이 기사는 벡터 번들의 연결에 관한 것이다.수학의 다른 연결 유형은 연결(수학)을 참조하십시오.
수학, 특히 미분 기하학 및 게이지 이론에서 섬유다발에서의 연결은 묶음에서의 병렬 이동 개념, 즉 가까운 지점 위로 섬유를 "연결"하거나 식별하는 방법을 정의하는 장치다.가장 일반적인 경우는 벡터 번들에 대한 선형 연결로, 병렬 전송의 개념은 선형이어야 한다.선형 연결은 기본 매니폴드의 접선 방향을 따라 다발의 단면을 구별하는 운영자인 공변량 파생상품이 병렬 단면들이 파생상품 0을 갖는 방식으로 동등하게 지정한다.선형 연결은 임의 벡터 번들에 대한 일반화로서, 벡터장을 구별하는 표준 방법을 제공하는 사이비-리만다지기의 접선 번들에 있는 Levi-Civita 연결을 제공한다.비선형 연결은 섬유질이 반드시 선형적이지 않은 번들에 이 개념을 일반화한다.null
선형 연결은 장루이 코슬 연결(Koszul 1950)의 이름을 따서 코슬 연결이라고도 부르는데, 장루이 코슬은 이들을 기술하기 위한 대수적 프레임워크를 주었다.null
이 글은 좌표를 강조하지 않는 공통의 수학 표기법을 사용하여 벡터 번들의 연결을 정의한다.그러나, 다른 개념들도 정기적으로 사용된다: 일반 상대성에서는 벡터 번들 계산은 보통 인덱스 텐서를 사용하여 작성된다. 게이지 이론에서는 벡터 공간 섬유의 내형성이 강조된다.미터법 연결에 관한 기사에서 논의한 바와 같이(거기에서 언급된 내용은 모든 벡터 번들에 적용된다) 다른 표기들은 동등하다.null
M을 유클리드 공간과 같이 다른 다양성이 되게 하라.A vector-valued function can be viewed as a section of the trivial vector bundle One may consider a section of a general differentiable vector bundle, and it is therefore natural to ask if it is possible to differeM에서 함수를 구별하는 방법에 대한 일반화로서 한 단면을 절개한다.
번들의 한 부분은 베이스에서 벡터 번들의 섬유로 일반화된 함수로 볼 수 있다.이는 위의 그림에서와 같이 단면의 그래프로 시각화할 수 있다.
The model case is to differentiate a function on Euclidean space . In this setting the derivative at a point in the direction 은(는) 표준 공식으로 정의할 수 있다.
모든 ^{에 대해 이것은 벡터 X(( x). ^{을 정의한다.
다지관 을(를) 통해 벡터 E 의 X 에 전달하면 이 정의에서 두 가지 주요 문제가 발생한다Firstly, since the manifold has no linear structure, the term makes no sense on . Instead one takes a path such that and computes
However this still does not make sense, because and are elements of the distinct vector spaces and 이 두 용어의 뺄셈이 자연스럽게 정의되지 않는다는 뜻이다.null
문제는 벡터 번들에 대한 연결의 추가 구조를 도입함으로써 해결된다.연결을 이해할 수 있는 관점은 최소한 세 가지다.정확히 공식화하면 세 가지 관점이 모두 동등하다.null
(병렬 전송) 연결은 모든 서로 다른 경로 {\선형 이형성 P : ( )→ 모든 . 에 대해)}\\displaystyle t.}을(를) 사용하여( t) X을(를) Ex {\로 운반한 다음 명시적으로 차액을 취할 수 있다.
, 에만 의존하고, v 확장 v에 의존하지 않으려면, . 에 P dependence 의존성에 대한 제한(정의)을 적용해야 한다.{{{\drailightforward to formate, 그래서 이러한 "international transport" 개념은 보통 연결을 정의하는 다른 방법의 부산물로 파생된다.사실 다음과 같은 "에흐레스만 연결"의 개념은 극히 미미한 병렬 수송의 형식에 불과하다.
