다중선 지도

선형대수학에서 다중선형 지도는 각 변수에서 개별적으로 선형인 여러 변수의 함수다.더 정확히 말하면, 다중선 지도는 함수다.

f\colon V_{1}\time \cdots \time V_{n}\text{,}}

$v_{i}$ 서 $V_{1},\ldots ,V_{n}$ $V_{1},\ldots ,V_{n}$ , $V_{1},\ldots ,V_{n}$ , V $V_{1},\ldots ,V_{n}$ ${\$ 및 $W$ $W$ 은 벡터 공간(또는 각 i {\ $displaystyle$ i $i$ 에 대해, v i {\ $displaystyty v_{i}}$ 를 제외한 모든 변수를 일정하게 $v_{i}$ 유지한 다음, $f(v_{1},\ldots v_{i},\ldots v_{n})$ ( $f(v_{1},\ldots v_{i},\ldots v_{n})$ 1, $f(v_{1},\ldots v_{i},\ldots v_{n})$ … $f(v_{1},\ldots v_{i},\ldots v_{n})$ ) 속성을 가진다. $f(v_{1},\ldots v_{i},\ldots v_{n})$ $f(v_{1},\ldots v_{i},\ldots v_{n})$ ) $f(v_{1},\ldots v_{n}$ 은 $f(v_{1},\ldots v_{i},\ldots v_{n})$ (는) $v_{i}$ $v_{i}$ ${\$ 의 선형 함수 입니다 $v_{i}$ ^[1]

한 변수의 다변형 지도가 선형 지도로, 두 변수 중 이변형 지도가 있다.보다 일반적으로 k 변수의 다중선형 지도를 k-선형 지도라고 한다.다선형 지도의 코도마인이 스칼라의 밭이라면 다선형이라고 한다.다중선 지도와 다중선 형태는 다중선 대수학에서 기초적인 연구 대상이다.

모든 변수가 동일한 공간에 속할 경우 대칭, 대칭, 대칭, 교대칭 k-선형 지도를 고려할 수 있다.후자는 밑에 있는 고리(또는 필드)가 두 개와 다른 특성을 갖는 경우 일치하고, 그렇지 않으면 전자의 두 개가 일치한다.

예

모든 이선형 지도는 다선형 지도다.예를 들어 벡터 공간의 모든 내부 제품은 다선형 맵으로, R $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ 에서 벡터의 교차 곱과 같다 $\mathbb {R} ^{3}$
행렬의 결정인자는 제곱 행렬의 열(또는 행)의 교대 다중선 함수다.
만약 F:Rm→ Rn{\displaystyle F\colon \mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}}은 Ck 기능, F{\displaystyle F\!}의 도메인에 p{p\displaystyle}는 대칭 k로{k\displaystyle}-linear 기능 Dkm그리고 4.9초 만 F 볼 수 있는 각 지점에 정기{\displaystyle k\!}그 파생물:. ${\$ $F\colon$ \colon \ $m}\times \cdots \times \mathb$ { $R} \m}\to \mathb {R}{n$

좌표 표현

내버려두다

f\colon V_{1}\time \cdots \time V_{n}\text{,}}

be a multilinear map between finite-dimensional vector spaces, where $V_{i}\!$ has dimension $d_{i}\!$ , and $W\!$ has dimension $d\!$ . If we choose a basis ${\displaystyle \{{\textbf {e}}_$ ${i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$ for each $V_{i}\!$ and a basis $\{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}$ for $W\!$ (using bold for vectors), then we can define a collection of scalars ${\d$ $isplaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}^{k}$ 별 $A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}$

f({\textbf{e}_{1j_{1},\ldots,{\textbf {e}_{nj_{n}}}=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}_{1}+\cdots +A_{j_{1}}\cdots j_{n}^{d}\,{\textbf {b}_{d}}.

Then the scalars $\{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}$ completely determine the multilinear function $f\!$ . In particular, if

{\textbf {v}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}v_{ij}{\textbf{e}_{ij}\!

$1\leq i\leq n\!$ $1\leq i\leq n\!$ $1\leq i\leq n\!$ $1\leq i\leq n\!$ ${\$ i $\leq n$ 그러면

f({\textbf {v}_{1},\ldots, {\textbf {v}_{n}}}=\sum _{j_{1}=1}^{1}:{d_{n}}}}\cdots \sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf{b}_{k}.

예

삼선기능을 취하자.

g\colon R^{2}\time R^{2}\time R^{2}\to R,

여기서 $V i$ = $R 2 i,$ d = 2 $, i$ = 1, $2,3$ 및 $W$ = $R,$ d = $1$ .

A basis for each $V i$ is $\{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.$ Let

g({\textbf{e}_{1}i}{\textbf {e}_{2j},{\textbf {e}_{3k}}=ftext\textbf {e}_{j},{\textbf {e}}}},{nextb=}A_{ijk}

where $i,j,k\in \{1,2\}$ . In other words, the constant $A_{ijk}$ is a function value at one of the eight possible triples of basis vectors (since there are two choices for each of the three $V_{i}$ ), namely:

\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}_{2}\},\{{\textbf {e}_{2},{\textbf {e}_{e}}},{\textbf {e}_{1}\},\\textbf {e}_{e}},{\textbf {e}}},{\textbf {e}}}}}.

