게이지 공변량 유도체

게이지 공변량 파생상품은 일반상대성, 양자장 이론, 유체역학 등에 사용되는 공변량 파생상품의 변형이다.이론이 게이지 변환을 가지고 있다면, 그것은 특정 방정식의 일부 물리적 특성이 그러한 변환 하에서 보존된다는 것을 의미한다.마찬가지로 게이지 공변량 파생상품은 공변량 파생상품이 실제 벡터 연산자처럼 행동하도록 변형된 일반적인 파생상품으로, 공변량 파생상품을 사용한 방정식은 게이지 변형 하에서 물리적 특성을 보존한다.null

개요

게이지 공변량 파생상품을 이해하는 방법은 여러 가지가 있다.이 글에서 취해진 접근법은 많은 물리학 교과서에서 사용된 역사적으로 전통적인 표기법에 기초하고 있다.^[1]^[2]^[3]또 다른 접근방식은 게이지 공변량 파생상품을 연결의 한 종류로서, 더 구체적으로 말하면 어핀 연결로 이해하는 것이다.^[4]^[5]^[6]어핀 연결은 미터법 텐서 개념을 정의할 필요가 없기 때문에 흥미롭다. 어핀 연결의 곡률성은 게이지 전위의 전기장 강도로 이해할 수 있다.메트릭을 사용할 수 있으면 다른 방향으로 이동하여 프레임 번들에 대한 연결을 정의할 수 있다.이 경로는 일반 상대성 이론으로 직접 연결되지만, 입자물리학 게이지 이론에는 없는 측정지표가 필요하다.null

1-another의 일반화보다는 어핀과 미터법 기하학이 서로 다른 방향으로 진행되는데, 일반적으로 (의사-)리만 기하학의 게이지 그룹은 비한정직교 그룹 O(s,r)이거나, 시공간을 위한 로렌츠 그룹 O(3,1)이어야 한다.왜냐하면 프레임 번들의 섬유는 정의상 시공간의 접선 공간과 접선 공간을 반드시 연결해야 하기 때문이다.^[7]이와는 대조적으로, 입자물리학에 채택된 게이지 그룹은 실제로는 U(1), SU(2), SU(3)만 사용하지만 원칙적으로 모든 Lie 그룹이 될 수 있다.Lie 그룹은 메트릭스가 장착되어 있지 않다는 점에 유의하십시오.null

A아직 더, 더욱 더 정확하고 기하학적으로 거 복잡한, 접근 외부 공변 파생물로 연합된 다발의 게이지 이론의 주요 섬유 다발을 위한 섹션에 게이지가 함께 변하는 파생물이다(정확히) 같은 일이 있습니다;[8]과, spinors의 경우는, 관련된 다발인지 이해하는 것이다.있다스핀 구조의 ^[9]스핀 묶음비록 개념적으로 동일하지만, 이 접근방식은 매우 다른 표기법 세트를 사용하며, 미분 기하학의 여러 영역에서 훨씬 더 진보된 배경을 요구한다.null

게이지 불변성의 기하학적 형상의 마지막 단계는 양자 이론에서 주요 섬유 다발의 인접 섬유들을 비교하기만 하면 된다는 것과 섬유 자체가 불필요한 부가 설명을 제공한다는 것을 인식하는 것이다.이는 양자장 이론에서 게이지 연결에 대한 가장 가까운 설명으로서 게이지 그룹을 변형하여 게이지 그룹노이드(gage groupoid)를 얻으려는 발상으로 이어진다.^[6]^[10]null

일반적인 리알헤브라의 경우, 공간 대칭에 있는 게이지 공변량 파생상품(사이비-리만 다지관과 일반상대성이성의 그것들)은 내부 게이지 대칭과 얽힐 수 없다. 즉, 미터법 기하학과 아핀 기하학은 반드시 구별되는 수학 과목이다. 이것이 콜먼-만둘라 정리의 내용이다.그러나, 이 정리의 전제는 Lie superalgebras에 의해 위반된다. 따라서 하나의 통일된 대칭이 공간적 대칭과 내부적 대칭을 모두 설명할 수 있다는 희망을 제공한다: 이것은 초대칭의 기초가 된다.null

