카르탄 연결

Cartan connection

미분 기하학의 수학적 분야에서 카르탄 연결아핀 연결의 개념을 유연하게 일반화하는 것이다.또한 땜납 형태를 이용하여 주성분 다발의 기하학이 베이스 다지관의 기하학에 묶여 있는 주성분 연결의 일반개념의 전문화로도 볼 수 있다.카르탄 연결부는 균일한 공간에 모델링된 다지관의 기하학을 설명한다.

카르탄 연결 이론은 엘리 카탄프레임 이동 방법(리페르 모바일)[1]의 일부로 개발했다.주요 아이디어는 당면한 특정 기하학적 문제에 적응한 이동 프레임을 사용하여 연결 형태곡률에 대한 적절한 개념을 개발하는 것이다.상대성 또는 리만 기하학에서 직교 프레임은 카르탄 연결로 리바이-시비타 연결에 대한 설명을 얻기 위해 사용된다.Lie 그룹의 경우 Maurer-Cartan 프레임을 사용하여 그룹의 Maurer-Cartan 형식을 Cartan 연결로 본다.

카르탄은 리만 기하학의 차등 기하학뿐만 아니라 리 그룹균일한 공간을 포함한 일부 비금속 구조를 갖춘 다지관의 차등 기하학도 함께 개편했다.'카탄 커넥션'이라는 용어는 흔히 카르탄이 (시사-)리만, 아핀, 투사적, 또는 순응적 연결을 공식화한 것을 가리킨다.이러한 연결은 가장 일반적으로 사용되는 카르탄 연결이지만, 보다 일반적인 개념의 특별한 경우다.

카르탄의 접근방식은 처음에는 그것이 관여하는 프레임의 선택 때문에 조정될 수 있는 것으로 보인다.그러나 그렇지 않고, 그 개념은 주체다발의 언어를 사용하여 정확하게 설명할 수 있다.카르탄 연결은 특정 관련 번들에 공변량 파생상품과 기타 차동 연산자를 유도하므로 병렬 운송의 개념이다.그들은 기하학과 물리학에 많은 응용을 가지고 있다: 몇몇 예를 들어 프레임 이동 방법, 카르탄 형식주의, 아인슈타인-카탄 이론을 보라.

소개

그 근원에서 기하학은 한 공간에 있는 다른 물체들 사이의 결합 개념으로 구성된다.19세기 후반에는 일반적으로 우주에 있는 Lie 집단의 행동에 의해 일치 관념이 제공되었다.거짓말 집단은 일반적으로 상당히 경직적으로 작용하며, 따라서 카르탄 기하학은 곡면성이 존재할 수 있도록 이 일치성의 개념을 일반화한 것이다.평평한 카르탄 기하학(곡률 제로)은 국소적으로 균일한 공간과 같기 때문에 클라인이라는 의미에서 기하학이다.

클라인 기하학G의 Lie 부분군 H와 함께 Lie 그룹 G로 구성된다.GH는 함께 그룹 G가 좌변환에 의해 작용하는 균일공간 G/H를 결정한다.클라인의 목적은 G의 작용에 의해 합치된 균일한 공간에 살고 있는 물체를 연구하는 것이었다. 카르탄 기하학은 클라인 기하학의 복사본을 다지관의 각 지점에 부착함으로써 클라인 기하학의 개념을 확장하고, 이 사본을 다지관에 접하는 것으로 간주한다.따라서 다지관의 기하학은 클라인 기하학과 본질적으로 동일하지만, 전체적으로 상당히 다를 수 있다.특히 카르탄 기하학에는 더 이상 G의 작용이 잘 정의되어 있지 않다.단, Cartan 연결부평행 운송을 통해 다지관 내의 최소 모델 공간을 연결하는 방법을 제공한다.

동기

3차원 유클리드 공간 R에서3 매끄러운 표면 S를 고려한다.S는 어느 지점에 가깝게 그 지점의 접선 평면에 의해 근사하게 추정될 수 있는데, 이것은 유클리드 공간의 부속 공간이다.아핀 서브스페이스는 모델 표면이다. 모델 표면3 R에서 가장 단순한 표면이며 평면의 유클리드 그룹 아래에서 균일하기 때문에 펠릭스 클라인얼랑겐 프로그램이라는 의미에서 클라인 기하학이다.모든 매끄러운 표면 S는 각 지점에서 그것에 접하는 독특한 부착면을 가지고 있다.S의 각 지점에 하나씩 붙어 있는 R3 있는 그러한 모든 평면의 가족을 접선 평면의 합선이라고 한다.접선 평면은 S를 따라 "롤링"할 수 있으며, 그렇게 함으로써 접촉점은 S에서 곡선을 추적한다.반대로 S의 곡선이 주어진 경우 접선 평면은 그 곡선을 따라 굴릴 수 있다.이는 아핀(사실 유클리드) 변환에 의해 곡선을 따라 다른 지점에서 접선면을 식별할 수 있는 방법을 제공하며, 아핀 연결이라고 하는 카르탄 연결의 예다.

