연결(기본 번들)

수학, 특히 미분 기하학 및 게이지 이론에서 연결은 묶음 위의 병렬 이동 개념, 즉 인근 지점 위로 섬유를 "연결"하거나 식별하는 방법을 정의하는 장치다.부드러운 다지관 M을 통한 주 G번들 P의 주 G 연결은 그룹 G의 작용과 호환되는 특정 연결 유형이다.

주된 연결은 에레스만 연결 개념의 특별한 경우로 볼 수 있으며, 때로는 에레스만 연결 주체로 불린다.그것은 관련 번들 구조를 통해 P와 연관된 섬유 번들에 (Ehresmann) 연결을 발생시킨다.특히, 관련된 벡터 번들에서 주요 연결부는 공변량 파생상품, 즉 기본 매니폴드의 접선 방향을 따라 해당 번들의 단면을 구별할 수 있는 사업자를 유도한다.임의 주계약에 일반화하는 주계약은 부드러운 다지관의 프레임 묶음에 선형 연결 개념을 번들로 한다.

형식 정의

$let{\displaystyle }$ :${\displaystyle P}$→ M ${\displaystyle \pi$:$P\to M}$ be a smooth principal G-bundle over a smooth manifold ${\displaystyle M}$. Then a principal ${\displaystyle G}$-connection on ${\displaystyle P}$ is a differential 1-form on ${\displaystyle P}$ with values in the Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ of ${\displaystyle G}$ which$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$ -등가변성이며 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$에 있는 기본 벡터 필드의 Lie 대수 생성기를 재현한다$.$

In other words, it is an element ω of ${\displaystyle \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})\cong C^{\infty }(P,T^{*}P\otimes {\mathfrak {g}})}$ such that

1. ${\displaystyle {\hbox{Ad}}_{g}(R_{g}^{*}\omega )=\omega }$ where ${\displaystyle R_{g}}$ denotes right multiplication by ${\displaystyle g}$, and ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}}$ is the adjoint representation on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (exp${\displaystyle \mathrm{라이센스적}}$으로 Ad g${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle X_{}}$ =${\displaystyle d\frac{}{}}$ d ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ (t ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {}_{}{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}^{}{}_{}}$= 0 {\d ${\displaystyle {\mathrm{스타일}}_{}}$\$operatorname {Ad} _{g}X={dt$}{$dt$}}$g\exp(tX)g^{-1}{\bigl }_{t=0};$
2. if ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$ and ${\displaystyle X_{\xi }}$ is the vector field on P associated to ξ by differentiating the G action on P, then ${\displaystyle \omega (X_{\xi })=\xi }$ (identically on ${\displaystyle P}$).

때때로 주체 G-connection이라는 용어는${\displaystyle }$쌍${\displaystyle (P}$ ,${\displaystyle \Omega }$ ) {\$displaystyle$(P,\$omega )}$을 가리키며, $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega$} 그 자체를$$ 주체 연결의 연결 형태 또는 연결 형태라고 부른다.

계산적 비고

Most known non-trivial computations of principal G-connections are done with homogeneous spaces because of the triviality of the (co)tangent bundle. (For example, let ${\displaystyle G\to H\to H/G}$, be a principal G-bundle over ${\displaystyle H/G}$) This means that 1-forms on the total space are canonically isomorphic to ${\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*})}$, where ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ is the dual lie algebra, hence G-connections are in bijection with ${\displaystyle C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}})^{$$G$

Ehresmann 연결부와의 관계

P의 주 G 연결 Ω은 다음과 같은 방법으로 P의 Ehresmann 연결을 결정한다.First note that the fundamental vector fields generating the G action on P provide a bundle isomorphism (covering the identity of P) from the bundle VP to ${\displaystyle P\times {\mathfrak {g}}}$, where VP = ker(dπ) is the kernel of the tangent mapping ${\displaystyle {\mathrm {d} }\pi \colon TP\to TM}$ which는 P의 수직 묶음이라고 불린다.Ω이 번들 맵 v:를 고유하게 결정하는 것을 따른다.TP→V의 ID인 V.그러한 투영 v는 그것의 커널에 의해 독특하게 결정되는데, 그것은 TP=V⊕H와 같은 TP(수평 번들이라 불림)의 부드러운 하위 번들 H이다.이건 에레스만 연결부야

Conversely, an Ehresmann connection H⊂TP (or v:TP→V) on P defines a principal G-connection ω if and only if it is G-equivariant in the sense that ${\displaystyle H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})}$.

사소한 섹션을 통해 뒤로 이동

주요 번들 P의 사소한 부분은 M의 열린 부분집합 U에 대한 P의 섹션 s에 의해 주어진다.Then the pullback s^*ω of a principal connection is a 1-form on U with values in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. If the section s is replaced by a new section sg, defined by (sg)(x) = s(x)g(x), where g:M→G is a smooth map, then ${\displaystyle (sg)^{*}\omega =\operato$$rname {Ad} (g)^{-1}s^{*}\omega +g^{-1}dg}$.주요 연결은 이 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$ 값$$ 1-forms 계열에 의해 고유하게 결정되며, 이러한 1-forms를 연결 양식 또는 연결 1-forms라고도 하며, 특히 더 오래된 또는 더 많은 물리학 지향 문헌에서는 더욱 그러하다.

