수학적 해석

미분방정식에서 생기는 이상한 유인체.미분 방정식은 과학 및 공학 분야에서 많은 응용 분야를 가진 수학 분석의 중요한 영역입니다.

해석은 연속함수, 한계, 그리고 미분, 적분, 측정, 무한수열, 급수,^[1]^[2] 해석함수와 같은 관련 이론을 다루는 수학의 한 분야이다.

이 이론들은 보통 실수와 복소수, 함수의 맥락에서 연구된다.분석은 분석의 기본 개념과 기술을 포함하는 미적분학에서 발전했다.해석은 기하학과 구별될 수 있지만, 근접성(토폴로지 공간) 또는 물체 사이의 특정 거리(미터 공간)를 정의하는 수학적 물체의 모든 공간에 적용할 수 있습니다.

역사

아르키메데스는 점점 더 많은 변을 가진 정다각형들의 면적을 구함으로써 원 안의 면적을 계산하는 방법을 사용했다.이것은 수학적 분석에서 가장 기본적인 개념 중 하나인 한계치의 초기이지만 비공식적인 예였다.

고대

수학 분석은 과학 ^[3]혁명 기간인 17세기에 공식적으로 발전했지만, 그것의 많은 아이디어들은 초기 수학자들에게까지 거슬러 올라갈 수 있다.분석의 초기 결과는 고대 그리스 수학의 초기에 암묵적으로 존재했다.예를 들어 무한한 기하학적 합은 제노의 이분법 ^[4]역설에 내포되어 있다.나중에, 에우독소스와 아르키메데스와 같은 그리스 수학자들은 영역과 ^[5]고체의 면적과 부피를 계산하기 위해 소진 방법을 사용할 때 한계와 수렴의 개념을 더 분명하지만 비공식적으로 사용했어요.무한소수의 명시적 사용은 ^[6]20세기에 재발견된 아르키메데스의 기계 이론의 방법에서 나타난다.아시아에서는 서기 3세기 중국의 수학자 류후이(^[7]劉 of)가 원의 면적을 구하기 위해 탈진법을 사용했다.자인 문헌을 보면 기원전 ^[8]4세기 무렵부터 힌두교도들이 산술과 기하 급수의 합을 공식으로 가지고 있었던 것으로 보인다.아카랴 바드라바후는 기원전 ^[9]433년 칼파수트라에서 기하 급수의 합을 사용한다.인도 수학에서, 산술 급수의 특정한 예는 기원전 2000년 베다 문학에서 암묵적으로 발생하는 것으로 밝혀졌다.

중세

주종지는 5세기에 ^[10]구체의 부피를 구하는 카발리에리의 원리라고 불리는 방법을 확립했다.12세기에 인도 수학자 바스카라 2세는 미분들의 예를 들었고 현재 롤의 정리로 알려진 ^[11]것을 사용했다.

14세기에, 상암그라마의 마드하바는 사인, 코사인, 탄젠트,^[12] 아크탄젠트와 같은 함수의 무한 급수 확장을 발전시켰습니다.Taylor 계열의 삼각함수의 개발과 함께, 그는 또한 이러한 계열들을 잘라낸 결과 발생하는 오차항의 크기를 추정했고, 일부 무한 급수의 합리적인 근사치를 제공했습니다.케랄라 천문학 및 수학 학교의 그의 추종자들은 16세기까지 그의 작품을 더욱 확장시켰다.

현대의

기초

수학 해석의 현대적 토대는 17세기 ^[3]유럽에서 확립되었다.이것은 페르마와 데카르트가 현대 미적분의 선구자인 해석 기하학을 개발했을 때 시작되었다.페르마의 적정성 방법은 그가 함수의 최대값과 최소값 그리고 곡선의 ^[13]접선을 결정할 수 있게 해주었다.데카르트가 1637년에 데카르트 좌표계를 도입한 라 게오메트리를 발표한 것은 수학적 해석의 확립으로 여겨진다.뉴턴과 라이프니츠가 독자적으로 무한소 미적분을 개발한 것은 수십 년 후이며, 18세기까지 이어진 응용 작업의 자극으로 변분, 보통 및 편미분 방정식, 푸리에 해석, 생성 함수 등의 분석 주제로 성장하였다.이 기간 동안 미적분 기술은 연속적인 문제에 의해 대략적인 이산 문제에 적용되었다.

