇${\displaystyle {}^{}}$φ${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \perp }$ g${\displaystyle }$(${\displaystyle u,}$ v${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\widetilde {$)=h$(u,v)-(\nabla \varphi )^{\perp }g(u,v)}$ 모든 $u$에${\displaystyle }$대해 ${\displaystyle v}$ ∈ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\displaystyle u,v\in T_{p}M}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 (∇ φ${\displaystyle {}^{}}$⊥ ${\displaystyle (\nabla \varphi )^{\perp }}$는 g ${\displaystyle {F(p)}_{}}$ ${\displaystyle g_{F(p)}$ - ∇ φ ∈ ${\displaystyle {TF}_{}}$${\displaystyle {(p}_{}}$${\displaystyle {)}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \varphi \in T_{F(p)} M}$을 g ${\displaystyle {F(p)}_{}}$ ${\displaystyle g_{F(p)}$ -displaystyle ${\displaystyle {g\_}_{}}${F(p)}${\displaystyle }$⊂ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {F(}_{}}$p${\displaystyle )}$ ${\displaystyle {}_{}}$으로 $직교$ 선형 ${\displaystyle {}_{}}$을 ${\displaystyle {나타냅니다}_{}}$.${\displaystyle dF_{p}(T_{p}\Sigma)\subset T_{F($$p)}M.$$}$

침지의 평균 만곡

위와 같은 설정에서(그리고 σ$${\$displaystyle \Sigma}$에 차원 $n$이 ${\displaystyle$ n$}$이라고 가정하자), 평균 곡률 벡터가 각 $p$ ∈ σ$${\$displaystyle p\in \Sigma }$ 요소 ${\displaystyle {Hp}_{}}$ ∈ ${\displaystyle {TF(p)}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {H}_{p}\in T_{F(p)} M$에 대해 두 번째 기본 $형식$의 g ${\displaystyle g}$ -trace로 정의되었음을 기억하십시오.그리고나서

• ${\displaystyle {\widetilde {\textbf {H}}=e^{-2\varphi}({\textbf {H}}-n(\nabla \varphi )^{\perp }).}$

이 변환 공식은 평균 곡률 벡터에 대한 것이며, 초표면 케이스의 평균$$ $곡률{\displaystyle }$ H ${\displaystyle H}$에 대한 공식은

• ${\displaystyle {\widetilde {H}}=e^{-\varphi}(H-n\langle \nabla \varphi,\eta \rangle )}$

여기서 η ${\displaystyle \eta}$는 (로컬) 정규 벡터 필드입니다.

변동식

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 매끄러운 다양체라고 하고 ${\$을(를) 리만 메트릭스 또는 의사 리만 메트릭스의 하나의 매개 변수 계열이라고 $합니다{\displaystyle {}_{}}$.임의의 매끄러운 좌표 차트에 대하여, 미분 ${\displaystyle {vi}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ = ∂ ∂ t${\displaystyle \frac{}{}}$(${\displaystyle }$( ${\displaystyle {gt}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle v_{ij$}={\$frac {\$partial }{\partial t$}}{\big (}(g_{t})_{ij}{\big )}}$가 존재하며, 그 자체는 다음 식이 의미를 갖도록 필요한 만큼 미분 가능합니다.${\displaystyle v}$ $=$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \frac{g}{}}$ ∂ t ${\displaystyl$ = {\$fra$tial $t}}$는 대${\displaystyle \mathrm{칭\; 2-te}}$nsor 필드의 하나의 매개 변수 계열입니다.

• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big(}\nabla _{i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip}-\nabla _{p}v_{ij}{\Big}}.$
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}R_{ijkl}={\frac {1}{2}}{\Big(}\nabla _{j}\nabla _{i}\nabla _{l}v_{jk}-\nabla _{i}-\nabla _{k}v_{jl}-\nabla _{j}{\big}}+{\frac {1}{2}}^{p_{ijk}}^{p_{pl}-{\frac {1}{2}}^{R_{ijl}}^{p}v_{p}}^{p}}}^{p_{p}}}^{p_{p}v_{pk}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}R_{ik}={\frac {1}{2}}{\Big(}\nabla ^{p}\nabla _{k}v_{ip}+\nabla _{i}(\operatorname {div} v)_{k}_{k}-\nabla _{i}_{k}(\operatorname {tr} _{g}v)-\Delta v_{ik}{\Big}}+{\frac {1}^{p}v_{pk}-{\frac {1}^{2}}}R_{i}^{p}^{k}^{q}v_{pq}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}R=\operatorname {div} _{g}\operatorname {div} _{g}v-\Delta (\operatorname {tr} _{g}v)-\langlev,\operatorname {Ric} \rangle _{g}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}d\mu _{g}={\frac {1}{2}}g^{pq}v_{pq}\,d\mu _{g}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{i}\nabla _{j}\Phi =\nabla _{i}\nabla _{j}{\frac {\partial \Phi}}{\frac {1}{2}}g^{kp}{\Big(}\nabla _{i}v_{jp}+\nabla _{j}v_{ip}-\nabla _{p}v_{ij}{\Big )}{\frac \Phi partial}{\partial x^{k}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\Delta \Phi =-\langlev,\operatorname {Hes} \Phi \rangle _{g}-g{\Big(}\operatorname {div} v-{\frac {1}{2}}d(\operatorname {tr} _{g}v),d\Phi {\Big}}$

주 기호

위의 변형 공식 계산은 의사 리만 메트릭을 리만 텐서, 리치 텐서 또는 스칼라 곡률로 보내는 매핑의 주요 기호를 정의합니다.

• 맵 $g$ ↦ ${\displaystyle {Rmg}^{}}$ ${\displaystyle g\maps$ to $\operatorname {Rm}^{g}}$의 주 기호는 각 ξ ∈ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle p_{}^{}}$ ∗ M ${\displaystyle \in T_{p}^{\ast}M$$}$의 ${\displaystyle {대칭}_{}}$ (0,2)-텐서 공간에서 ${\$${\displaystyle {displaystyle}_{}}$ $T_$${p}M$${\displaystyle \},}$ ${\displaystyle$ T_${p}M,}$에 의해 주어진 맵을 할당합니다.

${\displaystyle v\maps to {\frac {\xi _{j}\xi _{k}v_{il}+\xi _{i}\xi _{l}v_{jk}-\xi _{k}v_{jl}-\xi _{j}-\xi _{l}v_{ik}{2}}=-{{\xi \otimes \xi ){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}v.}$

• 맵 $g$ ↦ ${\displaystyle {Ricg}^{}}$ ${\displaystyle g\maps$ to $\operatorname {Ric} ^{g}}$의 주 기호는 $각$ ξ ∈ ${\displaystyle {Tp}_{}^{}}$ ∗$${\$displaystyle \in T_{p}^{\ast}M}$에 다음과 같이 $주어진$ ${\displaystyle {}_{}}$ M$${\$displaystyle T_{p}M}$의 대칭 2-텐서 공간의 내형태를 할당합니다.

${\displaystyle v\mapsto v(\xi ^{\sharp },\cdot )\otimes \xi +\xi \otimes v(\xi ^{\sharp },\cdot )-(\operatorname {tr} _{g_{p}}v)\xi \otimes \xi - \xi _{g}^{2}v.}$

• 맵 $g$ ↦ ${\displaystyle {Rg}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $g\mapsto$ R$^{g}}$의 주 기호는 $각$ ξ ∈ ${\displaystyle {}_{}}$ ∗ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \in$ $T_{p}^{\$$ast}M$$}$의 대칭 2-텐서의 벡터 공간에 이중 공간의 요소를 다음과 같이 할당합니다$.$

${\displaystyle v\maps to \xi _{g}^{2}\operatorname {tr} _{g}v+v(\xi ^{\sharp },\xi ^{\sharp })입니다.}$

참고 항목

• 리우빌 방정식

메모들

참고문헌

• 아서 L. 베세."아인슈타인 다양체"Ergebnisser Mathematik undirer Grenzgebiete (3) [수학 및 관련 영역에서의 결과(3)], 10. Springer-Verlag, Berlin, 1987xii+510pp ISBN3-540-15279-2