또 다른 예는 모형 표면으로서 뫼비우스 집합의 순응변환 하에서 동질적인 구를 사용하여 평면을 대체함으로써 얻어진다.구의 반지름이 결정되지 않았기 때문에 각 지점마다 매끄러운 표면 S에 접하는 독특한 구가 더 이상 존재하지 않는다.이는 구가 접촉점에서 S같은 평균 곡률을 갖는다고 가정하면 고칠 수 있다.이러한 구들은 다시 S의 곡선을 따라 굴릴 수 있으며, 이것은 S정합성 연결이라고 불리는 다른 형태의 카르탄 연결을 장착한다.

19세기 후반과 20세기 초반의 미분 기하학자들은 표면의 기하학을 묘사하기 위해 평면이나 구와 같은 모델 패밀리를 사용하는 것에 매우 관심이 있었다.표면 S의 각 점에 부착된 모형 공간의 집단을 조합이라고 한다. 앞의 예에서는 그러한 조합의 표준적 선택이 있다.카르탄 연결은 S의 곡선을 따라 조합에서 모델 공간 사이의 식별을 제공한다.이러한 식별의 중요한 특징은 S와 모델 공간의 접촉점이 항상 곡선과 함께 움직인다는 것이다.이 일반적인 조건은 카르탄 연결부의 특성이다.

아핀 연결의 현대적 처리에서 접촉점은 접선면(당시 벡터 공간)의 원점으로 간주되며, 원점의 움직임은 번역에 의해 보정되므로 카르탄 연결은 필요하지 않다.그러나 일반적으로 이것을 할 수 있는 표준적인 방법은 없다: 특히 구면 일치의 일치적 연결의 경우, 접촉점의 운동을 나머지 운동과 자연적인 방법으로 분리할 수 없다.

이 두 예제에서 모델 공간은 균일한 공간 G/H이다.

  • 첫 번째 경우, G/H는 아핀 평면이며, G = Aff(R2) 평면의 아핀 그룹과 H = GL(2) 해당 일반 선형 그룹이다.
  • 두 번째 경우 G/H는 등각(또는 천체) 구이며, G = O(3+,1) 로렌츠 그룹HR에서3,1 null 라인의 스태빌라이저로 되어 있다.

S의 카르탄 기하학은 G의 요소를 사용하여 이러한 복사본을 식별하는 곡선을 따라 "병렬 이동" 개념과 함께 S의 각 지점에서 모델 공간 G/H의 복사본으로 구성된다.이러한 병렬 운송의 개념은 접촉점이 항상 곡선을 따라 움직인다는 직관적인 의미에서 일반적이다.

일반적으로 G를 부분군 H로 하고, M을 G/H와 같은 차원의 다지관으로 한다.그렇다면 대략적으로 M의 카르탄 연결은 H의 감소에 관한 일반적인 G 연결이다.

아핀 연결

다지관 M어핀 연결M프레임 번들 (또는 동등하게, M의 접선 번들 (벡터 번들)에 대한 연결)이다. 카르탄 연결의 주요 관점은 ("fr의 일반적 또는 추상적 이론"이라고 불릴 수 있는) 주번들의 맥락에서 이러한 개념을 상세히 기술하는 것이다.ames").

HLee group, Lie 대수학. 다음 주 H번들(H-bundle)은 M 에 있는 섬유 다발 P로 섬유에 자유롭고 전이적인 P에 대한 H의 부드러운 작용을 가지고 있다.따라서 P는 매끄러운 지도 π: P → M국소적으로 보이는 사소한 묶음 M × H → M. M의 프레임 묶음은 주요 GL(n)-번들인 반면, M리만 매니폴드라면 정형 프레임 묶음은 주 O(n)-번들인 것이다.

Rh Ph ∈ H의 (오른쪽) 작용을 나타내도록 한다.이 작용의 파생상품은 의 각 원소 ξ에 대해 P수직 벡터 장을 정의한다: h(t)가 h(0)=e(identity 요소)와 h(0)=mess를 가진 1-parameter subgroup인 경우 해당 수직 벡터 필드는 다음과 같다.

