슈르의 보조정리(리만 기하학)

리만 기하학에서 슈르의 보조정리법은 경험적으로 볼 때 특정 곡선이 포인트로 일정할 때마다 전지구적으로 일정할 수밖에 없는 결과물이다.그 증거는 본질적으로 한 단계 계산으로, 입력은 한 가지뿐인데, 두 번째 비안치 정체성이 그것이다.

리치 텐서용 슈어 보조정리

$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (M,g)}$이(가) 차원 $n{\displaystyle .}$ ${\displaystyle n.}$을(를) 가진 매끄러운 리만 다지관이라고 가정하자: ${\displaystyle M}$의 각 요소 $p{\displaystyle }$ ${\displaystystyle p}$에 대해 정의한다는 것을$$ 상기하십시오$.$

• 단면 곡률 - T ${\displaystyle {}_{}}$ M${\displaystyle }$, ${\displaystyle T_{p}M$의 모든 2차원 선형 하위 공간 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$에 할당되며$,$ 실제$$ 수 ${\displaystyle {초}_{}}$ p p${\displaystyle {}_{}{p}_{}}$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \operatorname {sec} _{p}(V)}$
• Riemann 곡률 텐서(Remann 곡률 텐서)는 다중선 ${\displaystyle {지도}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{Rm}}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$: T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$× ${\displaystyle {}_{}}$ p × ${\displaystyle {}_{}}$ × P${\displaystyle }$× T × ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$T_{p}M\time T_{p}M\time T_{p}M\time T_{p}M\to \mathb {R}}}}$
• 대칭 이선형 지도 ${\displaystyle {Ric}_{}}$ p : T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$T_{p}M\time T_{p}M\to \mathb {R} }$
• 실수 R p {\$\operatorname {R} _{p}}$인 스칼라 곡률

슈르 보조기구는 다음과 같이 말하고 있다.

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 2와 같지 않다고 가정하십시오.If there is a function ${\displaystyle \kappa }$ on ${\displaystyle M}$ such that ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}=\kappa (p)g_{p}}$ for all ${\displaystyle p\in M}$ then ${\displaystyle d\kappa (p)=0.}$ Equivalently, ${\displaystyle \kappa }$ is con$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 각 연결된 구성 요소에 스탄트$.$ 이것은 $또한{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle$M}의 각 연결된 구성 요소가 아인슈타인 다지관이라고 주장하는 것으로 표현될 수 있다.

슈르 보조마(Schur lema)는 '두 번 계약한 제2의 비안치 정체성'의 단순한 결과물로서, 다음과 같이 명시하고 있다.

understood as an equality of smooth 1-forms on ${\displaystyle M.}$ Substituting in the given condition ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}=\kappa (p)g_{p},}$ one finds that ${\displaystyle \textstyle d\kappa ={\frac {n}{2}}d\kappa .}$

가정들의 대안적 공식화

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$을(를) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -차원$$ 내부 제품 공간$({\displaystyle V}$, g${\displaystyle }$)$$. {\$displaystyle(V,g$)에서 대칭 이선형 형태로 한다$$$.$${}$ 그러면$$

또한 일부 숫자${\displaystyle }\kappa {\displaystyle }$ , ${\displaystyle \kappa ,}$에 대해 $B{\displaystyle }$= $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle$ \kappa $g}$인 경우$$some${\displaystyle }$= 1n ${\displaystyle \mathrm{tr}}$ ${\displaystyle \frac{n}{}}$ B. $displaystyle \cappa ={n}}\operatorname {tr}{g}B$가 자동으로 지정됨을 갖는다는 점에 유의하십시오.$\}\}$ { 이러한 관찰을 염두에 두고 슈르 보조마사를 다음과 같은 형태로 재작성할 수 있다.

$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (M,g)}$은(는) 크기가 2와 같지 않은 연결된 매끄러운 리만 다지관이 된다$$.그 후 다음과 같다.

• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M$$}$에는 모든 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle$ $\$$kappa$ $}$에 대해$$ ${\displaystyle {Ric}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (p}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$$displaystypa$$$($p)$$g_{p}}$와 같은 함수$$ {\$displaystyp$}가 있다.
• $모든{\displaystyle }$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle p\$$cappa }$에 대해$$ ${\displaystyle {\mathrm{Ric}}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$= ${\displaystyle \kappa }$ g ${\displaystyle p_{}}$ ${\$ $g_{p}},$ 즉$$${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$, $g$ ${\displaystystystyle$ ($M, g)})$가 아인슈타인 숫자가$$ 있다.
• ${\displaystyle {하나}_{}}$는 $Ric{\displaystyle p}$${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1n{}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$$p}p$$}}}$이(가$)$ 있으며$$, 즉$$$,$ 추적리스 $Ricci$ 텐서는 0이다${\displaystyle .}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}^{2}=\textstyle {\frac {1}{n}R^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}^{2}\leq \textstyle {\frac {1}{n}R^{2}.}$

$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (M,g)}$이(가) 연결된 매끄러운 사이비-리만 다지관이라면, 처음 세 가지 조건은 동등하며, 그것들은 네 번째 조건을 암시한다.

