리치 흐름

미분 기하학 및 기하학적 분석의 수학 분야에서 리치 흐름(//riritti/, 이탈리아어: [ [rittʃi])은 해밀턴의 리치 흐름이라고도 하며 리만 계량계에 대한 특정한 부분 미분 방정식이다. 방정식의 수학적 구조에서 형식적으로 유사하기 때문에 흔히 열과 열 방정식의 확산과 유사하다고 한다. 단, 비선형적이며 열 방정식 연구에는 존재하지 않는 많은 현상들을 나타낸다.

리치 텐서(Ricci tensor)의 존재에 대한 정의로 이름 붙여진 리치 흐름은 리만 기하학에서 두드러진 새로운 결과를 증명하기 위해 1980년대까지 그것을 사용한 리처드 해밀턴에 의해 소개되었다. 후에 다양한 저자들에 의한 해밀턴의 방법의 확장들은 사이먼 브렌들과 리처드 쇤에 의한 서로 다른 구체 추측의 해결을 포함하여 기하학에 새로운 응용을 초래했다.

리치 흐름의 특이점들이 윌리엄 서스턴의 기하학적 추측 추측에 의해 예측된 위상학적 데이터를 식별할 수 있다는 신퉁 야우의 제안에 따라, 해밀턴은 1990년대에 이 추측의 해결을 향한 많은 결과를 만들어냈다. 2002년과 2003년, 그리고리 페렐만은 해밀턴 프로그램의 기술적 측면의 새로운 변형을 포함한 리치 흐름에 대한 많은 근본적인 새로운 결과들을 제시했다. 해밀턴과 페렐만의 작품은 1904년 이후 기하학적 위상 분야에서 잘 알려진 푸앵카레 추측을 특례로 하는 등 현재 Thurston 추측의 증거를 형성하고 있는 것으로 널리 평가되고 있다. 그들의 결과는 기하학과 위상 분야에서 이정표로 간주된다.

수학적 정의

매끄러운 다지관 M에서 매끄러운 리만족 미터법 g가 자동으로 리치 텐서 리치를^g 결정한다. M의 각 요소 p에 대해, 정의에 따르면 g는_p p의 접선 공간 TM에_p 양립할 수 있는 내측 제품이다. 만약 리만 계량이one-parameter 가족,를 가지고 있나 하난 다음 미분 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{생각할 수 있다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}그 다음 항목을 각 특정 값에, TpM에 대칭 쌍일차식 동업-할당합니다.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}∂/∂t gt. 리만어 메트릭스의 리치 텐서 또한 각 p에_p TM의 대칭 이선형 형식을 할당하므로, 다음 정의는 의미가 있다.

• 매끄러운 다지관 M과 개방된 실제 간격(a, b), Ricci 흐름은 간격(a,b)의 각 t에 할당되며, M의 리만 메트릭 g는_t ∂/∂t_t g = -2 Ric이다^g_t.

리치 텐서는 종종 단면 곡선의 평균값으로 생각되거나 리만 곡률 텐서의 대수적 트레이스로 생각되기도 한다. 그러나 Ricci 흐름의 존재와 고유성 분석의 경우, Ricci 텐서를 미터법 텐서의 첫 번째와 두 번째 파생 모델을 포함하는 공식에 의해 현지 좌표로 정의할 수 있다는 것은 매우 중요하다. 이것은 Ricci가 기하학적으로 정의된 부분 미분 방정식으로 흐르게 한다. 로컬 좌표 공식의 타원성 분석은 Ricci 흐름의 존재에 대한 기초를 제공한다. 해당 결과는 다음 절을 참조하십시오.

k를 0이 아닌 숫자로 둡시다. 간격(a,b)에 대한 Ricci 흐름_t g이 주어진 경우, a/k와 b/k 사이의 t에 대해_t G = g를_kt 고려하십시오. 그 다음 ∂/∂t_t G = -2k Ric^G_t. 따라서, 이 아주 사소한 매개변수 변경으로, Ricci 흐름의 정의에 나타나는 숫자 -2는 0이 아닌 다른 숫자로 대체될 수 있다. 이러한 이유로, 본질적으로 리치 흐름에 대한 모든 논문과 박람회가 따르지만 -2의 사용은 임의의 관례로 간주될 수 있다. 유일한 유의미한 차이는 -2가 양의 숫자로 대체된다면, 다음 절에서 논의된 존재 정리가 초기 데이터에서 매개변수 값에서 (앞으로가 아니라) 뒤로 이동하는 리치 흐름을 생성하는 정리가 될 것이라는 점이다.

매개변수 t는 부분 미분 방정식의 수학 분야에서 표준 비공식 용어의 일부에 불과하지만, 일반적으로 시간이라고 불린다. 물리적으로 의미 있는 용어는 아니다. 실제로 리치 흐름에 대한 리치 흐름의 표준 양자장 이론적 해석에서 변수 t는 시간이 아니라 길이나 에너지에 해당한다.^[1]