(Ehresmann 연결)The section may be viewed as a smooth map from the smooth manifold to the smooth manifold As such, one may consider the pushforward which is an element of the tangent space Ehresmann의 연결 공식에서 각 {\x} 및e E ,{\에 X ) {\의 직접 합을 할당하는 방법을 선택한다.을(를) 두 개의 선형 하위 영역으로, 그 중 하나는 x. 의 자연적 내장이다. 이 추가 데이터로 d ( ) {\displaystyle 을(를) x. 에 투영하여를 정의한다. 벡터 번들의 선형 구조를 존중하기 위해, e가 섬유에 걸쳐 변화함에 의 직접 합 분해의 이동 방식에 추가적인 제한을 가한다.
(공변량파생상품)유클리드 컨텍스트의 표준 파생 모델 ) 은(는) 및, 의 특정 종속성을 가장 기본적인 선형성을 만족한다.공변량 파생상품은 제품 규칙의 형태와 함께 이러한 특성을 모방한 모든 작업, ) ∇ 로 정의된다.
베이스가 0차원인 경우가 아니라면, 주어진 서로 다른 벡터 번들에는 항상 무한히 많은 연결부가 존재하므로, 섹션의 차별화 방법에는 항상 상응하는 선택이 있다.문맥에 따라, 예를 들어, 특정 부분 미분 방정식을 풀어서 결정되는 선택들이 있을 수 있다.접선다발의 경우, 모든 사이비-리만 메트릭스(특히 모든 리만 메트릭스)는 레비-시비타 연결이라고 하는 표준적 연결을 결정한다.null
-선형 지도 s) - : T → x 의 매끄러운 섹션 s와 모든 x에 대한 할당:x 등에{x}M\to
1,의 s, 의 s의 s {\s_{1}의 모든 smooth 기능에 대해,의 smooth 기능에 대해과(가 관련이 있는 경우
모든 및 M.
Beyond using the canonical identification between the vector space and the vector space of linear maps these two definitions are identical and differ only in the language used.null
으로v {\v에 x 이 함축되어 있고 이 표기법으로 위에 주어진 정의의 두 번째 버전의 제품 규칙이 쓰여 있다.
비고. 복합 벡터 번들의 경우, 위의 정의는 여전히 의미가 있지만, 대개 "복잡하다"와 "로 보이는 곳마다 "real"과 "EX"를 변경하여 수정한다 이것은 복잡한 벡터 공간 사이의 모든 실제 선형 지도가 복잡한 것은 아니기 때문에 추가적인 제한을 가한다.복잡한 벡터 번들 또한 실제 벡터 번들로 간주될 수 있기 때문에 이 구별에는 약간의 모호성이 있다.null
유도접속
Given a vector bundle , there are many associated bundles to which may be constructed, for example the dual vector bundle , tensor powers , symmetric and antisymmetric tensor powers 및 직접 합계 k E k의 연결은 이러한 관련 번들 중 하나에 연결을 유발한다.관련 번들의 연결 간 통과의 용이성은 주체 번들 연결 이론에 의해 더욱 우아하게 포착되지만, 여기서는 기본 유도 연결의 일부를 제시한다.null
이중 연결
에 대한 연결 이(가) 제공될 경우^{*}}의 유도 이중 연결에 의해 암시적으로 정의된다.
Here is a smooth vector field, is a section of , and a section of the dual bundle, and 벡터 공간과 그 이중(과(와) 사이에 각 섬유에 발생) 사이의 자연스러운 결합.이 정의는 기본적으로 essentially을(를) 에 연결하도록 적용하여 천연 제품 규칙을 \, \을 쌍으로 만족시키도록 한다는 점에 유의하십시오
텐서 제품 연결
E ,F 두 개의 벡터 번들 E , → {\ EM}에 연결한 경우 다음 공식으로 텐서 제품 연결을 정의하십시오.
Here we have . Notice again this is the natural way of combining to enforce the product rule for the tensor product connection.By repeated application of the above construction applied to the tensor product , one also obtains the tensor power connection on for any and vector bundle E
직접합계
직접 합 연결은 다음에 의해 정의된다.