현대화

18세기에 오일러는 수학 ^[14]함수의 개념을 도입했다.실제 분석은 ^[15]1816년 베르나르 볼자노가 연속성에 대한 현대적 정의를 소개하면서 독립적인 주제로 등장하기 시작했지만, 볼자노의 연구는 1870년대에 이르러서야 널리 알려지게 되었다.1821년, 코치는 특히 오일러에 의해 초기 연구에서 널리 사용된 대수 일반성의 원리를 거부함으로써 미적분을 확고한 논리적 토대 위에 놓기 시작했다.대신, 코치는 기하학적 사상과 무한수의 관점에서 미적분을 공식화했다.따라서, 그의 연속성에 대한 정의는 y의 극소량의 변화에 대응하기 위해 x의 극소량의 변화가 필요했다.그는 또한 코시 수열의 개념을 도입했고, 복소수 해석의 공식 이론을 시작했다.푸아송, 리우빌, 푸리에 등은 편미분방정식과 조화분석을 연구했다.이러한 수학자들과 바이얼슈트라스와 같은 다른 이들의 공헌은 한계 접근법(,, ))을 발전시켰고, 따라서 수학 분석의 현대 분야를 만들었다.

19세기 중반에 리만은 그의 통합 이론을 도입했다.세기의 마지막 3분의 1은 기하학적 추론이 본질적으로 오해의 소지가 있다고 생각한 바이어스트래스에 의해 분석의 산술화를 보았고 한계에 대한 "엡실론-델타" 정의를 도입했다.그 후, 수학자들은 그들이 증명 없이 실수의 연속체의 존재를 가정하고 있다고 걱정하기 시작했다.그리고 데데킨트는 무리수를 공식적으로 정의하는 데데킨드 컷에 의해 실수들을 구성했는데, 이는 유리수 사이의 "갭"을 채우는 역할을 하며, 결과적으로 완전한 집합을 만들어냈다: 사이먼 스테빈이 십진수 확장의 관점에서 이미 개발하였다.그 무렵, 리만 적분의 이론을 다듬으려는 시도는 실함수의 불연속성 집합의 "크기"에 대한 연구로 이어졌다.

또한, "괴물"(지금은 연속 함수, 연속 함수, 하지만 구별이 되지 않는 함수, 공간 채우기 곡선)에 대한 조사가 시작되었다.이런 맥락에서, 조던은 그의 측정 이론을 발전시켰고, 칸토르는 현재 순진한 집합 이론이라고 불리는 것을 발전시켰고, 베이어는 베이어 범주 정리를 증명했다.20세기 초에 미적분은 자명한 집합론을 사용하여 공식화 되었다.르베게는 측정 문제를 풀었고, 힐베르트는 적분 방정식을 풀기 위해 힐베르트 공간을 도입했다.노름 벡터 공간의 개념은 공중에 떠 있었고 1920년대에 바나흐는 함수 분석을 만들었다.

중요한 개념

미터법 공간

수학에서 미터법 공간은 집합의 요소들 사이의 거리 개념(미터법이라고 함)이 정의된 집합입니다.

대부분의 분석은 일부 미터법 공간에서 일어난다; 가장 일반적으로 사용되는 것은 실선, 복소 평면, 유클리드 공간, 다른 벡터 공간, 그리고 정수이다.측정지표가 없는 분석의 예로는 측정 이론(거리보다는 크기를 기술)과 기능 분석(거리 감각이 필요 없는 위상 벡터 공간을 연구)이 있다.

형식적으로 메트릭 공간은 $(M,d)$ d $)$ { $displaystyle(M,$ d)}입니다 $.$ 서 M({ $displaystyle$ M $}$ 은 $M$ 세트, d ${displaystyle$ d $}$ 는 $(M,d)$ $d$ M $({displaystyle$ M $M$ 의 메트릭, 즉 함수입니다.