P에 대한 주 H 연결1-형태 : P → h{\ TP\to P 있는 {\에 값이 있으며 다음 .

  1. Ω(Xξ) = ξ(P에서 동일)에 대해.

직관적인 아이디어는 Ω(X)이 X수직 성분을 제공하는 것으로, π 섬유와 H의 이형성을 이용하여 의 원소를 가진 수직 벡터를 식별한다

프레임다발에는 솔더형이라고 하는 추가적인 구조가 있는데, 이것은 P의 주된 접속을 절대 평행주의라고 하는 P의 접선다발의 사소한 것으로 확장시키는 데 사용할 수 있다.

일반적으로 M에 차원 n이 있고 HRn 작용한다고 가정한다(이것은 어떤 n차원 실제 벡터 공간일 수 있다).M 위에 있는 주 H번들 P땜납 형태는 R 값n 1-형식 θ: TP → Rn 수평적이고 등가변성이 있어 TM에서 관련 번들 P ×H Rn 묶음 동형성을 유도한다.이것은 또한 묶음 이형성일 필요가 있다.프레임 번들에는 (수동 또는 tautological) 솔더 형태가 있는데, 이 솔더 형태는 프레임 p에 관해서 접선 벡터 X ∈ TP를pp(X) ∈ TM의π(p) 좌표로 송신한다.

그 한쌍(ω, θ)( 주된 연결 및 땜납 형태), 리 대수 g{\displaystyle{\mathfrak{g}에 값을 사용하여}}은 g{\displaystyle{\mathfrak{g}과}각 접선 공간 TpP의 유질 동상}를 제공하는 반직접 제품 GHRn과,에 대한 주요 연결 α을 유발하는 P에1-form η을 정의합니다. 월e 관련 주체 G-번들 P ×H G.이건 카르탄 연결부야

카르탄 연결은 두 가지 방법으로 연결부를 일반화한다.

  • Rn 대한 H의 작용은 효과적일 필요가 없다.이를테면 이론에 스핀 연결을 포함시킬 수 있는데, 여기서 H는 직교 그룹 O(n)가 아닌 스핀 그룹 Spin(n)이다.
  • 그룹 G는 Rn 함께 H의 반간접적인 제품이 될 필요는 없다.

모형 공간으로서의 클라인 기하학

클라인의 Erlangen 프로그램은 기하학이 동질적 공간에 대한 연구로 간주될 수 있다고 시사했다. 특히, 그것은 19세기 (그리고 이전)의 기하학에 대한 많은 관심의 기하학들에 대한 연구다.클라인 기하학은 공간 내의 움직임에 대한 법칙(고전 유클리드 기하학유클리드 변환과 유사함)과 함께 공간 변환의 거짓말 그룹으로 구성되었다.이러한 일반화된 공간은 Lie 하위그룹에 의한 Lie 그룹의 인지도 공간과 동질적인 부드러운 다지관의 차이인 것으로 밝혀졌다.이러한 동질적 공간들이 가지고 있는 여분의 미분 구조는 미적분을 이용하여 그 기하학을 연구하고 일반화할 수 있게 해준다.

Cartan의 일반적인 접근법은 Lie 그룹 G와 Lie 하위 그룹 H가 각각 연관된 Lie g { 및 h 와) 함께 제공하는 부드러운 클라인 기하학으로 시작하는 것이다.PG기본 균질공간으로 하자. 클라인 기하학은 H의 올바른 작용에 의해 P지수 P/H에 의해 주어진 균질공간이다.표준 투영의 섬유에 대한 우측 H-반응이 있다.

π : P → P/H

Rgh = gh로 부여한다.더욱이 π의 각 섬유H. P의 사본으로 P/H 위에 주 H 번들 구조를 가지고 있다.[2]

P의 벡터 필드 X는 dπ(X) = 0이면 수직이다. ξ ∈ h 는 ξ과 연관된 H의 1-모수 부분군의 오른쪽 작용의 파생물을 취함으로써 표준 수직 벡터 필드 Xξ 발생시킨다.PMaurer-Cartan 형식 η은 Lie 대수학으로 각 접선 공간을 식별하는 P단일 형식이다.다음과 같은 속성을 가지고 있다.

  1. Ad(h) h* = H 단위의 모든 H에 대해 η
  2. η(Xξ) = 모든 for에 대한 ξ
  3. 모든 gP에 대해 η {을(를) 가진 TP의g 선형 이형성을 제한한다(η는 P절대 평행이다).

이러한 성질 외에 properties은 구조(또는 구조) 방정식을 만족시킨다.