정규화된 Ricci 흐름

M이 콤팩트한 평활 다지관이라고 가정하고, g를_t rici for t 구간(a, b)으로 한다. ψ: (a, b) → (0, ∞)를 정의하여 리만 메트릭스 ψ(t)g_t 각각에 볼륨 1을 갖도록 한다. 이는 M이 콤팩트하기 때문에 가능하다.(더 일반적으로 리만 메트릭 g마다_t 볼륨이 유한하면 가능할 것이다.) 그런 다음 F:(a, b) → (0, ∞)를 a에서 소멸되는 ψ의 해독제라고 정의한다. ψ은 양의 값이기 때문에 F는 그 이미지(0, S)에 대한 편향이다. 이제 리만 메트릭스 G_s = 파라미터 s ∈ (0, S)에 대해 정의된 ψ(F ⁻¹)g가_{F ⁻¹(s)} 충족됨

여기서 R은 스칼라 곡면성을 나타낸다. 이를 정상화된 리치 흐름 방정식이라고 한다. 따라서 명시적으로 정의된 척도 Ⅱ의 변경과 매개변수 값의 재배치로 Ricci 흐름을 정규화된 Ricci 흐름으로 변환할 수 있다. 위의 계산을 거꾸로 함으로써 역도 또한 유지된다.

정상화된 Ricci 흐름을 고려하는 일차적인 이유는 Ricci 흐름에 대한 주요 수렴 이론에 대한 편리한 설명이 가능하기 때문이다. 그러나 그렇게 하는 것이 꼭 필요한 것은 아니며, 사실상 모든 목적을 위해 리치의 흐름을 표준 형태로 고려하는 것으로 충분하다. 더욱이 정규화된 Ricci 흐름은 비복합 다지관에서는 일반적으로 의미가 없다.

존재와 고유성

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$을(를) 매끄러운 닫힌 다지관이 되게 하고₀, $g$를$$M {\$displaystyle M}$에 있는 어떤 매끄러운 리만 메트릭이 되게 하라.Nash-Moser 암묵적 함수 정리를 이용하여 해밀턴(1982)은 다음과 같은 존재 정리를 보여주었다.

• t^∞ ∈(0,T)에 의해 파라메트릭된 양의 숫자 T와 Ricci flow g가_t 존재하며, 이를 통해 g는_t 0으로 감소함에 따라 C 위상에서 g로₀ 수렴된다.

그는 다음과 같은 독특한 정리를 보여주었다.

• If ${\displaystyle \{g_{t}:t\in (0,T)\}}$ and ${\displaystyle \{{\widetilde {g}}_{t}:t\in (0,{\widetilde {T}})\}}$ are two Ricci flows as in the above existence theorem, then ${\displaystyle g_{t}={\widetilde {g}}_{t}}$ for all ${\displaystyle t}$${\displaystyle t\in (0,\min\{T,{\widetilde{T}}).$$}$

존재 정리는 부드러운 리만 지표의 일변수 집단을 제공한다. 사실 그러한 일변수 가족도 그 변수에 따라 매끄럽게 좌우된다. 정확하게, 이것은 M의 어떤 부드러운 좌표도(U,620)에 비해서, ${\displaystyle 함수\mathbb{}}$ $g{\displaystyle {}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}U}$ ${\displaystyle \times }$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle T}$)${\displaystyle }$→ R ${\$$\time (0,T)\\mathb {R}}은($는) 모든 i,j = 1,...,n에 대해 매끄럽다$$.

Dennis DeTurck는 이후 바나흐 암묵적 함수 정리를 대신 사용하는 위의 결과에 대한 증거를 제시했다.^[2] 그의 작품은 로렌츠 기하학의 아인슈타인 방정식에 대한 잘 알려진 이본 초케-브루하트의 잘 알려진 증거와 해석을 근본적으로 리만식으로 단순화한 것이다.

해밀턴의 존재와 고유성 정리의 결과로서, 데이터(M,g₀)를 부여했을 때, 초기 데이터 g로₀ M의 Ricci 흐름을 모호하게 말할 수 있으며, 무한할 수 있는 최대 가능한 값을 취할 T를 선택할 수 있다. Ricci 흐름의 거의 모든 주요 적용, 특히 Poincaré 추측과 기하학적 추측의 증거에 숨겨진 원리는 t가 이 최대 가치에 접근함에 따라 측정지표 g의_t 동작이 M에 대한 깊은 정보를 드러내고 반영할 수 있다는 것이다.

수렴 정리

다음의 수렴 이론에 대한 완전한 설명은 Andrews & Hopper(2011)와 Brendle(2010)에 제시되어 있다.

(M, g₀) 매끈하게 닫힌 리만 다지관이 되게 하라. 다음 세 가지 조건 중 하나일 경우:

• M은 2차원이다.
• M은 3차원이고 g는₀ 양의 Ricci 곡면성을 가지고 있다.
• M은 3보다 큰 치수를 가지며 (M, g₀) × ℝ의 제품 미터법은 양의 등방성 곡률을 가진다.

초기 데이터 g를₀ 가진 정규화된 Ricci 흐름은 모든 양의 시간 동안 존재하며, t가 무한대로 가면서, 일정한 곡률의 미터법으로 부드럽게 수렴한다.

3차원의 결과는 해밀턴(1982년) 때문이다. 해밀턴의 증거는 제임스 엘스와 조셉 샘슨이 1964년에 발표한 조화 지도 열 흐름의 수렴에 관한 논문에서 영감을 받아 느슨하게 모델링한 것으로서,^[3] 대칭 2-tensor의 설정으로 최대 원리를 확장한 것과 같은 많은 새로운 특징들을 포함하고 있었다. 그의 논문(Eells-Sampson의 논문과 함께)은 미분 기하학 분야에서 가장 널리 인용되는 논문에 속한다. 주, 루, 니(2006년, 3장)에 그의 결과에 대한 설명이 있다.