일정한 곡률을 가지지 않는 모든 2차원 리만 다지관은 counterrexample이기 때문에 치수 제한이 중요하다.

리만 텐서용 슈어 보조정리

다음은 리치 텐서(Ricci tensor)를 위한 슈르 보조정리(Schur lema)의 즉각적인 귀결이다.

Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (M,g)}$은(는) 차원 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 2와 같지 않은 연결된 매끄러운 리만 다지관이다$$.그 후 다음과 같다.

• There is a function ${\displaystyle \kappa }$ on ${\displaystyle M}$ such that ${\displaystyle \operatorname {sec} _{p}(V)=\kappa (p)}$ for all ${\displaystyle p\in M}$ and all two-dimensional linear subspaces ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle T_{p}M,}$
• There is a number ${\displaystyle \kappa }$ such that ${\displaystyle \operatorname {sec} _{p}(V)=\kappa }$ for all ${\displaystyle p\in M}$ and all two-dimensional linear subspaces ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle T_{p}M,}$ that is, ${\displaystyle (M,g)$${}$의 곡면성이 일정함
• ${\displaystyle \operatorname {sec} _{p}(V)={\frac {1}{n(n-1)}}R_{p}}$ for all ${\displaystyle p\in M}$ and all two-dimensional linear subspaces ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle T_{p}M,}$
• ${\displaystyle {\mathrm{Rm}}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle \frac{2n}{}}$( n${\displaystyle \frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$) R ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$ ${\$}=\$텍스트스타일 {\frac${$2}{n(n-1$)}}$R_{$p}^{$p$$}:{$2}}: 모든$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyleasestyleasestylease$ styleasestyleasestylease stylease $stylease$ stylease$}$
• 리만 텐서의 웨일 곡률과 반추적 부분의 합은 0이다.
• 웨이일 곡률과 리만 텐서의 반추적 부위는 모두 0이다.

코다치 텐서들을 위한 슈어 보조정리

Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle M}$, g${\displaystyle }$) ${\displaystyle (M,g)}$은(는) 차원 $n{\displaystyle .}$ ${\displaystyle n.}$$H$ ${\displaysty$ h$} 그$는 공변량 파생물이 완전히 대칭인 부드러운 대칭(0,2)-텐서 필드다.대칭조건은 비안치 정체성의 아날로그적 조건이다. 유추를 계속하면 그 흔적을 찾아낸다.

$M{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle M$$}$에 h ${\displaystyle p_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$( p ) g p ${\$$displaystyle$ $h_{p}=\kappa (p)g_{p}$와 같은$$ 함수 $function{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle M}$이(가) 있는 경우${\displaystyle ,}$ 대체$$ 시 발견된다.따라서 > ${\displaystyle n>1$}은$($는) $M{\displaystyle .}$ {\$displaystyle M.}$의 연결된 각 구성 요소에서 ${\displaystyle \kappa }}$이(가) 일정하다는 것을 암시한다. 위에서와$$ 같이 Schur lima를 다음과 같이 명시할 수 있다.

$({\displaystyle M}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (M,g)}$은(는) 치수가 1과 같지 않은 연결된 매끄러운 리만 다지관이다$$.$h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는) 공변량 파생형이 a(0,3)-tensor 필드와 완전히 대칭인 부드러운 대칭(0,2)-텐서 필드가 되도록$$ 한다.그 후 다음과 같다.