반대로 M에 대한 다지관 MM에 대한 주형 H번들 P, 그리고 이러한 성질을 가진 1-형식 given주어진다면 P는 주성동성 다발 GG/H에 대한 H번들로서 국소 이형성이라는 것을 보여줄 수 있다. 구조 방정식은 그러한 국소 이형성이 존재하기 위한 통합성 조건이다.

카르탄 기하학은 부드러운 클라인 기하학의 일반화로서, 구조 방정식을 가정하지 않고 곡률 개념을 정의하는 데 사용된다.따라서 클라인 기하학은 카르탄 기하학의 평평한 모델이라고 한다.[3]

유사그룹

카르탄 연결부는 다지관의 유사 그룹 구조와 밀접하게 관련되어 있다.각각은 리만 기하학유클리드 공간에서 모델링되는 방식과 유사한 방식으로 클라인 기하학 G/H모델링된 것으로 생각된다.다지관 M에서는 모델 공간 G/H의 복사본을 M의 각 지점에 부착하는 상상을 한다.그런 다음 모델 공간의 대칭은 인근 포인트의 모델 공간이 G의 변환에 의해 연관되어 있다고 가정하여 카르탄 기하학 또는 유사 그룹 구조로 구축된다.카르탄 기하학과 유사그룹 기하학의 근본적인 차이점은 카르탄 기하학의 대칭성이 G최소 변환에 의해 극소수의 근접점(즉, G의 Lie 대수학의 요소)과 유사하게 가까운 유사 집단 구조의 대칭 개념이 물리적으로 9개의 지점에 적용된다는 것이다.다지관 내에 경치된

특수 좌표계를 이용하여 점들에 공간을 부착하는 과정, 그리고 수반되는 대칭들을 구체적으로 실현할 수 있다.[4]p m M 지점에는 맵핑 φp : Up → G/H함께 p근린 Up 주어진다. 이렇게 하여 각 지점에서 국소적으로 MG/H의 오픈 서브셋으로 실현하여 모델 공간을 M 지점의 각 지점에 부착한다. 우리는 이것을 M 지점의 좌표계 계열로서, M 지점의 파라메트릭으로 생각한다.이러한 파라메타화된 좌표계 φ과 φ′ 두 개는 다음같이p p에 의해 파라메타된 요소 h ∈ H가 있는 경우 H 관련이다.

φ′p = hp φp.[5]

이 자유는 대략 물리학자들의 게이지 개념에 해당한다.

근처 점들은 곡선과 결합하여 연관된다.pp′이 원곡선 pt 결합된 M의 두 점이라고 가정하자.그런 다음 pt 곡선을 따라 모델 공간의 이동 개념을 제공한다.[6]Lett : : G/H → G/H 는 (로컬하게 정의된) 합성 지도가 된다.

τt = φpt o op0−1.

직관적으로 τ은t 운송지도다.유사그룹 구조는 τttt에 대한 모델 공간의 대칭이어야 한다: connection τt G. 카르탄 연결은 τ의 파생상품이 모델 공간의 대칭이어야 한다: τ 0g, G의 Lie 대수학.

Cartan의 전형적으로, Cartan 연결의 개념을 도입하는 한 가지 동기는 극소수의 관점에서 유사 집단의 특성을 연구하기 위한 것이었다.카르탄 연결은 운송 지도 τ′의 파생물이 통합될 수 있을 때 정확하게 유사 집단을 정의하여 좌표계 사이의 참(G-값) 전송 지도를 복구한다.따라서 회사에는 통합성 조건이 있으며, 통합성 조건을 실현하기 위한 카르탄의 방법은 차등 형태를 도입하는 것이었다.

이 경우 τ′0p점에서 미분형식을 다음과 같이 정의한다.p에서 시작하는 M에서 γ(t) = pt in M의 곡선의 경우, 우리는 접선 벡터 X와 운송 맵 τ을tγ 연결할 수 있다.파생상품을 가져가면 선형지도가 결정된다.

그래서 θ은 M에 g-값 차등 1-형식을 정의한다.

그러나 이 형식은 파라메타화된 좌표계의 선택에 따라 달라진다.h : UH가 두 파라메타화된 좌표계 φ과 φ′ 사이의 H 관계인 경우, values의 해당 값도 다음과 같이 연관된다.

여기서 Ω은H H의 Maurer-Cartan 형식이다.