\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}

$x,y,z\in M$ 의 $x,y,z\in M$ $x,y,z\in M$ , z $x,y,z\in M$ M(\ $displaystyle$ x $,y,z\in$ M $x,y,z\in M$ 에 대해 다음이 유지되도록 합니다.

$d(x,y)=0$ ( $d(x,y)=0$ , $d(x,y)=0$ ) $x=y$ $x=y$ $d(x,y)=0$ (x $d(x,y) = 0$ $d(x,y)=0$ = y \ $displaystyle$ x $=$ $y$ \ $displaystyle$ x $d(x,y)=0$ $=$ y \ $displaystyle$ x = $x=y$ y \ displaystyle (불명확한 표시)일 $x=y$ 에만)
$d(x,y)=d(y,x)$ ( $d(x,y)=d(y,x)$ x , $d(x,y)=d(y,x)$ ) $d(x,y)=d(y,x)$ ( $d(x,y)=d(y,x)$ , $d(x,y)=d(y,x)$ ) { $displaystyle$ d ( $x$ , y ) $= d$ ( $y$ , $x$ ) $d(x,y)=d(y,x)$ } (표준) 및
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ( $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ x , $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ( $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ , $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ) + $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ ( $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ , $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ $){$ $displaystyle$ d ( $x$ , $z$ )\ $leq$ d ( $x , y$ )+d $(y , z$ )} $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (부등식)

세 번째 속성을 취하여 $z=x$ $=$ x {\ $displaystyle z=$ x $z=x$ 로 하면 $d(x,y)\geq 0$ d $d(x,y)\geq 0$ , y ) ${\$ $d(x,y)\geq 0$ {\ $displaystyle d(x,$ y)\ $geq$ 0 $}($ 음수 아님)을 나타낼 수 있습니다.

시퀀스 및 제한

시퀀스는 순서부 리스트입니다.집합과 마찬가지로 멤버(요소 또는 항이라고도 함)를 포함합니다.세트와는 달리 순서가 중요하며 정확히 동일한 요소가 시퀀스의 다른 위치에 여러 번 나타날 수 있습니다.가장 정확하게는 자연수와 같이 도메인이 계산 가능한 완전 순서 집합인 함수로 정의할 수 있습니다.

시퀀스의 가장 중요한 특성 중 하나는 컨버전스입니다.비공식적으로 시퀀스에 제한이 있는 경우 시퀀스가 수렴됩니다.비공식적으로 연속되는 (단일 무한) 시퀀스는 n이 매우 커지기 때문에 한계라고 불리는 어떤 점 x에 접근하면 한계가 있습니다.즉, 추상 시퀀스 (a_n) (n이 1에서 무한대로 실행된다는 것을 이해한 상태에서) a와_n x 사이의 거리는 n → θ로서 0에 접근한다.

\displaystyle \lim _{n\to\infty}a_{n}=x}

주요 지점

실제 분석

실해석(전통적으로 실변수의 함수 이론)은 실변수의 실수와 실변수의 ^[16]^[17]함수들을 다루는 수학 분석의 한 분야이다.특히, 실수의 수열의 수렴과 한계, 실수의 미적분, 그리고 실수의 연속성, 평활성 및 관련 특성을 포함한 실함수와 시퀀스의 분석 특성을 다룬다.

복잡한 분석

복소수 해석(전통적으로 복소수 함수 이론으로 알려져 있음)은 복소수의 ^[18]함수를 조사하는 수학 분석의 한 분야이다.그것은 대수 기하학, 수 이론, 응용 수학을 포함한 수학의 많은 분야와 유체역학, 열역학, 기계 공학, 전기 공학, 그리고 특히 양자장 이론을 포함한 물리학에서 유용합니다.

복소 분석은 특히 복소 변수의 분석 기능(또는 보다 일반적으로, 다중 형태 함수)과 관련이 있다.해석 함수의 개별적인 실수와 허수 부분이 라플레이스의 방정식을 만족시켜야 하기 때문에, 복잡한 분석은 물리학의 2차원 문제에 폭넓게 적용할 수 있다.