그 증거로 볼 때, 2차원 사건은 M의 오일러 특성이 양, 영, 음의 경우 각각 1개씩 세 가지 다른 결과의 집합으로 적절하게 간주된다. 해밀턴(1988)에 의해 증명되었듯이, 음의 경우는 최대 원리에 의해 처리되는 반면, 제로 케이스는 적분 추정에 의해 처리된다; 양의 경우는 더욱 미묘하다, 해밀턴은 피터 리와 신퉁 야우의 구배 추정치를 직설적으로 조합하여 g가₀ 양의 곡률을 갖는 서브 케이스를 처리했다. Ricci는 혁신적인 "엔트로피 추정치"와 함께 흐른다. 해밀턴의 기법의 연장선상에서 베넷 차우(1991)에 의해 완전한 양성 사례가 입증되었다. 2차원 다지관의 Ricci 흐름은 단일 순응 등급으로 제한되므로 고정 리만 다지관(M, g₀)의 스칼라 함수에 대한 부분 미분 방정식으로 재시동할 수 있다. 이와 같이, 이 설정의 Ricci 흐름은 순수하게 분석적인 방법에 의해서도 연구될 수 있다. 그에 상응하여, 2차원 융합 정리에 대한 대체 비기하학적 증거가 있다.

고차원적인 경우는 역사가 더 길다. 해밀턴의 돌파 결과 직후 게르하르트 후이스켄은 자신의₀ 방법을 더 높은 차원으로 확장하여 g가 거의 일정한 양의 곡률(Ricci 분해의 특정 성분의 작은 의미)을 가지면 정상화된 Ricci 흐름이 부드럽게 일정한 곡률로 수렴된다는 것을 보여주었다. 해밀턴(1986)은 볼록 집합에 의한 트랩이라는 관점에서 최대 원리의 새로운 제형을 발견했는데, 이는 양적으로 곡선된 측정기준의 리치 흐름을 특정 다차원 일반 미분방정식에 대한 "핀칭 세트"의 존재와 관련시키는 일반적 기준으로 이어졌다. 그 결과 그는 M이 4차원이고 g가₀ 양의 곡률 연산자를 갖는 경우를 정산할 수 있었다. 20년 후 크리스토프 b과 버크하르트 윌킹은 "핀칭 세트"를 구성하는 새로운 대수적 방법을 발견하여 해밀턴의 결과(Böhm & Wilking 2008)에서 4차원성에 대한 가정을 없앴다. 사이먼 브렌들(Simon Brendle)과 리처드 쇤(Richard Shoen)은 닫힌 다지관의 Ricci 흐름에 의해 등방성 곡률의 긍정성이 보존된다는 것을 보여주었다; Böhm과 Wilking의 방법을 적용함으로써 새로운 Ricci 흐름 수렴 정리를 도출할 수 있었다(Brendle & Schoen 2009). 그들의 수렴정리는 특수한 경우로서 당시 오랜 추측이었던 상이한 구체정리의 분해능을 포함시켰다. 위에서 제시된 수렴청정은 브렌들(2008)에 기인하며, 이 때문에 Huisken, Hamilton, Böhm & Wilking, Brendle & Schoen의 초기 고차원 수렴 결과가 소진된다.

코롤러리

치수 3 이상의 결과는 주어진 유형의 미터법 g를₀ 허용하는 매끄러운 닫힘 다지관 M이 양의 곡률 공간 형태여야 함을 보여준다. 이러한 공간 형태는 주로 에일리 카탄 등의 작품으로 이해되기 때문에 다음과 같은 곡선을 그릴 수도 있다.

• M이 리치 곡률의 리만 곡률의 매끄러운 측정값을 인정하는 매끄러운 닫힌 3차원 다지관이라고 가정해 보자. M이 단순하게 연결된 경우 3-sphere와 차이점이어야 한다.

그래서 만일 어떤 매끄러운 닫힌 단순 연결 3차원 다지관이 리치 곡률의 부드러운 리만 측도를 인정한다는 것을 직접적으로 보여줄 수 있다면, 푸앵카레 추측이 바로 뒤따를 것이다. 그러나 현재에 와서도 문제가 파악되고 있는 만큼, 이 결과는 그 반대의 결과가 아니라 푸앵카레 추측의 (비례적) 귀결로 알려져 있을 뿐이다.

가능한 확장자

n이 2보다 크면 일정한 곡률의 부드러운 리만 측정 기준을 가지고 있지 않은 폐쇄적인 n차원 매끄러운 다지관이 많이 존재한다. 따라서 위의 수렴 이론에서 곡률 조건을 단순히 떨어뜨릴 수 있기를 바랄 수는 없다. 일부 대안으로 곡률 조건을 대체할 수는 있겠지만, 비음극 곡률 연산자(푸비니-스터디 미터법)의 측정 지표를 가지고 있지만 일정한 곡률 측정 지표를 가지고 있지 않은 복잡한 투영 공간과 같은 콤팩트 매니폴드의 존재는 이러한 조건들이 얼마나 추진될 수 있는가를 불분명하게 만든다. 마찬가지로 부정적으로 곡선된 리만 지표에 대해 유사한 수렴 결과를 형성할 가능성은 곡률이 임의로 상수에 가깝지만 일정한 곡률 지표는 인정하지 않는 폐쇄적인 리만 다지관의 존재로 인해 복잡해진다.^[4]