형식 정의

균일한 공간 G/H로 모델링된 카르탄 기하학은 곡률의 존재를 허용하는 이 기하학의 변형이라고 볼 수 있다.예를 들면 다음과 같다.

그 정의에는 크게 두 가지 접근법이 있다.두 가지 접근방식에서 모두 M치수 n의 부드러운 다지관이고, H치수 m의 Lie 그룹이며, Lie h {\ G치수 n+m의 Lie 그룹이며, Lie g H를 부분군으로 포함한다.

게이지 전환을 통한 정의

카르탄 연결은 M에서 개방형 집합 U좌표 지도책 각 차트에 정의된 g 값 1-form θ으로U 구성되며[7][8], 다음과 같이 구성된다.

  1. θU : → g
  2. θU mod : TUu/ h {g모든 u U에 대한 선형 이형성이다.
  3. 지도책의 모든 차트 U와 V 쌍에 대해 다음과 같은 매끄러운 매핑 h : U ∩ V → H가 있다.
여기서 Ω은H HMaurer-Cartan 형식이다.

θ이U 좌표계로부터 왔을 때의 경우와 유사하게 조건 3은 φU h로V to과 관계가 있다는 것을 의미한다.

카르탄 연결의 곡면성은 다음과 같이 차트에 정의된 2-폼의 시스템으로 구성된다.

Ω이U 호환성 조건을 충족:

θ과U θ형식이V 상기와 같이 함수 h : U ∩ V → H에 의해 관련되면 ΩV = Ad(h−1) ΩU

정의는 좌표계와 독립적으로 이루어질 수 있다.

지도책의 모든 U에 대한 해체 연합의 일원이다.동등성 관계 ~는 쌍(x,h1) u1 U × H 및 (x, h2) u2 U × H에 대해 정의되며, 다음과 같다.

(x,h1) ~ (x, h2) 만일1 x ∈ U ∩ U2, θ가U1 h로 θ과U2 관계가 있다면, h2 = h(x)−1 h1.

다음 P는 M주요 H 번들이며, 연결 양식 θ의U 호환성 조건은 P에 정의된 -값 1-폼 η으로 들어 올린다는 것을 의미한다(아래 참조).

절대 평행도를 통한 정의

P를 M 에 있는 주요 H 묶음이 되게 하라. Cartan 연결부[9] g{\{\ -P 1-form η이 표시되며, 다음과 같이 된다.

  1. 모든 H in H에 대해, Ad(h)Rrh* = η
  2. ,(Xξ) = ξ의 모든 ξ에 대해
  3. P의 모든 P에 대해, η의 제한은 접선 공간 TP에서p 까지 선형 이형성을 정의한다

마지막 조건을 카르탄 조건이라고 부르기도 한다: P에 절대 평행도를 규정하는 것을 의미한다.두 번째 조건은 η이 이미 수직 벡터에 주입되어 있고 / h 의 값을 갖는 1-form formmod {\mathfrak 이(가 수평임을 의미한다.벡터 공간 / 은(는) H의 부선 표현을 사용한 으로,첫 번째 조건은 conditionmod 등각이라는 것을 의미한다.따라서 TM에서 관련 번들 g/ 에 이르는 번들 동형성을 정의한다카르탄 조건은 이 묶음 동형성이 이형성인 것과 동등하므로 η모드 땜납 형식이다.

카르탄 연결의 곡률은 다음과 같이 정의된 값 2-form Ω이다.

카르탄 연결의 이 정의는 주 연결의 정의와 매우 유사하다는 점에 유의하십시오.그러나 몇 가지 중요한 차이점이 있다.첫째, 1형식 은 g 의 값을 취하지만 H의 작용 하에서는 등가변성일 뿐이다.정말 G다발이 없고 G 작용이 없기 때문에 전체 그룹 G 하에서는 등가변성이 있을 수 없다.둘째로, 1-형식은 절대 평행주의로, η은 (단순히 수직공간에 투영 연산자가 되는 것이 아니라) 주결합에서 추가방향의 거동에 관한 정보를 산출한다는 것을 직관적으로 의미한다.구체적으로 땜납 형태의 존재는 다지관의 기본 미분 위상에 카르탄 연결을 결합(또는 납땜)한다.