기능 분석

함수 분석은 수학 분석의 한 분야로, 그 핵심은 어떤 종류의 한계와 관련된 구조(예: 내적, 노름, 위상 등)가 부여된 벡터 공간과 이러한 공간에 작용하고 이러한 구조를 적절한 ^[19]^[20]의미에서 존중하는 선형 연산자의 연구에 의해 형성된다.함수 해석의 역사적 뿌리는 함수 공간 및 푸리에 변환과 같은 함수의 변환 속성을 함수 공간 간의 연속, 단일 연산자를 정의하는 변환으로 공식화하는 데 있습니다.이 관점은 미분방정식과 적분방정식의 연구에 특히 유용한 것으로 밝혀졌다.

고조파 분석

고조파 해석은 기본파의 중첩으로서 함수와 신호의 표현과 관련된 수학적 해석의 한 분야이다.여기에는 푸리에 급수와 푸리에 변환(푸리에 분석)의 개념 및 그 일반화 연구가 포함됩니다.고조파 해석은 음악 이론, 숫자 이론, 표현 이론, 신호 처리, 양자 역학, 조석 분석, 신경 과학 등 다양한 분야에 응용된다.

미분 방정식

미분 방정식은 함수 자체의 값과 다양한 차수의 ^[21]^[22]^[23]도함수와 관련된 하나 또는 여러 변수의 알려지지 않은 함수에 대한 수학 방정식입니다.미분 방정식은 공학, 물리학, 경제학, 생물학 및 기타 분야에서 중요한 역할을 합니다.

미분방정식은 과학과 기술의 많은 영역에서 발생하며, 특히 지속적으로 변화하는 양(함수에 의해 모델링됨)과 그 변화율(도함수로 표현됨)을 포함하는 결정론적 관계가 알려지거나 가정될 때마다 발생합니다.이것은 시간 값이 변화함에 따라 물체의 움직임이 위치와 속도로 묘사되는 고전 역학에서 설명됩니다.뉴턴의 법칙은 (물체에 작용하는 위치, 속도, 가속도 및 다양한 힘을 고려할 때) 시간의 함수로서 물체의 알려지지 않은 위치에 대한 미분 방정식으로 이러한 변수들을 동적으로 표현할 수 있게 해줍니다.경우에 따라서는 이 미분 방정식(운동 방정식이라고 함)이 명시적으로 풀릴 수 있습니다.

측정 이론

세트에 대한 척도는 해당 집합의 적절한 각 하위 집합에 숫자를 할당하는 체계적인 방법으로,^[24] 직감적으로 크기로 해석됩니다.이런 의미에서 측정이란 길이, 면적 및 부피의 개념을 일반화한 것입니다.특히 중요한 예는 유클리드 공간의 르베게 측도로, 이는 유클리드 기하학의 전통적인 길이, 면적 및 $n$ 를 n { $displaystyle$ n $}$ 차원 $\mathbb {R} ^{n}$ 공간 R $\mathbb {R} ^{n}$ n {\ $displaystyle \mathbb$ { $R} ^{n$ 의 $n$ 적절한 부분 집합에 할당한다. 예를 들어 $\left[0,1\right]$ 구간의 르베게 측도 [displaystyle n $]$ $\left[0,1\right]$ 0 $\left[0,1\right]$ , $]($ 의 \ $displaystyle \left [$ 0,1 $\$ right $])$ 는 $\left[0, 1\right]$ 일상적인 의미의 길이입니다.구체적으로는 1입니다.

기술적으로 측정이란 집합 X의( $특정$ 부분 집합에 $음수$ 가 아닌 실수 또는 +θ를 할당하는 함수입니다. 빈 집합에 0을 할당하고 (계수적으로) 가산해야 합니다. 유한한(또는 셀 수 있는) '작은' 부분 집합으로 분해할 수 있는 '큰' 부분 집합의 측정값은 측정값입니다."subset" 서브셋의 res.일반적으로 측정의 다른 공리를 만족시키면서 일정한 크기를 주어진 집합의 각 부분 집합에 관련짓고 싶다면 계수 측정과 같은 사소한 예만 찾을 수 있습니다. $이$ 문제는 "\displaystyle $\sigma }$ - algebra $\sigma$ "를 형성하기 위해 필요한 모든 서브셋(일명 측정 가능한 서브셋)에 대해서만 측정을 정의함으로써 해결되었습니다.즉, 측정 가능한 하위 집합의 계수 가능한 합집합, 계수 가능한 교차로 및 보완이 측정 가능하다는 것을 의미한다.르베게 측정이 일관되게 정의될 수 없는 유클리드 공간에서의 측정 불가능한 집합은 그들의 보완과 심하게 뒤섞인다는 의미에서 반드시 복잡하다.사실, 그들의 존재는 선택 공리의 사소한 결과이다.