• $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에는 $모든{\displaystyle }$ p ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle h_${$p}=\displaystyle$ $h_\cappa_{p}}$와 같은$$ 함수 $\kappa {\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ p$\in$ M$,}$이(가$)$에 대해 p${\displaystyle {}_{}}$= κ = ${\displaystyle \kappa }$ = \displaystyptyptyp = ${\displaystyle \backslash }$displaystyptyptyptyptyptyp) ${\displaystyle g_{}}$ p =$$$\$displaystyp${\displaystyle )}$ g p = \${\displaystyle p}$}
• 모든 $p{\displaystyle }$ $∈$ ${\displaystyle M,}$ {\$displaystyle$ p$\cappa$ $}$에 $대해$ ${\displaystyle h_{}}$ =${\displaystyle {}_{}\kappa }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$와 같은$$ 숫자가 $있다{\displaystyle }$$.$
• ${\displaystyle h_{}}$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{1n}}{}({\mathrm{tr}}^{}}$ g${\displaystyle {}^{}{g}^{}}$ h ${\displaystyle p_{}}$) ${\displaystyle g_{}}$ ${\$$displaystyle$ $h_{p}={\frac$ {1$}{n1}}\왼쪽(\operatorname$ {$tr}^{g}h_{p}\$$p$}\$rig)$$g_$$$${p}}}.$ 즉, 모든$p$에 대해$$ 트레이스리스 $형태$의 $h$는 0이다$.$
• ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ g ${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{1n}}{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{tr}}^{}}$ ${\displaystyle g^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ h ${\displaystyle p_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $h_{p} _{g}^{2}=\textstyle {\frac {1}{$n1$}{n$}(\$operatorname$ {$tr}$$$$^{$$g}h_{$$p})^{2}}:$ 모든$$ $p$에$대해$
• ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{1n}}{}}$( ${\displaystyle {\mathrm{tr}}^{}}$ ${\displaystyle g^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle h_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ {1$}{n1$}{$n}(\operatorname {tr}$ $^{$$g}h_{p}}}}^{2}}:$ ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ p$for$}

$({\displaystyle M}$, g${\displaystyle }$) ${\displaystyle (M,g)}$이(가) 연결되고 매끄러운 사이비-리만 다지관이라면$$, 첫 번째 세 가지는 동등하며, 네 번째와 다섯 번째를 암시한다.

적용들

슈르 레마는 기하학적 물체의 둥글음을 증명하기 위해 자주 사용된다.주목할 만한 예는 수렴성 기하학적 흐름의 한계를 특징짓는 것이다.

예를 들어, 리처드 해밀턴이 리치 흐름에^[1] 대한 1982년 돌파구의 핵심 부분은 비공식적으로 언급하는 그의 "견적 추정치"로, 리치 만곡률의 3-manifold Ricci 흐름에 나타나는 리만 지표의 경우, 리치 텐서의 고유값은 그 합계의 크기에 비례하여 서로 가깝다고 말한다.합을 정규화하면 절대적 의미에서는 고유값이 서로 가깝다.이러한 의미에서, 양성 리치 곡률 "대략"의 3 manifold Ricci 흐름에서 나타나는 각 지표는 슈르 보조정리기의 조건을 만족시킨다.슈르 보조정리 자체는 명시적으로 적용되지는 않지만, 그 증거는 해밀턴의 계산을 통해 효과적으로 수행된다.

같은 방법으로 리만 텐서용 슈르 보조정리기를 고용하여 리치 흐름의 융합을 더 높은 차원으로 연구한다.이는 게르하르트 후이스켄이 해밀턴의 작품을 보다 높은 차원으로 확장한 것으로 거슬러 올라가는데,^[2] 여기서 작품의 주요 부분은 웨일 텐서(Weyl tensor)와 반추적 리만 텐서가 장기간 한계에서 영이 되는 것이다.이것은 더 일반적인 Ricci 흐름 수렴 이론으로 확장되며, 일부 설명에서는 Schur 보조정리기를 직접 사용한다.^[3]이것은 서로 다른 구형의 정리에 대한 증거를 포함한다.

코다치 텐서용 슈어 보조정리기는 해밀턴의 작품을 모델로 한 휴이스켄의 평균 곡률 흐름의 수렴에 관한 기초 논문에 직접 고용되어 있다.^[4]Huisken 논문의 마지막 두 문장에서는 다음과$$ 같이 S ${\displaystyle n^{}}$→ R ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$가 매끄럽게 내장되어 있다고 결론짓는다.

여기서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는) 두 번째 기본 형식이고 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은(는) 평균 곡면성이다.슈르 보조기구는 평균 곡률이 일정하며, 이 내장 이미지는 표준 원형 구체여야 함을 암시한다.