서 ∈∈ () t\ (
대칭 및 외부 전원 연결부
Since the symmetric power and exterior power of a vector bundle may be viewed naturally as subspaces of the tensor power, , the definition of the tensor product connection applies in a straightforward manner to this setting.실제로 대칭 및 외부 알헤브라는 직접적인 합계로서 텐서 대수 내에 위치하며, 연결부 이(가) 이러한 자연 분열을 존중하므로, 간단히summ 을 이러한 합계들로 제한할 수 있다.명시적으로 다음을 기준으로 대칭 제품 연결을 정의하십시오.
외부 제품 연결:
for all . Repeated applications of these products gives induced symmetric power and exterior power connections on and respectively.null
내형성 연결
마지막으로 내형성 의 벡터 에 연결 {을(를 정의할 수 있다 E내형성 연결This is simply the tensor product connection of the dual connection on and on . If and ( ∈ in \ (E에서도 구성 u를 구성하면 내형성 연결에 대해 다음 제품 규칙이 유지된다.
이 방정식을 뒤집음으로써, 내형성 연결을 만족하는 고유한 연결로 정의할 수 있다.
u , , 에 대해, 따라서 먼저 이중 연결과 텐서 제품 연결을 정의할 필요가 없다.null
Given a vector bundle of rank , and any representation into a linear group , there is an induced connection on the associated vector bundle= V 이 이론은 의 프레임 번들에 있는 주번들 연결부에 전달하고 주번들 이론을 사용하여 가장 간결하게 포착된다.위의 각 예는 이 구성의 특별한 경우로 볼 수 있다: 이중 묶음은 역전치(또는 역직치) 표현에 해당하며 텐서 제품은 텐서 제품 표현에 해당하며, 직계 합은 직계 합 표현에 해당된다.null
Let be a vector bundle of rank and let be the principalframe bundle of . Then a (principal) connection on induces a connection on . First note that sections of are in one-to-one correspondence with right-equivariant maps . (This can be seen by considering the pullback of over , which is isomorphic to the trivial bundle.) Given a section of let the corresponding equivariant map be . 다음 E 의 공변량 파생 모델은
where is the horizontal lift of from to . (Recall that the horizontal lift is determined by the connection on .)
반대로 의 은 F( ) 에 대한 연결을 결정하며 이 두 구조는 상호 역방향이다.null
의 연결도 의 선형 Ehresmann 연결에 의해 동등하게 결정된다이것은 연관된 주 연결을 구성하는 한 가지 방법을 제공한다.null
# 유도 연결에서 논의된 유도 연결은 위에서 사용한 표준 표현 이외의 표현을 사용하여의 프레임 번들에 대한 다른 관련 번들에 대한 연결로 구성할 수 있다.For example if denotes the standard representation of on , then the associated bundle to the representation of {mathb {R}\의 {,\은 직접 합계 번들 이고 유도 연결은 위에서 설명한 정확하다.null
로컬 표현식
→ 을(를) 순위 의 벡터 번들로 하고을(를) E 보다 하찮게 는 M 의 열린 하위 집합으로 한다.따라서 된 U 에 E 은(는) 섹션의 로컬 부드러운 프레임을 허용한다.
이(가) x∈ U에 섬유 x x}의 기초를 정의하므로 로컬 s: U→ s의 E
함수의 ,… ,: U→ s
의 연결 을(를에 대해 연결에 특성 제품 규칙을 사용하여 을(를) 섹션의 로컬 프레임으로 표현할 수 있다.For any basis section , the quantity may be expanded in the local frame as
여기서 A 1 = ,… 는 로컬 단일 형태의 모음입니다.이들 양식은 에 의해 정의된 단일 형태의 행렬에 넣을 수 있다.
을(를) 통해 의 로컬 연결 양식을 호출함 임의 섹션 → 는 제품 규칙을 다음과 같이 사용하여 A의 에서 계산할 수 있다.
로컬 섹션 도 로컬 프레임 를) 기준으로 사용하여 열 벡터로 행렬 표기된 경우,
그리고 정규 행렬 곱셈을 사용하여 쓸 수 있다.