수치 분석

수치 분석은 (이산수학과 ^[25]구별되는) 수학적 분석의 문제에 대해 (일반적인 기호 조작과 대조적으로) 수치 근사치를 사용하는 알고리즘의 연구이다.

현대의 수치 분석은 정확한 답을 구하지 않는다. 왜냐하면 실제로는 정확한 답을 얻는 것이 불가능할 때가 많기 때문이다.대신, 수치 분석의 대부분은 오류에 대한 합리적인 경계를 유지하면서 대략적인 해법을 얻는 것과 관련이 있다.

수치 분석은 자연히 공학이나 물리과학의 모든 분야에서 응용되고 있지만, 21세기 들어 생명과학은 물론 예술까지도 과학적 계산의 요소를 채택하고 있다.일반적인 미분 방정식은 천체 역학에서 나타난다; 숫자 선형 대수는 데이터 분석에 중요하다; 확률 미분 방정식과 마르코프 사슬은 의학 및 생물학에서 살아있는 세포를 시뮬레이션하는데 필수적이다.

벡터 분석

벡터 해석은 크기와 방향을 모두 가진 값을 다루는 수학 분석의 한 분야입니다.벡터에는 속도, 힘, 변위 등이 있습니다.벡터는 일반적으로 ^[26]크기를 나타내는 값인 스칼라와 관련지어집니다.

스칼라 분석

스칼라 분석은 방향이 아닌 척도와 관련된 값을 다루는 수학 분석의 한 분야입니다.온도 등의 값은 값의 방향, 힘 또는 변위에 관계없이 값의 크기를 나타내기 때문에 스칼라입니다.

텐서 분석

기타 토픽

변형 미적분은 함수를 다루는 일반적인 미적분과 달리 극한 함수를 다룬다.
고조파 해석은 함수나 신호의 표현을 기본파의 중첩으로 다룬다.
기하학적 해석은 편미분 방정식의 연구에서 기하학적 방법의 사용과 편미분 방정식의 이론을 기하학에 적용하는 것을 포함한다.
클리포드 분석, 디랙 또는 디랙 유사 연산자에 의해 소멸된 클리포드 값을 매긴 함수에 대한 연구로, 일반적으로 단성 또는 클리포드 분석 함수로 불린다.
p-adic 분석(p-adic analysis)은 p-adic 숫자의 맥락 내에서의 분석 연구로, 실제 및 복잡한 분석과 일부 흥미롭고 놀라운 방식으로 다르다.
비표준 분석 - 초실수와 그 함수를 조사하여 무한소수와 무한대수를 엄밀하게 처리합니다.
계산 가능한 분석, 분석의 어떤 부분을 계산 가능한 방식으로 수행할 수 있는지에 대한 연구.
확률적 계산 – 확률적 과정을 위해 개발된 분석적 개념.
설정값 분석 – 분석 및 토폴로지의 아이디어를 설정값 함수에 적용합니다.
볼록 집합과 함수에 대한 연구인 볼록 분석.
Idempotent analysis – Idempotent semiring의 맥락에서 분석하며, 여기서 가법 역의 부족은 Idempotent 규칙 A + A = A에 의해 어느 정도 보상된다.
- 열대 분석 – 열대 세미링(또는 max-plus algebra/min-plus algebra)이라 불리는 등가적 세미링의 분석.
건설적 분석, 고전적 논리 및 집합론의 기초 위에 구축됩니다.
직감적 분석 - 건설적 분석과 같은 건설적 논리로부터 개발되지만 선택 시퀀스를 통합하기도 합니다.
파라콘존재 분석 - 고전적 논리 및 집합론이 아닌 파라콘존재의 기반 위에 구축됩니다.
매끄러운 토포스에서 개발된 매끄러운 무한소 분석.