리-야우 불평등

해밀턴(1993a)은 리만 다양체에 대한 포물선 미분방정식에 피터 리와 신퉁 야우가 개척한 기술을 활용해 다음과 같은 '리-야우 불평등'을 입증했다.^[5]

• M을 매끄러운 다지관이 되게 하고, g를_t t ∈(0,T)로 Ricci 흐름의 해결책이 되게 하여 각 g가_t 경계 곡률로 완성되도록 한다. 또한 각 g에는_t 음이 아닌 곡률 연산자가 있다고 가정해 보십시오. 그 다음, 어떤 곡선 γ:[t₁,t₂] → [t₁,t₂] ⊂ (0,T)가 있는 M의 경우, 다음이 있다.
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}{\big (}R^{g(t)}(\big){\big)}+{\frac {R^{g(t)}(\gma(t))}{{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ric} ^{g(t)}(\gma '(t),\gamma '(t)\geq 0.}$$

  

페렐만(2002)은 다음과 같은 대안인 리-야우 불평등을 보여주었다.

• M은 매끄럽게 닫힌 n-manifold가 되게 하고, g는_t Ricci 흐름의 해결책이 되게 하라. n-폼에 대한 역열 방정식, 즉 ∂//tΩ + ΔΩ₀ = 0; 주어진 p ∈ M 및 t ∈(0,T)을 고려한다. 통합 시 t가 t로₀ 증가함에 따라 디락 델타 측정에 약하게 수렴되는 특정 용액을 고려한다. 그 다음, 어떤 곡선 γ:[t₁,t₂] → [t₁,t₂] ⊂ (0,T)가 있는 M의 경우, 다음이 있다.
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}f(\gamma (t),t){\big )}+{\frac {f{\big (}\gamma (t),t{\big )}}{2(t_{0}-t)}}\leq {\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))+ \gamma '(t) _{g(t)}^{2}}{2}}.}$$

  
  여기서 Ω = (4㎛(t₀ - t))^−n/2e^−f dμ_g(t).

이 두 가지 주목할 만한 불평등 모두 푸앵카레 추측과 기하학적 추측 추측의 증거에 대단히 중요하다. 페렐만의 리-야우 불평등의 오른쪽에 있는 용어들은 그의 "축소된 길이" 기능의 정의에 동기를 부여하는데, 그 분석은 그의 "비협착 정리"로 이어진다. 비 충돌 정리법은 해밀턴의 콤팩트 정리(해밀턴 1995년)를 적용하여 새로운 3차원 다지관에 Ricci 흐름인 "가수성 모델"을 구성할 수 있게 한다. 해밀턴 때문에-Ivey 추정치에 따르면, 이 새로운 Ricci 흐름은 음이 아닌 곡률을 가지고 있다. 해밀턴의 Li-Yau 불평등을 적용하여 각 지점에서 스칼라 곡면성이 시간의 비감소(비음수)함수임을 확인할 수 있다. 이것은 더 많은 논쟁들이 거쳐야 할 강력한 결과물이다. 결국, Perelman은 그의 특이점 모델들 중 어떤 것이든 완전히 분류된 완전한 구배 수축 Ricci 솔리톤과 같이 점증적으로 보인다는 것을 보여준다. 이전 섹션을 참조하라.

해밀턴의 Li-Yau 불평등에 대한 자세한 내용은 Chow, Lu & Ni(2006, 10장, 11장)를 참조하라; Chow et al. (2008) 및 뮐러(2006)는 위의 두 불평등에 대한 설명을 포함한다.

예

연속 커브 및 아인슈타인 메트릭

렛 (M,g)은 아인슈타인인인 리만 다지관이 되어라, 릭^g = gg와 같은 숫자 is이 있다는 뜻이다. 그러면 g_t = (1 - 2 -t)g는 그 이후₀ g = g를 갖는 Ricci 흐름이다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}g_{t}=-2\lambda g=-2\operatorname {Ric}^{g}=-2\operatorname {Ric} ^{g_{t}}.}$

만약 M이 닫혀 있다면, 그렇다면 위의 해밀턴의 고유성 정리에 따르면, 이것이 초기 데이터 g를 가진 유일한 리치 흐름이다. 특히 다음과 같은 점을 볼 수 있다.

• λ이 양수인 경우, 척도계수 1 - 2λt가 양수 t의 경우 1보다 작기 때문에 Ricci 흐름 "계약" g는 양수 t에 대해 "계약" g이며, 나아가 g가_t 리만계측량인 경우 t는 1/2㎛ 미만이 될 수 있다고 본다. 이것은 "마인티 타임 특이점"의 가장 간단한 예다.
• λ이 0이면 g가 리치플랫인 것과 동의어인 '0'이면 g는_t 시간과 독립적이므로 존재의 최대 간격은 전체 실선이다.
• λ이 음수이면 척도계수 1 - 2 2t가 모든 양의 t에 대해 1보다 크므로 Ricci 흐름 "확장" g이 된다. 더욱이 t는 임의로 클 수 있다고 본다. 한 사람은, 이 초기 지표에 대해, Ricci의 흐름은, "불규칙하다"고 말한다.

각각의 경우 t의 다른 값에 배정된 리만족 지표가 일정한 척도 인자에 의해서만 다르기 때문에 정규화된 리치 흐름 G가_s 항상 존재하고 s에 일정하다는 것을 알 수 있으며, 특히 s→s로 원활하게 (상수값으로) 수렴된다.

아인슈타인 조건은 일정한 곡률의 특별한 경우를 가지고 있다. 따라서 구(표준 측정 기준 포함)와 쌍곡선 공간의 특정한 예가 위의 특별한 사례로 나타난다.

리치 솔리턴스

Ricci 솔리톤은 Ricci 흐름으로, 크기는 바꿀 수 있지만, 모양은 차이점식으로 변하지 않는다.

• 실린더 S^k × R^l (k ≥ 2의 경우) Ricci 흐름에서 유사하게 차동형까지 수축됨
• 유의미한 2차원 예는 유클리드 평면의 미터법(dx² + dy²)/(e^4t + x² + y)에² 의해 주어지는 시가 솔리톤이다. 비록 이 미터법이 Ricci 흐름하에서 축소되지만, 그것의 기하학은 그대로 유지된다. 그러한 해결책들을 꾸준한 리치솔리톤이라고 부른다.
• 3차원 스테디 리치 솔리턴의 예로는 회전 대칭인 브라이언트 솔리톤이 있는데, 이 솔리톤은 양의 곡률을 가지고 있으며, 일반적인 미분 방정식의 시스템을 풀어서 얻는다. 유사한 건설은 임의의 차원에서 이루어진다.
• U(n) 작용에 따라 불변하며 리치 솔리톤인 C에ⁿ 버라이어티인 켈러 다지관의 수많은 가족이 존재한다. 이 예들은 조조와 펠드만-일마넨-노프(Chow-Knopf 2004)에 의해 건설되었다.

구배 수축 리치 솔리톤은 부드러운 리만 다지관(M,g)과 f ∈ C^∞(M)로 구성되어 있다.

${\displaystyle \operatorname {Ric} ^{g}+\operatorname {Hess} ^{g}f={\frac {1}{2}}g.}$

Perelman(2002)의 주요 업적 중 하나는 M이 닫힌 3차원 평활 다지관일 경우, M에 대한 Ricci 흐름의 유한한 시간 특이치는 완전한 구배 수축 Ricci 솔리톤(아마 M과 구별되는 기초 다지관일 경우)을 모델로 한다는 것을 보여주는 것이었다. 2008년 화이동조, 빙룽천, 시핑주 등이 이들 솔리톤의 분류를 완료하여 다음과 같은 것을 보여주고 있다.

• Suppose (M,g,f) is a complete gradient shrinking Ricci soliton with dim(M) = 3. If M is simply-connected then the Riemannian manifold (M,g) is isometric to ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, ${\displaystyle S^{3}}$, or ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$, each with their standard Riemannian 측정 기준 이것은 원래 Perelman(2003a)에 의해 일부 추가적인 조건부 가정과 함께 보여졌다. M이 단순하게 연결되지 않은 경우에는 범용 표지 $\pi {\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ $M$${\displaystyle }$, ${\displaystyle \$$pi$$:M'\$$to$ M$,}$을(를) 고려할 수 있으며$$$,$ 위의 정리가${\displaystyle }$($M$ $π,$ $^$)에${\displaystyle }$적용된다는 점에 유의한다$.$$}$

더 높은 차원에서 구배 수축 리치 솔리톤에 대한 충분한 이해가 아직 없다.

균일화 및 기하학적 형상에 대한 관계

해밀턴의 리치 흐름에 관한 첫 번째 연구는 3차원 매끄러운 다지관의 위상학적 분류에 관한 윌리엄 서스턴의 기하학적 추측과 동시에 발표되었다.^[6] 해밀턴의 아이디어는 미터법의 불규칙성을 완화시키는 경향이 있는 일종의 비선형 확산 방정식을 정의하는 것이었다. 적합한 정준 형태 이미 서스턴을 타는 것이고, 그 가능성이라 불리는 서스턴 모델 기하학적 구조,three-sphere S3,3차원 유클리드 공간 E3,3차원 쌍곡선 공간 H3과 등방성 균질 그리고 이것은 아니지만 isotro 동질 5약간 더 이국적인 리만 manifolds을 포함한다 확인했다.파이c. (이 목록은 3차원 리얼 리알헤브라의 비안치 분류와 밀접한 관련이 있지만, 동일하지는 않다.)

해밀턴은 리치 곡률의 양의 지표를 인정하는 어떤 매끄러운 닫힌 3마니폴드도 독특한 Thurston 기하학, 즉 구면 지오메트리를 인정하고 있다는 것을 증명하는데 성공했는데, 이것은 실제로 리치 흐름 하의 유인 고정점처럼 작용하고 있는 것으로서, 부피를 보존하기 위해 새로 고쳤다. (초기화되지 않은 리치 흐름 아래에서 다지관은 유한한 시간에 한 점으로 붕괴한다.) 그러나 곡률에 대한 제한적인 가정 때문에 이것은 전체 기하학적 추측을 증명하지 못한다.

