접선성분 및 일반성분

표면에 대한 벡터의 접선성분과 정규성분 그림.

수학에서, 곡선의 한 점에 벡터가 주어지면, 그 벡터는 두 벡터의 합으로서 고유하게 분해될 수 있는데, 하나는 곡선에 접하는 것으로 벡터의 접선성분이라고 하며, 다른 하나는 곡선에 수직인 것으로 벡터의 정규성분이라고 한다.마찬가지로 표면의 한 점에 있는 벡터도 같은 방법으로 분해될 수 있다.

보다 일반적으로 다지관 M의 서브매니폴드 N과 N 지점의 접선 공간의 벡터가 주어지면 N에 접하는 구성 요소와 N에 정상적인 구성 요소로 분해될 수 있다.

형식 정의

표면

좀 더 형식적으로 $S$ $S$ 을(를) 표면으로 $S$ 하고, $x$ $x$ 을(를) 표면의 점으로 $x$ 한다. $v$ ${\$ 를) x. ${\displaystyle$ x $.}$ 의 벡터가 되도록 $\mathbf {v}$ 두십시오. $\mathbf {v}$ v ${\$ 를) 합으로 $\mathbf {v}$ 고유하게 쓸 수 있다.

\mathbf {v} =\mathbf {v} _{\mathbf }+\mathbf {v} _{\perp }}}}}

여기서 합계의 첫 번째 벡터는 접선 성분이고 두 번째 벡터는 정상 성분이다.이 두 벡터가 서로 수직인 것은 바로 뒤따른다.

접선성분과 일반성분을 계산하려면 표면에 정상적인 단위, 즉 $x$ . ${\displaystyle$ ${\n$ }에서 $S$ S $S$ 에 ${\hat {n}}$ 수직인 단위 벡터 ${\hat {n}}$ ${\hat {n}}$ ${\$ { $n$ $}$ 을(를) 고려하십시오 $.$ 그러면.

\mathbf {v} _{\perp }=(\mathbf {v}\cdot {\hat{n}}){\hat{n}}}

따라서

\mathbf {v} _{\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }}}

여기서 $"{\displaystyle \cdot$ $\cdot$ 은 도트 제품을 의미한다.접선 성분의 또 다른 공식은

\mathbf {v} _{\mat{n}}\mat{n}\matbf {v}),

여기서 " $\times$ $[\displaystyle \times }"$ 은 교차 제품을 의미한다.

이러한 공식은 사용된 ${\hat {n}}$ 특정 단위 ${\hat {n}}$ n ${\hat {n}}$ ^ ${\hat {n}}$ {\ $displaystyle {\hat{n}}$ 에 따라 달라지지 않는다는 점에 유의하십시오(특정 지점의 어떤 표면에도 두 개의 단위 정규식이 존재하며, 반대 방향을 가리키므로, 단위 정규식 중 하나가 다른 단위 정규식의 음수임).

서브매니폴드

보다 일반적으로 다지관 M의 하위 관리 N과 점 p $p\in N$ $[\displaystyle p\in$ N $}$ 에 따라 접선 공간과 관련된 짧은 정확한 시퀀스를 얻을 수 있다 $p\in N$

T_{p}N\to T_{p}M\to T_{p}M/T_{p}N

지수 공간 $T_{p}M/T_{p}N$ p $T_{p}M/T_{p}N$ / $T_{p}M/T_{p}N$ P $T_{p}M/T_{p}N$ $T_{p}M/T_{p}N$ 은 일반 벡터의 일반화된 공간이다 $T_{p}M/T_{p}N$ .

M이 리만 다지관일 경우, 위의 시퀀스가 분할되며, p에서 M의 접선 공간은 N에 접하는 구성 요소와 N에 정규적인 구성 요소의 직접 합으로 분해된다.

T_{p}M=T_{p}N\oplus N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }}}}}}}

Thus every tangent vector $v\in T_{p}M$ splits as $v=v_{\parallel }+v_{\perp }$ , where $v_{\parallel }\in T_{p}N$ and $v_{\perp }\in N_{p}N:=(T_{p}N)^{\perp }$ .