보조 번들

수학에서 조정다발은 어떤 주요 묶음과도 자연스럽게 연관된 벡터 묶음이다.부선다발의 섬유는 부선다발을 (비관련) 대수다발로 만드는 Lie 대수구조를 지니고 있다.조정 번들은 게이지 이론뿐만 아니라 연결 이론에서도 중요한 응용 프로그램을 가지고 있다.

형식 정의

Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 가진 Lie 그룹이 되게 하고, 부드러운 다지관 M 위에 P가 주 G 번들하게 한다.내버려두다

${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut}({\mathfrak {g})\subset \mathrm {GL}({\mathfrak {g})}$

G를 나란히 나타내다P의 부선 묶음은 관련 묶음이다.

${\displaystyle \mathrm {ad}P=P\times ^{\mathrm {Ad}{\mathfrak {g}}$

조정 번들은 또한 $일반적$으로 g ${\displaystyle P_{}}$ ${\$에 의해 표시된다$.$ 명시적으로 조정 번들의 요소는 p p P와 x $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ g$${\$displaystyle {\mathfak {g}$에 대한 [p, x] 쌍의 동등성 등급이다.

${\displaystyle [p\cdot g,x]=[p,\mathrm {Ad} _{g}(x)]}$

모든 g ∈ G. 부선다발의 구조 그룹은 리 대수 자동형으로 구성되기 때문에, 섬유들은 자연스럽게 부선다발을 M 위에 있는 리 알헤브라의 묶음으로 만드는 리 대수 구조를 지니고 있다.

예

G는 모든 ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle u\in G}$ 및 ~ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle l\in L}$의 조정 작용에 의한 L의 위상적 변환 그룹이기 때문에, 우리는,

${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle L}$→ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G\times L\$time L\\$wrightarrow L}$에 의해 정의된$$ ( ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle l}$)${\displaystyle {\alpha u}_{}}$(${\displaystyle l}$) ${\displaystyle (u,l)\mapsto d\alpha _{u}(l)}$

where ${\displaystyle u\mapsto d\alpha _{u}}$ is the adjoint representation of G , ${\displaystyle u\mapsto \alpha _{u}}$ is a homomorphism of G into A which is an automorphism group of G and ${\displaystyle \alpha _{u}}$ is the mapping ${\displaystyle r\mapsto uru^{-1}}$$$ G의 그것 자체로.H는 L의 위상적 변환 그룹이며, 명백히 H, $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$ : ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d\alpha _{u:$$L\mapsto L}$은(는) Lie 대수 자동형이다.

H는 Lie 그룹 G의 폐쇄된 하위 그룹이기 때문에, 구조 그룹으로서 H를 가지는 X=G/H 위에 국소적으로 사소한 주체 번들이 있다.그래서 좌표함수의 존재 ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{j}_{}}$U ${\displaystyle j}$ → H ${\displaystyle$g_{$ij}:$$U_{i}\cap U_{j}\오른쪽$ 화살표 $H}$이(가) 확실하며$$, 여기서 ${\displaystyle {Ui}_{}}$ ${\$은(는) X의 개방형 덮개 입니다$$.Then by the existence theorem there exists a Lie bundle ${\displaystyle \xi =(E,P,X,L,H)}$ with the continuous mapping ${\displaystyle \Theta :\xi \oplus \xi \rightarrow \xi }$ inducing on each fibre the Lie bracket.^[3]

특성.

${\displaystyle \mathrm{D}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} P}$의 값을 갖는 M의 차분 형식은 P의 수평 G-등가 리 대수값 형식과 일대일 일치한다$$.${\displaystyle \mathrm{대표적}}$인 예가 D ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathrm$ {$ad}$ P$}$의 값을 가진 M의 2-폼으로 간주될 수 있는 P 연결의 곡면성이다$.$

부선다발 부분의 공간은 자연스레 (무한차원) 리 대수다.P의 게이지 변환의 무한차원 Lie 그룹의 Lie 대수라고 볼 수 있으며, 여기서 by은 결합에 의한 G의 작용인 번들 P ×^Ψ G의 섹션으로 생각할 수 있다.

If ${\displaystyle P={\mathcal {F}}(E)}$ is the frame bundle of a vector bundle ${\displaystyle E\to M}$, then ${\displaystyle P}$ has fibre the general linear group ${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$ (either real or complex, depending on ${\displaystyle E}$) where ${\displaystyle \mathrm{rank}}$${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$. This structure group has Lie algebra consisting of all ${\displaystyle r\times r}$ matrices ${\displaystyle \operatorname {Mat} (r)}$, and these can be thought of as the endomorphisms of the vector bundle ${\displaystyle E}$. Indeed there is a natural i소모르피즘 ${\displaystyle add\mathcal{}(F}$(${\displaystyle E}$ ) =${\displaystyle \mathrm{End})}$(E ) {\$displaystyle \operatorname {ad}$ {\$mathcal{F}($E)=\$operatorname {E$

메모들

참조

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, vol. 1, Wiley Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Natural operators in differential geometry, Springer, pp. 161, 400, ISBN 978-3-662-02950-3. PDF로