여기서 은(는) 외부 파생상품을(를) 기둥 벡터로의 각 구성요소에 적용하는 속기법이다.이 표기법에서는 = + 으로 표기하는 경우가 많다이러한 의미에서 연결은 어떤 사소한 일체의 연결에 의해 완전히 국소적으로 지정된다.null
연결 집합의 #Affine 속성에서 설명했듯이, 어떤 연결도 내형성 가치의 단일 형태에 의해 다른 연결과 다르다.이러한 관점에서 연결원형 은 연결 orph과 같은 내형성 값 단형이다 \ _{UU {\는 U 의 사소한 연결 d displaystyle 와 다르다 U 이(가) 에 대한 사소한 집합이기 때문에 존재하는 경우
Christoffel 기호에 대한 관계
사이비-리만 기하학에서 레비-시비타 연결은 흔히 연결 단 A AChristoffel 기호 j k {\ _ k의 관점에서 쓰여진다 접선만 있는 것이 아니라 어떤 벡터 번들에서도 Christoffel 기호를 정의할 수 있다.사이비 리만족 다람쥐의 털이를 위해, 벡터 E → M → {\ M에 대한 공개 하위 집합일 뿐 아니라, 이(가) M 에 대한 로컬 차트일뿐 아니라, 로컬 x =(x ,, , , , , , )를 인정한다고 가정합시다
이러한 로컬 차트에는( 1,이 제공하는 차등 원폼에 대한 구별되는 로컬 프레임이 있으며 로컬 연결 원폼 i 는 이 기준으로 확장될 수 있다.
로컬 스무스 함수 i : U → {\ i은는) U {\displaystyle 위에 있는 over 의 Christoffel 기호를 불렀다= 과and {\}은(는) Levi-Civita 연결로, 이 기호들은 사이비-리만 기하학의 크리스토펠 기호와 정확히 일치한다.null
로컬 좌표에서 {\ \이(가) 작동하는 방식에 대한 표현은 로컬 차트 및 Christoffel 기호에 따라 더 확장될 수 있다.
로컬 좌표 접선 벡터 x {\ {\}}}}}}과와) 이 식을 수축하면 다음이 된다.
로컬로 정의된 연산자의 컬렉션을 정의함
라는 재산으로
지역소요화 변경
Suppose is another choice of local frame over the same trivialising set , so that there is a matrix of smooth functions relating and 정의됨
프레임 에 대한 로컬 연결 양식 의 구성을 추적하면 e {\에 대한 연결 단 형식 이(가)에 의해 제공된다는 것을 알게 된다
여기서 - =(( - ) ) 은g {\}에 대한 역행렬을 나타낸다. 행렬 표기법에서는 이를 수 있다
여기서 은(는) 매트릭스 의 외부 파생 모델을 구성요소별로 취함으로써 주어진 1-모수 행렬이다.null
= 인 경우은 접선 번들이고 }은 M 의 좌표 변환의 자코비안이며 Levi-Civita 연결부의 크리스토펠 기호 변환에 대한 긴 공식은 위의 연결 형식의 보다 간결한 변환 법칙에서 복구할 수 있다.null
병렬 운송 및 홀노노미
A connection on a vector bundle defines a notion of parallel transport on along a curve in . Let be a smooth path in . A section 을(를) 따라가는의 은(는) 다음과 같은 경우 평행하다고 한다.
for all . Equivalently, one can consider the pullback bundle of by . This is a vector bundle over with fiber over . The connection on pulls back to a connection on . A section of is parallel if and only if )= 0
▼ 이(가) 에서 까지의 경로라고 가정합시다 병렬 섹션을 정의하는 위의 방정식은 1차 일반 미분 방정식(cf)이다.위와 같은 국소적 표현)은 가능한 각 초기 조건에 대해 고유한 해결책을 가지고 있다.즉, 의 각 v 에 E \와 s ( 0 ) =의 고유한 병렬 전송 맵을 정의하십시오
by . It can be shown that is a linear isomorphism, with inverse given by following the same procedure with the reversed path from to .