이 형태의 카르탄 연결에 대한 직관적인 해석은 클라인 기하학과 관련된 tautological principle bunding을 결정한다는 것이다.따라서 카르탄 기하학은 클라인 기하학의 변형된 유사점이다.이 변형은 대략 M의 각 지점에 모델 공간 G/H의 복사본을 부착하고 해당 모델 공간이 접촉점에서 다지관과 접선(그리고 무한정 동일)된 것으로 간주하기 위한 처방이다.이어 접촉점에 있는 클라인 기하학의 tautological 번들 G → G/H의 섬유는 번들 P의 섬유로 식별된다.그러한 각각의 섬유(G)는 G용 Maurer-Cartan 양식을 운반하며, Cartan 연결은 접촉점에서 수집된 이러한 Maurer-Cartan 양식을 전체 묶음에 정의된 일관성 있는 1-형태 η으로 조립하는 방법이다.H의 요소만이 Maurer-Cartan 방정식 Ad(h)Rrh* = η에 기여한다는 사실은 G의 다른 요소들이 모델 공간을 접촉점에서 멀리 이동시켜 더 이상 다지관에 접하지 않게 된다는 직관적인 해석을 가지고 있다.

이 용어로 정의된 카르탄 연결에서, 섹션 sU : U → P주어진* P국소적 사소한 부분들의 컬렉션을 취하여 (게이지 정의에서와 같이) 다지관의 1-폼 시스템으로서 카르탄 연결을 복구할 수 있다U.

주 연결로

카르탄 연결을 정의하는 또 다른 방법은 특정 주계약 G번들에서의 주접합부로서이다.이러한 관점에서 카르탄 연결은

  • M에 대한 주된 G번들 Q.
  • Q의 주 G 연결 α(카탄 연결)
  • Q의 주요 H-subbundle P(즉, 구조물 그룹의 축소)

α to P풀백 η이 카르탄 조건을 만족하도록 한다.

Q의 주접합부 α는 관련 묶음 HP × G로 Q를 취함으로써 α 형식에서 회복할 수 있다. 반대로, α 형식은 포함 PQ를 따라 당겨서 α에서 회복할 수 있다.

α는 주된 연결점이기 때문에 Q관련된 모든 번들에 대한 연결을 유도한다.특히 M에 걸쳐 있는 균질 공간의 번들 Q G× G/H는 섬유들이 모델 공간 G/H의 복사본인 연결성이 있다.구조집단을 H로 줄이는 것은 E = Q ×G G/H의 섹션 s에 의해 동등하게 주어진다.M에서 X P / h }{\의 섬유는 X에 대한 Q ×G G/H 섬유에 대한 s(x)의 접선 공간으로 볼 수 있다.따라서 카르탄 조건은 모델 공간이 단면 s를 따라 M에 접한다는 직관적인 해석을 가지고 있다.접선 공간의 이러한 식별은 연결에 의해 유도되기 때문에, s에 의해 주어진 표시 지점은 항상 평행 운송 하에서 이동한다.

Ehresmann 연결에 의한 정의

그러나 카르탄 연결을 정의하는 또 다른 방법은 앞의 절의 번들 E = Q ×G G/H에 있는 Ehresmann 연결이다.[10]카르탄 연결은 다음으로 구성된다.

  • 파이버 번들 vertical : E → M (파이버 G/H 및 수직 공간 VE ⊂ TE 포함)
  • a절 : M → E.
  • A G-연결 θ : TE → VE
*x : TMx → VE는s(x) 모든 xM에 대한 벡터 공간의 선형 이형성이다.

이 정의는 도입부에 제시된 직관적인 아이디어를 엄격하게 만든다.첫째, 선호되는 섹션 s는 다지관과 접선 공간 사이의 접점을 식별하는 것으로 생각할 수 있다.특히 마지막 조건은 x에서 M의 접선공간이 접촉점에서 모델공간의 접선공간과 이소모픽임을 의미한다.따라서 모델 공간은 이런 방식으로 다지관과 접하게 된다.

x에서0 모델 공간으로 곡선 개발

이 정의는 또한 개발의 개념을 눈에 띄게 집중시킨다.xt M의 곡선인 경우, E의 Ehresmann 연결부는 곡선 끝점을 지나는 섬유에서 초기 지점의 섬유로 연결된 병렬 전송 맵 τt : E → Extx0 제공한다.특히 E에는 선호하는 섹션 s가 장착되어 있기 때문에, 포인트 st(x)는 x 이상0 섬유로 다시 전송되어 Ex0 곡선을 추적한다.t 곡선을 x곡선의 발달이라고 한다.

