음악적 이형성

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In mathematics—more specifically, in differential geometry—the musical isomorphism (or canonical isomorphism) is an isomorphism between the tangent bundle ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ and the cotangent bundle ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ of a pseudo-Riemannian manifold induced by its metric tensor.복합 다지관에는 유사한 이형성이 있다.뮤지컬이라는 용어는 기호 $♭{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \flat$}($$flat)과 $♯{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \sharp$}($$sharp)을 사용하는 것을 말한다.^[1][2]

공변량 및 역변량 표기법에서는 지수 상승 및 하강이라고도 한다.

토론

(M, g) 사이비-리만 다지관이 되자.{e_i}이(가) 이중 프레임(이중 기준 참조), 이동 코프레임(동탄재 $번들{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ T$$ M {\$displaystyle \mathrm{*T}$$^{*M}$ 참조 코프레임) {e}을ⁱ(를) 포함하는 접선 번들 TM의 이동 접선 프레임(매끄러운 프레임 참조)이라고 가정합시다.그런 다음, 현지에서는 사이비-리만 메트릭스(대칭적이고 비감속적인 2공변 텐서 필드)를 g = ge_ij ⁱ ⊗ e^j(아인슈타인 합계 규약을 채택한 곳)로 표현할 수 있다.

벡터 필드 X = Xe를ⁱ _i 지정하면 다음과 같이 평면을 정의한다.

${\displaystyle X^{\flat }:=g_{ij}X^{i}\,\mathbf {e}^{j}=X_{j}\,\mathbf {e}^{j}.}$

이것을 "지수 낮춤"이라고 한다.g로 정의된 내부 제품에 전통적인 다이아몬드 브라켓 표기법을 사용하여 다소 투명한 관계를 얻는다.

${\displaystyle X^{\flat }(Y)=\langle X,Y\angle }$

벡터 필드 X와 Y에 대해.

같은 방법으로, 코브터 필드 Ω = Ωe를_i ⁱ 주어, 우리는 다음에 의해 그것의 날카로움을 정의한다.

${\displaystyle \omega^{\ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\mathbf {e} _{j}\mathbf {e}}$

여기서 g는^ij 역 메트릭 텐서(g에_ij 대한 역행렬의 항목으로 주어짐)의 성분이다.코브터 필드의 날카로움을 취하는 것을 "지수 상승"이라고 한다.내부 제품 표기법에는 다음과 같이 적혀 있다.

${\displaystyle {\bigl \langle }\omega ^{\sharp },Y{\bigr \randle }=\omega(Y),}$

모든 코브터 필드 Ω 및 벡터 필드 Y에 대해.

이 구조를 통해 우리는 두 가지 상호 역 이형성을 갖게 된다.

${\displaystyle \flat :{\rm{T}M\to {\rm{T}^{*M,\qquad \sharp :{\rm{T}^{*}M\to {\rm}M}M.}$

이것들은 벡터 번들의 이형성이며, 따라서 우리는 M의 각 p에 대해_p TM과 TM^∗
_p 사이의 상호 역방향 벡터 공간 이형성을 가진다.

텐서 제품으로 확장

음악적 이질성은 또한 묶음까지 확장될 수 있다.

${\displaystyle \bigotimes ^{k}{\rm {T}M,\qquad \bigotimes ^{k}{\rm {T}^{*}M.}$

어떤 지수를 올리거나 내릴지 반드시 표시해야 한다.예를 들어, (0, 2)-tensor 필드 X = Xe_ij ⁱ e^j e. 두 번째 인덱스를 올리면 (1, 1)-tensor 필드를 얻을 수 있다.

${\displaystyle X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}^{i}\otimes{\rm {e}_{k}.}$

k-벡터 및 k-폼으로 확장

외부 대수학의 맥락에서 musicalV와 그 이중 ⋀^∗
V에 음악적 연산자의 연장이 정의될 수 있으며, 이는 약간의 표기법 남용이 있을 경우 동일한 것으로 표시될 수 있으며, 다시 상호 역행이다.^[3]

${\displaystyle \flat :{\bigwedge }V\to {\bigwedge }^{*V,\qquad \sharp :{\bigwedge }^{*V}V\to {\bigwedge }V,},}}$

에 의해 정의된.

${\displaystyle (X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },\qquad (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.}$

이 확장에서는 ♭가 p-벡터를 p-벡터에 매핑하고 ♯가 p-벡터에 p-벡터를 매핑하는 경우, 완전대칭 텐서의 모든 지수를 동시에 올리거나 내리므로 다음과 같은 지수를 표시할 필요가 없다.

${\displaystyle Y^{\sharp }=(Y_{i\dots k})\mathbf {e}^{k}^{\sharp }=g^{ir}\dots g^{kt}\,Y_{i\dots k}\,\mathbf {e} _{r}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{t}.}$

미터법 텐서를 통한 텐서 추적

유형(0, 2) 텐서 필드 X = Xe_ij ⁱ ⊗ e를^j 지정하면 X의 추적을 다음과 같이 미터법 텐서 g를 통해 정의한다.

${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr}(X^{\sharp }})=\operatorname {tr}(g^{jk}X_{ij}\,{\bf{e}}}}\i}\otimes {\bf{e}_{k}=g^{ij}X_{ij}X_{iJ}.}$

메트릭 텐서는 대칭이므로 추적의 정의는 올릴 인덱스의 선택과 무관함을 확인하십시오.

참고 항목

• 이중성(수학)
• 지수 상승 및 하강
• 이중 공간 § Bilinar 제품 및 이중 공간
• 호지 듀얼
• 벡터 번들
• 플래트(음악)와 샤프(음악)의 기호 and과 ♯에 관한 이야기

인용구

참조

• Lee, J. M. (2003). Introduction to Smooth manifolds. Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. ISBN 0-387-95448-1.
• Lee, J. M. (1997). Riemannian Manifolds – An Introduction to Curvature. Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol. 176. New York · Berlin · Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016). An Introduction to Clifford Algebras and Spinors. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-878-292-6.