실제로 19세기 기하학의 승리는 평일화 정리, 즉 매끄러운 2마니폴드의 유사한 위상학적 분류의 증거였는데, 해밀턴은 리치 흐름이 정말로 부정적으로 구부러진 2마니폴드를 쌍곡면과 국소적으로 같은 2차원 다원형 토루스로 진화시킨다는 것을 보여주었다. 이 주제는 분석, 숫자 이론, 역동 시스템, 수학 물리학, 그리고 심지어 우주론에서 중요한 주제들과 밀접하게 관련되어 있다.

"균일화"라는 용어는 기하학의 불규칙성을 일종의 평활화(smoothing)를 암시하는 반면, "지오메트리지화(geometrization)"라는 용어는 부드러운 다지관에 지오메트리를 배치하는 것을 암시한다는 점에 유의한다. 여기서 기하학은 클라인의 기하학적 개념과 유사한 정밀한 방식으로 사용되고 있다(자세한 내용은 기하학적 추측 참조). 특히 기하학의 결과는 등방성이 아닌 기하학일 수 있다. 일정한 곡률의 경우를 포함한 대부분의 경우 기하학은 독특하다. 이 영역에서 중요한 주제는 실제와 복잡한 공식 사이의 상호 작용이다. 특히 획일화 논의는 실제 2마니폴드보다는 복잡한 곡선을 말하는 경우가 많다.

특이점

해밀턴은 콤팩트한 리만 다지관은 항상 짧은 시간 리치 흐름의 해결책을 인정한다는 것을 보여주었다. 이후 시은 단시간 존재 결과를 일반화하여 경계 곡률의 다지관을 완성했다.^[7] 그러나 일반적으로 리치 흐름 방정식의 비선형적 특성 때문에 특이점은 유한한 시간에 형성된다. 이러한 특이점들은 곡률 특이점이며, 이는 곡률 텐서${\displaystyle }$tens$displaystyle \operatorname{Rm}}$의 표준이 단수 영역에서 무한대로 폭발한다는$$ 것을 의미한다. Ricci 흐름의 근본적인 문제는 가능한 모든 특이점 기하학적 구조를 이해하는 것이다. 성공하면 다지관의 위상에 대한 통찰로 이어질 수 있다. 예를 들어, 3d Ricci 흐름에서 발달할 수 있는 단수 지역의 기하학을 분석하는 것은 Perelman의 증명인 Poincare와 Geometrization Obstance에 중요한 요소다.

특이점 블로우업 한계

다른 비선형 미분 방정식의 연구에서와 같이 특이점 형성을 연구하려면 블로업 한계를 고려하는 것이 유용하다. 직관적으로 말하면, 시간과 공간을 재조정함으로써 Ricci 흐름의 단일한 영역으로 확대된다. 특정한 가정 하에서 흐름의 확대는 리치 흐름$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$( t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \mathrm{t}}$ ${\displaystyle \in }$( -${\displaystyle \mathrm{\infty }}$, 0 ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle (M_{\infit })(}g_{\infit }(t)), t$\in $(-\inflt ,0$이라고 불리는 제한적인 경향이 있다. 특이점 모델은 고대의 Ricci 흐름이다. 즉, 그것들은 과거로 무한히 확장될 수 있다. Ricci 흐름에서 가능한 특이점 모델을 이해하는 것은 활발한 연구 노력이다.

아래에서는 블로업 절차를 더 자세히 스케치한다. Let ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T),}$ be a Ricci flow that develops a singularity as ${\displaystyle t\rightarrow T}$. Let ${\displaystyle (p_{i},t_{i})\in M\times [0,T)}$ be a sequence of points in spacetime such that

${\displaystyle K_{i}:=\왼쪽 \operatorname {Rm}(g_{t_{i})\오른쪽(p_{i})\오른쪽(p_{i})\오른쪽 화살표 \inflt }}$

$i{\displaystyle }$→ $【\displaystyle$ i\$rightarrow \infit$ $】.$ 그러면 파라볼리적으로 재조정된 메트릭스를 고려한다.

${\displaystyle g_{i}(t)=K_{i}g\왼쪽(t_{i}+{\frac {t}{K_{i}}}\오른쪽)\쿼드 t\in [-K_{i}t_{i}t_{i}}}}}}}$

포물선 확장 하에서 Ricci 흐름 방정식의 대칭성 때문에, 측정지표 ${\displaystyle g_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle g_{i}(t)$도 Ricci 흐름 방정식의 해결책이다$$. 이 경우에는

${\displaystyle Rm \leq K_{i}{\text{{{}}{}}}}{}}}M\times[0,t_{i}],}$

i.e. up to time ${\displaystyle t_{i}}$ the maximum of the curvature is attained at ${\displaystyle p_{i}}$, then the pointed sequence of Ricci flows ${\displaystyle (M,g_{i}(t),p_{i})}$ subsequentially converges smoothly to a limiting ancient Ricci flow ${\displaystyle (M_{\mathrm{\infty }},g_{\mathrm{\infty }}(t)}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ $){\displaystyle (M_{\infit }g_{\infit }(t),p_{\infit$ $\}\}.$ 일반적으로 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\infty \mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) $M{\displaystyle }$ ${\displaystystystym M$}과 차이가 없다는 점에$$ 유의하십시오$.$

1종 및 2종 특이점

해밀턴은 리치 흐름에서 타입 I과 타입 II 특이점을 구별한다. $특히{\displaystyle }$ Ricci 흐름$($${\displaystyle M}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \in }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \mathrm{T}}$) ${\displaystyle(M,g_{t}),\,t\in [0,T)}$이(가) T형일 경우 T ${\displaystyty T}$이(가) 유형 I이라고 말한다.

t< ( - ) < ${\displaystyle \suppy_{t<T}(T-t) Rm <\infuly$ .