적용들

분석 기술은 다음과 같은 다른 영역에서도 찾아볼 수 있습니다.

물리 과학

고전 역학, 상대성 이론, 양자 역학의 대부분은 응용 분석, 특히 미분 방정식에 기초하고 있습니다.중요한 미분 방정식의 예로는 뉴턴의 제2법칙, 슈뢰딩거 방정식, 아인슈타인 장 방정식이 있습니다.

함수 분석 또한 양자 역학에서 중요한 요소이다.

신호 처리

오디오, 전파, 광파, 지진파, 심지어 이미지와 같은 신호를 처리할 때 푸리에 분석을 통해 복합 파형의 개별 구성요소를 분리하여 보다 쉽게 감지하거나 제거할 수 있습니다.신호 처리 기술의 큰 패밀리는 신호 푸리에 변환, 간단한 방법으로 푸리에 변환된 데이터 조작 및 변환 ^[27]반전으로 구성됩니다.

수학의 다른 영역

분석 기술은 다음을 포함한 수학의 많은 분야에서 사용됩니다.

해석수 이론
분석 조합론
연속 확률
정보 이론에서의 미분 엔트로피
차동 게임
미분 기하학, 복잡한 내부 구조를 가지고 있지만 국지적으로 단순한 방식으로 행동하는 다지관이라고 알려진 특정 수학 공간에 미적분을 적용하는 것입니다.
미분 가능한 다양체
차동 토폴로지
편미분 방정식

유명한 교과서

실제 분석 입문, Andrey Kolmogorov, Sergei Fomin^[28]
그리고리 피히텐홀츠^[29]^[30]^[31] 지음 (3권)
그리고리 피히텐홀츠^[32]^[33] 지음 (2권)
수학 분석의 과정^[34]^[35] (2권), 세르게이 니콜스키 지음
수학적 해석 (2권), 블라디미르 조리히^[36]^[37] 지음
Vladimir Smirnov의^[38]^[39]^[40]^[41]^[42] A Course of Higher Mathematics (5권, 6부)
니콜라이 피스쿠노프의^[43] 미적분
알렉산드르 킨친의^[44] 수학 해석학
수학적 분석:Georgiy Shilov의 스페셜^[45] 코스
Isidor Natanson의^[46]^[47] 실변수 함수론 (2권)
수학 해석의 문제^[48], 보리스 데미도비치 지음
분석의 문제와 이론 (2권), George Polya, Gabor Szegö^[49]^[50]
수학적 분석:톰 아포스톨의^[51] '고급 미적분학의 현대적 접근'
Walter^[52] Rudin의 수학적 해석의 원리
실제 분석:Elias^[53] Stein의 측정 이론, 적분 및 힐버트 공간
복소해석, Elias^[54] Stein 지음
기능 분석:Elias Stein의^[55] 분석 관련 추가 주제 소개
분석 (2권), Terence^[56]^[57] Tao에 의한
분석 (3권), Herbert Amann, Joachim^[58]^[59]^[60] Escher
Vladimir Bogachv, Oleg Smolyanov의^[61] 실제 및 기능 분석
Serge Lang의 실제^[62] 및 기능 분석

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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추가 정보

