하이퍼복합다지관

미분 기하학에서 하이퍼 복합 다지관은 쿼터니온 $I{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I,J,K}$이(가) 통합 가능한 거의 복잡한 구조를 정의하는$$ 방식으로 쿼터니온의 대수학에 의한 작용이 장착된 접선 번들을 가진 다지관이다.

그 대신에 거의 복잡한 구조물이 통합 가능하다고 가정하지 않는 경우, 다지관을 quaternionic 또는 거의 하이퍼 복합체라고 부른다.^[1]

예

모든 하이퍼켈러 다지관도 하이퍼 복합체다.그 반대는 사실이 아니다.호프 표면

${\displaystyle {\bigg (}{\mathb {H}}}}}\backslash 0{\bigg )}/{\mathb {Z}}}}}}}}}}}}$

($Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ {\$mathb$ {Z$}}}})$ $쿼터니온{\displaystyle }$ q$${\$displaystyle q$ > {\$displaysty q$>1에 의해 곱셈으로$$ 작용하는 것은 하이퍼 복합적이지만, 따라서 Kahler도 하이퍼켈러가 아니다.Hopf 표면이 Kahler가 아닌지 확인하려면 제품 $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle S^{1}\times S^{3}$과(와) 다른 형태라는 점에 유의하십시오. 따라서$$ Hopf 표면의 홀수 동일성 그룹은 홀수차원이다.Hodge 분해에 의해, 소형 Kahler 다지관의 홀수 코호몰리는 항상 고른 차원이다.실제로 와카쿠와 히데키요는 콤팩트한 하이퍼켈러 ${\displaystyle {다지관\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {b\mathrm{2p}}_{}}$ + 1${\displaystyle {}_{}\text{m}}$ 0 m ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle \text{4}\mathrm{}}$ $(\displaystyle \b_{2p+$1}\$equiv$0\ $mod\$ 4$})$에서, 미샤 베빗스키는 케흘러 구조를 인정하는 콤팩트 하이퍼 복합 다지관 역시 하이퍼켈러임을 증명했다$.$^[3]

1988년, 몇몇 콤팩트한 Lie 그룹의 좌불변성 하이퍼 복합 구조물은 물리학자 필리프 스핀델, 알렉산더 세브린, 월터 트루스트, 앙투안 반 프로이엔에 의해 건설되었다.1992년 도미니크 조이스는 이 건축물을 재발견하여 콤팩트한 Lie 그룹에 좌변성 하이퍼 복합 구조를 완전하게 분류하였다.여기 전체 리스트가 있다.

${\displaystyle T^{4}SU(2l+1)T^{1}\time SU(2l),T^{l}\time SO(2l+1)}$

${\displaystyle T^{2l}\time SO(4l),T^{l}\time Sp(l),T^{2}\time E_{6}}$

${\displaystyle T^{7}\time E^{7},T^{8}\times E^{8},T^{4}\times F_{4},T^{2}\times G_{2}$

여기서 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ T$^{i}$는 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$ -차원$$ 컴팩트 토러스(torus)를 의미한다$$.

어떤 콤팩트한 Lie 그룹이 충분히 큰 토러스(torus)를 곱한 후에 하이퍼 콤플렉스가 된다는 것은 주목할 만하다.

기본 속성

그러한 하이퍼 복합 다지관은 찰스 보이어에 의해 1988년에 연구되었다.그는 또한 실제 치수 4에서 유일한 소형 하이퍼 복합 다지관은 복합 토러스 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$호프 표면과 K3 표면이라는 것을 증명했다.

훨씬 이전(1955년) 모리오 오바타는 거의 하이퍼 복합 구조와 관련된 아핀 연결을 연구했다(거의 쿼터니온 구조의 찰스 에레스만의^[4] 이전 용어 아래).그의 구조는 $거의{\displaystyle }$ 복잡한 구조물 I, J${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle I,J,K}$의 "2"가 통합될$$ 수 있고 이 경우 다지관은 하이퍼 콤플렉스인 경우에만 비틀림 없는 Obata 연결로^[5][6] 이어진다.

트위스터 스페이스

quaternion L ions ${\$L$\in {\mathb$ {$H}}}}}}}$ 충족$$ L $2{\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle }$- 1 ${\displaystyle$ L$^{2}=-1}$의 ${\displaystyle {2차원\mathrm{}}^{}}$ quaternion이 있으며$,$ 각각의 quaternion은 하이퍼 복합 매니폴드 M에 복잡한 구조를 제공한다.This defines an almost complex structure on the manifold ${\displaystyle M\times S^{2}}$, which is fibered over ${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{1}=S^{2}}$ with fibers identified with ${\displaystyle (M,L)}$. This complex structure is integrable, as follows from Obata's theorem (this드미트리 칼레딘^[7](Drimtry Kaledin)에 의해 처음으로 명백하게 증명되었다.This complex manifold is called the twistor space of ${\displaystyle M}$. If M is ${\displaystyle {\mathbb {H} }}$, then its twistor space is isomorphic to ${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{3}\backslash {\mathbb {C} }P^{1}}$.

참고 항목

• 쿼터니온 다지관

참조