그렇지 않으면 특이점은 타입 II이다. 제1종 특이점의 블로업 한계는 구배 수축 리치 솔리톤이라고 알려져 있다.^[8] 타입 II의 경우, 특이점 모델이 꾸준한 Ricci 솔리톤이어야 하는지는 공공연한 질문이다. 지금까지 알려진 모든 예는 다음과 같다.

3d Ricci 흐름의 특이점

3d에서 Ricci 흐름 특이점의 가능한 블로업 한계는 잘 이해된다. 해밀턴, 페렐만, 그리고 브렌들(Brendle)의^[when?] 최근 연구에 따르면, 최대 곡률 지점에서 폭발하는 것은 다음의 세 가지 특이점 모델 중 하나로 이어진다.

• 축소되는 원형 구면 공간 $형식{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$/ ${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$ ${\displaystyle$S^{$3}/\Gamma$}
• 수축 원형 실린더 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$
• 브라이언트 솔리톤

처음 두 개의 특이점 모델은 제1종 특이점으로부터 발생하는 반면, 마지막 하나는 제2종 특이점으로부터 발생한다.

4d Ricci 흐름의 특이점

4차원에서는 3차원보다 가능성이 훨씬 많다는 것 외에 가능한 특이점에 대해서는 거의 알려져 있지 않다. 현재까지 알려진 특이점 모델은 다음과 같다.

• ${\displaystyle S^{3}\times \mathb {R}}$
• ${\displaystyle S^{2}\time \mathb {R}^{2}}$
• 4d 브라이언트 솔리톤
• 스칼라 곡률의 콤팩트한 아인슈타인 다지관
• 컴팩트 그라데이션 칼러-리치 수축 솔리톤
• FIK 수축기

첫 번째 세 가지 예는 3D 특이성 모델의 일반화라는 점에 유의하십시오. FIK 수축기는 내장된 구체의 붕괴를 자기 절개 번호 -1로 모델링한다.

확산과의 관계

리치 흐름을 정의하는 진화 방정식이 실제로 비선형 확산 방정식의 일종인 이유를 알기 위해서는 (실제) 2매니폴드의 특수한 경우를 좀 더 자세히 고려해 볼 수 있다. 2-매니폴드의 모든 미터법 텐서는 기하급수적인 등온 좌표 차트와 관련하여 양식의 기록될 수 있다.

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))\\,\왼쪽(dx^{2}+dy^{2}\오른쪽).}$

(이 좌표는 거리가 아닌 각도가 정확하게 표현되기 때문에 등각 좌표 차트의 예를 제공한다.)

리치 텐서(Ricci tensor)와 라플라스-벨트라미(Laplace-Beltrami) 연산자를 계산하는 가장 쉬운 방법은 엘리 카르탄(Eli Cartan)의 미분양식 방법을 이용하는 것이다. 코프레임 필드 가져오기

${\displaystyle \exp(p)\,dx,\;\exma ^{2}=\exp(p)\,dy}$

미터법 텐셔너가

${\displaystyle \time dynames dy\right.{1}\notimes \notimes \notimes ^{1}+\notma ^{2}=\exp(2p)\\,\ft(dx\time dx+dy\otimes dy\dy\rima\rima\rima\rima\right)\right)\right)\}$

다음으로, 임의의 부드러운 함수 $h{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle h(x,y)}$을$($를) 지정하여 외부 파생 모델을 계산하십시오.

${\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp=\exp)h_{x}\,\displayma ^{1}+\exp)h_{y}\,\displayma ^{2}.}$

Take the Hodge

${\displaystyle \star dh=-\exp)h_{y}\,\displayma ^{1}+\exp)h_{x}\,\dyma ^{2}=-h_{y}\,dx+h_{x}\,dy},dy.}$

다른 외부 파생 모델 가져오기

${\displaystyle dh=-h_{yyy}\,dy\dy\nft dx+h_{xx}\,dx\nft=\왼쪽(h_{xx}+h_{y}\right)\,dx\nft dydy}$

(외부 제품의 반선호화 특성을 사용한 곳). 그것은

${\displaystyle d\star dh=\expect2p)\\\왼쪽(h_{xx}+h_{y}\오른쪽)\\\\disma ^{1}\nows \nother \chma ^{2}.}$

Hodge의 또 다른 이중 선물 가져가기

${\displaystyle \Delta h=\star dh=\exp(-2p)\,\왼쪽(h_{xx}+h_{yyy}\오른쪽)}$

라플라스/벨트라미 연산자에 대해 원하는 표현을 제공한다.

${\displaystyle \Delta =\ex(-2\,p(x,y))\왼쪽(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\오른쪽).}$

곡률 텐서를 계산하기 위해 코브터 필드의 외부 파생 모델을 사용하여 코프레임을 구성한다.

${\displaystyle d\jpma ^{1}=p_{y}\ex(p)dy\repx=-\좌측(p_{y}dx\right)\rependma ^{2}=-{\omega ^{1}{1}}\completma ^{2}}:$

${\displaystyle d\jpma ^{2}=p_{x}\ex(p)dx\di=-\왼쪽(p_{x}dy\right)\redma ^{1}=-{\omega ^{1}{1}}\ma ^{1}.}$

이러한 표현에서 우리는 유일한 독립된 스핀 연결 원폼을 읽을 수 있다.