이 정의가 위의 다른 정의와 동일하다는 것을 보여주려면, 번들 E에 적합한 이동 프레임 개념을 도입해야 한다.일반적으로 이것은 구조 그룹 G와 함께 파이버 번들의 G 연결에 가능하다.자세한 내용은 Ehresmann connection#Associated 번들을 참조하십시오.

특수 카르탄 연결

환원성 카르탄 연결부

Let P be a principal H-bundle on M, equipped with a Cartan connection η : TP. If is a reductive module for H, meaning that admits an Ad(H)-invariant splitting of vector spaces {\m m - 성분 아핀 연결을 위한 솔더 형태를 일반화한다.[11]세부적으로 η은 {( m {\}} 성분으로 분할된다.

η = η + η.

1-형식 η은 원래 카르탄 번들 P의 주요 H 연결부라는 점에 유의한다.더욱이 1-형식 η은 다음을 만족한다.

η(X) = 모든 수직 벡터 X ∈ TP에 대해 0(η는 수평)
ηh* = 모든 hH. (η−1 오른쪽 H-작용 아래 등가변성)

즉, bundle은 묶음 P의 땜납 형식이다.

따라서 η형식을 갖춘 PM에 (첫 번째 순서) H 구조를 정의한다.η형식은 H-구조물에 대한 연결을 정의한다.

포물선 연결

If is a semisimple Lie algebra with parabolic subalgebra (i.e., contains a maximal solvable subalgebra of ) and G and P are associated Lie groups, then a Cartan connec(G,P, { 에 모델링된 톈(天)을 포물선 카르탄 기하학 또는 단순히 포물선 기하학이라고 한다.포물선 기하학의 구별되는 특징은 인접 공간의 Lie 대수 구조로, 는 G 수직 아공간 { g }에서 발생. 의 하위 골격이며, 킬링 은 p{\ {g / p{\ 사이에 자연스러운 이중성을 유도한다따라서 과(와) 연관된 번들은 등각형 번들과 이형성이 있다.

포물선 기하학에는 다음과 같은 사례와 같이 카르탄 연결의 연구 및 적용에 관심 있는 기하학들이 많이 포함된다.

  • 정합성 연결:여기서 G = SO(p+1,q+1)와 PR에서n+2 null ray의 스태빌라이저다.
  • 투영 연결:여기서 G = PGL(n+1)과 PRP에서n 점의 스태빌라이저입니다.
  • CR 구조 및 Cartan-Chern-Tanaka 연결부: G = PSU(p+1,q+1), P = 투영 Null 하이퍼쿼드릭에서 점의 스태빌라이저.
  • 프로젝트형 연결 연락처:[12]여기서 G = SP(2n+2)와 PR에서n+2 첫 번째 표준 기준 벡터에 의해 생성된 광선의 스태빌라이저다.
  • 5-매니폴드에 대한 일반 순위 2 분포:여기서 G = Auto(Os)는 SO(3,4)의 폐쇄 부분군인 분할 옥토니언대수s O의 자동형성 그룹이며, P는 순수 상상의 분할 옥토니언(O에서s 단위 원소의 직교보)으로 간주되는7 R의 첫 번째 표준 기준 벡터에 의해 확장된 등방성 선의 스태빌라이저와 G의 교차점이다.[13]

관련 차동 연산자

공변 분화

MG/H를 모델링한 카르탄 기하학이라고 가정하고, (Q,α) 연결과 더불어 주요 G-번들, 그리고 (P, α) α의 풀백과 동일한 η으로 H에 상응하는 감소를 한다고 가정한다.VG표현하도록 하고, 벡터 번들 V = Q ×G V를 M 에 형성한다.그러면 Q의 주 G-연결 α는 V에 공변량 파생물을 유도하며, 는 첫 번째 순서 선형 미분 연산자다.

where denotes the space of k-forms on M with values in V so that is the space of sections of V and is the space of sections of H옴(TM, V).V의 어떤 섹션 V에 대해, M에 벡터 필드 X를 갖는 공변량 파생상품 ∇v의 수축은 ∇Xv로 표시되며, 다음과 같은 라이프니즈 규칙을 만족한다.

M의 어떤 매끄러운 기능 f를 위해서.

공변량 파생상품은 P의 카르탄 연결부 from로도 제작할 수 있다.사실, 그걸 이런 식으로 건설을 약간 더 V필요가 없G.[14]의 아니라 완전히 발달한 표현 대신 V는(g{\displaystyle{\mathfrak{g}}}, H)-module:그룹 H리 대수 g{\displaystyle{\mathfrak{g}의 호환되는 묘사로 표현}}. 그 사실을 회상합시다에 일반적인 것이다.월유도 벡터 번들 V의 섹션 V over M은 H 등가 지도 PV로 생각할 수 있다.이것이 우리가 채택해야 할 관점이다.XM의 벡터장이 되게 하라.P의 접선 번들로 가는 우측 변위 리프트 를 선택하십시오.정의

= (X)+ ( X bar {

v가 잘 정의되어 있음을 보여주기 위해서는 다음과 같이 해야 한다.