또 다른 애플리케이션은 완전한 동위원소 및 곡률과 관련이 있다.Suppose that ${\displaystyle (M,g)}$ is a connected thrice-differentiable Riemannian manifold, and that for each ${\displaystyle p\in M}$ the group of isometries ${\displaystyle \operatorname {Isom} (M,g)}$ acts transitively on ${\displaystyle T_{p}M.}$ This means that for all $$${\displaystyle p\in M}$ and all ${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$ there is an isometry ${\displaystyle \varphi :(M,g)\to (M,g)}$ such that ${\displaystyle \varphi (p)=p}$ and ${\displaystyle d\varphi _{p}(v)=w.}$$$ This implies that ${\displaystyle \operatorname {Isom} (M,g)}$ also acts transitively on ${\displaystyle {\text{Gr}}(2,T_{p}M),}$ that is, for every ${\displaystyle P,Q\in {\text{Gr}}(2,T_{p}M)}$ there is an isometry ${\displ$$aystyle \varphi :(M,g)\to (M,g)}$ such that ${\displaystyle \varphi (p)=p}$ and ${\displaystyle d\varphi _{p}(P)=Q.}$ Since isometries preserve sectional curvature, this implies that ${\displaystyle \operatorname {sec} _{p}}$ is constant for each ${\displaystyle p\in M.}$슈르 보조정리자는${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$, ${\displaystyle g}$) ${\디스플레이$ 스타일$(M,g)}$이(가) 일정한 곡률을 가지고$$ 있음을 암시한다.이것의 특히 주목할 만한 적용은 우주론 원리를 모델링하는 어떤 스페이스타임은 반드시 구간의 뒤틀린 산물이어야 하며 일정한 커리큘럼 리만 다지관이 되어야 한다는 것이다.O'Neill(1983, 341페이지)을 참조하십시오.

안정성

최근 연구에서는 슈르 보조기구의 조건이 근사적으로만 만족하고 있는 경우를 조사하였다.

"추적이 없는 리치 텐서가 0이면 스칼라 곡률도 일정하다"라는 형태의 슈르 보조정리법을 고려한다.카밀로 데 렐리스와 피터 토핑은^[5] 미량 없는 리치 텐서가 약 0일 경우 스칼라 곡률이 근사적으로 일정하다는 것을 보여주었다.정확히:

• $({\displaystyle M}$, ${\displaystyle g}$) ${\displaystyle (M,g)}$이(가) 음이 아닌 리치 곡률과 치수 $n{\displaystyle \mathrm{}\ge }$ 3.$${\$displaystyle n\geq$ 3$.}$이(가) 닫힌 리만 다지관이라고 가정하고, 여기서 $R$의${\$스칼라 곡률의 평균값을 나타낸다$$.
  $${\displaystyle \int _{M}(R-{\overline {R}})^{2}\,d\mu _{g}\leq {\frac {4n(n-1)}{(n-2)^{2}}}\int _{M}{\Big }\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big }_{g}^{2}\,d\mu _{g}.}$$

  

다음으로 특수 형태의 슈어 보조정리기 "$IR{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma }$이(가) R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 연결된 내장형 표면이라면$$, 그 평균 곡률성은 일정하다."고 간주한다.카밀로 데 렐리스와 스테판 뮐러는^[6] 미량 없는 두 번째 형태의 콤팩트 표면이 약 0이면 평균 곡률성은 근사적으로 일정하다는 것을 보여주었다.바로 그거야

• 부드러운 소형 연결 내장 표면 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 3${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle \Sigma \subseteq \mathb {R} ^3}$과(와) 같은$$$$ $숫자{\displaystyle }$ C {\$displaystyle$ C}이$(가$) 있다$.$
  $${\displaystyle \int _{\Sigma }(H-{\overline {H})^{2}\,d\mu _{g}\leq C\int _{\Sigma }{\Big }h-{\frac{1}{1}{2}}Hg{\\\\\\}\빅 }_{g}^{2}\,d\mu _{g}}$$

  
  여기서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$은(는$)$ 두 번째 기본 형식이고 g {\$displaystyle g}$은(는) 유도 메트릭이며, $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$은(는) 평균 곡률 ${\displaystyle {\mathrm{tr}}_{}}$ ${\displaystyle g{}_{}.}$ h . ${\displaysty \operatorname {tr} _{g}h이다.$$}$

어플리케이션으로서 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$ 그 자체가$$ 둥근 구에 '가까이' 있다고 결론 내릴 수 있다.

참조

• 고바야시 쇼시치와 노미즈 가쓰미.차동 지오메트리의 기초. 제1권뉴욕-런던 1963 xi+329pp의 존 와일리 & Sons의 사단법인 인터사이언스 퍼블리셔스.
• 배럿 오닐반-리만 기하학. 상대성 이론에 응용하는 것.순수 및 응용 수학, 103.Architective Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers, Publishers, Publishers, 1983년 뉴욕]xii+468 페이지ISBN 0-12-526740-1