${\displaystyle {\omega^{1}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy,}$

여기서 우리는 연결의 반제곱 특성을 이용했다(${\displaystyle {{\Omega \mathrm{}}^{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}{{}^{}}_{\mathrm{}}}$= - ${\displaystyle {{\Omega \mathrm{}}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{\mathrm{}}}$ 2$${\$displaystyle${\$omega ^{2$}}$_{1}=-{\omega$^{1}}{\omega $^{$1}$_{2$}}).$$ 다른 외부 파생 모델 가져오기

${\displaystyle d{{1}_{2}=p_{yyy}dy\dx-p_{xx}dx\dyp=-\reft(p_{xx}+p_{y}\right)\,dx\csd.}$

이것은 곡률 2-형식을 제공한다.

${\displaystyle {\Oomega ^{1}_{2}=-\exp(-2p)\왼쪽(p_{x}+p_{yyy}\오른쪽)\,\sigma ^{1}\sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\sigma ^{1}$

리만 텐서의 유일한 선형 독립 구성 요소를 읽을 수 있는 위치:

${\displaystyle {\Oomega ^{1}_{2}={R^{1}_{212}\,\sigma ^{1}\sigma \sigma ^{2}.}$

즉

${\displaystyle {R^{1}_{212}=-\Delta p}$

이로부터 리치 텐서의 0이 아닌 유일한 구성요소가

${\displaystyle R_{22}=R_{11}=-\Delta p.}$

이를 통해 좌표 코바시스(즉, 좌표 코바시스)와 관련된 구성요소를 찾는다.

${\displaystyle R_{xx}=R_{yy}=-\왼쪽(p_{xx}+p_{y}\오른쪽).}$

그러나 미터법 텐서 또한 대각선으로 되어 있고,

${\displaystyle g_{xx}=g_{yyy}=\exp(2p)}$

그리고 몇 가지 기본적인 조작 후에 우리는 Ricci 흐름에 대한 우아한 표현을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}=\Delta p.}$

이는 모든 확산방정식 중 가장 잘 알려진 열방정식과 명백히 유사하다.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}=\Delta u}$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle x_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$ ${\$2}}는 유클리드 평면에서 흔히 볼 수 있는 라플라시안이다. 독자는 열 방정식이 물론 선형 부분 미분 방정식이라고 반대할 수 있다. 즉, 리치 흐름을 정의하는 p.d.에서 약속된 비선형성은 어디에 있는가?

답은 라플라스-벨트라미 연산자가 우리가 미터법을 정의하기 위해 사용했던 것과 동일한 함수 p에 의존하기 때문에 비선형성이 입력된다는 것이다. 그러나 평평한 유클리드 평면은 $p{\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p(x,y)=0}$을 취함으로써 주어지는 것을 주목하라$.$ 따라서 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$이(가$$) 크기가 작으면 평면의 기하학으로부터 작은 편차를 정의하고, 지수 계산에서 1차 항만 유지하면 Rici는 우리의 2dim에 흐른다.거의 평평한 리만 다지관은 일반적인 2차원 열 방정식이 된다. 이 계산은 (열 방정식에 따라) 열판의 불규칙한 온도 분포가 시간이 지남에 따라 더 균질해지는 경향이 있는 것처럼, 또한 (리치 흐름에 따라) 거의 평평한 리만 다지관은 열이 무한 평판에서 "무한으로" 전달될 수 있는 것과 같은 방식으로 평평해지는 경향이 있음을 시사한다.. 그러나 만일 우리의 열판이 크기가 유한하고 열을 이을 수 있는 경계가 없다면, 우리는 온도를 균질화시킬 수 있을 것이라고 기대할 수 있지만, 분명히 우리는 그것을 0으로 줄일 수 있을 것이라고 기대할 수 없다. 이와 마찬가지로 왜곡된 원형 구에 적용되는 리치 흐름도 시간이 흐르면서 기하학을 둥글게 만들되 평평한 유클리드 기하학으로 바꾸지는 않는 경향이 있을 것으로 기대한다.

최근 개발

리치의 흐름은 1981년부터 집중적으로 연구되어 왔다. 최근 일부 연구는 리치 흐름 하에서 고차원 리만 다지관이 어떻게 진화하는지, 특히 어떤 유형의 파라메트릭 특이점들이 형성될 수 있는지에 대한 문제에 초점을 맞추고 있다. 예를 들어, Ricci 흐름에 대한 특정 등급의 솔루션은 흐름이 특정 특성 시간 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 근접함에 따라 특정 위상학적 특성(양성 오일러 특성)을 갖는 진화하는 n차원 미터법 리만 다지관에서 목핀치 특이점이 형성된다는 것을 보여준다$.$ 어떤 경우에, 그러한 목핀들은 Ricci Solitons라고 불리는 다지관을 생산하게 될 것이다.

3차원 다지관의 경우, Perelman은 다지관의 수술을 사용하여 특이점을 지나치는 방법을 보여주었다.

Kahler 메트릭스는 Ricci 흐름 아래 Kahler로 남아 있으며, 따라서 Ricci 흐름은 "Kahler-Ricci 흐름"이라고 불리는 이 환경에서도 연구되었다.

메모들

참조

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외부 링크

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