  1. 선택된 X에서 독립적이다.
  2. 5번 묶음의 한 부분으로 내려갈 정도로 등가성이 있다.

For (1), the ambiguity in selecting a right-invariant lift of X is a transformation of the form where is the right-invariant vertical vector field induced from . So, calculating the covariant신형 리프트 + X 에 대한 파생 모델.

+ ( )= 이후, h는 정체성 요소와 동일한 평준화 h = v h를 차등.

(2)의 경우, v이고X의 {\{\X}}은(는) 우측 상가변성이므로 은(는) 등가변성이라는 점에 유의하십시오.한편 η 역시 등가성이므로, (s v }})\도 등가성이라는 점에 따른다.

기본적 또는 보편적 파생상품

V가 부분군 H의 표현일 뿐 반드시 더 큰 그룹 G를 나타내는 것은 아니라고 가정합시다. ( , V) 을(를) P의 V 값 차동 k-forms의 공간이 되도록 한다.카르탄의 접속이 있는 곳에서는 규범적 이형성이 있다.

given by where and

k에 대해 외부 파생 모델은 1차 주문 운영자 차등 운영자임

따라서 k=0의 경우 차등 연산자를 정의한다.

η은 등가성이기 때문에 v가 등가성이면 Dv := ((dv)도 등가성이기 때문이다.이 복합체는 V=P×HV의 섹션에서 번들 ( 까지 차등 연산자 D로 내려가는 데 따른 것이다이를 기본 또는 범용 파생상품 또는 기본 D-operator라고 한다.

메모들

  1. ^ 비록 카르탄은 1920년대(카탄 1926년)에 들어서야 이 이론을 공식화하기 시작했지만, 그는 훨씬 더 일찍 일반 사상을 많이 활용했다.5가지 변수에 걸친 1910년 파피안 시스템에 대한 그의 주목할 만한 논문의 최고점은 그와 엥겔스가 1894년에 독자적으로 발견한 예외적인 그룹 G2 위해 5차원 동질적 공간에 모델링한 카르탄 연결의 구축이다.
  2. ^ 체발리 1946, 페이지 110.
  3. ^ R. 헤르만(1983년), 카탄에 대한 부록 1-3(1951년)을 참조한다.
  4. ^ 이것은 카탄이 연결을 보는 방식인 것 같다.Cf. Cartan 1923, 페이지 362; Cartan 1924, 페이지 208 특히 ..un reppere définissant un systéme de coordonnés projects...; Cartan 1951 페이지 34.현대 독자들은 이러한 진술, cf에 대한 다양한 해석에 도달할 수 있다.헤르만의 1983년 책 카탄 1951페이지 384–385, 477.
  5. ^ 보다 정확히 말하면 hp φp(p)의 동위원소 그룹에 있어야 하는데, 이는 G에서 H로 이형된 그룹이다.
  6. ^ 일반적으로 이것은 관련성이 있지만 동기에서 기술한 롤링 맵은 아니다.
  7. ^ 샤프 1997.
  8. ^ Lumiste 2001a 대상
  9. ^ 이것이 표준 정의다.Cf. 헤르만(1983년), 카탄 1951년 부록 2; 코바야시 1970, 페이지 127; 샤프 1997; 슬로바키아 1997.
  10. ^ 에흐레스만 1950, 코바야시 1957, 루미스트 2001b 대상
  11. ^ 이러한 관점에서 본 아핀 연결에 대한 치료는 코바야시 & 노미즈(1996, 제1권)를 참조한다.
  12. ^ 예를 들어 Fox(2005)를 참조하십시오.
  13. ^ Saugerschnig 2006; Cap & Saugerschnig 2007 오류: 없음:
  14. ^ 예를 들어 Chap & Gover(2002, Definition 2.4)를 참조하십시오.

참조

책들

  • Kobayashi, Shoshichi (1972), Transformations Groups in Differential Geometry (Classics in Mathematics 1995 ed.), Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-58659-3.
3절. Cartan Connections [127–130 페이지]는 일관되고 투영적인 연결을 통일된 방식으로 처리한다.

외부 링크