보다 수학적인 접근법은 게이지 이론의 기하학적 구조와 대수학적 구조 그리고 리알헤브라와 리만 다지관과의 관계를 강조하면서 색인 없는 표기법을 사용한다. 예를 들어, 게이지 공분산을 섬유 다발의 섬유에 대한 공분산으로 취급한다.물리학에 사용되는 지수 표기법은 이론의 전체적인 기하학적 구조를 더욱 불투명하게 만들기는 하지만 실제적인 계산에 훨씬 편리하다.^[7]물리학 접근법은 또한 교육학상의 이점을 가지고 있다: 게이지 이론의 일반적인 구조는 다변량 미적분학의 최소 배경 후에 노출될 수 있는 반면, 기하학적 접근법은 미분 기하학의 일반 이론인 리만 다지관, 리알헤브라스, 리알헤브라의 표현에 많은 시간을 투자해야 한다.d 일반적 이해가 개발되기 전에 원칙 묶음.좀 더 진전된 논의에서는 두 가지 논점이 공통적으로 혼합되어 있다.null

이 기사는 물리학 교과과정에 일반적으로 사용되는 표기법과 언어에 가장 근접하게 접근하려고 시도하고 있는데, 이는 보다 추상적인 연관성에 대해 간단히 언급할 뿐이다.null

유체 역학

유체 역학에서 유체의 게이지 공변량 파생물은 다음과 같이 정의될 수 있다.

\cdla _{t}\mathbf {v} :=\cd_{t}\mathbf {v} +(\mathbf {v}\cdot \\la )\mathbf {v}}

여기서 $\mathbf {v}$ ${\$ 는) 유체의 속도 벡터 필드다 $\mathbf {v}$ .null

게이지 이론

양자장 이론에서 중요한 특정 종류의 분야를 연구하는 게이지 이론에서 최소 결합 게이지 공변량 파생물은 다음과 같이 정의된다.

D_{\mu }:=\partial _{\mu }-iqA_{\mu }}}

$A_{\mu }$ 서 ${\$ 는 전자기 $A_{\mu }$ 4전위이다.null

(이것은 일반상대성이론에서 공통적으로 아래에 사용되는 민코프스키 미터 시그니처(-, +, +, +, +)에 유효하다.입자물리 규약(+, -, -)의 경우 $D_{\mu }:=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }$ $D_{\mu }:=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }$ $D_{\mu }:=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }$ + $D_{\mu }:=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }$ $D_{\mu }:=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }$ $D_{\mu }:=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }$ ${\$ 이다. $A_{\mu$ $D_{\mu }:=\partial _{\mu }+iqA_{\mu }$ 전자의 전하를 $q_{e}=-|e|$ $q_{e}=-|e|$ = $q_{e}=-|e|$ - $q_{e}=-|e|$ $displaystyle q_{e}=-$ e $q_{e}=-|e|$ 로 정의한 반면, Dirac 필드는 $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ ( x $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ ) $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ → $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ ( $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ ) $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ ( $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ ) 로 양적으로 변환하도록 정의된다 $\psi (x)\rightarrow e^{iq\alpha (x)}\psi (x).$ ${\displaysty \psi (x)\iq\알파($ $}$ )

게이지 공분산 요구사항을 통한 공변량 파생상품 구축

대칭 연산자 $U(x)=e^{i\alpha (x)}$ $U(x)=e^{i\alpha (x)}$ ) $U(x)=e^{i\alpha (x)}$ = e $U(x)=e^{i\alpha (x)}$ $U(x)=e^{i\alpha (x)}$ ) ${\$ 에 의해 정의된 일반적인 (Abelian이 아닌) 게이지 변환을 고려하십시오 $\phi (x)$ 이러한 변환은 필드 $(x$ ) {\ $displaysty \$ phi( $x)}$ 에 작용한다.

\phi (x)\오른쪽 화살표 \phi '(x)=U(x)\phi(x)\equiv e^{i\alpha(x)}\phi(x),

\phi ^{\dagger }(x)\rightarrow \phi {'}^{\dagger }=\phi ^{\dagger }(x)U^{\dagger }(x)\equiv \phi ^{\dagger }(x)e^{-i\alpha (x)},\qquad U^{\dagger }=U^{-1}.

where $\alpha (x)$ is an element of the Lie algebra associated with the Lie group of symmetry transformations, and can be expressed in terms of the generators of the group, $\{t^{a}\}_{a}$ , as $\alpha (x)=\alpha ^{a}(x)t^{a}$ .null

부분파생상품 μ ${\$ 변환을 $\partial _{\mu }$ 따라서 다음과 같이 변환한다.

\partial _{\mu }\phi (x)\rightarrow \partial _{\mu }\phi '(x)=U(x)\partial _{\mu }\phi (x)+(\partial _{\mu }U)\phi (x)\equiv e^{i\alpha (x)}\partial _{\mu }\phi (x)+i(\partial _{\mu }\alpha )e^{i\alpha (x)}\phi (x)

그리고 $\phi ^{\dagger }\partial _{\mu }\phi$ μ $\phi ^{\dagger }\partial _{\mu }\phi$ μ { ${\displaystyle \phi ^{\$ pi ^{\ $pi _{\mu }\pi }$ 형식의 운동 용어는 따라서 이 변환에서 불변성이 아니다 $\phi ^{\dagger }\partial _{\mu }\phi$ .null

공변량 파생상품 $D_{\mu }$ $D_{\mu }$ ${\$ 을(를) 게이지 변환에 따라 공변량 변환을 하는 $\partial _{\mu }$ 부분파생상품 $\partial _{\mu }$ ${\$ 의 일반화로서 이러한 맥락에서 $D_{\mu }$ 소개할 수 있다.

D_{\mu }\phi (x)\오른쪽 화살표 D'_{\mu }\phi '(x)=U(x)D_{\mu }\phi (x),

오퍼레이터 형태는 어떤 형태는

D'_{\mu }=U(x)D_{\mu }U^{\dager }(x).

따라서 계산(간단함에 대한 $명시적$ x $x$ 종속성 $x$ 제외)

D_{\mu }\phi \rightarrow D'_{\mu }U\phi =UD_{\mu }\phi +(\delta D_{\mu }U+[D_{\mu },U])\phi

,

어디에

D_{\mu }\rightarrow D'_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu }

D_{\mu }\rightarrow D'_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu }

→

D_{\mu }\rightarrow D'_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu }

D_{\mu }\rightarrow D'_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu }

→ D

D_{\mu }\rightarrow D'_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu }

D_{\mu }\rightarrow D'_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu }

+

D_{\mu }\rightarrow D'_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu }

D

D_{\mu }\rightarrow D'_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu }

{\

D

'_{\mu }}\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu

D_{\mu }\rightarrow D'_{\mu }\equiv D_{\mu }+\delta D_{\mu }

공변량 변환을 위한 $D_{\mu }$ $D_{\mu }$ $D_{\mu }$ ${\$ D_ ${\mu }}$ 의 요구 조건은 현재 다음과 같이 번역되어 있다.

[\delta D_{\mu }U+[D_{\mu }}U]\phi =0.}

명시적인 표현을 얻기 위해 QED를 따르고 안사츠를 만든다.

D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }}

벡터장 $A_{\mu }$ ${\$ 이(가) 만족하는 $A_{\mu }$ 경우,

A_{\mu }\오른쪽 화살표 A'_{\mu }=A_{\mu }+\delta A_{\mu }}}

그 다음이 그것이다.

\delta D_{\mu }\equiv -ig\delta A_{\mu }}

그리고

\delta A_{\mu }=[U,A_{\\mu }}U^{\doger }-{\frac {i}}{g}[\partial _{\mu}}U]^{\doger }}}}}}}}}}}}

$U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})$ ( $U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})$ ) $U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})$ = $U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})$ + i $U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})$ ( x $U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})$ ) $U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})$ + O $U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})$ 2 $U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}}(\alpha ^{2})$ ) ${\displaystyle U(x)=1+i\alpha (x)+{\mathcal {O}(\alpha ^{2$ 을 사용하여 형식을 취함

\delta A_{\mu }={\frac {1}{g}([\partial _{\mu }}\alpha ]-ig[])A_{\mu },\alpha ]+{\mathcal {O}(\alpha ^{2})={\frac {1}{1}{g}[D_{\mu }},\alpha ]+{\mathcal {O}(\alpha ^{2})}}}

따라서 $D_{\mu }$ 는 D $D_{\mu }$ {\ $displaystyle D_{\mu }}}$ 과 $D_{\mu }$ 같은 물체를 발견했다.

\phi \phi ^{\doger }{\mu }\phi (x)\phi '^{\doger }D'_{\doger }={\doger }{x)\mu }\phi (x)

양자전기역학

다음과 같이 게이지 변환이 제공되는 경우

\psi \mapsto e^{i\Lambda }\psi

게이지 퍼텐셜을 위해

A_{\mu }\mapsto A_{\mu }+{1 \over e}(\partial _{\mu }\Lambda )

다음으로 $D_{\mu }$ $D_{\mu }$ ${\$ 변환 $D_{\mu }$

D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )

D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )

μ

D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )

μ μ

D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )

-

D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )

e

D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )

- i

D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )

(

D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )

μ

D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )

)

displaystyle D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\lambda

D_{\mu }\mapsto \partial _{\mu }-ieA_{\mu }-i(\partial _{\mu }\Lambda )

및 $D_{\mu }\psi$ $D_{\mu }\psi$ $D_{\mu }\psi$ 변환 $D_{\mu }\psi$

D_{\mu }\psi \mapsto e^{i\Lambda }D_{\mu }\psi

및 ${\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ ${\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ ${\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ ${\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ 0 ${\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ {\ $displaystyle$ {\ $bar {\pair$ {\pair $}:}=\pair ^{\pair }\$ pair ^{ $0}}}$ 변환을 ${\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ 다음과 같이 변환한다.

{\bar {\psi }\mapsto {\bar {\psi }e^{-i\lambda }}

하도록

{\bar {\psi }D_{\\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }D_{\mu }\psi }

그리고 QED 라그랑지안에서는 ${\bar {\psi }}D_{\mu }\psi$ ${\bar {\psi }}D_{\mu }\psi$ ${\bar {\psi }}D_{\mu }\psi$ { ${\\bar {\psi }}D_{\mu }\psi }$ 이(가) 게이지 불변성이며, 게이지 공변량 파생상품은 이에 따라 적절한 이름이 붙는다.null

한편, 비공변성 파생상품 μ $\partial _{\mu }$ ${\$ 은(는) 라그랑지아의 게이지 대칭성을 보존하지 못할 것이다 $\partial _{\mu }$ .

{\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi \mapsto {\bar {\psi }}\partial _{\mu }\psi +i{\bar {\psi }}(\partial _{\mu }\Lambda )\psi

.

양자 색역학

양자 색역학에서 게이지 공변량 파생상품은^[11]

D_{\mu }:=\partial _{\mu }-ig_{s}\,G_{\mu ^{\alpha }\,\lambda _{\alpha }/2

where $g_{s}$ is the coupling constant of the strong interaction, $G$ is the gluon gauge field, for eight different gluons $\alpha =1\dots 8$ , and where $\lambda _{\alpha }$ is one of the eight Gell-Mann matrices.Gell-Mann 행렬은 색상 대칭 그룹 SU(3)를 나타낸다 .쿼크의 경우 표현은 기본 표현이고 글루온의 경우 표현은 부선 표현이다.null

표준 모델

표준 모형의 공변량 파생상품은 전자파, 약자 및 강자 상호작용을 결합한다.다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.^[12]

D_{\mu }:=\partial _{\mu }-i{\frac {g'}{2}}Y\,B_{\mu }-i{\frac {g}{2}}\sigma _{j}\,W_{\mu }^{j}-i{\frac {g_{s}}{2}}\lambda _{\alpha }\,G_{\mu }^{\alpha }

이곳의 게이지 필드는 색 대칭 Lie 그룹 SU(3)의 $U(1)\times SU(2)$ 2배인 전기약자 Lie 그룹 U $U(1)\times SU(2)$ ) $U(1)\times SU(2)$ $U(1)\times SU(2)$ U $U(1)\times SU(2)$ ( $U(1)\times SU(2)$ ) ${\displaystyle$ U $(1)\times SU(2)$ 의 기본 표현에 속한다.The coupling constant $g'$ provides the coupling of the hypercharge $Y$ to the $B$ boson and $g$ the coupling via the three vector bosons $W^{j}$ $(j=1,2,3)$ to the weak isospin,이 구성 요소들은 여기에 Pauli matrice $\sigma _{j}$ $\sigma _{j}$ ${\$ 라고 쓰여 있다. $\sigma _{j}$ 힉스 메커니즘을 통해 이 보손 장은 질량이 없는 $A_{\mu }$ A $A_{\mu }$ ${\$ $}}$ 과 $A_{\mu }$ $Z$ 의 대규모 벡터론장 $W^{\pm }$ ± ${\$ $displaystyption$ $W^{pm$ }에 $W^{\pm }$ 대한 장으로 결합된다 $.$ $LE$ Z $}$ .