병렬 전송에서 연결의 공변량 파생 모델을 복구하는 방법.The values of a section are parallel transported along the path back to , and then the covariant derivative is taken in the fixed vector space, the fibre 위에
병렬 전송을 하여 M}의 x 에 있는 연결 의 홀로노미 그룹을 정의할 수 있다 이 그룹은 루프에서 가져온 모든 병렬 전송 맵으로 구성된의 하위 그룹이다 x
연결은 다음과 같이 병렬 운송 운영자로부터 복구할 수 있다.If is a vector field and a section, at a point pick an integral curve for at .각 (- ,) {\ t에 대해 우리는: ()→ for the parallel transport map traveling along from to . In particular for every , we have 그러면 t (( t)는 벡터 E 에 곡선을 정의하는데, 이 곡선은 구별될 수 있다.공변량 파생상품은 다음과 같이 회수된다.
는 E 섬유 사이의 모든 병렬 전송 이소모르프 을(를) 지정하고 위의 표현을 의 정의로 취함으로써 연결의 동등한 정의가 주어지는 것을 보여준다
The curvature of a connection on is a 2-form on with values in the endomorphism bundle E 즉,
그것은 표현으로 정의된다.
where and are tangent vector fields on and is a section of . One must check that is -linear in both 과 이며, 실제로 {\E}의 번들 내형성을 정의한다
위에서 언급한 바와 같이 공변량 외부 파생상품 은(는) E{\ 값 형식에 따라 행동할 때 0으로 제곱할 필요가 없다.그러나 d 2 }}은 엄격히 제한된다(: C () C -선형).이는 End (에 값이 있는 2-form에서 유도됨을 의미한다이 2-형식은 위에서 제시한 곡률형이다. - 값 {{\에 대해,
평평한 연결은 곡률 형태가 동일하게 사라지는 연결이다.null
국부형식과 카르탄의 구조방정식
곡률 형태는 카르탄의 구조 방정식이라고 하는 국부적인 설명을 가지고 있다.에 대한 오픈 서브셋 U 에 로컬 형식 이(가) 있는 경우
에이 표기법을 명확히 하기 위해, 이(가) 내형성 값 단형이며, 따라서 국부 좌표에서는 단형 행렬의 형태를 취한다는 점에 주목한다. 연산에서는 외부 파생상품 구성요소를 이 행렬에 현명하게하고, A{ {\A\ A은 행렬 곱셈을 나타내며, 여기서 구성요소는 곱하기보다 쐐기로 고정된다.null
In local coordinates on over , if the connection form is written f또는 로컬 내형성 A = (( ) i의 모음으로 다음 중 하나는
크리스토펠 기호 의 관점에서 이것을 더욱 확대하면 리만 기하학에서 익숙한 표현이 나온다.즉 = 이(가) U에 대한의 섹션인 경우
여기서 =( i ) j는 F 의 전체 곡률 텐서인데 리만 기하학에서는 리만 곡률 텐서(Remanian 곡률 텐서)로 식별된다.null
It can be checked that if we define to be wedge product of forms but commutator of endomorphisms as opposed to composition, then , and with this alternate notation the Cartan structure equation takes the form
이 대체 표기법은 주성분 연결 이론에서 일반적으로 사용되는데, 대신 우리는 연결 형태{\을 사용하고, Lie 대수적으로 평가된 단일 형태로서 구성의 개념이 없다(내형성의 경우와 달리), 그러나 Lie 괄호 개념은 존재한다.null
이 상이한 관습은 매트릭스 값 단일 형태의 쐐기 생산물에서 아인슈타인 표준 표기법과 다른 매트릭스 곱셈 순서를 사용한다.null
비안치 정체성
리만 기하학에서 두 번째(차동) 비안치 아이덴티티의 버전은 어떤 벡터 번들에도 연결을 유지한다.벡터 번들 → 의 연결 이(가) ) 에 내형성 연결을 유발한다는 점을 기억하십시오이 내형성 연결은 그 자체로 외부 공변성 파생상품이 있는데, 는 이를 애매하게 d 곡률성은 세계적으로 정의된 -값의 2-형식이므로, 외부 공변성 파생상품을 거기에 적용할 수도 있다.비앙치 정체는 이렇게 말한다.