주 연결 번들

그룹 G는 올바른 번역에 의해 접선 번들 TP에 작용한다.또한 지수 공간 TP/G는 다지관이며, TM 위에 있는 섬유 다발의 구조를 계승하며, 이 구조는 dπ로 표시되어야 한다.TP/G→TM.let ρ:TP/G→M은 M에 대한 투영이다.투영 ρ 아래의 번들 TP/G 섬유는 적층 구조물을 운반한다.

TP/G 번들을 주 접속의 번들(코바야시 1957)이라고 한다.γ의 섹션 γ:TP/G→TM : TM → TP/G가 M을 통한 벡터 번들의 선형 형태론이며, P에서 주된 연결로 식별할 수 있다.반대로 위에서 정의한 주요 연결은 그러한 TP/G 섹션 section을 발생시킨다.

마지막으로 Ⅱ를 이러한 의미에서 주요한 연결고리가 되게 한다.let q:TP→TP/G는 지표가 된다.연결의 수평 분포는 번들임

${\displaystyle H}$= ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mathrm{}}$(${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle H=q^{-1}\Gamma(TM)\subset TP.}$ 수평$$ 번들과 따라서 Ehresmann 연결에 대한 링크가 다시 보인다.

아핀 속성

Ω과 Ω′이 주성분 P의 주성분 연결인 경우, Ω - - Ω의 $차이$는 G ${\$}} - p에 대한$$ 값 1-form이며, 이는 G 등가성일 뿐만 아니라 P의 수직성 번들 V의 어떤 부분에서도 사라진다는 점에서 수평이다.따라서 그것은 기본이고 따라서 조정 번들의 값을 가진 M의 1-폼에 의해 결정된다.

${\displaystyle {\mathfrak{g}_{P:=P\times ^{G}{\mathfrak {g}}.}$

반대로, 그러한 하나의 형태는 (풀백을 통해) P에 G-등가 수평 1 형태를 정의하며, 주요 G-연결의 공간은 이 1-형식의 공간에 대한 부속 공간이다.

유도 공변량 및 외부 파생 모델

G의 선형 표현 W의 경우 M에 걸쳐$$ 연관된 벡터 번들 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ G ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$가 있으며, 주 연결은 그러한 벡터 번들에 공변량 파생물을 유도한다.이 공변량 파생상품은 M에 대한$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle W^{}}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ 섹션의 공간이 P에 있는 G등변량 W 값 함수의 공간에 이형성이 있다는 사실을 이용하여 정의할 수 있다.보다 일반적으로 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle G^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$의 값을 갖는 k-폼의 공간은 P의 G-등가 및 수평 W-값 k-폼의 공간과 동일시된다$$.만약 α가 그러한 k-form이라면, 그것의 외부 파생상품 dα는 비록 G-등가성이기는 하지만 더 이상 수평이 아니다.단, dα+Ωα 조합은 다음과 같다.$이것$은 P ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle G^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W}$ - M의 k-폼 값에서 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ G ${\displaystyle {}^{}}$값 값$^{$G$}W}$ -값$$(k+1) 폼의 외부 공변량 파생상품을^ω 정의한다.특히 k=0일 때 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle G^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle P\times ^{G}W$에서 공변량 파생상품을 얻는다.

곡률형

주 G-연결의 곡률 형태는 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\${\$mathfrak {g}$ -값$$ 2-형태 Ω으로 정의되어 있다.

${\displaystyle \D\omega +{\tfrac {1}{1}:{2}}[\omega \wedge \omega].}$

G-등가성 및 수평이므로, $G{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\${\$mathfrak{g}_{P}$의 값을 갖는 M의 2-형태에 해당하며$,$ 이 수량으로 곡률의 식별을 (카탄의) 제2구조 방정식이라고 부르기도 한다.^[1]역사적으로 구조 방정식의 출현은 카르탄 연결의 발달에서 발견된다.Lie 그룹의 문맥으로 전이될 때 구조 방정식은 Maurer-Cartan 방정식이라고 알려져 있다: 그것들은 같은 방정식이지만 다른 설정과 표기법에서이다.

프레임 번들 및 비틀림 연결

주된 번들 P가 프레임 묶음이고, 또는 (더 일반적으로) 솔더 형태가 있다면, 연결은 아핀 연결의 예로서, P의 등가 R 값 1 형태인ⁿ 솔더 형태 θ의 추가 구조를 고려해야 하기 때문에 곡률만이 유일한 불변성이 아니다.특히 P의 비틀림 형태는 R 값 2-형식ⁿ θ로 정의되어 있다.

$\displaystyle \theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta.}$

θ은 G 등가성 및 수평이므로 M에서 접선 값 2형식, 즉 비틀림(torsion)으로 내려간다.이 방정식을 (카탄의) 첫 번째 구조 방정식이라고 부르기도 한다.

대수 기하학의 정의

만약 X가 하나의 체계(또는 더 일반적으로 스택, 파생 스택 또는 심지어 프리스트랙)라면, 우리는_dR X로 표시된 그것의 소위 de Rham 스택을 그것과 연관시킬 수 있다.이것은 X 위에_dR 주 G 묶음이 있는 것이 X 위에 연결된 G 묶음과 같은 속성을 가지고 있다.

참조

• Kobayashi, Shoshichi (1957), "Theory of Connections", Ann. Mat. Pura Appl., 43: 119–194, doi:10.1007/BF02411907, S2CID 120972987
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, vol. 1 (New ed.), Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operations in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, archived from the original (PDF) on 2017-03-30, retrieved 2008-03-25