일반상대성

일반상대성이론에서 게이지 공변량 파생상품은 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle \nabla _{j}v^{i:=\partial _{j}v^{i}+\sum _{k}\감마 ^{i}{}_{jk}v^{k}}}}}}

여기서 $\Gamma ^{i}{}_{jk}$ $\Gamma ^{i}{}_{jk}$ $\Gamma ^{i}{}_{jk}$ $\Gamma ^{i}{}_{jk}$ ${\$ 는 크리스토펠 기호다 $\Gamma ^{i}{}_{jk}$ .좀 더 형식적으로, 이 파생상품은 프레임 묶음 위에 있는 리만족의 연결로 이해할 수 있다.여기서 "게이지 자유"는 공간 시간의 각 지점에서 좌표 프레임을 임의로 선택하는 것이다.null

참고 항목

참조

^ L.D. Faddeev, A.A. 슬라브노프, 게이지 필드: 게이지 이론 소개, (1980) 벤자민 커밍스, ISBN 0-8053-9016-2
^ 클로드 이직슨, 장-버나드 주버, 양자장 이론(1980) 맥그로힐 ISBN 0-07-032071-3
^ 워런 시겔, 필즈(1999) 아르시브
^ 리처드 S. 팔레, 물리학의 기하학 (1981) 강의 노트, 국립 칭화 대학 수학 연구소
^ M. E. 메이어 "검토: 데이비드 D. Bleecker, 게이지 이론과 변수 원리", Bull. 아머. 수학. Soc. (N.S.) 9 (1983), 1번, 83-92번
^ ^a ^b Alexandre Guay, 로컬 게이지 대칭의 기하학적 측면(2004)
^ ^a ^b 찰스 W. 미스너, 킵 S.Thorne, and John Archibald Wheeler, 중력 (1973) W. H. Freeman and Company
^ David Bleecker, "게이지 이론과 변동 원리" (1982) D.레이델 출판(3장 참조)
^ 데이비드 블리커, 작전 시트로 (6장 참조)
^ 마인하르트 E.메이어, 이론물리학에서의 미분 기하학적 방법론, 제245 페이지 793-802권, "게이지 이론에서의 주범다발 대 리 군로이드" (1990)
^ http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.1987
^ 예: C의 3.116을 참조하십시오.털리, 2011년, 프린스턴 대학 출판부의 소립자 물리학.

Tsutomu Kambe, 이상적인 유체 및 가변 원리에 대한 게이지 원리(PDF 파일)

[1] L.D. Faddeev, A.A. 슬라브노프, 게이지 필드: 게이지 이론 소개, (1980) 벤자민 커밍스, ISBN 0-8053-9016-2

[2] 클로드 이직슨, 장-버나드 주버, 양자장 이론(1980) 맥그로힐 ISBN 0-07-032071-3

[3] 워런 시겔, 필즈(1999) 아르시브

[4] 리처드 S. 팔레, 물리학의 기하학 (1981) 강의 노트, 국립 칭화 대학 수학 연구소

[5] M. E. 메이어 "검토: 데이비드 D. Bleecker, 게이지 이론과 변수 원리", Bull. 아머. 수학. Soc. (N.S.) 9 (1983), 1번, 83-92번

[guay-6] Alexandre Guay, 로컬 게이지 대칭의 기하학적 측면(2004)

[MTW-7] 찰스 W. 미스너, 킵 S.Thorne, and John Archibald Wheeler, 중력 (1973) W. H. Freeman and Company

[8] David Bleecker, "게이지 이론과 변동 원리" (1982) D.레이델 출판(3장 참조)

[9] 데이비드 블리커, 작전 시트로 (6장 참조)

[10] 마인하르트 E.메이어, 이론물리학에서의 미분 기하학적 방법론, 제245 페이지 793-802권, "게이지 이론에서의 주범다발 대 리 군로이드" (1990)

[11] ttp://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.1987

[12] 예: C의 3.116을 참조하십시오.털리, 2011년, 프린스턴 대학 출판부의 소립자 물리학.

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