= .
이는 리만 다지관의 경우 비안치 정체성의 복잡한 텐서 공식을 간결하게 포착하고, 국부좌표에서의 연결과 곡률의 확대로 이 방정식에서 표준 비안치 정체성으로 번역할 수도 있다.null
일반적인 연결에 대한 첫 번째(알제브라틱) 비안치 정체성의 일반적에는 아날로그가 없으며, 이는 레비-시비타 연결의 특수 대칭을 이용하기 때문이다.즉, = T 의 벡터 번들 인덱스를 이용하는 한 가지 취약점메트릭을 사용하여 지수를 낮추거나 올린 후 곡률 R 에 TM을(를) ∗ {\에서 나오는 등가 번들 지수와 바꿀 수 있다.For example this allows the torsion-freeness condition to be defined for the Levi-Civita connection, but for a general vector bundle the -index refers to the local coordinate basis of 및 I , j 및 E의 로컬 좌표 프레임에 대한 표시)= E 그러나 특수한 상황에서 를 들어E {\E}의순위가 M {\M}의 치수와 같으며 납땜 형식을 선택한 경우, 땜납을 사용하여 지수를 교환하고 Levi-Civita 연결이 아닌 부착 연결에 대한 비틀림 개념을 정의할 수 있다.null
→ [\ \nabla }}: 벡터 번들 E → M 을를) 연결하면 언제 동등하다고 간주할 수 있는지 묻는 것이 당연하다There is a well-defined notion of an automorphism of a vector bundle . A section is an automorphism if is invertible at every point 이와 같은 자동형태를 E 의 게이지 변환이라고 하며 모든 자동형태를 게이지 그룹이라고 하는데, 흔히 { 또는 (게이지 변환 그룹은 벡터 번들의 프레임 번들(E )의 섹션 공간으로 깔끔하게 특성화할 수 있다이는 자연스럽게 엔드({광고}({\mathcal{F}(E)}({\mathcal{F}(E)})자체로 식별되는 조정 번들 광고((F){\displaysty \operatorname{E}(E)}과혼동해서는 안 된다.The bundle is the associated bundle to the principal frame bundle by the conjugation representation of on itself, , and has fibre the same general linear group where . Notice that despite having the same fibre as the frame bundle and being associated to it, 은(는) 프레임 번들과 동일하지 않으며, 심지어 기본 번들 자체도 동일하지 않다.게이지 그룹은 = (( E). ))로 동등하게 특성화할 수 있다
변환 의 {\은(는) ∈ ) 섹션에 작용하므로, 결합에 의한 연결에 작용한다.명시적으로 }이(가) E{\에 연결된 경우을(를) 기준으로 정의함
Since is an affine space modelled on , there should exist some endomorphism-valued one-form such that . Using the definition of the endomorphism connection induced by , it can be seen that
A - ( ) - nabla }(
두 연결부는 게이지 그룹의 작용에 의해 차이가 나는 경우 게이지 등가라고 하며, 지수 B= A/ {\b는 에 있는 모든 연결부의 모듈리 공간이다 일반적으로 이 위상학적 공간은 다지관 또는 다지관이 아니다.하우스도르프 공간도 있지만, 그 안에는 게이지이론과 물리학에 상당한 관심이 있는에 있는 양-밀스 연결부의 모듈리 공간이 포함되어 있다.null
Levi-Civita 연결은 특별한 리만니아 연결로, 접선 번들의 미터법 호환 연결로 비틀림도 없다.그것은 독특하다. 어떤 리만족의 연결고리라도 주어진다면, 토션 없는 하나의 동등한 연결고리만을 항상 찾을 수 있다는 점에서."동등"은 곡률 텐셔너는 다를 수 있지만 동일한 메트릭과 호환됨을 의미한다. 원격 병렬을 참조하십시오.리만어 연결과 해당 리바이스-시비타 연결 사이의 차이는 콘스탄션 텐서(tension tensor)에 의해 주어진다.