알렉산드 로프[Алекса́ндров], 알렉산드르 다닐 로비치[Алекса́ндр Дани́лович];Lavrent'ev[Лавре́нтьев], 미하일 Alexseevich[Михаи́л Алексе́евич];Nikol'skiĭ[Нико́льский], 세르게이 미하일로비치.[Серге́й Миха́йлович];Delone[Делоне́], 보리스 러시아의[Бори́с Никола́евич];Petrovskiĭ[Петро́вский], 이반은 게오르기 예비치[Ива́н Гео́ргиевич];Sobolev는 경우에는 Со́боле.в], 세르게이의 수학[Серге́й Льво́вич];Ladyženskaja[Лады́женская]올가 Aleksandrovna[Óльга Алекса́ндровна];크릴로프[Крылоў], 블라디미르 이바노비치[Уладзімір Іванавіч];Keldyš[Ке́лдыш], 므스티 슬라프 프세볼로도 비치[Мстисла́в Все́володович];Mardzanisvili[Марджанишвили], 콘스탄틴 콘스탄티노 비치[Константин Константинович];Postnikov[Постников], 에일.Ksei 게오르기 예비치[Алексей Георгиевич];콜모고로프[Колмого́ров], 안드레이 러시아의[Андре́й Никола́евич];레베데프[Ле́бедев], 세르게이 Alexeyevich[Серге́й Алексе́евич];Kantorovič[Канторо́вич], 레오니트 Vitaliyevich[Леони́д Вита́льевич];Stečkin[Сте́чкин], 세르게이의[Серге́й Бори́сович];Faddeev[Фадде́ев], 드미트리 콘스탄티노 비치 경우 Дми́трий.Константи́нович 뻗는다.알렉산드 로프[Алекса́ндров], 파벨 세르게예비치[Па́вел Серге́евич];Gel'fand[Гельфа́нд], Israïl Moyseyovich[Изра́иль Моисе́евич];Mal'cev[Ма́льцев], 아나톨리 이바노비치[Анато́лий Ива́нович](3월 1969년).알렉산드 로프[Алекса́ндров], 알렉산드르 다닐 로비치[Алекса́ндр Дани́лович];콜모고로프[Колмого́ров], 안드레이 러시아의[Андре́й Никола́евич];Lavrent'ev[Лавре́нтьев], 미하일 Alexseevich(eds.)[Михаи́л Алексе́евич].수학:그것의 콘텐츠, 방법,와 의미.Vol1–3.굴드, 시드니 헨리, 허쉬 커트는 8월, 바사, Tamas.번역은 굴드(2판)에 의해 편집.매사추세츠 주 캠브리지 미국:MIT./미국 수학회.LCCN 64-7547요. MIT106,107,108궤:/13960/t4sj8550w.[1](NB다. slipcase에서 3softcover권.1956년 3월 러시아어 원제 : мтее in in in in in in in in in in in in in in in in in in in in [ 2 ][ 3 ][ 4 ]1962/1963년 AMS에 의해 6권으로 된 초판 영문판, 1964년 8월 MIT Press에 의해 3권으로 개정 영문판: [5], 1965년 4월 MIT Press에 의해 2쇄.1969년 3월 초판 MIT 페이퍼백도버에 의해 한 권으로 전재되었습니다.)
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외부 링크

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기본 분석: Jiri Lebl의 실제 분석 입문(Creative Commons BY-NC-SA)
브리태니커 백과사전
미적분과 분석

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v t 수학 분석의 주요 주제
미적분:통합 차별화 미분 방정식(일반 - 부분 - 확률적) 미적분의 기본 정리 변분법 벡터 미적분 텐서 미적분 행렬 미적분 적분 목록 파생상품표
실제 분석 복잡한 분석 초복소 분석 (4분위 분석) 기능 분석 푸리에 분석 최소 제곱 스펙트럼 분석 고조파 분석 P-adic 분석(P-adic 수) 측정 이론 표현 이론 기능들 연속 함수 특수 기능 제한. 시리즈 Infinity
수학 포털

v t 수학
역사 타임라인 개요 리스트 용어집
기초	범주론 정보 이론 수리논리 수학 철학 집합론 유형 이론
대수학	추상적인 가환성 초등 군론 선형 멀티라인 유니버설 호몰로지
분석.	미적분학. 실제 분석 복잡한 분석 초복잡한 분석 미분 방정식 기능 분석 고조파 분석 측정 이론
디스크리트	조합 그래프 이론 순서론
기하학.	대수적 분석 산술 차동 디스크리트 유클리드 유한
수론	산술 대수적 수론 해석수 이론 디오판토스 기하학
토폴로지	일반 대수적 차동 기하학 호모토피 이론
응용의	공학 수학 수리생물학 수리 화학 수리 경제학 수리금융 수리 물리학 수리심리학 수리사회학 수리통계학 확률 통계 정보 시스템 사이언스 제어 이론 게임 이론 운용 조사
계산	컴퓨터 공학 계산 이론 계산 복잡도 이론 수치 분석 최적화 컴퓨터 대수학
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