각 벡터 ${\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}$ ${\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}$ ${\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}$ ${\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}$ i ${\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}$ = R ${\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}$ ${\$ }}는 기본 벡터의 선형 조합으로 표현할 수 있다 ${\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}$ .

{\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).

${\textbf {v}}_{i}\in R^{2}$ 의 ${\textbf {v}}_{i}\in R^{2}$ 벡터 ${\textbf {v}}_{i}\in R^{2}$ $\$ R 2 {\ $displaystyle$ {\ $textbf {v}$ _{ $i}\in$ R $^{2}}$ 개의 임의 모음에서 함수 값은 다음과 같이 표현할 수 있다 ${\textbf {v}}_{i}\in R^{2}$ .

g({\textbf {v}_{1},{\textbf {v}_{2}, {\textbf {v}_{3}}=\sum _{i=1}^{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{1}^{2}}}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k}.

또는, 확장된 형태로

{\displaystyle{\begin{정렬}((a,b),(c,d)&, ,(e,f))g({\textbf{e}}_{1},{\textbf{e}}_{1},{\textbf{e}}_{2})\\& g({\textbf{e}}_{1},{\textbf{e}}_{1},{\textbf{e}}_{1})+acf\times =ace\times, +ade\times g({\textbf{e}}_{1},{\textbf{e}}_{2},{\textbf{e}}_{1})+adf\times g({\textbf{e}}_{1},{\textbf{e}}_{2},{\textbf{e}}_{2})+bce\times g({\text.남자 친구{e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{정렬}}}

텐서 제품과의 관계

다중선 지도 사이에는 자연스러운 일대일 대응 관계가 있다.

f\colon V_{1}\time \cdots \time V_{n}\text{,}}

및 선형 지도

F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\text{,}}

여기서 $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!$ $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!$ $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!$ $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!$ ⋯ $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!$ $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!$ n {\ $displaystyle V_{1$ }\otimes \ $cdots \otimes V_$ {n $}\!}$ 는 $V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!$ V $V_{1},\ldots ,V_{n}$ , $V_{1},\ldots ,V_{n}$ , $V_{1},\ldots ,V_{n}$ , $V_{1},\ldots ,V_{n}$ $V_{1},\ldots ,V_{n}$ ${\$ 의 텐서 제품을 나타낸다 $V_{1},\ldots ,V_{n}$ 함수 $f\!$ ${\$ 과 $f\!$ (와) $F\!$ ${\$ 사이의 관계는 공식에 의해 주어진다 $F\!$ .

f(v_{1},\ldots ,v_{n}}=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).

n×n 행렬의 다중선 함수

매트릭스의 행(또는 동등하게 열)의 함수로서, ID를 가진 정류 링 $K$ 의 $n \times n$ 매트릭스에서 다중선 함수를 고려할 수 있다. $A$ 를 그런 행렬이 되게 하고, $a i,$ 1≤ $i$ ≤ $n$ , $A$ 의 행이 되게 하라.그러면 다행함수 $D$ 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),

만족스러운

D(a_{1},\ldots,ca_{i}+a_{n}),\ldots,a_{n}=cD(a_{1},\ldots,a_{n},\ldots,a_{n},\ldots,a_{n},\ldots,a_{n}.

${\hat {e}}_{j}$ ${\hat {e}}_{j}$ ${\$ 이(가) ID 매트릭스의 j번째 행을 나타내도록 ${\hat {e}}_{j}$ 하면 각 행을 합으로 $a$ 로_i 표현할 수 있다.

a_{i}=\sum _{j=1}^{n(i,j){\hat{e}_{j}.

$D$ 의 다층성을 이용하여 $D (A)$ 를 다음과 같이 다시 쓴다.

D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).

이 대체를 각 $a$ 에_i 대해 계속하면, $1 i$ i $n$ n에 대해,

D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).

따라서 $D (A)$ 는 $D$ 가 ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ , ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ … ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ , ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$ ${\$ { $e}_{k_{n}}}}$ 에서 작동하는 방식에 따라 고유하게 결정된다 ${\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}$

예

2×2 매트릭스의 경우 우리는

D(A)=A_{11,1}A_{1,2}D({\hat {e}_{1},{\hat {e}_{1}}+A_{11,1}A_{2,2}D({\hat {e}_{1},{\hat {e}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}_{2},{\hat {e}_{1}+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}_{2}},{\hat {e}_{2})\,}

Where ${\hat {e}}_{1}=[1,0]$ and ${\hat {e}}_{2}=[0,1]$ . If we restrict $D$ to be an alternating function then ${\displaystyle D({\hat$ ${e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$ and $D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)$ . Letting $D(I)=1$ we get the determinant function on 2×2 행렬: